'수학' 카테고리의 글 목록 (3 Page)

[집합의 크기] ch1. 유한집합

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제 함수의 엄밀한 정의 데카르트 곱의 일반화된 정의 수학적 귀납법과 정렬원리 다음 읽을거리: ch2. 가산집합과 비가산집합 유한집합의 정의 자연수

n

에 대해

n

보다 작은 자연수의 집합을

S_{n}

또는

{1, \dots, n - 1}

이라고 표기하고, 이를 자연수의 절편(section)이라고 한다. 물론

S_{1} = \emptyset

이다. 자연수의 절편은 유한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. Definition. 집합

A

와 자연수의 어떤 절편

S_{n}

에 대해 일대일 대응

A \to S_{n}

이 존재하면

A

가 유한하다(finite)고 한다. 다시말해

A

가 유한하다는 것은 공집합이거나, 어떤 자연수

n

에 ..

수학적 귀납법과 정렬원리

이전 읽을거리: [집합론 기초] ch4. 논리 기호페아노 공리계 수학자 크로네커(Leopold Kronecker, 1823~1891)는 다음의 명언을 남겼다. 자연수는 신의 선물이며, 나머지는 인간의 산물이다. 현대수학의 다양한 대상들은 자연수에 의지하여 존재한다. 예를들어, 실수의 존재성은 유리수에 의해 보장되고, 유리수는 정수, 정수는 자연수에 의해 존재한다. 그러나 자연수는 어쩌면 그 스스로 존재하는 듯 하다. 페아노 공리계는 자연수를 정의하는 한 가지 방법이다. 페아노 공리계 (Peano's axioms) 다음을 만족하는 집합

N

과 함수

s : N \to N

, 대상

1

이 존재한다. (P1) $1\in\ma..

데카르트 곱의 일반화된 정의

이전 읽을거리)[집합론 기초] ch4. 논리 기호[집합론 기초] ch5. 집합의 모임[집합론 기초] ch6. 데카르트 곱함수의 엄밀한 정의인덱스 패밀리 Definition. 공모임이 아닌 모임

A

를 생각하자.

A

의 인덱스 함수(indexing funcion)란 어떤 집합

J

에 대해 전사함수

f : J \to A

를 의미하며, 이때

J

를 인덱스 집합(index set)이라고 한다. 인덱스 함수

f

가 정의된 모임

A

를 인덱스 패밀리(indexed family)라고 하자. 각

α \in J

에 대해

f (α)

를

A_{α}

라고 쓰기로 하고, 인덱스 패밀리 $\mathcal{..

함수의 엄밀한 정의

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [집합론 기초] ch6. 데카르트 곱 함수의 엄밀한 정의 Definition. 대응규칙(rule of assignment)이란 집합

C \times D

의 부분집합

r

로서,

C

의 각 원소들이 최대 한 번

r

의 순서쌍의 첫 번째 성분으로 나타나는 것을 말한다. 형식적으로, 대응규칙이란 다음을 만족하는

C \times D

의 부분집합

r

을 의미한다.

((c, d) \in r \land (c, d^{'}) \in r) ⟹ (d = d^{'})

이는 다르게 말하면 대응규칙

r

이란

D

의 서로 다른 두 원소

d, d^{'}

에 대해

(c, d) \in r

(c, d^{'}) \in r

을 허용하지 않는 것임을 의미한다. 따라서 ..

[집합론 기초] ch6. 데카르트 곱

이전 읽을거리: ch5. 집합의 모임 데카르트 곱 아직 새로운 집합을 만드는 방법이 남아있다. 이는 순서쌍(ordered pair)에 대한 이야기이다. 당신이 좌표평면의 도형을 배울 때 첫 번째로 했던 작업은, 평면에 x축과 y축을 그린 뒤 평면의 모든 점들이 실수의 유일한 순서쌍

(x, y)

에 대응한다는 것을 납득하는 것이었을 것이다. 순서쌍에 대한 아이디어는 집합론으로 이어진다. 주어진 두 집합

A, B

에 대해,

A

의 원소

a

와

B

의 원소

b

로 이루어진 모든 순서쌍

(a, b)

의 집합을

A

와

B

의 데카르트 곱(cartesian product)이라고 하며

A \times B

라고 표기한다. 형식적으로 다음과 같다. $$A\times B=\{(a,b):a\in..

