[FTC의 엄밀한 증명] ch14. 연속의 성질

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

15. 연속의 성질

 

 

  다음의 정리는 연속성이 함수의 극한과 유사한 좋은 성질을 가지고 있음을 알려준다.

 

대수연속정리 (algebraic continuity theorem)
  두 함수 $f,g:A\to\mathbb{R}$ 이 $c\in A$ 에서 연속이라고 가정하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 모든 $k\in\mathbb{R}$ 에 대해 $kf$ 는 $c$ 에서 연속이다.
  (ⅱ) $f+g$ 는 $c$ 에서 연속이다.
  (ⅲ) $fg$ 는 $c$ 에서 연속이다.
  (ⅳ) $g(c)\neq 0$ 이면 $\frac{f}{g}$ 는 $c$ 에서 연속이다.

 

  함수의 극한에 대한 대수극한정리와 정리 14-2로 순식간에 증명할 것이다.

 

proof)

  만약 $c\in A$ 가 고립점이라면 정리 14-2(ⅱ)에 따라 $A$ 에서 정의되는 모든 함수가 $c$ 에서 연속이다. 이제 $c\in A$ 가 $A$ 의 극한점이라고 가정하자. 정리 14-2(ⅰ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\qquad\lim_{x\to c}g(x)=g(c)$$

  함수의 극한에 대한 대수극한정리에 따르면 다음이 성립함을 그 즉시 알 수 있다.

 

  ▶ 모든 $k\in\mathbb{R}$ 에 대해, $\displaystyle\lim_{x\to c}(kf)(x)=kf(c)=(kf)(c)$

  ▶ $\displaystyle\lim_{x\to c}(f+g)(x)=f(c)+g(c)=(f+g)(c)$

  ▶ $\displaystyle\lim_{x\to c}(fg)(x)=f(c)g(c)=(fg)(c)$

  ▶ $g(c)\neq 0$ 이면 $\displaystyle\lim_{x\to c}$$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(c)}{g(c)}=\left(\frac{f}{g}\right)\!(c)$

 

  다시 정리 14-2(ⅰ)에 따라 $kf$ , $f+g$ , $fg$ , $\frac{f}{g}$ 가 $c$ 에서 연속임을 알 수 있다.   $\square$

 

 

  대수연속정리를 이용하면 다음의 유용한 정리를 얻을 수 있다.

 

정의)  $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같은 함수 $p:\mathbb{R\to R}$ 을 다항함수(polynomial function)라고 한다.$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$$

 

  표기의 엄밀성을 추구하기 위해 다음도 정의하자.

 

정의)  항등함수 $\text{id}(x)=x$ 와 상수함수 $1_x(x)=1$ 을 생각하자. 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.$$\text{id}^0:=1_x\qquad\text{id}^n:=\text{id}\cdot\text{id}^{n-1}$$

 

  위 정의에 따르면 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\text{id}^0(x)=1\qquad\text{id}^n(x)=x^n$$

  따라서 다항함수를 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=\sum_{k=0}^na_kx^k$$

$$p=a_0\text{id}^0\!+a_1\text{id}^1\!+a_2\text{id}^2\!+\cdots+a_n\text{id}^n=\sum_{k=0}^na_k\text{id}^k$$

 

정리 15-1)  임의의 다항함수는 연속함수이다.

 

proof)

  대수연속정리에 따르면 어떤 점 $c$ 에서 연속인 함수의 유한합과 유한곱으로 만들어진 함수는 $c$ 에서 연속임을 알 수 있다. 정리 14.1-1와 정리 14.1-2에 따르면 상수함수와 항등함수는 연속함수이므로 임의의 $c\in\mathbb{R}$ 에서 연속이다. 다항함수는 상수함수와 항등함수의 유한곱과 유한합으로 만든 함수이므로 $c\in\mathbb{R}$ 에서 연속이다. 따라서 다항함수는 연속함수이다.   $\square$

 

 

15.1. 합성함수의 연속

 

  다음의 성질을 의심하지 않고 사용해본 적이 있을 것이다.

$$\lim_{x\to c}g(f(x))=g\left(\lim_{x\to c}f(x)\right)$$

  이를 증명하여, 정확히 언제 성립하는지 알아보자.

