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[다변수 적분] ch1. 적분의 정의
이전 읽을거리) [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 [실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary 다음 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 Partition 적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다. Definition. Rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 각 $[a_j,b_j]$ 를 $Q$ 의 component interval 이라고 한다. (1) $Q$ 의 width 를 다음과 같이 정의하자.$$\text{width }Q=\text{max}\{b_1-a_1,\ldots,b_n-a_n\}$$ (2) $Q..[다변수 적분] ch2. 측도 0과 적분가능성
이전 읽을거리) [집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합 ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 측도 0 이제부터는 유난히 rectangle 을 많이 사용하게 된다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의하자. Definition. $\mathbb{R}^n$ 의 모든 rectangles 의 모임을 $\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 다음의 정의는 기하적으로 무한히 협소한 집합, "부피" 가 0인 집합을 가리킨다. Definition. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 가산모임 $\{Q_1,Q_2,\ldots\}\subset\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이 존재하여 $A\subset\mathbb{R}^n$ 을 덮으며 다음이 성립..[다변수 적분] ch3. 푸비니 정리
이전 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 다음 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 푸비니 정리 이번 포스팅의 목표는 다음의 수식이 성립함을 보이는 것이다. $$\int_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)$$ 이는 적분의 계산을 고차원에서 저차원으로 끌어내려 실제로 적분값을 계산할 수 있도록 도와준다. 우리는 이미 1차원에 한하여 적분을 쉽게 계산하는 방법을 알고있으며, 이는 미적분학의 기본정리라고 불린다. 미적분학의 기본정리 (Tundamental theorem of calculus). (1) 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 과 다음의 함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f..
[다변수 적분] ch4. 유계집합 위의 적분
이전 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 다음 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 유계집합 위의 적분의 정의 종종 적분을 이용할때 rectangle 이 아닌 집합에서 적분을 해야 할 때가 있다. 이를테면 구의 질량중심을 구하는 문제를 풀기 위해 적분을 이용하는 경우가 그렇다. 이제 적분의 정의를 "약간" 확장해보자. 다음의 정의는 함수의 "자명한 확장" 에 대한 것이다. Definition. 함수 $f:S\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 에 대하여 함수 $f_S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의한다.$$f_S(x)=\begin{cases}f(x)&\text{if }x\in S\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$ 이제 적분..[다변수 적분] ch5. 부피를 갖는 집합
이전 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 다음 읽을거리: ch6. 특이적분 바나흐 측도 문제 잠시 편의를 위해 $\mathbb{R}^n$ 의 모든 유계집합의 모임을 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 폴란드 수학자 바나흐(Stefan Banach, 1892-1945)는 임의의 유계집합의 "부피" 를 정의하고자, 다음의 성질을 갖는 함수 $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}$ 가 존재하는지 검토하였다. 1. 임의의 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $\mu(A)\ge 0$ 이다. 2. 임의의 $A,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $A\cap B=\varnothing$ 이..
[다변수 적분] ch6. 특이적분
이전 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 특이적분의 정의 지금까지 사용해온 적분은, 이를테면 $\int_Sf$ 라고 할때 $S$ 가 유계이고 $f$ 가 유계인 경우에 대해서만 정의했었다. 이제 $S$ 가 유계일 필요도, $f$ 가 유계일 필요도 없는 확장된 의미의 적분을 정의하자. 다만 소개할 적분은 $S$ 가 열려있고 $f$ 가 연속임을 요구한다. 다음의 보조정의부터 시작하자. 구분을 위해 기존의 적분을 $\sideset{^\text{ord}}{}\int$ , 이번에 정의할 적분을 $\sideset{^\text{ext}}{}\int$ 라고 쓰자. Definition. 음의 값을 갖지않는 연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 부분집..📂[추천 코스] 다변수 미분
[다변수 미분] ch1. 미분의 정의
