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[FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

16. 최대-최소 정리

 

  이제부터 콤팩트 집합의 존재 의의가 슬슬 나타나기 시작한다. 닫힌 구간은 콤팩트 집합의 한 종류라는걸 생각하면 본 포스팅에서 소개하는 정리들의 의미가 직관적으로 와닿을 것이다.

 

콤팩트성의 보존 (preservation of compactness)
  함수 f:AR 와 콤팩트 집합 KA 에 대해 fK 에서 연속이면 f(K) 는 콤팩트 집합이다.

 

proof)

  콤팩트 집합은 그 안에 포함되는 수열이 집합 안으로 수렴하는 부분수열을 갖는 집합을 의미한다. 임의의 수열 (yn)f(K) 를 생각하자. 각 n 에 대해 ynf(K) 이므로 yn=f(xn) 이도록 하는 xnK 가 적어도 하나 존재한다. 이러한 작업으로 수열 (xn)K 를 얻을 수 있다. K 는 콤팩트 집합이므로 수렴하는 부분수열 (xkn) 이 존재하여 (xkn)x 일때 xK 가 성립한다.

 

  fK 에서 연속이므로, 특히 xK 에서 연속이다. 정리 14-1에 따라 (xkn)x 이면 f(xkn)f(x) 이다. 이때 f(xkn)=(ykn) 이므로 (ykn)f(x) 를 얻는다. 또한 xK 이므로 f(x)f(K) 이다. 정리하면 임의의 (yn)f(K) 에 대해 f(K) 안으로 수렴하는 부분수열 (ykn) 이 존재하므로 f(K) 는 콤팩트 집합이다.   

 

 

  최대-최소 정리를 증명하기에 앞서 다음의 도움정리를 짚고가자.

 

정리 16-1)  공집합이 아닌 임의의 콤팩트 집합 KR 에 대해 supK,infKK 이다.

 

proof)

  하이네-보렐 정리에 따르면 콤팩트 집합 K 는 유계이고 닫힌 집합이다. K 가 유계이면 상한 supK 과 하한 infK 가 존재한다. 여기서 닫힌 집합은 극한점을 모두 포함하는 집합을 의미하므로 supKinfKK극한점임을 보이면 충분하다. 편의를 위해 α=supK , β=infK 라고 하자.

 

  임의의 ϵ>0 을 생각하자. αK 의 최소상계이므로 αϵK 의 상계가 아니다. 따라서 αϵ<k 를 만족하는 kK 가 존재한다. 이때 다음이 성립한다.

αϵ<k<α<α+ϵ

|kα|<ϵkBϵ(α)

  정의에 따라 α=supKK 의 극한점이다. 따라서 supKK 가 성립한다.

 

  임의의 ϵ>0 을 생각하자. βK 의 최대하계이므로 β+ϵK 의 하계가 아니다. 따라서 β+ϵ>k 를 만족하는 kK 가 존재한다. 이때 다음이 성립한다.

β+ϵ>k>β>βϵ

|kβ|<ϵkBϵ(β)

  정의에 따라 β=infKK 의 극한점이다. 따라서 infKK 가 성립한다.   

 

 

  최댓값과 최솟값을 다음과 같이 정의하자.

 

  a0A 가 다음을 만족하면 a0A최솟값(minimum)이라고 하며 minA 라고 쓴다.(aA)(a0a)  a1A 가 다음을 만족하면 a1A최댓값(maximum)이라고 하며 maxA 라고 쓴다.(aA)(aa1)

 

  위 정의에 따르면 다음이 성립한다.

(aA)(minAamaxA)

 

  노파심에 말하자면, 유한집합은 최댓값과 최솟값의 존재성이 보장되지만 무한집합은 그렇지 않다. 예시로, 집합 {1n:nN} 은 임의의 원소 1n 을 선택해도 그보다 더 작은 원소 1n+1 이 존재하므로 최솟값이 존재하지 않는다. 해석학에서 관심을 갖는 집합은 주로 구간 등의 무한집합이므로, 최댓값과 최솟값의 존재성을 밝히는 일은 상당히 중요하다.

 

  다음의 정리는 콤팩트 집합의 중요한 두 개의 존재 의의 중 하나이다. (나머지 하나는 다음 포스팅에서...)

 

최대-최소 정리 (extreme value theorem)
  함수 f:AR 와 공집합이 아닌 콤팩트 집합 KA 에 대해 fK 에서 연속이면 f(K) 는 최댓값과 최솟값을 가진다. 다시말해 어떤 x0,x1K 가 존재하여 임의의 xK 에 대해 f(x0)f(x)f(x1) 가 성립한다.

 

proof)

  콤팩트성의 보존에 따르면 f(K) 는 콤팩트 집합이므로 정리 16-1에 따라 다음이 성립한다.

supf(K),inff(K)f(K)

  이때 f(x0)=inff(K)f(x1)=supf(K) 를 만족하는 x0,x1K 가 각각 적어도 하나 존재한다. f(x0)f(K) 의 하계이고 f(x1)f(K) 의 상계이므로 다음이 성립한다.

(xK)(f(x0)f(x)f(x1))

 

 

  최대-최소 정리는 평균값 정리의 증명에 쓰인다. 평균값 정리의 위상을 생각하면 최대-최소 정리는 중요하지 않을 수없다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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