[집합론 기초] ch6. 데카르트 곱

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데카르트 곱

 

  아직 새로운 집합을 만드는 방법이 남아있다. 이는 순서쌍(ordered pair)에 대한 이야기이다. 당신이 좌표평면의 도형을 배울 때 첫 번째로 했던 작업은, 평면에 x축과 y축을 그린 뒤 평면의 모든 점들이 실수의 유일한 순서쌍 $(x,y)$ 에 대응한다는 것을 납득하는 것이었을 것이다.

 

  순서쌍에 대한 아이디어는 집합론으로 이어진다. 주어진 두 집합 $A,B$ 에 대해, $A$ 의 원소 $a$ 와 $B$ 의 원소 $b$ 로 이루어진 모든 순서쌍 $(a,b)$ 의 집합을 $A$ 와 $B$ 의 데카르트 곱(cartesian product)이라고 하며 $A\times B$ 라고 표기한다. 형식적으로 다음과 같다.

$$A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}$$

 

※ 이러한 정의는 순서쌍이라는 대상의 존재를 전제하고 있다. 그러나 다행히도 순서쌍은 집합을 이용하여 구성할 수 있다. 순서쌍을 정의하는 한 가지 방법은 아래의 식과 같이 표현하는 것이다.

$$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$$

이는 순서쌍 $(a,b)$ 를 집합의 모임으로 정의하는 것이다. $a\neq b$ 의 경우, 정의에 따라 $(a,b)$ 는 원소가 하나인 집합과 원소가 두개인 집합의 모임이다. 이때 순서쌍의 첫 번째 성분(coordinate)이란 두 집합에 모두 속하는 원소이고, 두 번째 성분이란 한 집합에만 속하는 원소이다. $a=b$ 의 경우, 정의에 따라 $(a,b)$ 는 오직 하나의 집합 $\{a\}$ 만으로 이루어진 모임이다. 이때 순서쌍의 첫 번째 성분과 두 번째 성분는 이 하나의 집합에 속하는 원소로, 둘 다 동일하다. (그러나 대부분의 수학자들은 순서쌍을 집합의 모임보다는 잘 알려진 원시적인 개념으로 생각한다고 한다)

 

  표기법에 대한 이야기를 해보자. 불행히도, $(a,b)$ 는 수학자들 사이에서 두 가지의 완전히 굳은 의미를 갖는다. 첫 번째 의미는 위에서 이야기한 순서쌍에 대한 것이다. 다른 의미는 두 실수 $a,b$ 에 대해 $a<x<b$ 인 모든 $x$ 로 구성된 구간에 대한 것이다. 대부분의 경우 이러한 중복된 표기법은 맥락속에서 분명하게 드러나므로 문제되지 않는다. 만약 문제가 발생하는 경우, 순서쌍 $(a,b)$ 의 또다른 표기법 $a\times b$ 를 대신 사용할 수 있다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (2000). Topology. Pearson College Div.

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