'수학' 카테고리의 글 목록 - Aerospace Kim

[다양체] ch3. 다양체에서 스칼라 함수의 적분

이전 읽을거리: ch2. 다양체의 정의 스칼라 함수의 적분 다양체에서 정의된 실함수의 적분을 정의하자. 논의의 단순화를 위해, 본 시리즈에서는 콤팩트 다양체로 한정한다. 다음의 정리는 좌표조각이 어떤 콤팩트집합을 덮을 수 있다면, 그 콤팩트집합을 덮을 수 있는 유계집합에서 정의된 좌표조각을 반드시 찾을 수 있음을 말한다. Lemma 3.1. $\mathbb{R}^n$ 의 k-다양체 $M$ 에 대해 콤팩트집합 $C\subset M$ 과 $C$ 를 덮는 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 이 존재한다고 하자. 만약 $U$ 가 유계가 아니라면 어떤 유계집합 $U'\subset U$ 가 존재하여 $\alpha|_{U'}$ 가 $C$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각이다. Proof. $\alpha^{-1}$ 은 연..

[다양체] ch2. 다양체의 정의

이전 읽을거리) [실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질 [변수변환정리] ch2. 미분동형사상 ch1. 매개화된 다양체 다음 읽을거리: ch3. 다양체에서 스칼라 함수의 적분 Convention. ▷ $\mathcal{T}_X$ 란 $X$ 에서 열려있는 집합의 모임이다. ▷ $\mathcal{N}_X(x)$ 란 $X$ 에서 $x\in X$ 의 근방의 모임, 즉 $X$ 에서 열린 $x$ 를 포함하는 집합의 모임이다. 경계가 없는 다양체 다양체는 수학에서 가장 중요한 대상 중 하나이다. 다양체는 미분기하학, 이론물리학, 대수위상수학 등 여러가지 분야에서 유용하게 사용된다. 일단 이 시리즈에서는 $\mathbb{R}^n$ 의 부분집합인 다양체만 다루기로 하자. 이 논의가 어느정도 마무리가 된 다음에는 더욱 추..

[다양체] ch1. 매개화된 다양체

이전 읽을거리) [다변수 미분] ch1. 미분의 정의 [다변수 적분] ch1. 적분의 정의 [변수변환정리] ch1. 단위분할 다음 읽을거리: ch2. 다양체의 정의 k차원 평행사변형의 k차원 부피 $k

[변수변환정리] ch5. 변수변환정리의 응용

이전 읽을거리: ch4. 변수변환정리 행렬식의 의미 행렬식의 기하적인 의미를 알아보자. Lemma 5.1. $\mathbb{R}^n$ 의 선형부분공간은 닫혀있다. Proof. Step 1. 연속함수 $f:X\to Y$ 와 $Y$ 에서 닫힌집합 $U$ 에 대해 $f^{-1}(U)$ 가 $X$ 에서 닫혀있음을 보이자. $Y\setminus U$ 는 $Y$ 에서 열려있으며, 연속함수의 정의에 따라 $f^{-1}(Y\setminus U)$ 는 $X$ 에서 열려있다. 한편 다음이 성립한다. $$\begin{align}&\;x\in f^{-1}(Y\setminus U)\\\Leftrightarrow&\;f(x)\in Y\setminus U\\\Leftrightarrow&\;f(x)\in Y\land\lnot(f(x..

[변수변환정리] ch4. 변수변환정리

이전 읽을거리: ch3. 미분동형사상의 성질 다음 읽을거리: ch5. 변수변환정리의 응용 변수변환정리 본 포스팅에서 표기하는 적분은 별다른 설명이 없으면 모두 확장된 의미의 적분을 의미함에 유의하자. 변수변환정리 (change of variables theorem) $\mathbb{R}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. 연속함수 $f:B\to\mathbb{R}$ 가 $B$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 가 $A$ 에서 적분가능한 것이며 다음이 성립한다.$$\int_Bf=\int_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$ 변수변환정리의 증명은 분량이 상당하므로, 양방향의 정리를 나누어 증명하자. Lemma 4.1. $\math..

[변수변환정리] ch3. 미분동형사상의 성질

이전 읽을거리: ch2. 미분동형사상 다음 읽을거리: ch4. 변수변환정리 미분동형사상의 성질 다음의 정리에 따르면 미분동형사상은 측도 0을 보존한다. Lemma 3.1. $C^1$ 급함수 $g:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}^n$ 과 측도가 0인 $E\subset A$ 에 대해 $g(E)$ 의 측도는 0이다. Proof. Step 1. 임의의 $Q\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 과 임의의 $\delta>0$ 을 생각하자. 이때 $Q$ 는 각각의 width 가 $\delta$ 보다 작고 total volume 이 $2v(Q)$ 보다 작은 rectangles 의 유한모임으로 덮임을 보이자. 주어진 $Q$ 가 다음과 같다고 하자. $$Q=[..

[변수변환정리] ch2. 미분동형사상

이전 읽을거리: ch1. 단위분할 다음 읽을거리: ch3. 미분동형사상의 성질 치환적분법 치환적분은 이번 시리즈에서 증명할 변수변환정리의 1변수 버전이다. (엄밀히 하면 변수변환정리는 열린집합에서의 적분을 다루므로 미세한 차이점이 있다) 1변수 적분에 대한 다음의 편리한 표기법을 이용하자. Definition. 적분가능함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 표기하자.$$\int_a^bf=\int_{[a,b]}f$$ 특히 다음과 같이 표기하자. 이는 구간의 end points 의 순서가 주어지지 않았을 때에 유용하다.$$\int_b^af=-\int_a^bf$$ Lemma 2.1. 미분가능함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. 임의의 $x\in(a,b)$ 에..

