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수학/집합론

함수의 엄밀한 정의

김한결 2022. 11. 22. 00:48

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함수의 엄밀한 정의

 

  Definition.  대응규칙(rule of assignment)이란 집합 C×D 의 부분집합 r 로서, C 의 각 원소들이 최대 한 번 r 의 순서쌍의 첫 번째 성분으로 나타나는 것을 말한다.

 

  형식적으로, 대응규칙이란 다음을 만족하는 C×D 의 부분집합 r 을 의미한다.

((c,d)∈r∧(c,d′)∈r)⟹(d=d′)

  이는 다르게 말하면 대응규칙 r 이란 D 의 서로 다른 두 원소 d,d′ 에 대해 (c,d)∈r , (c,d′)∈r 을 허용하지 않는 것임을 의미한다. 따라서 대응규칙 r 은 (c,d)∈r 에 대해 c∈C 를 d∈D 에 배정하는 방법으로 생각할 수 있다.

 

  주어진 대응규칙 r⊂C×D 에 대해, r 의 정의역(domain)이란 r 의 모든 원소의 첫 번째 성분으로 이루어진 C 의 부분집합을 의미하고, r 의 치역(image set)이란 r 의 모든 원소의 두 번째 성분으로 이루어진 D 의 부분집합을 의미한다. 형식적으로 다음과 같다.

domain r={c:∃d∈D,(c,d)∈r}

image r={d:∃c∈C,(c,d)∈r}

 

  어떤 대응규칙 r 이 주어지면, r 의 정의역과 치역이 온전히 정해짐을 기억하자.

 

  Definition.  함수(function) f 란 치역을 포함하는 집합 B 가 정의된 대응규칙 r 을 의미한다. f 의 정의역이란 r 의 정의역 A 를 의미하고 f 의 치역이란 r 의 치역을 의미하며, B 는 f 의 공역(codomain)이라고 한다.

 

  함수 f 가 정의역 A 와 공역 B 를 가진다면, 이를 f:A→B 라고 표기하고 "f 는 A 에서 B 로의 함수이다" , "f 는 A 에서 B 로의 사상이다" 라고한다. 함수의 구체적인 명시를 피하기 위해 그냥 A→B 라고 쓰거나 "A 에서 B 로의 함수" 라고 말하기도 한다. 종종 A 의 점을 B 의 점으로 물리적으로 옮기는 기하학적 변환으로 함수를 표현하기도 한다.

 

  f:A→B 와 A 의 원소 a 에 대해, 대응규칙이 f 가 a 를 배정하도록 결정한 B 의 유일한 원소를 f(a) 라고 표기하며, 이를 a 에서 f 의 값(value)이라고 하거나 f 에 대한 a 의 상(image)이라고 한다. 형식적으로, 함수 f 의 규칙 r 에 대해 f(a) 란 (a,f(a))∈r 이도록 하는 B 의 유일한 원소를 의미한다.

 

  이러한 표기법을 이용하면 충분히 엄밀하게 함수들을 정의할 수 있다. 예를들어 다음과 같이 말할 수 있다.

 

  "f 는 규칙이 {(x,x3+1):x∈R} 이고 공역이 R 인 함수이다."

  "f:R→R 은 f(x)=x3+1 인 함수이다."

 

두 문장은 정확하게 동일한 함수를 명시한다. 그러나 "f 는 f(x)=x3+1 인 함수이다" 라는 문장은 하나의 함수를 명시하기에 충분히 엄밀하지 못하며, 이는 f 의 정의역과 공역을 명시하지 않기 때문이다.

 

 

함수의 연산

 

  Definition.  주어진 함수 f:A→B 와 A 의 부분집합 A0 에 대해, f 의 A0 으로의 제한(restriction)이란 f|A0 이라고 쓰고 규칙이{(a,f(a)):a∈A0}인 A0 에서 B 로의 함수를 의미하며 "A0 으로 제한된 f" 라고 한다.

