'수학' 카테고리의 글 목록 (3 Page) - Aerospace Kim

[집합의 크기] ch1. 유한집합

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제 함수의 엄밀한 정의 데카르트 곱의 일반화된 정의 수학적 귀납법과 정렬원리 다음 읽을거리: ch2. 가산집합과 비가산집합 유한집합의 정의 자연수 $n$ 에 대해 $n$ 보다 작은 자연수의 집합을 $S_n$ 또는 $\{1,\ldots,n-1\}$ 이라고 표기하고, 이를 자연수의 절편(section)이라고 한다. 물론 $S_1=\varnothing$ 이다. 자연수의 절편은 유한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. Definition. 집합 $A$ 와 자연수의 어떤 절편 $S_n$ 에 대해 일대일 대응 $A\to S_n$ 이 존재하면 $A$ 가 유한하다(finite)고 한다. 다시말해 $A$ 가 유한하다는 것은 공집합이거나, 어떤 자연수 $n$ 에 ..

수학적 귀납법과 정렬원리

이전 읽을거리: [집합론 기초] ch4. 논리 기호페아노 공리계 수학자 크로네커(Leopold Kronecker, 1823~1891)는 다음의 명언을 남겼다. 자연수는 신의 선물이며, 나머지는 인간의 산물이다. 현대수학의 다양한 대상들은 자연수에 의지하여 존재한다. 예를들어, 실수의 존재성은 유리수에 의해 보장되고, 유리수는 정수, 정수는 자연수에 의해 존재한다. 그러나 자연수는 어쩌면 그 스스로 존재하는 듯 하다. 페아노 공리계는 자연수를 정의하는 한 가지 방법이다. 페아노 공리계 (Peano's axioms) 다음을 만족하는 집합 $\mathbb{N}$ 과 함수 $s:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ , 대상 $1$ 이 존재한다. (P1) $1\in\ma..

데카르트 곱의 일반화된 정의

이전 읽을거리)[집합론 기초] ch4. 논리 기호[집합론 기초] ch5. 집합의 모임[집합론 기초] ch6. 데카르트 곱함수의 엄밀한 정의인덱스 패밀리 Definition. 공모임이 아닌 모임 $\mathcal{A}$ 를 생각하자. $\mathcal{A}$ 의 인덱스 함수(indexing funcion)란 어떤 집합 $J$ 에 대해 전사함수 $f:J\to\mathcal{A}$ 를 의미하며, 이때 $J$ 를 인덱스 집합(index set)이라고 한다. 인덱스 함수 $f$ 가 정의된 모임 $\mathcal{A}$ 를 인덱스 패밀리(indexed family)라고 하자. 각 $\alpha\in J$ 에 대해 $f(\alpha)$ 를 $A_\alpha$ 라고 쓰기로 하고, 인덱스 패밀리 $\mathcal{..

함수의 엄밀한 정의

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [집합론 기초] ch6. 데카르트 곱 함수의 엄밀한 정의 Definition. 대응규칙(rule of assignment)이란 집합 $C\times D$ 의 부분집합 $r$ 로서, $C$ 의 각 원소들이 최대 한 번 $r$ 의 순서쌍의 첫 번째 성분으로 나타나는 것을 말한다. 형식적으로, 대응규칙이란 다음을 만족하는 $C\times D$ 의 부분집합 $r$ 을 의미한다. $$\Big((c,d)\in r\land(c,d')\in r\Big)\implies(d=d')$$ 이는 다르게 말하면 대응규칙 $r$ 이란 $D$ 의 서로 다른 두 원소 $d,d'$ 에 대해 $(c,d)\in r$ , $(c,d')\in r$ 을 허용하지 않는 것임을 의미한다. 따라서 ..

[집합론 기초] ch6. 데카르트 곱

이전 읽을거리: ch5. 집합의 모임 데카르트 곱 아직 새로운 집합을 만드는 방법이 남아있다. 이는 순서쌍(ordered pair)에 대한 이야기이다. 당신이 좌표평면의 도형을 배울 때 첫 번째로 했던 작업은, 평면에 x축과 y축을 그린 뒤 평면의 모든 점들이 실수의 유일한 순서쌍 $(x,y)$ 에 대응한다는 것을 납득하는 것이었을 것이다. 순서쌍에 대한 아이디어는 집합론으로 이어진다. 주어진 두 집합 $A,B$ 에 대해, $A$ 의 원소 $a$ 와 $B$ 의 원소 $b$ 로 이루어진 모든 순서쌍 $(a,b)$ 의 집합을 $A$ 와 $B$ 의 데카르트 곱(cartesian product)이라고 하며 $A\times B$ 라고 표기한다. 형식적으로 다음과 같다. $$A\times B=\{(a,b):a\in..

