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[다변수 적분] ch1. 적분의 정의
이전 읽을거리) [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 [실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary 다음 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 Partition 적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다. Definition. Rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 각 $[a_j,b_j]$ 를 $Q$ 의 component interval 이라고 한다. (1) $Q$ 의 width 를 다음과 같이 정의하자.$$\text{width }Q=\text{max}\{b_1-a_1,\ldots,b_n-a_n\}$$ (2) $Q..[다변수 적분] ch2. 측도 0과 적분가능성
이전 읽을거리) [집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합 ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 측도 0 이제부터는 유난히 rectangle 을 많이 사용하게 된다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의하자. Definition. $\mathbb{R}^n$ 의 모든 rectangles 의 모임을 $\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 다음의 정의는 기하적으로 무한히 협소한 집합, "부피" 가 0인 집합을 가리킨다. Definition. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 가산모임 $\{Q_1,Q_2,\ldots\}\subset\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이 존재하여 $A\subset\mathbb{R}^n$ 을 덮으며 다음이 성립..[다변수 적분] ch3. 푸비니 정리
이전 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 다음 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 푸비니 정리 이번 포스팅의 목표는 다음의 수식이 성립함을 보이는 것이다. $$\int_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)$$ 이는 적분의 계산을 고차원에서 저차원으로 끌어내려 실제로 적분값을 계산할 수 있도록 도와준다. 우리는 이미 1차원에 한하여 적분을 쉽게 계산하는 방법을 알고있으며, 이는 미적분학의 기본정리라고 불린다. 미적분학의 기본정리 (Tundamental theorem of calculus). (1) 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 과 다음의 함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f..
[다변수 적분] ch4. 유계집합 위의 적분
이전 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 다음 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 유계집합 위의 적분의 정의 종종 적분을 이용할때 rectangle 이 아닌 집합에서 적분을 해야 할 때가 있다. 이를테면 구의 질량중심을 구하는 문제를 풀기 위해 적분을 이용하는 경우가 그렇다. 이제 적분의 정의를 "약간" 확장해보자. 다음의 정의는 함수의 "자명한 확장" 에 대한 것이다. Definition. 함수 $f:S\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 에 대하여 함수 $f_S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의한다.$$f_S(x)=\begin{cases}f(x)&\text{if }x\in S\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$ 이제 적분..[다변수 적분] ch5. 부피를 갖는 집합
이전 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 다음 읽을거리: ch6. 특이적분 바나흐 측도 문제 잠시 편의를 위해 $\mathbb{R}^n$ 의 모든 유계집합의 모임을 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 폴란드 수학자 바나흐(Stefan Banach, 1892-1945)는 임의의 유계집합의 "부피" 를 정의하고자, 다음의 성질을 갖는 함수 $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}$ 가 존재하는지 검토하였다. 1. 임의의 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $\mu(A)\ge 0$ 이다. 2. 임의의 $A,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $A\cap B=\varnothing$ 이..