[집합론 기초] ch5. 집합의 모임

이전 읽을거리: ch4. 논리 기호 다음 읽을거리: ch6. 데카르트 곱 집합의 모임 주어진 집합

A

에 대해,

A

의 부분집합을 원소로 갖는 집합을 생각해볼 수 있다. 특히

A

의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 생각해 볼 수 있으며, 이 집합은

A

의 멱집합(power set)이라고 부르며

P (A)

라고 표기한다. 집합을 원소로 갖는 집합을 다룰 때, 이를 집합의 모임(collection)이라고 부르며 이를 스크립트체로

A, B, \dots

와 같이 쓴다. 이러한 장치는 우리가 대상, 대상의 집합, 대상의 집합의 모임을 동시에 고려하는 논의중에 혼란스럽지 않도록 도와준다. 예를들면 세상의 모든 카드상자의 모임을 $\mathc..

[집합론 기초] ch4. 논리 기호

이전 읽을거리: ch3. 대우, 역, 부정 다음 읽을거리: ch5. 집합의 모임 두 집합의 차 논리 기호에 대해 알아보기 전에, 종종 쓰이는 집합 연산 하나를 더 보고가자. 주어진 두 집합

A, B

에 대해

A

에 속하고

B

에 속하지 않는 모든 원소들의 집합을

A

와

B

의 차(difference)라고 하며

A ∖ B

라고 표기한다. 형식적인 정의는 아래와 같다.

A ∖ B = {x : x \in A and x \notin B}

이는 종종

A

에 대한

B

의 여집합(complement), 또는

A

에서

B

의 여집합이라고도 한다. 논리 기호 지금까지 "또는" 의 의미, "그리고" 의 의미, 부정과 논리 한정사에 대해 알아보았다. 이..

[집합론 기초] ch3. 대우, 역, 부정

이전 읽을거리: ch2. 합집합, 교집합, 명제 다음 읽을거리: ch4. 논리 기호 대우와 역 지난 포스팅에서 공집합의 포함관계에 대해 설명하던 중 "~이면 ~이다" 라는 표현을 살펴보았다. 이러한 논의는 다소 어려운 기초논리학으로 이어진다. 주어진 명제 "P이면 Q이다" 의 대우(contrapositive)를 명제 "Q가 아니면 P가 아니다" 로 정의하자. 예를들어 "

x > 0

이면

x^{3} \neq 0

이다" 의 대우는 "

x^{3} = 0

이면

x > 0

이 아니다" 이다. 여기서 원래 명제와 그 대우가 둘 다 참임을 기억하자. 비슷하게, 명제 "$x^2

[집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제

이전 읽을거리: ch1. 집합론의 표기법 다음 읽을거리: ch3. 대우, 역, 부정 합집합과 "또는" 의 의미 주어진 두 집합

A, B

에 대해

A

의 모든 원소와

B

의 모든 원소로 하나의 집합을 구성할 수 있다. 이 집합을

A

와

B

의 합집합(union)이라고 하며

A \cup B

라고 표기한다. 형식적으로 다음과 같이 정의한다.

A \cup B = {x : x \in A or x \in B}

하지만 여기서 잠시 논의를 멈추고, "

x \in A

또는

x \in B

" 라는 표현의 이미하는것이 무엇인지 확실히 하자. 일반적인 일상 용어로서의 "또는" 은 모호하다. 종종 "P 또는 Q" 는 "P 또는 Q, 또는 둘 다" 를 의미하거나 "P 또는 Q, 둘 중 하나" 를 의미..

[집합론 기초] ch1. 집합론의 표기법

다음 읽을거리: ch2. 합집합, 교집합, 명제 집합론의 언어 수학에서 일반적으로 대문자

A, B, \dots

를 써서 집합(set)을 표기하고, 소문자

a, b, \dots

를 써서 이러한 집합에 속하는 대상(object) 또는 원소(element)를 표기한다. 만약 어떤 대상

a

가 집합

A

에 속한다면 이를

a \in A

와 같이 표기하고,

a

가

A

에 속하지 않는다면 이를

a \notin A

와 같이 표기한다. 등호 기호

=

는 수학에서 논리적 동치(logical identity)를 의미한다. 이는 즉,

a = b

라고 쓴다면

a

와

b

가 동일한 대상을 지시하는 기호라는 것이다. 예를들면 산수에서

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

이라고 쓰는..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch6. 행렬식의 엄밀한 정의

이전 읽을거리) [행렬의 랭크] ch2. 행렬의 랭크 ch5. 교대텐서의 성질 1. 행렬식의 정의 지난 포스팅에서

A^{k} (V)

