쌍대공간 (Dual Space)

  이전 읽을거리 :

  [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환

  [선형변환부터 동형사상까지] 5.1. 선형변환의 집합인 벡터공간

  [선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상

 

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Kenneth Hoffman & Ray Kunze. Linear algebra'를 공부하며 작성하였습니다.

 

 

1. 선형범함수

 

  선형변환의 정의를 다시 소개하자면 다음과 같다.

 

정의)  임의의 두 $F$-벡터공간 $V,\;W$ 를 생각하자. 어떤 함수 $T:V\to W$ 가 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음의 두 조건을 만족하면 $T$ 를 선형변환이라고 한다.
  (ⅰ) $T(x+y)=T(x)+T(y)$
  (ⅱ) $T(cx)=cT(x)$

 

  선형변환의 구체적인 예시는 정말 무궁무진하다. 죄측 곱 변환부터 미분, 적분, 사영, 대칭변환 등등.. 상당히 많은 함수가 선형변환의 예시가 될 수 있다. 그러나 본 포스팅에서는 한가지 형태의 선형변환만 다룬다.

 

  $F$-벡터공간 $V$ 에서 $F$ 로 가는 함수 $f$ 를 생각하자. 함수 $f$ 는 벡터 $v\in V$ 를 받아 어떤 수 $a\in F$ 를 내놓는 함수이다. 추상대수로서의 벡터공간, 벡터공간으로서의 체에 따르면, $F$ 는 $F$-벡터공간이다. 즉, $f$ 가 선형변환의 두 조건을 만족하면 $f$ 는 선형변환인 것이다. 다음의 정의를 확인하자.

 

정의)  임의의 $F$-벡터공간 $V$ 에서 $F$ 로 가는 선형변환을 $V$ 의 선형범함수(linear funtional)이라고 한다.

 

  아래에서는 선형범함수의 여러 예시를 소개한다.

 

 

1.1 예시 1. 대각합

 

  성분을 $F$ 에서 가져온 $n\times n$ 행렬의 집합인 벡터공간 $\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 를 생각하자. 어떤 행렬 $A\in\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 의 모든 대각성분의 합을 대각합(trace)라 하며 $\mbox{tr}(A)$ 라고 쓴다. 예를 들면 다음과 같다.

$$\mbox{let, }A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$$

$$\mbox{tr}(A)=1+5+9=15$$

  함수 $f$ 를 다음과 같이 정의하면 $f$ 는 선형범함수이다.

$$f:\mathbb{M}_{n\times n}(F)\to F,\;A\mapsto\mbox{tr}(A)$$

 

proof)

두 행렬 $A,\;B\in\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 와 스칼라 $c\in F$ 을 생각하자. 두 행렬의 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 정의되었었다.

$$(A+B)_{ij}:=A_{ij}+B_{ij}$$

$$(cA)_{ij}:=cA_{ij}$$

  이때 $A_{ij}$ 는 $A$ 의 i번째 열, j번째 행의 성분을 의미한다. 행렬 $A$ 의 함수 $f$ 에 대한 상은 대각합의 정의에 따라 다음과 같다.

$$f(A)=\mbox{tr}(A)=\sum_{i=1}^nA_{ii}$$

  따라서 다음과 같다.

$$\begin{align}f(A+B)=&\sum_{i=1}^n(A+B)_{ii}=\sum_{i=1}^n(A_{ii}+B_{ii})\\=&\sum_{i=1}^nA_{ii}+\sum_{i=1}^nB_{ii}=\mbox{tr}(A)+\mbox{tr}(B)\\=&f(A)+f(B)\end{align}$$

$$\begin{align}f(cA)=&\sum_{i}^{n}(cA)_{ii}=\sum_{i}^{n}c(A)_{ii}\\=&c\sum_{i}^{n}A_{ii}=c\;\mbox{tr}(A)\\=&cf(A)\end{align}$$

  정의에 따라 $f$ 는 $\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 의 선형범함수이다.   $\square$

 

 

1.2. 예시 2. 적분

 

