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[다변수 적분] ch1. 적분의 정의

이전 읽을거리) [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 [실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary 다음 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 Partition 적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다. Definition. Rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 각 $[a_j,b_j]$ 를 $Q$ 의 component interval 이라고 한다. (1) $Q$ 의 width 를 다음과 같이 정의하자.$$\text{width }Q=\text{max}\{b_1-a_1,\ldots,b_n-a_n\}$$ (2) $Q..

[다변수 적분] ch2. 측도 0과 적분가능성

이전 읽을거리) [집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합 ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 측도 0 이제부터는 유난히 rectangle 을 많이 사용하게 된다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의하자. Definition. $\mathbb{R}^n$ 의 모든 rectangles 의 모임을 $\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 다음의 정의는 기하적으로 무한히 협소한 집합, "부피" 가 0인 집합을 가리킨다. Definition. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 가산모임 $\{Q_1,Q_2,\ldots\}\subset\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이 존재하여 $A\subset\mathbb{R}^n$ 을 덮으며 다음이 성립..

[다변수 적분] ch3. 푸비니 정리

이전 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 다음 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 푸비니 정리 이번 포스팅의 목표는 다음의 수식이 성립함을 보이는 것이다. $$\int_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)$$ 이는 적분의 계산을 고차원에서 저차원으로 끌어내려 실제로 적분값을 계산할 수 있도록 도와준다. 우리는 이미 1차원에 한하여 적분을 쉽게 계산하는 방법을 알고있으며, 이는 미적분학의 기본정리라고 불린다. 미적분학의 기본정리 (Tundamental theorem of calculus). (1) 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 과 다음의 함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f..

[다변수 적분] ch4. 유계집합 위의 적분

이전 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 다음 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 유계집합 위의 적분의 정의 종종 적분을 이용할때 rectangle 이 아닌 집합에서 적분을 해야 할 때가 있다. 이를테면 구의 질량중심을 구하는 문제를 풀기 위해 적분을 이용하는 경우가 그렇다. 이제 적분의 정의를 "약간" 확장해보자. 다음의 정의는 함수의 "자명한 확장" 에 대한 것이다. Definition. 함수 $f:S\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 에 대하여 함수 $f_S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의한다.$$f_S(x)=\begin{cases}f(x)&\text{if }x\in S\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$ 이제 적분..

[다변수 적분] ch5. 부피를 갖는 집합

이전 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 다음 읽을거리: ch6. 특이적분 바나흐 측도 문제 잠시 편의를 위해 $\mathbb{R}^n$ 의 모든 유계집합의 모임을 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 폴란드 수학자 바나흐(Stefan Banach, 1892-1945)는 임의의 유계집합의 "부피" 를 정의하고자, 다음의 성질을 갖는 함수 $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}$ 가 존재하는지 검토하였다. 1. 임의의 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $\mu(A)\ge 0$ 이다. 2. 임의의 $A,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $A\cap B=\varnothing$ 이..

[다변수 적분] ch6. 특이적분

이전 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 특이적분의 정의 지금까지 사용해온 적분은, 이를테면 $\int_Sf$ 라고 할때 $S$ 가 유계이고 $f$ 가 유계인 경우에 대해서만 정의했었다. 이제 $S$ 가 유계일 필요도, $f$ 가 유계일 필요도 없는 확장된 의미의 적분을 정의하자. 다만 소개할 적분은 $S$ 가 열려있고 $f$ 가 연속임을 요구한다. 다음의 보조정의부터 시작하자. 구분을 위해 기존의 적분을 $\sideset{^\text{ord}}{}\int$ , 이번에 정의할 적분을 $\sideset{^\text{ext}}{}\int$ 라고 쓰자. Definition. 음의 값을 갖지않는 연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 부분집..

[다변수 미분] ch1. 미분의 정의

이전 읽을거리: [실수공간의 위상] ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch2. 편미분 1공간에서 1공간으로의 미분 미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다. Definition. $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $a\in\text{Int }A$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 $\phi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을 $a$ 에서 $\phi$ 의 미분(der..