[집합론 기초] ch5. 집합의 모임

이전 읽을거리: ch4. 논리 기호 다음 읽을거리: ch6. 데카르트 곱 집합의 모임 주어진 집합 $A$ 에 대해, $A$ 의 부분집합을 원소로 갖는 집합을 생각해볼 수 있다. 특히 $A$ 의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 생각해 볼 수 있으며, 이 집합은 $A$ 의 멱집합(power set)이라고 부르며 $\mathcal{P}(A)$ 라고 표기한다. 집합을 원소로 갖는 집합을 다룰 때, 이를 집합의 모임(collection)이라고 부르며 이를 스크립트체로 $\mathcal{A},\mathcal{B},\ldots$ 와 같이 쓴다. 이러한 장치는 우리가 대상, 대상의 집합, 대상의 집합의 모임을 동시에 고려하는 논의중에 혼란스럽지 않도록 도와준다. 예를들면 세상의 모든 카드상자의 모임을 $\mathc..

[집합론 기초] ch4. 논리 기호

이전 읽을거리: ch3. 대우, 역, 부정 다음 읽을거리: ch5. 집합의 모임 두 집합의 차 논리 기호에 대해 알아보기 전에, 종종 쓰이는 집합 연산 하나를 더 보고가자. 주어진 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A$ 에 속하고 $B$ 에 속하지 않는 모든 원소들의 집합을 $A$ 와 $B$ 의 차(difference)라고 하며 $A\setminus B$ 라고 표기한다. 형식적인 정의는 아래와 같다. $$A\setminus B=\{x:x\in A\text{ and }x\notin B\}$$ 이는 종종 $A$ 에 대한 $B$ 의 여집합(complement), 또는 $A$ 에서 $B$ 의 여집합이라고도 한다. 논리 기호 지금까지 "또는" 의 의미, "그리고" 의 의미, 부정과 논리 한정사에 대해 알아보았다. 이..

[집합론 기초] ch3. 대우, 역, 부정

이전 읽을거리: ch2. 합집합, 교집합, 명제 다음 읽을거리: ch4. 논리 기호 대우와 역 지난 포스팅에서 공집합의 포함관계에 대해 설명하던 중 "~이면 ~이다" 라는 표현을 살펴보았다. 이러한 논의는 다소 어려운 기초논리학으로 이어진다. 주어진 명제 "P이면 Q이다" 의 대우(contrapositive)를 명제 "Q가 아니면 P가 아니다" 로 정의하자. 예를들어 "$x>0$ 이면 $x^3\neq 0$ 이다" 의 대우는 "$x^3=0$ 이면 $x>0$ 이 아니다" 이다. 여기서 원래 명제와 그 대우가 둘 다 참임을 기억하자. 비슷하게, 명제 "$x^2

[집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제

이전 읽을거리: ch1. 집합론의 표기법 다음 읽을거리: ch3. 대우, 역, 부정 합집합과 "또는" 의 의미 주어진 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A$ 의 모든 원소와 $B$ 의 모든 원소로 하나의 집합을 구성할 수 있다. 이 집합을 $A$ 와 $B$ 의 합집합(union)이라고 하며 $A\cup B$ 라고 표기한다. 형식적으로 다음과 같이 정의한다. $$A\cup B=\{x:x\in A\text{ or }x\in B\}$$ 하지만 여기서 잠시 논의를 멈추고, "$x\in A$ 또는 $x\in B$" 라는 표현의 이미하는것이 무엇인지 확실히 하자. 일반적인 일상 용어로서의 "또는" 은 모호하다. 종종 "P 또는 Q" 는 "P 또는 Q, 또는 둘 다" 를 의미하거나 "P 또는 Q, 둘 중 하나" 를 의미..