의 기저가 무엇인지와 더불어

A^{k} (V)

의 차원에 대하여 알아보았다. 이를 요약하자면

n

차원 벡터공간

V

에 대해

A^{k} (V)

는

(\binom{n}{k})

차원이며,

A^{k} (V)

의 기저는

V

의 기저에 대응하는 기본 교대 k-텐서로 이루어져있다. 특히

k = n

일 경우에

A^{n} (V)

는 1차원이며 기저로 단 하나의 교대텐서를 가짐을 알 수 있다. 다음의 정의를 확인하자. Definition.

F^{n}

의 표준기저

e_{1}, \dots, e_{n}

에 대응하..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch5. 교대텐서의 성질

이전 읽을거리: ch4. 교대다중선형사상 다음 읽을거리: ch6. 행렬식의 엄밀한 정의 1. 교대텐서의 유일성 이제부터는 정수의 순서쌍중 특별한 순서쌍들을 자주 이용할 것이다. Definition.

_{n} T_{k}

의 원소 중 증가 순서쌍(ascending tuple)의 집합을

_{n} T_{k}^{*}

라고 정의한다. 즉, 다음과 같다.$${}_nT_k^*=\{(i_1,\ldots,i_k):1\le i_1

[행렬식의 엄밀한 정의] ch4. 교대다중선형사상

이전 읽을거리: ch3. 순열 다음 읽을거리: ch5. 교대텐서의 성질 1. 교대텐서 지난 포스팅에서 순열을 언급한 것은 지금을 위해서이다. Definition.

f \in L^{k} (V)

σ \in S_{k}

에 대해 다음과 같이 정의한다.

f^{σ} (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}) = f (v_{σ (1)}, v_{σ (2)}, \dots, v_{σ (k)})

이때

f

는 각 성분에 대해 선형이므로

f^{σ}

도 마찬가지다. 따라서

f^{σ} \in L^{k} (V)

이다. 위의 정의는 어렵지 않으나, 사람에 따라 직관과 다르게 느껴질 수 있는 구석이 있다. 다음의 순열

σ \in S_{5}

를 생각하자. $$\..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch3. 순열

이전 읽을거리: ch2. 텐서의 성질 다음 읽을거리: ch4. 교대다중선형사상 1. 순열 행렬식은 행렬의 두 행을 바꿀 때 부호가 바뀌게 된다. 이러한 성질을 일반화하기 위해서는 번거롭지만 순열에 대한 논의가 필요하다. Definition.

k \geq 2

에 대해

{1, \dots, k}

의 순열(permutation)이란 정의역과 공역이

{1, \dots, k}

인 일대일대응을 의미한다.

{1, \dots, k}

의 모든 순열의 집합을

S_{k}

라고 쓴다. 다시말해

{1, \dots, k}

의 순열이란 전단사함수

{1, \dots, k} \to {1, \dots, k}

를 의미하며, 이는 k-순서쌍

(1, 2, \dots, k)

의 순서를 섞는 것과 다르지 않다. 이후의 논..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch2. 텐서의 성질

이전 읽을거리) 쌍대공간 (Dual Space) ch1. 다중선형사상 다음 읽을거리: ch3. 순열 1. 텐서의 유일성 두 함수가 같다는 것은, 정의역의 모든 원소에 대한 상이 동일하다는 것이다. 따라서 일반적으로, 정의역의 몇 개의 원소만 가지고서는 두 함수가 같음을 알기 힘들다. 그러나 선형변환을 공부한 사람은 특수한 조건 하에서 몇 개의 원소만으로 두 함수가 같음을 보이는 것이 가능하다는 것을 기억할 것이다. ([선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 참고) 텐서의 경우에도 비슷한 모습을 볼 수 있다. 텐서 이론에서는 자연수의 순서쌍이 매우 빈번하게 등장한다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의한다. Definition. 자연수

n

에 대해

{1, \dots, n}

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