이전 읽을거리: [실수공간의 위상] ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch2. 편미분 1공간에서 1공간으로의 미분 미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다. Definition. $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $a\in\text{Int }A$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 $\phi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을 $a$ 에서 $\phi$ 의 미분(der..[다변수 미분] ch2. 편미분
이전 읽을거리: ch1. 미분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 연속미분가능 편미분 Definition. $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 에 대해 $D_{e_j}f(a)$ 가 존재하면 이를 $a$ 에서 $f$ 의 j번째 편미분(j-th partial derivative)이라고 하고 $D_jf(a)$ 라고 쓴다. 다시말해 $f$ 의 j번째 편미분은 아래의 극한이 존재할 때 그 극한값을 말한다. $$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$$ 편미분은 사실 계산하기에 상당히 편리하다. $a=(a_1,\ldots,a_m)$ 이라고 할때 다음의 함수를 생각하자. $$\phi(t)=f(a_1,\ldots,a_{j-1},t,a_{j+1},\ldots,a_..[다변수 미분] ch3. 연속미분가능
이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..[다변수 미분] ch4. 연쇄법칙
이전 읽을거리: ch3. 연속미분가능 다음 읽을거리: ch5. 역함수 정리 연쇄법칙 연쇄법칙 (chain rule) $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , $g:B\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ 에 대해 $f(A)\subset B$ 가 성립한다고 가정하자. $f(a)=b$ 라고 할때 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $b$ 에서 미분가능하면 $g\circ f$ 는 $a$ 에서 미분가능하며 다음이 성립한다.$$D(g\circ f)(a)=Dg(b)Df(a)$$ 우리는 아직 미분가능성이 정의되는 점을 정의역의 interior 로 제한하고 있음을 기억하자. 따라서 위 정의의 증명은 $a$ 가 $g\circ f$ 의 정의역의 inte..[다변수 미분] ch5. 역함수 정리
이전 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 역함수 정리 역함수 정리란 대략 "꼬여있지 않은 공간에는 국소적으로 역함수가 존재한다" 를 의미한다. (정확한 설명이 아님에 주의) 차근차근 증명해보자. 페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem) 미분가능함수 $\phi:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in A$ 에서 local minimum 을 가지면 $D\phi(a)=0$ 이다. ※ Local minimum 이란 어떤 근방 속에서 최소값을 갖는 점을 의미한다. Proof. 각 $j\in\{1,\ldots,m\}$ 에 대해 정의에 따라 다음과 같다. $$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+te_j)-\phi(a)}{t}=D_..📂[추천 코스] 집합의 크기
[집합의 크기] ch1. 유한집합
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제 함수의 엄밀한 정의 데카르트 곱의 일반화된 정의 수학적 귀납법과 정렬원리 다음 읽을거리: ch2. 가산집합과 비가산집합 유한집합의 정의 자연수 $n$ 에 대해 $n$ 보다 작은 자연수의 집합을 $S_n$ 또는 $\{1,\ldots,n-1\}$ 이라고 표기하고, 이를 자연수의 절편(section)이라고 한다. 물론 $S_1=\varnothing$ 이다. 자연수의 절편은 유한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. Definition. 집합 $A$ 와 자연수의 어떤 절편 $S_n$ 에 대해 일대일 대응 $A\to S_n$ 이 존재하면 $A$ 가 유한하다(finite)고 한다. 다시말해 $A$ 가 유한하다는 것은 공집합이거나, 어떤 자연수 $n$ 에 ..
[집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch5. 집합의 모임 데카르트 곱의 일반화된 정의 ch1. 유한집합 다음 읽을거리: ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기 무한의 정의 마치 자연수의 절편이 유한집합의 원형이듯이, 모든 자연수의 집합은 가산무한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. 앞으로 유한하지도, 가산무한하지도 않은 집합을 구성하는 것에 대해 살펴볼 것이다. Definition. 집합 $A$ 가 유한하지 않으면 무한하다(infinite)고 한다. 일대일대응 $A\to\mathbb{N}$ 이 존재하면 $A$ 가 셀 수 있게 무한하다(countably infinite)고 하거나 가산무한이라고 한다. 예를들면, 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있게 무한하다. 다음의 함수 $f:\mathbb..[집합의 크기] ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1 ch2. 가산집합과 비가산집합 유리수 집합의 크기 ※ 앞서 증명한 많은 정리를 활용하므로 이전 포스팅을 보고 오길 추천한다. 정리 2.6.으로부터 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 가 셀 수 있음을 어렵지 않게 알 수 있다. 지난 포스팅의 초반에 언급하였듯이 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있다. 여기서부터 시작하자. Theorem 3.1. $\mathbb{Q}$ 는 셀 수 있다. Proof. 가산집합인 $\mathbb{Z}$ 에 대해 따름정리 2.3.에 따르면 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 도 셀 수 있으므로 ..🔥인기글
[다변수 미분] ch3. 연속미분가능
이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..
