[FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

16. 최대-최소 정리

 

  이제부터 콤팩트 집합의 존재 의의가 슬슬 나타나기 시작한다. 닫힌 구간은 콤팩트 집합의 한 종류라는걸 생각하면 본 포스팅에서 소개하는 정리들의 의미가 직관적으로 와닿을 것이다.

 

콤팩트성의 보존 (preservation of compactness)
  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 와 콤팩트 집합 $K\subset A$ 에 대해 $f$ 가 $K$ 에서 연속이면 $f(K)$ 는 콤팩트 집합이다.

 

proof)

  콤팩트 집합은 그 안에 포함되는 수열이 집합 안으로 수렴하는 부분수열을 갖는 집합을 의미한다. 임의의 수열 $(y_n)\subset f(K)$ 를 생각하자. 각 $n$ 에 대해 $y_n\in f(K)$ 이므로 $y_n=f(x_n)$ 이도록 하는 $x_n\in K$ 가 적어도 하나 존재한다. 이러한 작업으로 수열 $(x_n)\subset K$ 를 얻을 수 있다. $K$ 는 콤팩트 집합이므로 수렴하는 부분수열 $(x_{k_n})$ 이 존재하여 $(x_{k_n})\to x$ 일때 $x\in K$ 가 성립한다.

 

  $f$ 는 $K$ 에서 연속이므로, 특히 $x\in K$ 에서 연속이다. 정리 14-1에 따라 $(x_{k_n})\to x$ 이면 $f(x_{k_n})\to f(x)$ 이다. 이때 $f(x_{k_n})=(y_{k_n})$ 이므로 $(y_{k_n})\to f(x)$ 를 얻는다. 또한 $x\in K$ 이므로 $f(x)\in f(K)$ 이다. 정리하면 임의의 $(y_n)\subset f(K)$ 에 대해 $f(K)$ 안으로 수렴하는 부분수열 $(y_{k_n})$ 이 존재하므로 $f(K)$ 는 콤팩트 집합이다.   $\square$

 

 

  최대-최소 정리를 증명하기에 앞서 다음의 도움정리를 짚고가자.

 

정리 16-1)  공집합이 아닌 임의의 콤팩트 집합 $K\subset\mathbb{R}$ 에 대해 $\text{sup}\;K,\text{inf}\;K\in K$ 이다.

 

proof)

  하이네-보렐 정리에 따르면 콤팩트 집합 $K$ 는 유계이고 닫힌 집합이다. $K$ 가 유계이면 상한 $\text{sup}\;K$ 과 하한 $\text{inf}\;K$ 가 존재한다. 여기서 닫힌 집합은 극한점을 모두 포함하는 집합을 의미하므로 $\text{sup}\;K$ 와 $\text{inf}\;K$ 가 $K$ 의 극한점임을 보이면 충분하다. 편의를 위해 $\alpha=\text{sup}\;K$ , $\beta=\text{inf}\;K$ 라고 하자.

 

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $\alpha$ 는 $K$ 의 최소상계이므로 $\alpha-\epsilon$ 은 $K$ 의 상계가 아니다. 따라서 $\alpha-\epsilon<k$ 를 만족하는 $k\in K$ 가 존재한다. 이때 다음이 성립한다.

$$\alpha-\epsilon<k<\alpha<\alpha+\epsilon$$

$$\therefore|k-\alpha|<\epsilon\iff k\in B_\epsilon(\alpha)$$

  정의에 따라 $\alpha=\text{sup}\;K$ 는 $K$ 의 극한점이다. 따라서 $\text{sup}\;K\in K$ 가 성립한다.

 

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $\beta$ 는 $K$ 의 최대하계이므로 $\beta+\epsilon$ 은 $K$ 의 하계가 아니다. 따라서 $\beta+\epsilon>k$ 를 만족하는 $k\in K$ 가 존재한다. 이때 다음이 성립한다.

$$\beta+\epsilon>k>\beta>\beta-\epsilon$$

$$\therefore|k-\beta|<\epsilon\iff k\in B_\epsilon(\beta)$$

  정의에 따라 $\beta=\text{inf}\;K$ 는 $K$ 의 극한점이다. 따라서 $\text{inf}\;K\in K$ 가 성립한다.   $\square$

 

 

  최댓값과 최솟값을 다음과 같이 정의하자.

 

  $a_0\in A$ 가 다음을 만족하면 $a_0$ 을 $A$ 의 최솟값(minimum)이라고 하며 $\text{min}\;A$ 라고 쓴다.$$(\forall a\in A)\;(a_0\le a)$$  $a_1\in A$ 가 다음을 만족하면 $a_1$ 을 $A$ 의 최댓값(maximum)이라고 하며 $\text{max}\;A$ 라고 쓴다.$$(\forall a\in A)\;(a\le a_1)$$

 

  위 정의에 따르면 다음이 성립한다.

$$(\forall a\in A)\;(\text{min}\;A\le a\le\text{max}\;A)$$

 

  노파심에 말하자면, 유한집합은 최댓값과 최솟값의 존재성이 보장되지만 무한집합은 그렇지 않다. 예시로, 집합 $\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ 은 임의의 원소 $\frac{1}{n}$ 을 선택해도 그보다 더 작은 원소 $\frac{1}{n+1}$ 이 존재하므로 최솟값이 존재하지 않는다. 해석학에서 관심을 갖는 집합은 주로 구간 등의 무한집합이므로, 최댓값과 최솟값의 존재성을 밝히는 일은 상당히 중요하다.

 

  다음의 정리는 콤팩트 집합의 중요한 두 개의 존재 의의 중 하나이다. (나머지 하나는 다음 포스팅에서...)

 

최대-최소 정리 (extreme value theorem)
  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 와 공집합이 아닌 콤팩트 집합 $K\subset A$ 에 대해 $f$ 가 $K$ 에서 연속이면 $f(K)$ 는 최댓값과 최솟값을 가진다. 다시말해 어떤 $x_0,x_1\in K$ 가 존재하여 임의의 $x\in K$ 에 대해 $f(x_0)\le f(x)\le f(x_1)$ 가 성립한다.

 

proof)

  콤팩트성의 보존에 따르면 $f(K)$ 는 콤팩트 집합이므로 정리 16-1에 따라 다음이 성립한다.

$$\text{sup}\;f(K),\text{inf}\;f(K)\in f(K)$$

  이때 $f(x_0)=\text{inf}\;f(K)$ 과 $f(x_1)=\text{sup}\;f(K)$ 를 만족하는 $x_0,x_1\in K$ 가 각각 적어도 하나 존재한다. $f(x_0)$ 은 $f(K)$ 의 하계이고 $f(x_1)$ 은 $f(K)$ 의 상계이므로 다음이 성립한다.

$$(\forall x\in K)\;\big(f(x_0)\le f(x)\le f(x_1)\big)\tag*{$\square$}$$

 

 

  최대-최소 정리는 평균값 정리의 증명에 쓰인다. 평균값 정리의 위상을 생각하면 최대-최소 정리는 중요하지 않을 수없다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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