[다변수 적분] ch6. 특이적분
이전 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 특이적분의 정의 지금까지 사용해온 적분은, 이를테면 $\int_Sf$ 라고 할때 $S$ 가 유계이고 $f$ 가 유계인 경우에 대해서만 정의했었다. 이제 $S$ 가 유계일 필요도, $f$ 가 유계일 필요도 없는 확장된 의미의 적분을 정의하자. 다만 소개할 적분은 $S$ 가 열려있고 $f$ 가 연속임을 요구한다. 다음의 보조정의부터 시작하자. 구분을 위해 기존의 적분을 $\sideset{^\text{ord}}{}\int$ , 이번에 정의할 적분을 $\sideset{^\text{ext}}{}\int$ 라고 쓰자. Definition. 음의 값을 갖지않는 연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 부분집..📂[추천 코스] 다변수 미분
[다변수 미분] ch1. 미분의 정의
이전 읽을거리: [실수공간의 위상] ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch2. 편미분 1공간에서 1공간으로의 미분 미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다. Definition. $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $a\in\text{Int }A$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 $\phi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을 $a$ 에서 $\phi$ 의 미분(der..[다변수 미분] ch2. 편미분
이전 읽을거리: ch1. 미분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 연속미분가능 편미분 Definition. $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 에 대해 $D_{e_j}f(a)$ 가 존재하면 이를 $a$ 에서 $f$ 의 j번째 편미분(j-th partial derivative)이라고 하고 $D_jf(a)$ 라고 쓴다. 다시말해 $f$ 의 j번째 편미분은 아래의 극한이 존재할 때 그 극한값을 말한다. $$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$$ 편미분은 사실 계산하기에 상당히 편리하다. $a=(a_1,\ldots,a_m)$ 이라고 할때 다음의 함수를 생각하자. $$\phi(t)=f(a_1,\ldots,a_{j-1},t,a_{j+1},\ldots,a_..[다변수 미분] ch3. 연속미분가능
이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..[다변수 미분] ch4. 연쇄법칙
이전 읽을거리: ch3. 연속미분가능 다음 읽을거리: ch5. 역함수 정리 연쇄법칙 연쇄법칙 (chain rule) $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , $g:B\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ 에 대해 $f(A)\subset B$ 가 성립한다고 가정하자. $f(a)=b$ 라고 할때 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $b$ 에서 미분가능하면 $g\circ f$ 는 $a$ 에서 미분가능하며 다음이 성립한다.$$D(g\circ f)(a)=Dg(b)Df(a)$$ 우리는 아직 미분가능성이 정의되는 점을 정의역의 interior 로 제한하고 있음을 기억하자. 따라서 위 정의의 증명은 $a$ 가 $g\circ f$ 의 정의역의 inte..[다변수 미분] ch5. 역함수 정리
이전 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 역함수 정리 역함수 정리란 대략 "꼬여있지 않은 공간에는 국소적으로 역함수가 존재한다" 를 의미한다. (정확한 설명이 아님에 주의) 차근차근 증명해보자. 페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem) 미분가능함수 $\phi:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in A$ 에서 local minimum 을 가지면 $D\phi(a)=0$ 이다. ※ Local minimum 이란 어떤 근방 속에서 최소값을 갖는 점을 의미한다. Proof. 각 $j\in\{1,\ldots,m\}$ 에 대해 정의에 따라 다음과 같다. $$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+te_j)-\phi(a)}{t}=D_..📂[추천 코스] 집합의 크기
[집합의 크기] ch1. 유한집합
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제 함수의 엄밀한 정의 데카르트 곱의 일반화된 정의 수학적 귀납법과 정렬원리 다음 읽을거리: ch2. 가산집합과 비가산집합 유한집합의 정의 자연수 $n$ 에 대해 $n$ 보다 작은 자연수의 집합을 $S_n$ 또는 $\{1,\ldots,n-1\}$ 이라고 표기하고, 이를 자연수의 절편(section)이라고 한다. 물론 $S_1=\varnothing$ 이다. 자연수의 절편은 유한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. Definition. 집합 $A$ 와 자연수의 어떤 절편 $S_n$ 에 대해 일대일 대응 $A\to S_n$ 이 존재하면 $A$ 가 유한하다(finite)고 한다. 다시말해 $A$ 가 유한하다는 것은 공집합이거나, 어떤 자연수 $n$ 에 ..
