[집합론 기초] ch5. 집합의 모임

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집합의 모임

 

  주어진 집합 $A$ 에 대해, $A$ 의 부분집합을 원소로 갖는 집합을 생각해볼 수 있다. 특히 $A$ 의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 생각해 볼 수 있으며, 이 집합은 $A$ 의 멱집합(power set)이라고 부르며 $\mathcal{P}(A)$ 라고 표기한다.

 

  집합을 원소로 갖는 집합을 다룰 때, 이를 집합의 모임(collection)이라고 부르며 이를 스크립트체로 $\mathcal{A},\mathcal{B},\ldots$ 와 같이 쓴다. 이러한 장치는 우리가 대상, 대상의 집합, 대상의 집합의 모임을 동시에 고려하는 논의중에 혼란스럽지 않도록 도와준다. 예를들면 세상의 모든 카드상자의 모임을 $\mathcal{A}$ , 어떤 카드 한 상자를 $A$ , 그 속의 카드 한 장을 $a$ 라고 할 수 있다.

 

  이러한 표기법들은 $A$ 의 원소인 대상 $a$ 와 $A$ 의 부분집합인 홀원소집합 $\{a\}$ 를 구분할 때 도움이 된다. 예를들어 $A=\{a,b,c\}$ 라고 하면 표현 $a\in A$ , $\{a\}\subset A$ , $\{a\}\in\mathcal{P}(A)$ 은 모두 옳은 표기이며, 그 외에 $\{a\}\in A$ 또는 $a\subset A$ 등은 틀린 표기이다.

 

 

임의의 합집합과 교집합

 

  우리는 이미 두 집합에 대한 합집합과 교집합을 정의하였으며, 이러한 연산을 굳이 두 집합으로 제한할 필요는 없다. 임의의 많은 집합들에 대한 합집합과 교집합을 잘 정의해보자.

 

  주어진 모임 $\mathcal{A}$ 에 대해, $\mathcal{A}$ 의 합집합이란 적어도 한 $A\in\mathcal{A}$ 에 속하는 대상들의 집합을 의미하며 형식적으로 다음과 같다.

$$\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\{x:\exists A\in\mathcal{A},\;x\in A\}$$

 

  $\mathcal{A}$ 의 교집합이란 모든 $A\in\mathcal{A}$ 에 속하는 대상들의 집합을 의미하며 형식적으로 다음과 같다.

$$\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A=\{x:\forall A\in\mathcal{A},\;x\in A\}$$

 

  이러한 정의는 $\varnothing$ 을 $\mathcal{A}$ 의 원소로 포함시켜도 문제 없이 잘 작동한다. 하지만 모임 $\mathcal{A}$ 가 원소를 갖지 않는 공모임(empty collection)인 경우에는 약간의 꼼수가 필요하다. 위 정의를 문자 그대로 적용하면, 합집합의 경우 임의의 대상 $x$ 에 대해 $x\in A$ 이도록 하는 $A\in\mathcal{A}$ 가 하나도 존재하지 않으므로 $x$ 는 $\mathcal{A}$ 의 합집합에 속하지 않는다.

$$\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\varnothing$$

 

  반면에 교집합의 경우 이상한 현상이 발생한다. 일단 $\mathcal{A}$ 의 교집합에 포함되지 않는 어떤 대상 $x$ 가 존재한다고 가정해보자. 이 가정과 논리적 동치인 표현은 "어떤 $A\in \mathcal{A}$ 가 존재하여 $x\in A$ 가 아니다" 이다. 이를 논리 기호로 표현하면 다음과 같다.

$$\begin{align}x\notin\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A&\iff\lnot\left(x\in\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A\right)\\&\iff\lnot\left(\forall A\in\mathcal{A},\;x\in A\right)\\&\iff\exists A\in\mathcal{A},\;\lnot(x\in A)\\&\iff\exists A\in\mathcal{A},\;x\notin A\end{align}$$

그러나 당연히도, $\mathcal{A}$ 는 공모임이므로 이러한 조건을 만족하는 $A\in\mathcal{A}$ 는 존재하지 않는다. 그러므로 이러한 대상 $x$ 는 존재하지 않으며, 따라서 모든 대상이 $\mathcal{A}$ 의 교집합에 속한다. 그럼 모든 대상의 집합이란 무엇인가? 만약 누군가가 논의의 시작부터 "대상의 전체" 로 명시된 집합 $X$ 를 두고, 모든 집합을 $X$ 의 부분집합으로 간주해왔다면 공모임 $\mathcal{A}$ 에 대하여 아래와 같이 쓰는 것이 합리적일 것이다.

$$\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A=X$$

그러나 모든 수학자들이 이러한 약속에 따르는 것은 아니다.

 

※ 본 포스팅의 참고문헌 Topology의 저자 Munkres는 이러한 장애물을 피하기 위해 단순히 공모임의 교집합을 정의하지 않기로 하였다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (2000). Topology. Pearson College Div.

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