함수의 엄밀한 정의

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함수의 엄밀한 정의

 

  Definition.  대응규칙(rule of assignment)이란 집합 $C\times D$ 의 부분집합 $r$ 로서, $C$ 의 각 원소들이 최대 한 번 $r$ 의 순서쌍의 첫 번째 성분으로 나타나는 것을 말한다.

 

  형식적으로, 대응규칙이란 다음을 만족하는 $C\times D$ 의 부분집합 $r$ 을 의미한다.

$$\Big((c,d)\in r\land(c,d')\in r\Big)\implies(d=d')$$

  이는 다르게 말하면 대응규칙 $r$ 이란 $D$ 의 서로 다른 두 원소 $d,d'$ 에 대해 $(c,d)\in r$ , $(c,d')\in r$ 을 허용하지 않는 것임을 의미한다. 따라서 대응규칙 $r$ 은 $(c,d)\in r$ 에 대해 $c\in C$ 를 $d\in D$ 에 배정하는 방법으로 생각할 수 있다.

 

  주어진 대응규칙 $r\subset C\times D$ 에 대해, $r$ 의 정의역(domain)이란 $r$ 의 모든 원소의 첫 번째 성분으로 이루어진 $C$ 의 부분집합을 의미하고, $r$ 의 치역(image set)이란 $r$ 의 모든 원소의 두 번째 성분으로 이루어진 $D$ 의 부분집합을 의미한다. 형식적으로 다음과 같다.

$$\text{domain }r=\{c:\exists d\in D,\;(c,d)\in r\}$$

$$\text{image }r=\{d:\exists c\in C,\;(c,d)\in r\}$$

 

  어떤 대응규칙 $r$ 이 주어지면, $r$ 의 정의역과 치역이 온전히 정해짐을 기억하자.

 

  Definition.  함수(function) $f$ 란 치역을 포함하는 집합 $B$ 가 정의된 대응규칙 $r$ 을 의미한다. $f$ 의 정의역이란 $r$ 의 정의역 $A$ 를 의미하고 $f$ 의 치역이란 $r$ 의 치역을 의미하며, $B$ 는 $f$ 의 공역(codomain)이라고 한다.

 

  함수 $f$ 가 정의역 $A$ 와 공역 $B$ 를 가진다면, 이를 $f:A\to B$ 라고 표기하고 "$f$ 는 $A$ 에서 $B$ 로의 함수이다" , "$f$ 는 $A$ 에서 $B$ 로의 사상이다" 라고한다. 함수의 구체적인 명시를 피하기 위해 그냥 $A\to B$ 라고 쓰거나 "$A$ 에서 $B$ 로의 함수" 라고 말하기도 한다. 종종 $A$ 의 점을 $B$ 의 점으로 물리적으로 옮기는 기하학적 변환으로 함수를 표현하기도 한다.

 

  $f:A\to B$ 와 $A$ 의 원소 $a$ 에 대해, 대응규칙이 $f$ 가 $a$ 를 배정하도록 결정한 $B$ 의 유일한 원소를 $f(a)$ 라고 표기하며, 이를 $a$ 에서 $f$ 의 값(value)이라고 하거나 $f$ 에 대한 $a$ 의 상(image)이라고 한다. 형식적으로, 함수 $f$ 의 규칙 $r$ 에 대해 $f(a)$ 란 $(a,f(a))\in r$ 이도록 하는 $B$ 의 유일한 원소를 의미한다.

 

  이러한 표기법을 이용하면 충분히 엄밀하게 함수들을 정의할 수 있다. 예를들어 다음과 같이 말할 수 있다.

 

  "$f$ 는 규칙이 $\{(x,x^3+1):x\in\mathbb{R}\}$ 이고 공역이 $\mathbb{R}$ 인 함수이다."

  "$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 은 $f(x)=x^3+1$ 인 함수이다."

 

두 문장은 정확하게 동일한 함수를 명시한다. 그러나 "$f$ 는 $f(x)=x^3+1$ 인 함수이다" 라는 문장은 하나의 함수를 명시하기에 충분히 엄밀하지 못하며, 이는 $f$ 의 정의역과 공역을 명시하지 않기 때문이다.

 

 

함수의 연산

 

  Definition.  주어진 함수 $f:A\to B$ 와 $A$ 의 부분집합 $A_0$ 에 대해, $f$ 의 $A_0$ 으로의 제한(restriction)이란 $f|_{A_0}$ 이라고 쓰고 규칙이$$\{(a,f(a)):a\in A_0\}$$인 $A_0$ 에서 $B$ 로의 함수를 의미하며 "$A_0$ 으로 제한된 $f$" 라고 한다.