[선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상
이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 11. 동형사상 ※ 본 포스팅의 도입부는 다소 엄밀하지 못하므로, 대수구조 및 동형에 대해 자세하게 공부하실 분은 'Fraleigh. A first course in abstract algebra' 또는 타 블로그 생새우초밥집을 참고하시길 바랍니다. 체스를 두자. 여러가지 선택지가 있을 수 있다. 상아로 된 말을 쑬 수도 있고, 나무로 된 말을 쓸 수도 있다. 아니면 운동장에 나가서 바닥에 줄을 긋고 친구들을 세워 체스를 할 수도 있다. 모두 다 다른 형식을 갖추었지만, 중요한건 체스의 룰은 그대로라는 것이다. 우리가 체스라고 부르는 것은 분명히 규칙 그 자체를 ..쌍대공간 (Dual Space)
이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 [선형변환부터 동형사상까지] 5.1. 선형변환의 집합인 벡터공간 [선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Kenneth Hoffman & Ray Kunze. Linear algebra'를 공부하며 작성하였습니다. 1. 선형범함수 선형변환의 정의를 다시 소개하자면 다음과 같다. 정의) 임의의 두 $F$-벡터공간 $V,\;W$ 를 생각하자. 어떤 함수 $T:V\to W$ 가 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음의 두 조건을 만족하면 $T$ 를 선형변환이라고 한다. (ⅰ) $T(x+y)=T(x)+T(y)$ (ⅱ) $T(cx)=cT(x)$ 선형변환의 구..
[다변수 적분] ch1. 적분의 정의
이전 읽을거리) [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 [실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary 다음 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 Partition 적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다. Definition. Rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 각 $[a_j,b_j]$ 를 $Q$ 의 component interval 이라고 한다. (1) $Q$ 의 width 를 다음과 같이 정의하자.$$\text{width }Q=\text{max}\{b_1-a_1,\ldots,b_n-a_n\}$$ (2) $Q..[FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 7. 코시 수열 수열 $(a_n)$ 이 수렴한다는 것은 정의에 따르면 다음과 같다. 주어진 $a\in\mathbb{R}$ 에 대해, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|M$$ 따라서 조화급수는 유계가 아니다. 수렴하는 수열은 유계이므로, 유계가 아닌 수열은 수렴하지 않는다. 따라서 조화급수는 수렴하지 않는다. $\square$ 조화급수의 예시에서, 수열의 변화가..
[FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한 [직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. ※ 본 포스팅은 PC 환경에서 보기를 권장합니다. 2. 완비성 공리 완비성 공리를 대뜸 공개하자면 다음과 같다. 완비성 공리 (Axiom of Completeness) 공집합이 아니고 위로 유계인 (실수 집합의) 부분집합은 항상 상한을 갖는다. 이를 처음 본다면 '위로 유계', '상한'과 같이 낯선 단어때문에 알아볼 수가 없을 것이다. 차근차근 그 정의를 확인하자. 정의) 어떤 $b\in\mathbb{R}$ 이 존재하여 모든 $a\in A$..[다변수 미분] ch5. 역함수 정리
이전 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 역함수 정리 역함수 정리란 대략 "꼬여있지 않은 공간에는 국소적으로 역함수가 존재한다" 를 의미한다. (정확한 설명이 아님에 주의) 차근차근 증명해보자. 페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem) 미분가능함수 $\phi:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in A$ 에서 local minimum 을 가지면 $D\phi(a)=0$ 이다. ※ Local minimum 이란 어떤 근방 속에서 최소값을 갖는 점을 의미한다. Proof. 각 $j\in\{1,\ldots,m\}$ 에 대해 정의에 따라 다음과 같다. $$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+te_j)-\phi(a)}{t}=D_..[FTC의 엄밀한 증명] ch14. 연속의 성질