[다변수 미분] ch2. 편미분

이전 읽을거리: ch1. 미분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 연속미분가능 편미분 Definition. $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 에 대해 $D_{e_j}f(a)$ 가 존재하면 이를 $a$ 에서 $f$ 의 j번째 편미분(j-th partial derivative)이라고 하고 $D_jf(a)$ 라고 쓴다. 다시말해 $f$ 의 j번째 편미분은 아래의 극한이 존재할 때 그 극한값을 말한다. $$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$$ 편미분은 사실 계산하기에 상당히 편리하다. $a=(a_1,\ldots,a_m)$ 이라고 할때 다음의 함수를 생각하자. $$\phi(t)=f(a_1,\ldots,a_{j-1},t,a_{j+1},\ldots,a_..

[다변수 미분] ch3. 연속미분가능

이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..

[다변수 미분] ch4. 연쇄법칙

이전 읽을거리: ch3. 연속미분가능 다음 읽을거리: ch5. 역함수 정리 연쇄법칙 연쇄법칙 (chain rule) $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , $g:B\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ 에 대해 $f(A)\subset B$ 가 성립한다고 가정하자. $f(a)=b$ 라고 할때 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $b$ 에서 미분가능하면 $g\circ f$ 는 $a$ 에서 미분가능하며 다음이 성립한다.$$D(g\circ f)(a)=Dg(b)Df(a)$$ 우리는 아직 미분가능성이 정의되는 점을 정의역의 interior 로 제한하고 있음을 기억하자. 따라서 위 정의의 증명은 $a$ 가 $g\circ f$ 의 정의역의 inte..

[다변수 미분] ch5. 역함수 정리

이전 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 역함수 정리 역함수 정리란 대략 "꼬여있지 않은 공간에는 국소적으로 역함수가 존재한다" 를 의미한다. (정확한 설명이 아님에 주의) 차근차근 증명해보자. 페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem) 미분가능함수 $\phi:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in A$ 에서 local minimum 을 가지면 $D\phi(a)=0$ 이다. ※ Local minimum 이란 어떤 근방 속에서 최소값을 갖는 점을 의미한다. Proof. 각 $j\in\{1,\ldots,m\}$ 에 대해 정의에 따라 다음과 같다. $$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+te_j)-\phi(a)}{t}=D_..

[집합의 크기] ch1. 유한집합

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제 함수의 엄밀한 정의 데카르트 곱의 일반화된 정의 수학적 귀납법과 정렬원리 다음 읽을거리: ch2. 가산집합과 비가산집합 유한집합의 정의 자연수 $n$ 에 대해 $n$ 보다 작은 자연수의 집합을 $S_n$ 또는 $\{1,\ldots,n-1\}$ 이라고 표기하고, 이를 자연수의 절편(section)이라고 한다. 물론 $S_1=\varnothing$ 이다. 자연수의 절편은 유한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. Definition. 집합 $A$ 와 자연수의 어떤 절편 $S_n$ 에 대해 일대일 대응 $A\to S_n$ 이 존재하면 $A$ 가 유한하다(finite)고 한다. 다시말해 $A$ 가 유한하다는 것은 공집합이거나, 어떤 자연수 $n$ 에 ..

[집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch5. 집합의 모임 데카르트 곱의 일반화된 정의 ch1. 유한집합 다음 읽을거리: ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기 무한의 정의 마치 자연수의 절편이 유한집합의 원형이듯이, 모든 자연수의 집합은 가산무한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. 앞으로 유한하지도, 가산무한하지도 않은 집합을 구성하는 것에 대해 살펴볼 것이다. Definition. 집합 $A$ 가 유한하지 않으면 무한하다(infinite)고 한다. 일대일대응 $A\to\mathbb{N}$ 이 존재하면 $A$ 가 셀 수 있게 무한하다(countably infinite)고 하거나 가산무한이라고 한다. 예를들면, 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있게 무한하다. 다음의 함수 $f:\mathbb..