[집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch5. 집합의 모임 데카르트 곱의 일반화된 정의 ch1. 유한집합 다음 읽을거리: ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기 무한의 정의 마치 자연수의 절편이 유한집합의 원형이듯이, 모든 자연수의 집합은 가산무한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. 앞으로 유한하지도, 가산무한하지도 않은 집합을 구성하는 것에 대해 살펴볼 것이다. Definition. 집합 $A$ 가 유한하지 않으면 무한하다(infinite)고 한다. 일대일대응 $A\to\mathbb{N}$ 이 존재하면 $A$ 가 셀 수 있게 무한하다(countably infinite)고 하거나 가산무한이라고 한다. 예를들면, 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있게 무한하다. 다음의 함수 $f:\mathbb..[집합의 크기] ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1 ch2. 가산집합과 비가산집합 유리수 집합의 크기 ※ 앞서 증명한 많은 정리를 활용하므로 이전 포스팅을 보고 오길 추천한다. 정리 2.6.으로부터 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 가 셀 수 있음을 어렵지 않게 알 수 있다. 지난 포스팅의 초반에 언급하였듯이 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있다. 여기서부터 시작하자. Theorem 3.1. $\mathbb{Q}$ 는 셀 수 있다. Proof. 가산집합인 $\mathbb{Z}$ 에 대해 따름정리 2.3.에 따르면 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 도 셀 수 있으므로 ..🔥인기글
[다변수 미분] ch3. 연속미분가능
이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..[FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초
다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 0. 수학 기초 아름다운 해석학의 세계로 들어가기에 앞서 몇 가지 준비운동이 필요하다. 전혀 어려운 내용이 아니지만, 이들 없이는 한 발자국도 나아갈 수 없다. 익숙하지 않은 내용이 있다면 반드시 숙지하자. 0.1. 집합 정의) 집합(set)이란 원소(element)라고 불리는 대상의 모임이다. 위는 집합을 정의하는 가장 명료한 방법이다. "어떤 $x$ 가 집합 $A$ 에 속한다." 또는 "집합 $A$ 의 원소 $x$ "라고 말하고 싶을때는 다음과 같이 쓴다. $$x\in A$$ 정의) 두 집합 $A,\;B$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다. ▶ 합..[행렬식의 엄밀한 정의] ch1. 다중선형사상
이전 읽을거리: ch0. 행렬식의 귀납적 정의 다음 읽을거리: ch2. 텐서의 성질1. 다중선형사상 흔히 순서쌍이라 하면, 실수 2~3개를 순서지어 $(1,2)$ 처럼 나타내는 것을 떠올릴 것이다. 다음은 일반화된 순서쌍의 정의이다. Definition. 공집합이 아닌 집합 $A_1,\ldots,A_k$ 를 생각하자. 각 $i$ 에 대해 $A_i$ 의 원소 $a_i$ , 총 k개의 원소를 다음과 같이 순서지어 나타내는 것을 k-순서쌍(k-tuple)이라고 한다.$$(a_1,a_2,\ldots,a_n)$$ 이러한 k-순서쌍의 집합을 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 의 곱집합(product)이라 하며 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_k$ 라고 표기한다. 즉, ..
[직선과 실수] ch2. 연속성의 본질, 절단성
이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch3. 전통적 직선 본 포스팅은 '박예은, 역사발생적 원리에 따른 수직선 의미와 지도방안 고찰(석사학위논문)'을 참고하여 작성하였습니다. 2. 실수의 절단성 실수가 엄밀하게 구성되기 이전에는, 유리수체가 길이를 표현하는 최선의 수 집합이었다. 그러나 유리수체와 직선을 비교하면 유리수체에 틈이 존재한다는 사실을 알게 된다. 반면에 직선은 아무런 틈이 없이 매끈하게 연결되어 있다. 직선과 수 집합의 일대일대응이 이루어지기 위해서는 수 또한 연속적인 성질을 가져야 한다. 그리하면 가장 중요한 질문에 도달하게 된다. 과연 연속성의 본질이란 무엇인가? 극미한 부분에서도 연결이 끊어지지 않고 이어져 있다.. 따위의 ..
