[집합론 기초] ch4. 논리 기호

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두 집합의 차

 

  논리 기호에 대해 알아보기 전에, 종종 쓰이는 집합 연산 하나를 더 보고가자. 주어진 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A$ 에 속하고 $B$ 에 속하지 않는 모든 원소들의 집합을 $A$ 와 $B$ 의 차(difference)라고 하며 $A\setminus B$ 라고 표기한다. 형식적인 정의는 아래와 같다.

$$A\setminus B=\{x:x\in A\text{ and }x\notin B\}$$

이는 종종 $A$ 에 대한 $B$ 의 여집합(complement), 또는 $A$ 에서 $B$ 의 여집합이라고도 한다.

 

 

논리 기호

 

  지금까지 "또는" 의 의미, "그리고" 의 의미, 부정과 논리 한정사에 대해 알아보았다. 이 표현들은 일상 언어를 빌려와 단 하나의 뜻을 사용하는 방식으로 쓰여진다. 이러한 방법은 논의중에 어떤 일이 일어나고 있는지 직관적으로 알아볼 수 있도록 도와준다. 반면에 종종 복잡한 논리에서 길고 거추장스러운 문장을 사용할 수 밖에 없도록 하기도 한다.

 

  짧고 간결한 표현을 위한 몇 가지 논리 기호를 소개한다. "또는" 과 "그리고" 를 각각 논리 기호로 "$\lor$" 와 "$\land$" 라고 표기하자. 이를 이용하여 합집합과 교집합의 형식적인 정의를 재구성하면 아래와 같으며, 기호를 이런 모양으로 만든 이유가 바로 보인다.

$$A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}$$

$$A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}$$

 

  부정에 대응하는 논리기호는 "$\lnot$" 으로, "$\text{not }P$" 를 간단히 "$\lnot P$" 라고 쓴다. 이러한 표기는 이전의 두 논리 기호와 달리 개연성이 적어보이지만, 산수의 뺄셈 연산자 "$-$" 에서 유래하였다고 한다. (출처: StackExchange) 예를들어 집합의 차의 형식적인 정의를 재구성하면 아래와 같다.

$$A\setminus B=\{x:x\in A\land\lnot(x\in B)\}$$

 

  논리 한정사 "모든" 과 "적어도 한" 을 각각 논리 기호로 "$\forall$" 와 "$\exists$" 라고 표기하자. 이는 각각 "All" , "Exist" 의 첫 스펠링을 가져와 만든 기호이다. 이를테면 "모든 $x\in A$ 에 대해 P가 성립한다" 와 "적어도 한 $x\in A$ 에 대해 Q가 성립하지 않는다" 를 논리 기호로 (가능한 친숙하게) 표현하면 다음과 같다.

$$\forall x\in A,\;P\qquad\exists a\in A,\;\lnot Q$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (2000). Topology. Pearson College Div.

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