[집합의 크기] ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1 ch2. 가산집합과 비가산집합 유리수 집합의 크기 ※ 앞서 증명한 많은 정리를 활용하므로 이전 포스팅을 보고 오길 추천한다. 정리 2.6.으로부터 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 가 셀 수 있음을 어렵지 않게 알 수 있다. 지난 포스팅의 초반에 언급하였듯이 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있다. 여기서부터 시작하자. Theorem 3.1. $\mathbb{Q}$ 는 셀 수 있다. Proof. 가산집합인 $\mathbb{Z}$ 에 대해 따름정리 2.3.에 따르면 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 도 셀 수 있으므로 ..

[다변수 미분] ch3. 연속미분가능

이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch1. 다중선형사상

이전 읽을거리: ch0. 행렬식의 귀납적 정의  다음 읽을거리: ch2. 텐서의 성질1. 다중선형사상   흔히 순서쌍이라 하면, 실수 2~3개를 순서지어 $(1,2)$ 처럼 나타내는 것을 떠올릴 것이다. 다음은 일반화된 순서쌍의 정의이다.   Definition.  공집합이 아닌 집합 $A_1,\ldots,A_k$ 를 생각하자. 각 $i$ 에 대해 $A_i$ 의 원소 $a_i$ , 총 k개의 원소를 다음과 같이 순서지어 나타내는 것을 k-순서쌍(k-tuple)이라고 한다.$$(a_1,a_2,\ldots,a_n)$$  이러한 k-순서쌍의 집합을 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 의 곱집합(product)이라 하며 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_k$ 라고 표기한다. 즉, ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch24. 리만 적분의 성질 1 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 25. 리만 적분 ※ 본 포스팅에 소개되는 내용은 사실 다르부 적분이다. 리만 적분 가능과 다르부 적분 가능이 동치라는 것을 명분삼아, 다르부 적분이 종종 리만 적분으로 소개된다. 다음의 정의는 주어진 닫힌 구간을 작은 구간으로 쪼개는 것을 가리킨다. 정의) 닫힌 구간 $[a,b]$ 에 대해 다음을 만족하는 점 $x_0,x_1,\ldots,x_n$ 으로 이루어진 유한집합 $P$ 를 $[a,b]$ 의 분할(partition)이라고 한다.$$a=x_0

쌍대공간 (Dual Space)

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 [선형변환부터 동형사상까지] 5.1. 선형변환의 집합인 벡터공간 [선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Kenneth Hoffman & Ray Kunze. Linear algebra'를 공부하며 작성하였습니다. 1. 선형범함수 선형변환의 정의를 다시 소개하자면 다음과 같다. 정의) 임의의 두 $F$-벡터공간 $V,\;W$ 를 생각하자. 어떤 함수 $T:V\to W$ 가 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음의 두 조건을 만족하면 $T$ 를 선형변환이라고 한다. (ⅰ) $T(x+y)=T(x)+T(y)$ (ⅱ) $T(cx)=cT(x)$ 선형변환의 구..

[대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch1. 이항대수구조 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 2. 마그마의 파생 군(group)은 어떤 '세 가지 조건'을 만족하는 이항구조로 정의한다. 그 조건들을 하나씩만 만족하는 특별한 마그마를 살펴보자. 2.1. 단위마그마 항등원은 빈번하게 사용되는 개념이다. 항등원의 유일성에 대한 혼란을 없애기 위해 다음의 기초적인 정의부터 시작한다. 정의) 임의의 마그마 $\left$ 를 생각하자. $S$ 의 임의의 원소 $a\in S$ 에 대하여 $e_L*a=a$ 가 성립하는 $e_L..