[대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조
이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch1. 이항대수구조 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 2. 마그마의 파생 군(group)은 어떤 '세 가지 조건'을 만족하는 이항구조로 정의한다. 그 조건들을 하나씩만 만족하는 특별한 마그마를 살펴보자. 2.1. 단위마그마 항등원은 빈번하게 사용되는 개념이다. 항등원의 유일성에 대한 혼란을 없애기 위해 다음의 기초적인 정의부터 시작한다. 정의) 임의의 마그마 $\left$ 를 생각하자. $S$ 의 임의의 원소 $a\in S$ 에 대하여 $e_L*a=a$ 가 성립하는 $e_L..[대수구조부터 체까지] ch1. 이항대수구조
다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 이항대수구조 체는 다양한 대수구조 중 하나이다. 대수구조가 무엇인지 알아보기 전에 아래의 정의를 확인하자. 정의) 주어진 두 집합 $A,\;B$ 를 생각하자. $A$ 와 $B$ 각각의 임의의 원소 $a,\;b$ 에 대하여, $a$ 와 $b$ 의 순서를 정하고 짝지어 나타내는 것을 순서쌍(tuple)이라고 하며 $(a,b)$ 로 표기한다. 순서쌍의 첫 번째, 두 번째 성분을 각각 집합 $A,\;B$ 에서 가져오는 모든 순서쌍의 집합을 $A,\;B$ 의 곱집합(product set)..
[벡터공간부터 기저까지] ch3. 기저의 특성
이전 읽을거리 : 일차종속과 일차독립 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다. 7. 기저 정의) 벡터공간 $V$ 의 부분집합 $\beta$ 를 생각하자. $\beta$ 가 일차독립이고 $V$ 를 생성하면 $\beta$ 를 $V$ 의 기저(basis)라고 한다. 기저의 가장 특별한 점은 가장 작은 생성집합이면서 가장 큰 일차독립인 집합이라는 것이며, 이에 대해선 아래에서 자세히 살펴볼 것이다. 벡터공간에는 기저가 하나만 존재할 수도 있고, 서로 다른 여러개의 기저가 존재할수도 있다. 7.1. 기저의 예시 예시 1) 점공간의 기저 점공간 $\{0\}$ 의 생성집합은 $\varnothing,\;\{0\}$ 두 개가 있다. 두 집합 중에서 $\varnothing$..[벡터공간부터 기저까지] ch2. 일차종속과 일차독립
이전 읽을거리 : 벡터공간과 부분공간 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다. 3. 일차결합 정의) 벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 를 생각하자. $S$ 에 속하는 벡터 중 유한개의 벡터 $u_1,\ldots,u_n$ 와 임의의 스칼라 $a_1,\ldots,a_n$ 에 대하여 다음과 같은 벡터 $v$ 를 $S$ 의 일차결합(Linear Combination)이라 한다. $$v=a_1u_1+\cdots+a_nu_n$$ 이때, $v$ 는 벡터 $u_1,\ldots,u_n$ 의 일차결합이고 $a_1,\ldots,a_n$ 은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다. 일차결합의 정의를 이해할 때, 벡터 여러개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것도 일차결..
라그랑주 승수법(Lagrange Multiplier Method)
어떤 함수의 최대점과 최소점을 찾기 위해서는 일반적으로 어떤 점에서 함수의 일계미분이 0인가 아닌가로 판단한다. 그러나 함수의 가장자리에서 최대점과 최소점을 판단하는 것은 단순하지 않다. 이를테면 다음 문제와 같은 경우 단순히 함수의 일계미분만으로 최대값을 찾을 수 없다. 문제 : 타원 $g(x,y)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 의 내부와 경계에서 함수 $f(x,y)=x^2+y^2$ 의 최대값을 구하시오. 수식을 늘어놓기에 앞서, 그래프를 통해 본 문제의 답을 추정해볼 수 있다. 위의 그래프에서 보다시피 타원영역(경계와 내부를 모두 포함하는) 에서 함수 $f$ 가 가장 높은 값을 가지는 점은 타원의 긴 방향의 양 끝 두 곳이 될 것임을 기대할 수 있다. 따라서 본 문제를 풀면,..
