데카르트 곱의 일반화된 정의
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인덱스 패밀리
Definition. 공모임이 아닌 모임 $\mathcal{A}$ 를 생각하자. $\mathcal{A}$ 의 인덱스 함수(indexing funcion)란 어떤 집합 $J$ 에 대해 전사함수 $f:J\to\mathcal{A}$ 를 의미하며, 이때 $J$ 를 인덱스 집합(index set)이라고 한다. 인덱스 함수 $f$ 가 정의된 모임 $\mathcal{A}$ 를 인덱스 패밀리(indexed family)라고 하자. 각 $\alpha\in J$ 에 대해 $f(\alpha)$ 를 $A_\alpha$ 라고 쓰기로 하고, 인덱스 패밀리 $\mathcal{A}$ 를
$$\{A_\alpha\}_{\alpha\in J}$$라고 표기하기로 하자. 인덱스 집합이 무엇인지 분명하다면 간단히 $\{A_\alpha\}$ 라고 쓰기도 한다.
※ 인덱스 패밀리는 보통 첨수족으로 번역되나, 편의를 위해 본 포스팅에서는 순화하지 않는다.
위 정의에서 인덱스 함수에게는 전사성만 요구되고, 단사성은 요구되지 않음에 유의하자. 이는 $\mathcal{A}$ 에 포함되는 동일한 집합을 $\alpha\neq\beta$ 이어도 $A_\alpha$ 와 $A_\beta$ 로 다르게 표기하는 것이 가능함을 의미한다.
인덱스 함수를 활용하는 한 가지 방법은 집합의 임의의 합집합과 교집합에 새로운 표기법을 부여하는 것이다. $\mathcal{A}$ 의 인덱스 함수 $f:J\to\mathcal{A}$ 에 대해 다음과 같이 정의하자.
$$\bigcup_{\alpha\in J}A_\alpha=\{x:\exists\alpha\in J,\;x\in A_\alpha\}$$
$$\bigcap_{\alpha\in J}A_\alpha=\{x:\forall\alpha\in J,\;x\in A_\alpha\}$$
이는 단순히 이전에 정의한 모임의 합집합과 교집합의 새로운 표기법에 불과하다. 첫 번째는 $\mathcal{A}$ 의 합집합과 같고, 두 번째는 $\mathcal{A}$ 의 교집합과 같으며, 이러한 사실은 인덱스 함수의 전사성에 근거한다.
자연수 1부터 n까지의 집합 $\{1,\ldots,n\}$ 과 모든 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 은 인덱스 집합으로 유용하게 쓰인다. 이러한 인덱스 집합을 이용하여 몇 가지 특별한 표기법을 생각해볼 수 있다. 어떤 모임의 인덱스 집합이 $\{1,\ldots,n\}$ 이라면 이 인덱스 패밀리를 $\{A_1,\ldots,A_n\}$ 이라고 표기하고 이것의 합집합과 교집합을 각각
$$A_1\cup\cdots\cup A_n\qquad A_1\cap\cdots\cap A_n$$
이라고 표기한다. 어떤 모임의 인덱스 집합이 $\mathbb{N}$ 이라면 이 인덱스 패밀리를 $\{A_1,A_2,\ldots\}$ 라고 표기하고 이것의 합집합과 교집합을 각각
$$A_1\cup A_2\cup\cdots\qquad A_1\cap A_2\cap\cdots$$
이라고 표기한다.
