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[집합의 크기] ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1 ch2. 가산집합과 비가산집합 유리수 집합의 크기 ※ 앞서 증명한 많은 정리를 활용하므로 이전 포스팅을 보고 오길 추천한다. 정리 2.6.으로부터 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 가 셀 수 있음을 어렵지 않게 알 수 있다. 지난 포스팅의 초반에 언급하였듯이 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있다. 여기서부터 시작하자. Theorem 3.1. $\mathbb{Q}$ 는 셀 수 있다. Proof. 가산집합인 $\mathbb{Z}$ 에 대해 따름정리 2.3.에 따르면 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 도 셀 수 있으므로 ..
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[집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch5. 집합의 모임 데카르트 곱의 일반화된 정의 ch1. 유한집합 다음 읽을거리: ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기 무한의 정의 마치 자연수의 절편이 유한집합의 원형이듯이, 모든 자연수의 집합은 가산무한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. 앞으로 유한하지도, 가산무한하지도 않은 집합을 구성하는 것에 대해 살펴볼 것이다. Definition. 집합 $A$ 가 유한하지 않으면 무한하다(infinite)고 한다. 일대일대응 $A\to\mathbb{N}$ 이 존재하면 $A$ 가 셀 수 있게 무한하다(countably infinite)고 하거나 가산무한이라고 한다. 예를들면, 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있게 무한하다. 다음의 함수 $f:\mathbb..

[집합의 크기] ch1. 유한집합

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제 함수의 엄밀한 정의 데카르트 곱의 일반화된 정의 수학적 귀납법과 정렬원리 다음 읽을거리: ch2. 가산집합과 비가산집합 유한집합의 정의 자연수 $n$ 에 대해 $n$ 보다 작은 자연수의 집합을 $S_n$ 또는 $\{1,\ldots,n-1\}$ 이라고 표기하고, 이를 자연수의 절편(section)이라고 한다. 물론 $S_1=\varnothing$ 이다. 자연수의 절편은 유한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. Definition. 집합 $A$ 와 자연수의 어떤 절편 $S_n$ 에 대해 일대일 대응 $A\to S_n$ 이 존재하면 $A$ 가 유한하다(finite)고 한다. 다시말해 $A$ 가 유한하다는 것은 공집합이거나, 어떤 자연수 $n$ 에 ..

수학적 귀납법과 정렬원리

이전 읽을거리: [집합론 기초] ch4. 논리 기호페아노 공리계   수학자 크로네커(Leopold Kronecker, 1823~1891)는 다음의 명언을 남겼다.   자연수는 신의 선물이며, 나머지는 인간의 산물이다.   현대수학의 다양한 대상들은 자연수에 의지하여 존재한다. 예를들어, 실수의 존재성은 유리수에 의해 보장되고, 유리수는 정수, 정수는 자연수에 의해 존재한다. 그러나 자연수는 어쩌면 그 스스로 존재하는 듯 하다. 페아노 공리계는 자연수를 정의하는 한 가지 방법이다. 페아노 공리계 (Peano's axioms)  다음을 만족하는 집합 $\mathbb{N}$ 과 함수 $s:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ , 대상 $1$ 이 존재한다.  (P1) $1\in\ma..

데카르트 곱의 일반화된 정의

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [집합론 기초] ch5. 집합의 모임 [집합론 기초] ch6. 데카르트 곱 함수의 엄밀한 정의 인덱스 패밀리 Definition. 공모임이 아닌 모임 $\mathcal{A}$ 를 생각하자. $\mathcal{A}$ 의 인덱스 함수(indexing funcion)란 어떤 집합 $J$ 에 대해 전사함수 $f:J\to\mathcal{A}$ 를 의미하며, 이때 $J$ 를 인덱스 집합(index set)이라고 한다. 인덱스 함수 $f$ 가 정의 모임 $\mathcal{A}$ 를 인덱스 패밀리(indexed family)라고 하자. 각 $\alpha\in J$ 에 대해 $f(\alpha)$ 를 $A_\alpha$ 라고 쓰기로 하고, 인덱스 패밀리 $\mathcal..

함수의 엄밀한 정의

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [집합론 기초] ch6. 데카르트 곱 함수의 엄밀한 정의 Definition. 대응규칙(rule of assignment)이란 집합 $C\times D$ 의 부분집합 $r$ 로서, $C$ 의 각 원소들이 최대 한 번 $r$ 의 순서쌍의 첫 번째 성분으로 나타나는 것을 말한다. 형식적으로, 대응규칙이란 다음을 만족하는 $C\times D$ 의 부분집합 $r$ 을 의미한다. $$\Big((c,d)\in r\land(c,d')\in r\Big)\implies(d=d')$$ 이는 다르게 말하면 대응규칙 $r$ 이란 $D$ 의 서로 다른 두 원소 $d,d'$ 에 대해 $(c,d)\in r$ , $(c,d')\in r$ 을 허용하지 않는 것임을 의미한다. 따라서 ..