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch13. 연속성 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 15. 연속의 성질 다음의 정리는 연속성이 함수의 극한과 유사한 좋은 성질을 가지고 있음을 알려준다. 대수연속정리 (algebraic continuity theorem) 두 함수 $f,g:A\to\mathbb{R}$ 이 $c\in A$ 에서 연속이라고 가정하자. 다음이 성립한다. (ⅰ) 모든 $k\in\mathbb{R}$ 에 대해 $kf$ 는 $c$ 에서 연속이다. (ⅱ) $f+g$ 는 $c$ 에서 연속이다. (ⅲ) $fg$ 는 $c$ 에서 연속이다. (ⅳ) $g(c)\neq 0$ 이..[FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch8. 열린 집합과 닫힌 집합 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 8. 무한급수 지난 포스팅에서 조화급수로서 살짝 맛 보았던 개념을 본격적으로 소개한다. 정의) 다음의 수열을 수열 $(b_n)$ 의 무한급수(infinite series)라고 하며, 간단히 $(\sum b_n)$ 이라고 쓴다. $$\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)=\left(b_1\,,\,b_1\!+\!b_2\,,\,b_1\!+\!b_2\!+\!b_3\,,\,\ldots\right)$$ 무한급수의 각 항은 특별히 부분합(partial sum)이라고 부른다. 무..[FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초
다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 0. 수학 기초 아름다운 해석학의 세계로 들어가기에 앞서 몇 가지 준비운동이 필요하다. 전혀 어려운 내용이 아니지만, 이들 없이는 한 발자국도 나아갈 수 없다. 익숙하지 않은 내용이 있다면 반드시 숙지하자. 0.1. 집합 정의) 집합(set)이란 원소(element)라고 불리는 대상의 모임이다. 위는 집합을 정의하는 가장 명료한 방법이다. "어떤 $x$ 가 집합 $A$ 에 속한다." 또는 "집합 $A$ 의 원소 $x$ "라고 말하고 싶을때는 다음과 같이 쓴다. $$x\in A$$ 정의) 두 집합 $A,\;B$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다. ▶ 합..[선형변환부터 동형사상까지] ch3. 선형변환의 행렬표현
이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch4. 선형변환의 합성과 행렬 곱 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. ※ 본 포스팅은 수식이 많이 포함되어 있으므로 페이지 로딩 초기에 렉이 발생할 수 있습니다. 4. 좌표벡터 이번 시리즈의 초입에서 선형대수학의 수많은 대상을 행렬로 다룰 수 있다고 언급한 적이 있다. 이번 절에서는 선형변환을 행렬로 다루는 방법, 그리고 행렬을 선형변환으로 다루는 방법에 대해 알아볼 것이다. 이를 터득한다면, 행렬과 선형변환은 일대일 대응 관계에 있음을 알게된다. 정의) 유한차원 벡터공간 $V$ 의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저..
[FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 11. 콤팩트 집합 아직 연속함수를 정의하지 않았지만, 일단 대략 끊어지지 않고 이어져있는 함수라고 하자. 다음은 분명히 참이다. 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 정의된 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 은 최댓값과 최솟값을 가진다. 이 성질은 최대-최소 정리라고 불리는데, 이는 너무나 당연해서 증명할 필요도 없어보인다. 한번 의심을 해보자. 꼭 닫힌 구간에서만 최대-최소 정리가 성립하는건가? 어쩌면 닫힌 구간이라는 조건은 너무 강한 조건이 아닐까? 만약 어떠한 분류의 집합..
[FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 실수의 정의 인간은 본능적으로 기하학적 대상인 '길이'와 산술적 대상인 '수'를 연관짓기 시작했다. 이러한 행위는 고대 그리스의 피타고라스학파에서도 활발하게 이루어지고 있었다. 그리스인들은 길이와 수의 성질로 통약성을 굳게 믿고 있었다. 통약성(Commensurability)이란, 간단히 말해 두 길이의 비는 항상 두 정수의 비로 나타낼 수 있을 것이라는 성질을 말한다. 아무리 미묘한 두 길이를 가져와도, 한 길이의 유리수배가 다른 길이가 되도록 하는 유리수가 항상 존재한다는 것이다..
[벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간
본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 흔히 벡터라고 하면 실수가 2~3개 모인 순서쌍을 떠올리곤 한다. 고등학교 수학에서 배우는 바로 그것 말이다. 이러한 실수의 순서쌍을 가지고 우리는 많은 연산을 하고 수많은 의미를 도출하였다. 그러나 벡터가 단지 숫자의 순서쌍을 벗어나 꽤나 다양한 것을 지칭할 수 있다면, 그리고 벡터라고 부르기로 한 다른 대상에서도 순서쌍으로써 도출한 의미를 적용할 수 있다면 상당히 놀라운 일일 것이다. 그리고 실제로 벡터는 실수의 순서쌍만을 지칭하지는 않는다. 들어가기에 앞서 '집합'과 '~공간'을 혼동하는 일이 없도록 하자. 단순히 여러 요소가 모이면 얼마든지 집합이라고 부를 수 있지만, 집합이 특별한 몇 가지 성질을 만족할때만 어떠한 공간이라고..