데카르트 곱의 일반화된 정의
Definition. 자연수 $m$ 과 주어진 집합 $X$ 에 대해, $X$ 의 원소의 $m$-순서쌍($m$-tuple)이란 함수$$\text{x}:\{1,\ldots,m\}\to X$$를 의미한다. $\text{x}$ 에 대한 $i$ 의 상을 $\text{x}(i)$ 대신에 종종 $x_i$ 라고 쓰며, 이를 $\text{x}$ 의 i번째 성분(i-th coordinate)이라고 한다. 함수 $\text{x}$ 는 종종 다음과 같이 표기된다.$$(x_1,\ldots,x_m)$$
Definition. 인덱스 집합 $\{1,\ldots,m\}$ 에 대한 인덱스 패밀리 $\{A_1,\ldots,A_m\}$ 와 집합 $X=A_1\cup\cdots\cup A_m$ 을 생각하자. 이 인덱스 패밀리에 대한 데카르트 곱(cartesian product)은 각 $i$ 에 대해 $x_i\in A_i$ 이도록 하는 $X$ 의 원소의 모든 $m$-순서쌍의 집합을 의미하며 다음과 같이 표기한다.$$\prod_{i=1}^mA_i\qquad A_1\times\cdots\times A_m$$
이제 우리는 기호 $A\times B$ 에 대한 두 가지 정의를 안다. 하나의 정의는 먼저 정의한, $a\in A$ 와 $b\in B$ 에 대한 $(a,b)$ 꼴의 모든 순서쌍의 집합을 $A\times B$ 라고 표기하는 것이다. 두 번째 정의는 방금 주어진, $\text{x}(1)\in A$ 및 $\text{x}(2)\in B$ 이도록 하는 모든 함수 $\text{x}:\{1,2\}\to A\cup B$ 의 집합을 $A\times B$ 라고 표기하는 것이다. 이러한 두 가지 정의에 대하여, 순서쌍 $(a,b)$ 와 $\text{x}(1)=a$ , $\text{x}(2)=b$ 인 함수 $\text{x}$ 를 대응시키는 명백한 일대일 대응이 존재한다. 정의에서 언급하였듯이 일반적으로 이 함수 $\text{x}$ 를 순서쌍 표기법으로 $(a,b)$ 라고 표기하므로, 이러한 표기법은 그 자체로 전단사 대응을 암시한다. 그러므로 데카르트 곱의 일반화된 정의는 두 집합에 대해서는 본질적으로 그 이전의 정의로 퇴화한다.
데카르트 곱 $A\times B\times C$ 는 $A\times(B\times C)$ 및 $(A\times B)\times C$ 와 크게 다르지 않으며, 이 세 집합에는 아래와 같은 명백한 일대일 대응이 존재한다.
$$(a,b,c)\leftrightarrow\big(a,(b,c)\big)\leftrightarrow\big((a,b),c\big)$$
Definition. 주어진 집합 $X$ 에 대해, $X$ 의 원소의 $\omega$-순서쌍이란 다음의 함수를 의미한다.$$\text{x}:\mathbb{N}\to X$$상황에 따라 함수 $x$ 는 $X$ 의 원소의 수열(sequence) 또는 무한수열(infinite sequence)이라고 한다. $\text{x}$ 에 대한 $i$ 의 상을 $\text{x}(i)$ 대신 종종 $x_i$ 라고 쓰며 이를 $x$ 의 i번째 성분이라고 한다. 함수 $\text{x}$ 는 종종 다음과 같이 표기된다.$$(x_1,x_2,\ldots)\qquad (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$$
Definition. 인덱스 패밀리 $\{A_1,A_2,\ldots\}$ 와 이 모임의 합집합 $X$ 를 생각하자. 이 인덱스 패밀리의 데카르트 곱이란 각 $i$ 에 대해 $x_i\in A_i$ 이도록 하는 $X$ 의 원소의 모든 $\omega$-순서쌍의 집합을 의미하며 다음과 같이 표기한다.$$\prod_{i\in\mathbb{N}}A_i\qquad A_1\times A_2\times\cdots$$
이 정의는 각 $A_i$ 가 서로 달라야 함을 필요로 하지 않는다. 사실, 이 정의를 활용하는 대부분의 상황에는 아마 $A_1,A_2,\ldots$ 는 모두 동일한 집합 $X$ 와 같을 것이다. 이러한 경우 데카르트 곱 $A_1\times\cdots\times A_m$ 은 그저 $X$ 의 원소의 모든 $m$-순서쌍의 집합이며 이를 $X^m$ 이라고 표기한다. 비슷하게, 데카르트 곱 $A_1\times A_2\times\cdots$ 는 그저 $X$ 의 원소의 모든 $\omega$-순서쌍의 집합이며 이를 $X^\omega$ 라고 표기한다.
예를들면, 모든 실수의 집합 $\mathbb{R}$ 에 대해 $\mathbb{R}^m$ 은 실수의 모든 $m$-순서쌍의 집합이며, 종종 m차원 유클리드 공간(euclidean m-space)이라고 한다. 유사하게, $\mathbb{R}^\omega$ 는 무한차원 유클리드 공간(infinite-dimensional euclidean space)이라고 불리며, 이는 실수의 모든 수열 $(x_1,x_2,\ldots)$ 의 집합, 즉 모든 함수 $\text{x}:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ 의 집합이다.
읽어주셔서 감사합니다.
References)
[1] James R. Munkres. (2000). Topology. Pearson College Div.
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