[집합론 기초] ch1. 집합론의 표기법

다음 읽을거리: ch2. 합집합, 교집합, 명제 집합론의 언어 수학에서 일반적으로 대문자 $A,B,\ldots$ 를 써서 집합(set)을 표기하고, 소문자 $a,b,\ldots$ 를 써서 이러한 집합에 속하는 대상(object) 또는 원소(element)를 표기한다. 만약 어떤 대상 $a$ 가 집합 $A$ 에 속한다면 이를 $$a\in A$$ 와 같이 표기하고, $a$ 가 $A$ 에 속하지 않는다면 이를 $$a\notin A$$ 와 같이 표기한다. 등호 기호 $=$ 는 수학에서 논리적 동치(logical identity)를 의미한다. 이는 즉, $a=b$ 라고 쓴다면 $a$ 와 $b$ 가 동일한 대상을 지시하는 기호라는 것이다. 예를들면 산수에서 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ 이라고 쓰는..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch6. 행렬식의 엄밀한 정의

이전 읽을거리) [행렬의 랭크] ch2. 행렬의 랭크 ch5. 교대텐서의 성질 1. 행렬식의 정의 지난 포스팅에서 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저가 무엇인지와 더불어 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 차원에 대하여 알아보았다. 이를 요약하자면 $n$ 차원 벡터공간 $V$ 에 대해 $\mathcal{A}^k(V)$ 는 ${n\choose k}$ 차원이며, $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저는 $V$ 의 기저에 대응하는 기본 교대 k-텐서로 이루어져있다. 특히 $k=n$ 일 경우에 $\mathcal{A}^n(V)$ 는 1차원이며 기저로 단 하나의 교대텐서를 가짐을 알 수 있다. 다음의 정의를 확인하자. Definition. $F^n$ 의 표준기저 $e_1,\ldots,e_n$ 에 대응하..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch5. 교대텐서의 성질

이전 읽을거리: ch4. 교대다중선형사상 다음 읽을거리: ch6. 행렬식의 엄밀한 정의 1. 교대텐서의 유일성 이제부터는 정수의 순서쌍중 특별한 순서쌍들을 자주 이용할 것이다. Definition. ${}_nT_k$ 의 원소 중 증가 순서쌍(ascending tuple)의 집합을 ${}_nT_k^*$ 라고 정의한다. 즉, 다음과 같다.$${}_nT_k^*=\{(i_1,\ldots,i_k):1\le i_1

[행렬식의 엄밀한 정의] ch4. 교대다중선형사상

이전 읽을거리: ch3. 순열 다음 읽을거리: ch5. 교대텐서의 성질 1. 교대텐서 지난 포스팅에서 순열을 언급한 것은 지금을 위해서이다. Definition. $f\in\mathcal{L}^k(V)$ , $\sigma\in S_k$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.$$f^\sigma(v_1,v_2,\ldots,v_k)=f(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(k)})$$ 이때 $f$ 는 각 성분에 대해 선형이므로 $f^\sigma$ 도 마찬가지다. 따라서 $f^\sigma\in\mathcal{L}^k(V)$ 이다. 위의 정의는 어렵지 않으나, 사람에 따라 직관과 다르게 느껴질 수 있는 구석이 있다. 다음의 순열 $\sigma\in S_5$ 를 생각하자. $$\..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch3. 순열

이전 읽을거리: ch2. 텐서의 성질 다음 읽을거리: ch4. 교대다중선형사상 1. 순열 행렬식은 행렬의 두 행을 바꿀 때 부호가 바뀌게 된다. 이러한 성질을 일반화하기 위해서는 번거롭지만 순열에 대한 논의가 필요하다. Definition. $k\ge 2$ 에 대해 $\{1,\ldots,k\}$ 의 순열(permutation)이란 정의역과 공역이 $\{1,\ldots,k\}$ 인 일대일대응을 의미한다. $\{1,\ldots,k\}$ 의 모든 순열의 집합을 $S_k$ 라고 쓴다. 다시말해 $\{1,\ldots,k\}$ 의 순열이란 전단사함수 $\{1,\ldots,k\}\to\{1,\ldots,k\}$ 를 의미하며, 이는 k-순서쌍 $(1,2,\ldots,k)$ 의 순서를 섞는 것과 다르지 않다. 이후의 논..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch2. 텐서의 성질

이전 읽을거리) 쌍대공간 (Dual Space) ch1. 다중선형사상 다음 읽을거리: ch3. 순열 1. 텐서의 유일성 두 함수가 같다는 것은, 정의역의 모든 원소에 대한 상이 동일하다는 것이다. 따라서 일반적으로, 정의역의 몇 개의 원소만 가지고서는 두 함수가 같음을 알기 힘들다. 그러나 선형변환을 공부한 사람은 특수한 조건 하에서 몇 개의 원소만으로 두 함수가 같음을 보이는 것이 가능하다는 것을 기억할 것이다. ([선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 참고) 텐서의 경우에도 비슷한 모습을 볼 수 있다. 텐서 이론에서는 자연수의 순서쌍이 매우 빈번하게 등장한다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의한다. Definition. 자연수 $n$ 에 대해 $\{1,\ldots,n\}$..

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