[FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리
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본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.
16. 최대-최소 정리
이제부터 콤팩트 집합의 존재 의의가 슬슬 나타나기 시작한다. 닫힌 구간은 콤팩트 집합의 한 종류라는걸 생각하면 본 포스팅에서 소개하는 정리들의 의미가 직관적으로 와닿을 것이다.
콤팩트성의 보존 (preservation of compactness)
함수와 콤팩트 집합 에 대해 가 에서 연속이면 는 콤팩트 집합이다.
proof)
콤팩트 집합은 그 안에 포함되는 수열이 집합 안으로 수렴하는 부분수열을 갖는 집합을 의미한다. 임의의 수열
최대-최소 정리를 증명하기에 앞서 다음의 도움정리를 짚고가자.
정리 16-1) 공집합이 아닌 임의의 콤팩트 집합에 대해 이다.
proof)
하이네-보렐 정리에 따르면 콤팩트 집합
임의의
정의에 따라
임의의
정의에 따라
최댓값과 최솟값을 다음과 같이 정의하자.
가 다음을 만족하면 을 의 최솟값(minimum)이라고 하며 라고 쓴다. 가 다음을 만족하면 을 의 최댓값(maximum)이라고 하며 라고 쓴다.
위 정의에 따르면 다음이 성립한다.
노파심에 말하자면, 유한집합은 최댓값과 최솟값의 존재성이 보장되지만 무한집합은 그렇지 않다. 예시로, 집합
다음의 정리는 콤팩트 집합의 중요한 두 개의 존재 의의 중 하나이다. (나머지 하나는 다음 포스팅에서...)
최대-최소 정리 (extreme value theorem)
함수와 공집합이 아닌 콤팩트 집합 에 대해 가 에서 연속이면 는 최댓값과 최솟값을 가진다. 다시말해 어떤 가 존재하여 임의의 에 대해 가 성립한다.
proof)
콤팩트성의 보존에 따르면
이때
최대-최소 정리는 평균값 정리의 증명에 쓰인다. 평균값 정리의 위상을 생각하면 최대-최소 정리는 중요하지 않을 수없다.
읽어주셔서 감사합니다.
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