 

함수의 합성 (composition of functions)
  두 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ , $g:\mathbb{R}$ 에 대해 함수 $g\circ f$ 는 다음과 같이 정의된다.$$g\circ f:f^{-1}(B)\to\mathbb{R},\;x\mapsto g\big(f(c)\big)$$

 

  여기서 $g\circ f$ 의 정의역 $f^{-1}(B)$ 는 다음을 말한다.

$$f^{-1}(B)=\{x\in A:f(x)\in B\}$$

  이는 $f$ 의 정의역 중에서 그 상이 $B$ 에 속하는 원소들의 집합을 말한다. 함수 $g\circ f$ 의 정의를 보면 그 정의역이 이렇게 정의되어야만 함을 알 수 있다.

 

  예를들어 다음의 두 함수를 생각하자.

$$f:\mathbb{R\to R},\;x\mapsto x-1$$

$$g:[0,\infty)\to\mathbb{R},\;x\mapsto\sqrt{x}$$

  함수 $g\circ f$ 의 정의역은 다음과 같다.

$$\begin{align}f^{-1}\big([0,\infty)\big)&=\{x\in\mathbb{R}:f(x)\in[0,\infty)\}\\&=\{x\in\mathbb{R}:0\le f(x)\}\\&=\{x\in\mathbb{R}:0\le x-1\}\\&=\{x\in\mathbb{R}:1\le x\}\\&=[1,\infty)\end{align}$$

 

연속함수의 합성 (composition of continuous functions)
  두 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ , $g:B\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. 어떤 $c\in f^{-1}(B)$ 에 대해 $f$ 가 $c$ 에서 연속이고 $g$ 가 $f(c)$ 에서 연속이면 $g\circ f$ 는 $c$ 에서 연속이다.

 

proof)

  $g$ 가 $f(c)$ 에서 연속이면 정의에 따라 다음과 같다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\gamma>0)\;(\forall y\in B)$$

$$|y-f(c)|<\gamma\Rightarrow\left|g(y)-g\big(f(c)\big)\right|<\epsilon$$

  이 $\gamma$ 에 대해, $f$ 가 $c$ 에서 연속이므로 다음이 성립한다.

$$(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$

$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\gamma$$

  임의의 $x\in f^{-1}(B)$ 를 생각하자. $x\in A$ 이므로 $|x-c|<\delta$ 이면 $|f(x)-f(c)|<\gamma$ 가 성립한다. 여기서 $f(x)\in B$ 이므로 $\left|g\big(f(x)\big)-g\big(f(c)\big)\right|<\epsilon$ 을 얻는다. 정리하면 다음과 같다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in f^{-1}(B))$$

$$|x-c|<\delta\Rightarrow\left|(g\circ f)(x)-(g\circ f)(c)\right|<\epsilon$$

  정의에 따라 $g\circ f$ 는 $c$ 에서 연속이다.   $\square$

 

 

  위의 정리에 이어서, $c\in A$ 가 $A$ 의 극한점이라면 정리 14-2(ⅰ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$$

$$\lim_{x\to c}(g\circ f)(x)=(g\circ f)(c)$$

  여기서 $(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)$ , $(g\circ f)(c)=g\big(f(c)\big)$ 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\therefore\lim_{x\to c}g\big(f(x)\big)=g\left(\lim_{x\to c}f(x)\right)$$

  따라서 위와 같이 쓸 수 있는 조건은 $f$ 가 $c$ 에서 연속이고, $g$ 가 $f(c)$ 에서 연속이며 $c$ 가 극한점인 것이다.

 

 

15.2. 연속함수의 정의

 

  연속에 대한 설명을 마치기 전에, 연속함수의 정의를 명확히 하고 넘어가자. 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $c\in A$ 에서 연속이라는 것은 다음을 의미했다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\epsilon$$

  $f$ 가 연속함수라는 것은 임의의 $c\in A$ 에 대해 $f$ 가 $c$ 에서 연속이라는 것이므로, 다음과 같다.

 

$$(\forall c\in A)\;(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\epsilon$$

 

  위의 명제에서 양화사( $\forall$ , $\exists$ )의 순서를 잘 기억해두자. 조만간 위의 명제에서 양화사의 순서만 바꾼 기묘하고 중요한 정의가 나타날 것이다. - 균등연속(uniformly continuous)

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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