[집합론 기초] ch3. 대우, 역, 부정

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대우와 역

 

  지난 포스팅에서 공집합의 포함관계에 대해 설명하던 중 "~이면 ~이다" 라는 표현을 살펴보았다. 이러한 논의는 다소 어려운 기초논리학으로 이어진다. 주어진 명제 "P이면 Q이다" 의 대우(contrapositive)를 명제 "Q가 아니면 P가 아니다" 로 정의하자. 예를들어 "$x>0$ 이면 $x^3\neq 0$ 이다" 의 대우는 "$x^3=0$ 이면 $x>0$ 이 아니다" 이다. 여기서 원래 명제와 그 대우가 둘 다 참임을 기억하자. 비슷하게, 명제 "$x^2<0$ 이면 $x=23$ 이다" 의 대우는 "$x\neq 23$ 이면 $x^2<0$ 이 아니다" 이다. 마찬가지로 원래의 명제와 그 대우가 둘 다 참이다.

 

  이 예시들은 명제와 그 대우 사이의 관계애 대한 암시를 준다. 사실, 위의 예시들은 정확히 동일한 대상을 설명하는 두 가지 방법에 대한 것들이다. 서로가 각자 참일 경우에만 참이며, 대응하는 한 쌍의 표현은 논리적으로 동치이다(logically equivalent).

 

  이러한 사실을 증명하는 것은 어렵지 않다. 먼저 몇 가지 표기법을 소개한다. 명제 "P이면 Q이다" 를

$$P\implies Q$$

라고 짧게 쓰자. 이것의 대우는

$$(\text{not }Q)\implies(\text{not }P)$$

라고 쓸 수 있다. 이때 "not Q" 는 "Q가 참이 아니다" 를 의미한다.

 

  명제 "$P\Rightarrow Q$" 를 거짓으로 만드는 유일한 방법은 가정 P가 참이고 결론 Q가 거짓인 경우 뿐이다. 나머지 경우는 이 명제를 모두 참으로 만든다. 비슷하게 "$\text{not }Q\Rightarrow\text{not }P$" 를 거짓으로 만드는 유일한 방법은 가정 "not Q" 가 참이고 결론 "not P" 가 거짓인 것이다. 이는 Q가 거짓이고 P가 참인 것과 동일하므로, $P\Rightarrow Q$ 가 거짓이도록 하는 상황과 정확하게 겹친다. 그러므로 이제 두 명제가 동시에 참이거나 동시에 거짓임을 확인하였다. 즉, 논리적으로 동치이다. 따라서 우리는 "$\text{not }Q\Rightarrow\text{not }P$" 의 증명을 "$P\Rightarrow Q$" 의 증명으로서 받아들일 수 있다.

 

  명제 "$P\Rightarrow Q$" 로 만들 수 있는 명제가 하나 더 있다. "$Q\Rightarrow P$" 는 "$P\Rightarrow Q$" 의 역(converse)이라고 한다. 명제와 그 대우는 논리적 동치이지만, 명제와 그 역은 참과 거짓 그 어느것도 말할 것이 없다. 예를 들어, 참인 명제 "$x^2<0\Rightarrow x^3\neq 0$" 의 역 "$x^3\neq 0\Rightarrow x>0$" 은 거짓이다. 비슷하게 참인 명제 "$x^2<0\Rightarrow x=23$" 의 역 "$x=23\Rightarrow x^2<0$" 은 거짓이다.

 

  만약 두 명제 "$P\Rightarrow Q$" 와 "$Q\Rightarrow P$" 둘 다 참일 경우, 이러한 사실을

$$P\iff Q$$

라고 표기하며, "P가 성립할 필요충분조건은 Q이다" 라고 한다.

 

 

부정

 

  명제 "$P\Rightarrow Q$" 의 대우를 만들기 위해서는 표현 "not Q" 를 만들 줄 알아야 했다. 이때 "not P" 를 P의 부정(negation)이라고 한다. 대부분 이러한 표현은 어렵지 않게 만들 수 있으나, 명제가 "모든" , 또는 "적어도 한" 과 같은 형용사를 포함하는 경우 혼란스러워질 수 있다. 이러한 표현을 논리 한정사(logical quantifier)라고 한다.

 

  설명을 위해, 집합 $X$ 와 $X$ 의 부분집합 $A$ , 그리고 $X$ 의 전체 원소에 대한 표현 P를 생각하자. 이제 명제 "모든 $x\in A$ 에 대해 P가 성립한다" 를 고려해보자. 이러한 명제의 역을 어떻게 구할 것인가? 이 문제를 해결하기 위해 집합의 언어로 번역해보자. $X$ 의 원소 중 P가 성립하도록 하는 모든 원소의 집합을 $B$ 라고 하자. 이제 위 명제는 그저 $A\subset B$ 에 불과하다. 이것의 역은 분명히 $A$ 가 $B$ 의 부분집합이 아닌 것이다. 이는 즉 $A$ 에는 $B$ 에 속하지 않는 원소가 적어도 하나 존재하는 것과 같다. 이를 다시 원래의 언어로 번역하면 "적어도 한 $x\in A$ 에 대해 P가 성립하지 않는다" 이다. 따라서 주어진 명제의 역을 구하는 과정을 요약하면 "모든" 을 "적어도 한" 으로 바꾸고, P를 P의 역으로 바꾸는 것이다.

 

  이러한 절차는 거꾸로도 성립한다. "적어도 한 $x\in A$ 에 대해 Q가 성립한다" 의 역은 "모든 $x\in A$ 에 대해 Q가 성립하지 않는다" 이다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (2000). Topology. Pearson College Div.

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