 

  함수의 정의역을 제한하거나 공역을 바꾸는 것은 새 함수를 만드는 두 가지 방법이다. 또 다른 방법은 두 함수를 합성하는 것이다.

 

  Definition.  주어진 함수 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ 에 대해, $f$ 와 $g$ 의 합성(composite)이란 $g\circ f$ 라고 쓰고 식 $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ 으로 정의된 함수 $g\circ f:A\to C$ 를 의미한다.

 

  형식적으로 $g\circ f:A\to C$ 는 공역 $C$ 가 정의된 다음의 규칙을 의미한다.

$$\{(a,c):\exists b\in B,\;f(a)=b\land g(b)=c\}$$

 

  $g\circ f$ 는 $f$ 의 공역과 $g$ 의 정의역이 같을 때에만 정의됨을 기억하자.

 

 

함수의 성질

 

  Definition.  함수 $f:A\to B$ 를 생각하자.
  (1) $f$ 에 대한 $A$ 의 서로 다른 두 점의 상이 서로 다르면 $f$ 가 단사(injective) 또는 일대일(one-to-one)함수라고 한다.
  (2) $f$ 에 대한 $B$ 의 모든 원소가 $A$ 의 어떤 원소의 상이면 $f$ 가 전사(surjective) 또는 위로의(onto)함수라고 한다.
  (3) $f$ 가 단사이며 전사이면 전단사(bijective) 또는 일대일대응(one-to-one correspondence)이라고 한다.

 

  더 형식적으로, $f$ 가 단사라는 것은 다음을 의미한다.

$$\Big(f(a)=f(a')\Big)\implies(a=a')$$

그리고 $f$ 가 전사라는 것은 다음을 의미한다.

$$(b\in B)\implies\Big(\exists a\in A,\;f(a)=b\Big)$$

 

  $f$ 의 단사성은 오직 $f$ 의 규칙에만 의존하며, 전사성은 $f$ 오직 의 공역이 무엇이느냐에 달려있다. 두 단사함수의 합성은 단사이고, 두 전사함수의 합성은 전사임을 쉽게 확인할 수 있다. 이에 따라 두 전단사함수의 합성은 전단사임을 안다.

 

  만약 $f$ 가 전단사이면, $f$ 의 역함수(inverse)라고 하는 $B$ 에서 $A$ 로의 함수가 존재한다. 이를 $f^{-1}$ 이라고 표기하고, 각 $b\in B$ 에 대해 $f(a)=b$ 이도록 하는 원소 $a$ 를 $f^{-1}(b)$ 라고 하여 정의된다. 이때 $f$ 가 전단사이므로 이러한 원소 $a$ 는 유일하게 존재하여 함수 $f^{-1}$ 가 잘 정의된다. $f$ 가 전단사이면 $f^{-1}$ 도 전단사임을 보이는 것은 어렵지 않다.

 

 

함수의 원상

 

  Definition.  함수 $f:A\to B$ 와 $A$ 의 부분집합 $A_0$ , $B$ 의 부분집합 $B_0$ 을 생각하자.
  (1) $f$ 에 대해 $A_0$ 의 모든 원소의 상의 집합을 $f(A_0)$ 이라고 표기하고 $f$ 에 대한 $A_0$ 의 상(image)이라고 한다. 형식적으로 다음과 같다.$$f(A_0)=\{b:\exists a\in A,\;f(a)=b\}$$  (2) $f$ 에 대한 상이 $B_0$ 에 속하도록 하는 $A_0$ 의 모든 원소의 집합을 $f^{-1}(B_0)$ 이라고 표기하고 $f$ 에 대한 $B$ 의 원상(preimage)이라고 한다. 형식적으로 다음과 같다.$$f^{-1}(B_0)=\{a:f(a)\in B_0\}$$

 

  물론 $A$ 의 원소 중 $f$ 에 대한 상이 $B_0$ 에 속하도록 하는 원소가 없을 수도 있다. 이 경우 $f^{-1}(B_0)$ 은 공집합이다.

 

  전단사함수 $f:A\to B$ 와 $B_0\subset B$ 에 대하여 $f^{-1}(B_0)$ 는 두 가지 의미를 갖는다. 첫 번째는 $f$ 에 대한 $B_0$ 의 원상이며, 두 번째는 함수 $f^{-1}:B\to A$ 에 대한 $B_0$ 의 상이다.  이 두 가지 의미는 정확히 동일한 집합을 지시하며, 따라서 사실 혼란이 없다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (2000). Topology. Pearson College Div.

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