[집합론 기초] ch3. 대우, 역, 부정

이전 읽을거리: ch2. 합집합, 교집합, 명제 다음 읽을거리: ch4. 논리 기호 대우와 역 지난 포스팅에서 공집합의 포함관계에 대해 설명하던 중 "~이면 ~이다" 라는 표현을 살펴보았다. 이러한 논의는 다소 어려운 기초논리학으로 이어진다. 주어진 명제 "P이면 Q이다" 의 대우(contrapositive)를 명제 "Q가 아니면 P가 아니다" 로 정의하자. 예를들어 "$x>0$ 이면 $x^3\neq 0$ 이다" 의 대우는 "$x^3=0$ 이면 $x>0$ 이 아니다" 이다. 여기서 원래 명제와 그 대우가 둘 다 참임을 기억하자. 비슷하게, 명제 "$x^2

[FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초

다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 0. 수학 기초 아름다운 해석학의 세계로 들어가기에 앞서 몇 가지 준비운동이 필요하다. 전혀 어려운 내용이 아니지만, 이들 없이는 한 발자국도 나아갈 수 없다. 익숙하지 않은 내용이 있다면 반드시 숙지하자. 0.1. 집합 정의) 집합(set)이란 원소(element)라고 불리는 대상의 모임이다. 위는 집합을 정의하는 가장 명료한 방법이다. "어떤 $x$ 가 집합 $A$ 에 속한다." 또는 "집합 $A$ 의 원소 $x$ "라고 말하고 싶을때는 다음과 같이 쓴다. $$x\in A$$ 정의) 두 집합 $A,\;B$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다. ▶ 합..

[선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 11. 동형사상 ※ 본 포스팅의 도입부는 다소 엄밀하지 못하므로, 대수구조 및 동형에 대해 자세하게 공부하실 분은 'Fraleigh. A first course in abstract algebra' 또는 타 블로그 생새우초밥집을 참고하시길 바랍니다. 체스를 두자. 여러가지 선택지가 있을 수 있다. 상아로 된 말을 쑬 수도 있고, 나무로 된 말을 쓸 수도 있다. 아니면 운동장에 나가서 바닥에 줄을 긋고 친구들을 세워 체스를 할 수도 있다. 모두 다 다른 형식을 갖추었지만, 중요한건 체스의 룰은 그대로라는 것이다. 우리가 체스라고 부르는 것은 분명히 규칙 그 자체를 ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch21. 페르마의 임계점 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch20. 미분의 성질 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 22. 페르마의 임계점 정리 영국의 과학자 뉴턴(Isaac Newton, 1643~1727)은 행성의 운동을 설명하기 위해 미적분학을 발명하였다. 이러한 역사에 선구자가 있으니, 바로 프랑스의 수학자 페르마(Pierre de Fermat, 1607~1665)이다. 페르마는 다음과 같이 말하며 미적분학이 탄생하기 휠씬 전에 임계점 정리를 발견하였다. (마치 산의 정상에서는 더 이상 가파르지 않듯이..) "함수의 극점에서는 함숫값의 변화가 거의 없다" 위의 표현을 해석학의 언어로 명료하..

[FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch18. 미분가능성 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 18. 사잇값 정리 오일러와 가우스를 포함한 18세기 수학자들은 후술할 사잇값 정리를 증명하지 않고 사용했다. 이것은 증명을 할 필요가 없을 정도로 자명하다고 생각했기 때문이며, 해석학의 실수에 대한 이해는 이 자명한 정리를 증명할 수 있을 정도로 성숙해졌다. 먼저 다음의 정의를 확인하자. 정의) 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 집합 $E\subset A$ 를 생각하자. 임의의 연결집합 $I\subset E$ 에 대해 $f(I)$ 도 연결집합이면 $f$ 가 $E$ 에서 다르부 ..

