'수학/해석학' 카테고리의 글 목록

[FTC의 엄밀한 증명] ch27. 부분적분법, 치환적분법

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch26. 미적분학의 기본정리 (FTC) 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 29. 부분적분법 다음과 같은 적분 공식을 부분적분법이라고 한다.

\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = (f (b) g (b) - f (a) g (a)) - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x

이 공식이 정확히 언제, 어떻게 성립하는지 알아보자. 도움정리 29-1)

f : A \to R

이

[a, b] \subset A

에서 리만 적분가능하면

f \cdot f

도

[a, b]

에서 리만 적분가능하다. proof)

f

가

[a, b]

에서 리만 적분가능하면

[a, b]

에서 유계이므로 다음을 만족하는 $M>..

[FTC의 엄밀한 증명] ch26. 미적분학의 기본정리 (FTC)

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch25. 리만 적분의 성질 2 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch27. 부분적분법, 치환적분법 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 28. 미적분학의 기본정리 미분과 적분은 독립적으로 정의되었고, 각각 수학적으로 엄밀한 용어로 기술되었다. 미분의 정의는 접선의 기울기를 계산하기 위해, 적분의 정의는 그래프의 아래 넓이를 계산하기 위해 고안되었다. 미적분학의 기본정리는 놀랍게도 이 둘 사이에 역연산 관계가 있음을 설명한다. 미적분학의 기본정리는 두 부분으로 되어있다. 첫 번째는 모든 연속함수가 역도함수를 갖는다는 이론적인 명제이고, 두 번째는 역도함수가 존재할 때 적분값을 쉽게 계산하는 방법에 ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch25. 리만 적분의 성질 2

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A

에 대해

s

가

A

의 상한일 필요충분조건은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다. (ⅰ)

s

는

A

의 상계이다. (ⅱ) 임의의

b \in R

에 대해 $b

[FTC의 엄밀한 증명] ch24. 리만 적분의 성질 1

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[a, b] \subset A

에서 유계인 함수

f : A \to R

과 임의의

c \in (a, b)

에 대해

f

가

[a, b]

에서 리만 적분가능할 필요충분조건은

f

가

[a, c]

와

[c, b]

에서 리만 적분가능한 것이다. 이때 다음이 성립한다.

\int_{[a, b]} f = \int_{[a, c]} f + \int_{[c, b]} f

proo..

[FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch24. 리만 적분의 성질 1 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 25. 리만 적분 ※ 본 포스팅에 소개되는 내용은 사실 다르부 적분이다. 리만 적분 가능과 다르부 적분 가능이 동치라는 것을 명분삼아, 다르부 적분이 종종 리만 적분으로 소개된다. 다음의 정의는 주어진 닫힌 구간을 작은 구간으로 쪼개는 것을 가리킨다. 정의) 닫힌 구간

[a, b]

에 대해 다음을 만족하는 점

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}

으로 이루어진 유한집합

P

를

[a, b]

의 분할(partition)이라고 한다.$$a=x_0

[FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch21. 페르마의 임계점 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 24. 평균값 정리 평균값 정리의 기하학적 의미는 다음과 같다. 구간

[a, b]

에서 미분가능한 함수

f

에 대해 그래프의 양 끝점

(a, f (a))

와

(b, f (b))

를 잇는 직선의 기울기와 같은 접선이 반드시 존재한다. 간단히 말하면 어떤 점

c \in (a, b)

에 대해 다음이 성립한다.

D f (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

이러한 관찰은 얼핏보면 지극히 당연하게 느껴지기도 한다. 그러나 이는 사잇값 정리와 같이 해석학이 쌓아올린 거대한..

[FTC의 엄밀한 증명] ch21. 페르마의 임계점 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch20. 미분의 성질 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 22. 페르마의 임계점 정리 영국의 과학자 뉴턴(Isaac Newton, 1643~1727)은 행성의 운동을 설명하기 위해 미적분학을 발명하였다. 이러한 역사에 선구자가 있으니, 바로 프랑스의 수학자 페르마(Pierre de Fermat, 1607~1665)이다. 페르마는 다음과 같이 말하며 미적분학이 탄생하기 휠씬 전에 임계점 정리를 발견하였다. (마치 산의 정상에서는 더 이상 가파르지 않듯이..) "함수의 극점에서는 함숫값의 변화가 거의 없다" 위의 표현을 해석학의 언어로 명료하..