 

  함수의 정의역을 제한하거나 공역을 바꾸는 것은 새 함수를 만드는 두 가지 방법이다. 또 다른 방법은 두 함수를 합성하는 것이다.

 

  Definition.  주어진 함수 f:A→B , g:B→C 에 대해, f 와 g 의 합성(composite)이란 g∘f 라고 쓰고 식 (g∘f)(a)=g(f(a)) 으로 정의된 함수 g∘f:A→C 를 의미한다.

 

  형식적으로 g∘f:A→C 는 공역 C 가 정의된 다음의 규칙을 의미한다.

{(a,c):∃b∈B,f(a)=b∧g(b)=c}

 

  g∘f 는 f 의 공역과 g 의 정의역이 같을 때에만 정의됨을 기억하자.

 

 

함수의 성질

 

  Definition.  함수 f:A→B 를 생각하자.
  (1) f 에 대한 A 의 서로 다른 두 점의 상이 서로 다르면 f 가 단사(injective) 또는 일대일(one-to-one)함수라고 한다.
  (2) f 에 대한 B 의 모든 원소가 A 의 어떤 원소의 상이면 f 가 전사(surjective) 또는 위로의(onto)함수라고 한다.
  (3) f 가 단사이며 전사이면 전단사(bijective) 또는 일대일대응(one-to-one correspondence)이라고 한다.

 

  더 형식적으로, f 가 단사라는 것은 다음을 의미한다.

(f(a)=f(a′))⟹(a=a′)

그리고 f 가 전사라는 것은 다음을 의미한다.

(b∈B)⟹(∃a∈A,f(a)=b)

 

  f 의 단사성은 오직 f 의 규칙에만 의존하며, 전사성은 f 오직 의 공역이 무엇이느냐에 달려있다. 두 단사함수의 합성은 단사이고, 두 전사함수의 합성은 전사임을 쉽게 확인할 수 있다. 이에 따라 두 전단사함수의 합성은 전단사임을 안다.

 

  만약 f 가 전단사이면, f 의 역함수(inverse)라고 하는 B 에서 A 로의 함수가 존재한다. 이를 f−1 이라고 표기하고, 각 b∈B 에 대해 f(a)=b 이도록 하는 원소 a 를 f−1(b) 라고 하여 정의된다. 이때 f 가 전단사이므로 이러한 원소 a 는 유일하게 존재하여 함수 f−1 가 잘 정의된다. f 가 전단사이면 f−1 도 전단사임을 보이는 것은 어렵지 않다.

 

 

함수의 원상

 

  Definition.  함수 f:A→B 와 A 의 부분집합 A0 , B 의 부분집합 B0 을 생각하자.
  (1) f 에 대해 A0 의 모든 원소의 상의 집합을 f(A0) 이라고 표기하고 f 에 대한 A0 의 상(image)이라고 한다. 형식적으로 다음과 같다.f(A0)={b:∃a∈A,f(a)=b}  (2) f 에 대한 상이 B0 에 속하도록 하는 A0 의 모든 원소의 집합을 f−1(B0) 이라고 표기하고 f 에 대한 B 의 원상(preimage)이라고 한다. 형식적으로 다음과 같다.f−1(B0)={a:f(a)∈B0}

 

  물론 A 의 원소 중 f 에 대한 상이 B0 에 속하도록 하는 원소가 없을 수도 있다. 이 경우 f−1(B0) 은 공집합이다.

 

  전단사함수 f:A→B 와 B0⊂B 에 대하여 f−1(B0) 는 두 가지 의미를 갖는다. 첫 번째는 f 에 대한 B0 의 원상이며, 두 번째는 함수 f−1:B→A 에 대한 B0 의 상이다.  이 두 가지 의미는 정확히 동일한 집합을 지시하며, 따라서 사실 혼란이 없다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (2000). Topology. Pearson College Div.

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