[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.2 다변수 미분
이전 읽을거리: [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.0 미분이란? [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.1 일변수 미분 본 포스팅은 PC chrome 환경에 최적화되어있습니다. 본 포스팅에서는 미분의 의미부터 연쇄법칙의 유도까지 아주 상세하게 설명한다. 연쇄법칙의 원리를 아는 것의 가치는 태평양을 표류할 때의 나침반의 가치와 같다. 천천히, 꼼꼼하게 내용을 공부한다면, 연쇄법칙의 겉모양만 보고 기계적으로 연산하는 당신에게 커다란 통찰을 안겨줄 것이다. 이해가 안되거나 설명이 잘못되었다고 생각이 드는 부분이 있다면 얼마든지 댓글로 질문을 남겨주시기를 부탁드린다. 2. 다변수 미분 진정한 의미의 다변수함수의 도함수를 정의하기 전에, 다음을 정의하자. 정의) 열린 집합 $U\subset\mathbb{R^n}..수학적 귀납법과 정렬원리
이전 읽을거리: [집합론 기초] ch4. 논리 기호페아노 공리계 수학자 크로네커(Leopold Kronecker, 1823~1891)는 다음의 명언을 남겼다. 자연수는 신의 선물이며, 나머지는 인간의 산물이다. 현대수학의 다양한 대상들은 자연수에 의지하여 존재한다. 예를들어, 실수의 존재성은 유리수에 의해 보장되고, 유리수는 정수, 정수는 자연수에 의해 존재한다. 그러나 자연수는 어쩌면 그 스스로 존재하는 듯 하다. 페아노 공리계는 자연수를 정의하는 한 가지 방법이다. 페아노 공리계 (Peano's axioms) 다음을 만족하는 집합 $\mathbb{N}$ 과 함수 $s:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ , 대상 $1$ 이 존재한다. (P1) $1\in\ma..
[행렬식의 엄밀한 정의] ch4. 교대다중선형사상
이전 읽을거리: ch3. 순열 다음 읽을거리: ch5. 교대텐서의 성질 1. 교대텐서 지난 포스팅에서 순열을 언급한 것은 지금을 위해서이다. Definition. $f\in\mathcal{L}^k(V)$ , $\sigma\in S_k$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.$$f^\sigma(v_1,v_2,\ldots,v_k)=f(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(k)})$$ 이때 $f$ 는 각 성분에 대해 선형이므로 $f^\sigma$ 도 마찬가지다. 따라서 $f^\sigma\in\mathcal{L}^k(V)$ 이다. 위의 정의는 어렵지 않으나, 사람에 따라 직관과 다르게 느껴질 수 있는 구석이 있다. 다음의 순열 $\sigma\in S_5$ 를 생각하자. $$\..쌍대공간 (Dual Space)
이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 [선형변환부터 동형사상까지] 5.1. 선형변환의 집합인 벡터공간 [선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Kenneth Hoffman & Ray Kunze. Linear algebra'를 공부하며 작성하였습니다. 1. 선형범함수 선형변환의 정의를 다시 소개하자면 다음과 같다. 정의) 임의의 두 $F$-벡터공간 $V,\;W$ 를 생각하자. 어떤 함수 $T:V\to W$ 가 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음의 두 조건을 만족하면 $T$ 를 선형변환이라고 한다. (ⅰ) $T(x+y)=T(x)+T(y)$ (ⅱ) $T(cx)=cT(x)$ 선형변환의 구..[대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group)
이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 3. 군 군은 다음과 같이 정의한다. 정의) 어떤 마그마가 반군이며 단위마그마이며 유사군인 경우, 이 마그마를 군(group)이라고 한다. 임의의 군을 일컬어 $G$ 라고 쓴다. 다시말해 군은 반군의 조건, 단위마그마의 조건, 유사군의 조건을 모두 만족하는 이항구조를 의미한다. 위 정의를 공리적으로 재구성하면 다음과 같다. 군이란 다음의 세 명제를 모두 만족하는 이항구조 $\left$ 를 의미한다. (ⅰ) 임의의 세 원소..