[대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring)

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group) 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 4. 환 우리가 자주 접하게 되는 대수구조는 연산이 두개 이상 정의되곤 한다. 당장 실수에 어렵지 않게 정의되었던 연산만 해도 사칙연산, 총 네 개의 연산을 알고 있을 것이다. 본 포스팅에서는 기본적인 두 개의 연산이 정의되는 의미있는 대수구조를 살펴본다. 정의) 임의의 집합 $R$ 에 두 이항연산 $+$ , $\cdot$ 이 정의된 이항구조 $\left$ 가 다음을 만족하면 환(ring)이라고 한다. (ⅰ) $\le..

[벡터공간부터 기저까지] ch3. 기저의 특성

이전 읽을거리 : 일차종속과 일차독립   본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다.  7. 기저 정의)  벡터공간 $V$ 의 부분집합 $\beta$ 를 생각하자. $\beta$ 가 일차독립이고 $V$ 를 생성하면 $\beta$ 를 $V$ 의 기저(basis)라고 한다.   기저의 가장 특별한 점은 가장 작은 생성집합이면서 가장 큰 일차독립인 집합이라는 것이며, 이에 대해선 아래에서 자세히 살펴볼 것이다. 벡터공간에는 기저가 하나만 존재할 수도 있고, 서로 다른 여러개의 기저가 존재할수도 있다.  7.1. 기저의 예시 예시 1)  점공간의 기저  점공간 $\{0\}$ 의 생성집합은 $\varnothing,\;\{0\}$ 두 개가 있다. 두 집합 중에서 $\varnothing$..

[벡터공간부터 기저까지] ch2. 일차종속과 일차독립

이전 읽을거리 : 벡터공간과 부분공간 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다. 3. 일차결합 정의) 벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 를 생각하자. $S$ 에 속하는 벡터 중 유한개의 벡터 $u_1,\ldots,u_n$ 와 임의의 스칼라 $a_1,\ldots,a_n$ 에 대하여 다음과 같은 벡터 $v$ 를 $S$ 의 일차결합(Linear Combination)이라 한다. $$v=a_1u_1+\cdots+a_nu_n$$ 이때, $v$ 는 벡터 $u_1,\ldots,u_n$ 의 일차결합이고 $a_1,\ldots,a_n$ 은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다. 일차결합의 정의를 이해할 때, 벡터 여러개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것도 일차결..

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.2 다변수 미분

이전 읽을거리: [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.0 미분이란? [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.1 일변수 미분 본 포스팅은 PC chrome 환경에 최적화되어있습니다. 본 포스팅에서는 미분의 의미부터 연쇄법칙의 유도까지 아주 상세하게 설명한다. 연쇄법칙의 원리를 아는 것의 가치는 태평양을 표류할 때의 나침반의 가치와 같다. 천천히, 꼼꼼하게 내용을 공부한다면, 연쇄법칙의 겉모양만 보고 기계적으로 연산하는 당신에게 커다란 통찰을 안겨줄 것이다. 이해가 안되거나 설명이 잘못되었다고 생각이 드는 부분이 있다면 얼마든지 댓글로 질문을 남겨주시기를 부탁드린다. 2. 다변수 미분 진정한 의미의 다변수함수의 도함수를 정의하기 전에, 다음을 정의하자. 정의) 열린 집합 $U\subset\mathbb{R^n}..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch4. 교대다중선형사상

이전 읽을거리: ch3. 순열 다음 읽을거리: ch5. 교대텐서의 성질 1. 교대텐서 지난 포스팅에서 순열을 언급한 것은 지금을 위해서이다. Definition. $f\in\mathcal{L}^k(V)$ , $\sigma\in S_k$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.$$f^\sigma(v_1,v_2,\ldots,v_k)=f(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(k)})$$ 이때 $f$ 는 각 성분에 대해 선형이므로 $f^\sigma$ 도 마찬가지다. 따라서 $f^\sigma\in\mathcal{L}^k(V)$ 이다. 위의 정의는 어렵지 않으나, 사람에 따라 직관과 다르게 느껴질 수 있는 구석이 있다. 다음의 순열 $\sigma\in S_5$ 를 생각하자. $$\..