천체 좌표 결정 방법

Coordinate Systems

 

  Galatoecentric coordinate system $\mathcal G$  에서 표현된 천체의 위치정보는 heilocentric distance $d$, rigth asecnsion $\alpha$, declination $\delta$ 으로 구성된 ICRS (International Celestial Reference System) 에 대하여 다음과 같다.

$$ {}^\mathcal{G}\mathbf{r} = \begin{pmatrix} x_\text{icrs} \\ y_\text{icrs} \\ z_\text{icrs} \end{pmatrix} = d \begin{pmatrix} \cos\delta\cos\alpha \\ \cos\delta\sin\alpha \\ \sin\delta \end{pmatrix}$$

  외계행성 ${}^\mathcal{G}\mathbf{r}_{exp}$ 에 대한 천체 ${}^\mathcal{G}\mathbf{r}_s$ 의 상대위치는 다음과 같다.

$$ {}^\mathcal{G}\mathbf{\rho}_{s,exp} = {}^\mathcal{G}\mathbf{r}_s - {}^\mathcal{G}\mathbf{r}_{exp} $$

  외계행성의 자전축 ${}^\mathcal{G}\mathbf{\omega}_{exp}$ 과 행성에서 관측자가 위치한 지점의 법선벡터 ${}^\mathcal{G}\mathbf{n}$ 에 대하여 NED coordinate frame $\mathcal{N}$ 를 결정하는 세 벡터 ${}^\mathcal{G}\mathbf{N}$, ${}^\mathcal{G}\mathbf{E}$, ${}^\mathcal{G}\mathbf{D}$ 는 다음과 같이 결정된다.

$$ {}^\mathcal{G}\mathbf{D} = - {}^\mathcal{G}\mathbf{n} \qquad {}^\mathcal{G}\mathbf{E} = \frac{ {}^\mathcal{G}\mathbf{D} \times {}^\mathcal{G}\mathbf{\omega}_{exp} }{\left|| {}^\mathcal{G}\mathbf{D} \times {}^\mathcal{G}\mathbf{\omega}_{exp} \right||} \qquad {}^\mathcal{G}\mathbf{N} = {}^\mathcal{G}\mathbf{E} \times {}^\mathcal{G}\mathbf{D} $$

 

 

Direct Cosine Matrix

 

  $\mathcal{N}$ 에서 $\mathcal{G}$ 으로의 변환에 대응하는 DCM(Direct Cosine Matrix)은 다음과 같다.

$$ R_\mathcal{N}^\mathcal{G} = \begin{pmatrix} {}^\mathcal{G}\mathbf{N} & {}^\mathcal{G}\mathbf{E} & {}^\mathcal{G}\mathbf{D} \end{pmatrix}$$

  그러므로 $\mathcal{G}$ 에서 $\mathcal{N}$ 으로의 변환에 대응하는 DCM은 다음과 같다.

$$ R_\mathcal{G}^\mathcal{N} = \left( R_\mathcal{N}^\mathcal{G} \right)^T = \begin{pmatrix} {}^\mathcal{G}\mathbf{N}^T \\ {}^\mathcal{G}\mathbf{E}^T \\ {}^\mathcal{G}\mathbf{D}^T \end{pmatrix} $$

 

 

Position Represented in NED

 

  NED frame에서 표현되는 천체의 외계행성에 대한 상대위치는 다음과 같다.

$$ {}^\mathcal{N}\mathbf{\rho}_{s,exp} = R_\mathcal{G}^\mathcal{N} {}^\mathcal{G}\mathbf{\rho}_{s,exp} = \begin{pmatrix} {}^\mathcal{G}\mathbf{N}^T \\ {}^\mathcal{G}\mathbf{E}^T \\ {}^\mathcal{G}\mathbf{D}^T \end{pmatrix} {}^\mathcal{G}\mathbf{\rho}_{s,exp} = \begin{pmatrix} {}^\mathcal{G}\mathbf{N} \cdot {}^\mathcal{G}\mathbf{\rho}_{s,exp} \\ {}^\mathcal{G}\mathbf{E} \cdot {}^\mathcal{G}\mathbf{\rho}_{s,exp} \\ {}^\mathcal{G}\mathbf{D} \cdot {}^\mathcal{G}\mathbf{\rho}_{s,exp} \end{pmatrix}  $$

  여기서 $ {}^\mathcal{G}\mathbf{D} \cdot {}^\mathcal{G}\mathbf{\rho}_{s,exp} >0 $ 인 경우는 천체가 지평선보다 아래에 있다는 것을 의미한다. 외계행성의 해당 표면에서 실제로 관측가능한 천체는 $ {}^\mathcal{G}\mathbf{D} \cdot {}^\mathcal{G}\mathbf{\rho}_{s,exp} \le0 $ 을 만족해야 한다.

 

 

Celestial Coordinate System

 

  편의를 위해 다음과 같이 쓰자.

$$ {}^\mathcal{N}\mathbf{\rho}_{s,exp} =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

  관찰자 기준의 천구에서 별의 방위각 $A$ 와 고도각 $h$ 는 다음과 같이 결정된다.

$$\begin{cases}\tan{A}=\frac{y}{x} \\ \cos{h} = \sqrt{x^2+y^2} \end{cases} \quad\implies\quad \begin{cases} A=\text{atan2}(y,x) \\ h=\text{acos}\sqrt{x^2+y^2} \end{cases}$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.