[집합론 기초] ch6. 데카르트 곱

이전 읽을거리: ch5. 집합의 모임 데카르트 곱 아직 새로운 집합을 만드는 방법이 남아있다. 이는 순서쌍(ordered pair)에 대한 이야기이다. 당신이 좌표평면의 도형을 배울 때 첫 번째로 했던 작업은, 평면에 x축과 y축을 그린 뒤 평면의 모든 점들이 실수의 유일한 순서쌍 $(x,y)$ 에 대응한다는 것을 납득하는 것이었을 것이다. 순서쌍에 대한 아이디어는 집합론으로 이어진다. 주어진 두 집합 $A,B$ 에 대해, $A$ 의 원소 $a$ 와 $B$ 의 원소 $b$ 로 이루어진 모든 순서쌍 $(a,b)$ 의 집합을 $A$ 와 $B$ 의 데카르트 곱(cartesian product)이라고 하며 $A\times B$ 라고 표기한다. 형식적으로 다음과 같다. $$A\times B=\{(a,b):a\in..

[집합론 기초] ch5. 집합의 모임

이전 읽을거리: ch4. 논리 기호 다음 읽을거리: ch6. 데카르트 곱 집합의 모임 주어진 집합 $A$ 에 대해, $A$ 의 부분집합을 원소로 갖는 집합을 생각해볼 수 있다. 특히 $A$ 의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 생각해 볼 수 있으며, 이 집합은 $A$ 의 멱집합(power set)이라고 부르며 $\mathcal{P}(A)$ 라고 표기한다. 집합을 원소로 갖는 집합을 다룰 때, 이를 집합의 모임(collection)이라고 부르며 이를 스크립트체로 $\mathcal{A},\mathcal{B},\ldots$ 와 같이 쓴다. 이러한 장치는 우리가 대상, 대상의 집합, 대상의 집합의 모임을 동시에 고려하는 논의중에 혼란스럽지 않도록 도와준다. 예를들면 세상의 모든 카드상자의 모임을 $\mathc..

[집합론 기초] ch4. 논리 기호

이전 읽을거리: ch3. 대우, 역, 부정 다음 읽을거리: ch5. 집합의 모임 두 집합의 차 논리 기호에 대해 알아보기 전에, 종종 쓰이는 집합 연산 하나를 더 보고가자. 주어진 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A$ 에 속하고 $B$ 에 속하지 않는 모든 원소들의 집합을 $A$ 와 $B$ 의 차(difference)라고 하며 $A\setminus B$ 라고 표기한다. 형식적인 정의는 아래와 같다. $$A\setminus B=\{x:x\in A\text{ and }x\notin B\}$$ 이는 종종 $A$ 에 대한 $B$ 의 여집합(complement), 또는 $A$ 에서 $B$ 의 여집합이라고도 한다. 논리 기호 지금까지 "또는" 의 의미, "그리고" 의 의미, 부정과 논리 한정사에 대해 알아보았다. 이..

[집합론 기초] ch3. 대우, 역, 부정

이전 읽을거리: ch2. 합집합, 교집합, 명제 다음 읽을거리: ch4. 논리 기호 대우와 역 지난 포스팅에서 공집합의 포함관계에 대해 설명하던 중 "~이면 ~이다" 라는 표현을 살펴보았다. 이러한 논의는 다소 어려운 기초논리학으로 이어진다. 주어진 명제 "P이면 Q이다" 의 대우(contrapositive)를 명제 "Q가 아니면 P가 아니다" 로 정의하자. 예를들어 "$x>0$ 이면 $x^3\neq 0$ 이다" 의 대우는 "$x^3=0$ 이면 $x>0$ 이 아니다" 이다. 여기서 원래 명제와 그 대우가 둘 다 참임을 기억하자. 비슷하게, 명제 "$x^2

[집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제

이전 읽을거리: ch1. 집합론의 표기법 다음 읽을거리: ch3. 대우, 역, 부정 합집합과 "또는" 의 의미 주어진 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A$ 의 모든 원소와 $B$ 의 모든 원소로 하나의 집합을 구성할 수 있다. 이 집합을 $A$ 와 $B$ 의 합집합(union)이라고 하며 $A\cup B$ 라고 표기한다. 형식적으로 다음과 같이 정의한다. $$A\cup B=\{x:x\in A\text{ or }x\in B\}$$ 하지만 여기서 잠시 논의를 멈추고, "$x\in A$ 또는 $x\in B$" 라는 표현의 이미하는것이 무엇인지 확실히 하자. 일반적인 일상 용어로서의 "또는" 은 모호하다. 종종 "P 또는 Q" 는 "P 또는 Q, 또는 둘 다" 를 의미하거나 "P 또는 Q, 둘 중 하나" 를 의미..

[집합론 기초] ch1. 집합론의 표기법

다음 읽을거리: ch2. 합집합, 교집합, 명제 집합론의 언어 수학에서 일반적으로 대문자 $A,B,\ldots$ 를 써서 집합(set)을 표기하고, 소문자 $a,b,\ldots$ 를 써서 이러한 집합에 속하는 대상(object) 또는 원소(element)를 표기한다. 만약 어떤 대상 $a$ 가 집합 $A$ 에 속한다면 이를 $$a\in A$$ 와 같이 표기하고, $a$ 가 $A$ 에 속하지 않는다면 이를 $$a\notin A$$ 와 같이 표기한다. 등호 기호 $=$ 는 수학에서 논리적 동치(logical identity)를 의미한다. 이는 즉, $a=b$ 라고 쓴다면 $a$ 와 $b$ 가 동일한 대상을 지시하는 기호라는 것이다. 예를들면 산수에서 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ 이라고 쓰는..
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