[변수변환정리] ch1. 단위분할

이전 읽을거리) [다변수 미분] ch1. 미분의 정의 [다변수 적분] ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch2. 미분동형사상 Convention. ▷ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 이란 $\mathbb{R}^n$ 에서 열린집합의 모임이다. ▷ $\mathcal{N}_{\mathbb{R}^n}(x)$ 란 $x\in\mathbb{R}^n$ 의 근방의 모임, 즉 $\mathbb{R}^n$ 에서 열린 $x$ 를 포함하는 집합의 모임이다. ▷ $\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이란 $\mathbb{R}^n$ 의 rectangles 의 모임이다. (비표준) 몇 가지 도움정리 이번 포스팅에서 알아볼 개념은 단위분할로, 조그만 부분을 다 더해서 전체로 확장시키는 개념을 갖는 도..

[다변수 적분] ch6. 특이적분

이전 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 특이적분의 정의 지금까지 사용해온 적분은, 이를테면 $\int_Sf$ 라고 할때 $S$ 가 유계이고 $f$ 가 유계인 경우에 대해서만 정의했었다. 이제 $S$ 가 유계일 필요도, $f$ 가 유계일 필요도 없는 확장된 의미의 적분을 정의하자. 다만 소개할 적분은 $S$ 가 열려있고 $f$ 가 연속임을 요구한다. 다음의 보조정의부터 시작하자. 구분을 위해 기존의 적분을 $\sideset{^\text{ord}}{}\int$ , 이번에 정의할 적분을 $\sideset{^\text{ext}}{}\int$ 라고 쓰자. Definition. 음의 값을 갖지않는 연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 부분집..

[다변수 적분] ch5. 부피를 갖는 집합

이전 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 다음 읽을거리: ch6. 특이적분 바나흐 측도 문제 잠시 편의를 위해 $\mathbb{R}^n$ 의 모든 유계집합의 모임을 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 폴란드 수학자 바나흐(Stefan Banach, 1892-1945)는 임의의 유계집합의 "부피" 를 정의하고자, 다음의 성질을 갖는 함수 $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}$ 가 존재하는지 검토하였다. 1. 임의의 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $\mu(A)\ge 0$ 이다. 2. 임의의 $A,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $A\cap B=\varnothing$ 이..

[다변수 적분] ch4. 유계집합 위의 적분

이전 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 다음 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 유계집합 위의 적분의 정의 종종 적분을 이용할때 rectangle 이 아닌 집합에서 적분을 해야 할 때가 있다. 이를테면 구의 질량중심을 구하는 문제를 풀기 위해 적분을 이용하는 경우가 그렇다. 이제 적분의 정의를 "약간" 확장해보자. 다음의 정의는 함수의 "자명한 확장" 에 대한 것이다. Definition. 함수 $f:S\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 에 대하여 함수 $f_S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의한다.$$f_S(x)=\begin{cases}f(x)&\text{if }x\in S\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$ 이제 적분..

[다변수 적분] ch3. 푸비니 정리

이전 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 다음 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 푸비니 정리 이번 포스팅의 목표는 다음의 수식이 성립함을 보이는 것이다. $$\int_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)$$ 이는 적분의 계산을 고차원에서 저차원으로 끌어내려 실제로 적분값을 계산할 수 있도록 도와준다. 우리는 이미 1차원에 한하여 적분을 쉽게 계산하는 방법을 알고있으며, 이는 미적분학의 기본정리라고 불린다. 미적분학의 기본정리 (Tundamental theorem of calculus). (1) 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 과 다음의 함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f..

[행렬의 랭크] ch2. 행렬의 랭크

이전 읽을거리) [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 ch1. 기본행렬연산 행렬의 랭크 Definition. $A\in\mathbb{M}_{m\times n}(F)$ 의 랭크(rank)란 선형변환 $L_A:F^n\to F^m$ 의 랭크로 정의하고 $\text{rank}(A)$ 라고 쓴다. 위 정리에 따르면 다음과 같다. $$\text{rank}(A)=\text{rank}(L_A)=\text{dim}(L_A(F^n))$$ 사실 이는 추상화된 정의이지만, 다음과 같이 중요한 정보를 빠르게 얻어낼 수 있다. Theorem 2.1. $n\times n$ 행렬이 가역일 필요충분조건은 행렬의 랭크가 $n$ 인 것이다. Proof. 행렬 $A\in\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 가 가역임은 ..

[행렬의 랭크] ch1. 기본행렬연산

이전 읽을거리) [선형변환부터 동형사상까지] ch5. 행렬 연산 [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 다음 읽을거리: ch2. 행렬의 랭크 기본행렬연산 Definition. $m\times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 다음의 세 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다. 1형 연산: $A$ 의 두 행을 교환하는 것. 2형 연산: $A$ 의 한 행에 $0$ 이 아닌 스칼라를 곱하는 것. 3형 연산: $A$ 의 한 행에 다른 행의 스칼라배를 더하는 것. 다음의 세 연산을 기본열연산(elementary column operation)이라고 한다. 1형 연산: $A$ 의 두 열을 교환하는 것. 2형 연산: $A$ 의 한 열에 $0$ 이 아닌 스칼라를 곱하는 것...

[다변수 적분] ch2. 측도 0과 적분가능성

이전 읽을거리) [집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합 ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 측도 0 이제부터는 유난히 rectangle 을 많이 사용하게 된다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의하자. Definition. $\mathbb{R}^n$ 의 모든 rectangles 의 모임을 $\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 다음의 정의는 기하적으로 무한히 협소한 집합, "부피" 가 0인 집합을 가리킨다. Definition. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 가산모임 $\{Q_1,Q_2,\ldots\}\subset\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이 존재하여 $A\subset\mathbb{R}^n$ 을 덮으며 다음이 성립..

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