[FTC의 엄밀한 증명] ch20. 미분의 성질

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch21. 페르마의 임계점 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 21. 미분의 성질 분수꼴 함수의 미분을 알기 위해 다음의 결과가 필요하다. 정리 21-1) 다음의 함수를 생각하자.

R ∖ {0} \to R, x \mapsto \frac{1}{x}

위 함수는 미분가능함수이며 도함수는 다음과 같다.

R ∖ {0} \to R, x \mapsto - \frac{1}{x^{2}}

proof) 임의의

c \in R ∖ {0}

를 생각..

[FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch18. 미분가능성 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch20. 미분의 성질 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 20. 연쇄법칙 다음의 정리를 이해하면 미분의 다양한 성질을 매우 빠르게 증명할 수 있다. 정리 20-1) 함수

f : A \to R

이

c \in A

에서 미분가능한 필요충분조건은

c

에서 연속인 함수

d_{f} : A \to R

이 존재하여 다음이 성립하는 것이다.

(\forall x \in A) f (x) = f (c) + d_{f} (x) (x - c)

여기서

d_{f} (c) = D f (c)

이다. proof) (

\Rightarrow

) :

f

가 $c\in ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch18. 미분가능성

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)' 및 'Munkres. Analysis on manifold'를 공부하며 작성하였습니다. 19. 미분가능성 미분은 극한으로 정의된다. 극한의 정의를 다시 보자. 함수

f : A \to R

과

A

의 극한점

c

에 대해 다음 명제가 성립하면

lim_{x \to c} f (x) = L

이라고 쓴다.

(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall x \in A)

$$0

[FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리

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f : A \to R

과 집합

E \subset A

를 생각하자. 임의의 연결집합

I \subset E

에 대해

f (I)

도 연결집합이면

f

가

E

에서 다르부 ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속

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f : A \to R

이

c

에서 연속이라는 것은 치역의 점

f (c)

의 아무리 좁은 근방

B_{ϵ} (f (c))

을 선택해도 적절한

c

의 근방

B_{δ} (c)

가 존재하여

f (B_{δ} (c))

가

B_{ϵ} (f (c))

에 포함되도록 할 수 있다는 것을 의미한다. 정의역의 부분집합

E \subset A

의 모든 점에서 ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch14. 연속의 성질 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 16. 최대-최소 정리 이제부터 콤팩트 집합의 존재 의의가 슬슬 나타나기 시작한다. 닫힌 구간은 콤팩트 집합의 한 종류라는걸 생각하면 본 포스팅에서 소개하는 정리들의 의미가 직관적으로 와닿을 것이다. 콤팩트성의 보존 (preservation of compactness) 함수

f : A \to R

와 콤팩트 집합

K \subset A

에 대해

f

가

K

에서 연속이면

f (K)

는 콤팩트 집합이다. proof) 콤팩트 집합은 그 안에 포함되는 수열이 집합 안으로 수..

[FTC의 엄밀한 증명] ch14. 연속의 성질

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch13. 연속성 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 15. 연속의 성질 다음의 정리는 연속성이 함수의 극한과 유사한 좋은 성질을 가지고 있음을 알려준다. 대수연속정리 (algebraic continuity theorem) 두 함수

f, g : A \to R

이

c \in A

에서 연속이라고 가정하자. 다음이 성립한다. (ⅰ) 모든

k \in R

에 대해

k f

는

c

에서 연속이다. (ⅱ)

f + g

는

c

에서 연속이다. (ⅲ)

f g

는

c

에서 연속이다. (ⅳ)

g (c) \neq 0

이..

[FTC의 엄밀한 증명] ch13. 연속성

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch14. 연속의 성질 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 14. 연속성 연속의 엄밀한 정의는 해석학에서 매우 중요한 지점이다. 끊어지지 않은, 비약이 없는, 구멍이 없는 등의 모호한 표현에서 벗어나 수학적으로 엄밀하게 연속을 정의해보자. 연속성은 함수의 극한과 관련이 있다. 함수의 극한에 대한 정의를 다시 말하자면 다음과 같다. 함수

f : A \to R

과

A

의 극한점

c

에 대해 다음이 성립하면

f

는

c

에서 극한

L

을 갖는다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0..

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