  실수 구간 $[a,b]$ 에서 정의된 연속함수의 집합 $C([a,b])$ 를 생각하자. 두 연속함수의 합은 연속함수이며, 연속함수의 상수배는 연속함수이므로, 집합 $C([a,b])$ 가 $\mathbb{R}$-벡터공간임은 자명하다. 함수 $L$ 을 다음과 같이 정의하면 $L$ 은 선형범함수이다.

$$L:C([a,b])\to\mathbb{R},\;g\mapsto\int_a^bg(t)dt$$

 

proof)

  $C([a,b])$ 의 두 함수 $g,\;h$ 와 실수 $a$ 를 생각하자. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}L(g+h)=&\int_a^b(g+h)(t)dt\\=&\int_a^b(g(t)+h(t))dt\\=&\int_a^bg(t)dt+\int_a^bh(t)dt\\=&L(g)+L(h)\end{align}$$

$$\begin{align}L(ag)=&\int_a^b(ag)(t)dt=\int_a^bag(t)dt\\=&a\int_a^bg(t)dt=aL(g)\end{align}$$

  정의에 따라 $L$ 은 $C([a,b])$ 의 선형범함수이다.   $\square$

 

 

1.3. 예시 3. 좌표함수

 

  어떤 n차원 벡터공간 $V$ 를 생각하자. $V$ 에서 순서기저 $\beta=\{x_1,\ldots,x_n\}$ 를 선택한다면, $V$ 에서 좌표벡터가 정의된다. $V$ 의 임의의 벡터 $x$ 를 $\beta$ 의 선형결합으로 표현하는 유일한 방법이 다음과 같다고 하자.

$$x=\sum_{i=1}^na_ix_i=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$$

  이때 $x$ 의 $\beta$ 에 대한 좌표벡터 $[x]_\beta\in F^n$ 은 다음과 같이 정의된다.

$$[x]_\beta=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}$$

  이때 $\beta$ 에 대한 i번째 좌표함수(coordinate function) $\phi_i$ 를 다음과 같이 정의하면 $\phi_1,\;\phi_2,\;\ldots,\;\phi_n$ 은 모두 선형범함수이다.

$$\mbox{for }i=1,2,\ldots,n,\;\phi_i(x)=a_i$$

  다시말해 $\phi_i(x)$ 는 $\beta$ 에 대한 $x$ 의 좌표벡터 $[x]_\beta$ 의 i번째 성분이다.

 

  이 좌표함수가 선형범함수임은 가슴으로도 느낄 수 있으나, 한번 엄밀하게 증명하는 것도 나쁘지 않다. $F^n$ 을 열벡터공간 $\mathbb{M}_{n\times 1}(F)$ 로 간주한다면 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$\phi_i:V\to F,\;x\mapsto([x]_\beta)_{i1}$$

  다음을 보자.

 

proof)

  [선형변환부터 동형사상까지] 4.1. 좌표벡터의 성질에 따르면, $V$ 의 임의의 두 벡터 $x,\;y$ 와 스칼라 $c$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$[x+y]_\beta=[x]_\beta+[y]_\beta$$

$$[cx]_\beta=c[x]_\beta$$

  따라서 $\beta$ 에 대한 i번째 좌표함수 $\phi_i$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\phi_i(x+y)=&([x+y]_\beta)_{i1}\\=&([x]_\beta+[y]_\beta)_{i1}\\=&([x]_\beta)_{i1}+([y]_\beta)_{i1}\\=&\phi_i(x)+\phi_i(y)\end{align}$$

$$\begin{align}\phi_i(cx)=&([cx]_\beta)_{i1}\\=&(c[x]_\beta)_{i1}\\=&c([x]_\beta)_{i1}\\=&c\phi_i(x)\end{align}$$

  $i=1,\ldots,n$ 에서 모두 성립하므로, 정의에 따라 $\phi_1,\;\phi_2,\;\ldots,\;\phi_n$ 은 모두 선형범함수이다.   $\square$

 

  이렇게 정의한 좌표함수는 본 포스팅에서 가장 중요한 함수이다.

 

  좌표함수의 한가지 중요한 성질은, $V$ 의 순서기저 $\beta$ 의 j번째 벡터 $x_j$ 와 $\beta$ 에 대한 i번째 좌표함수 $\phi_i$ 에 대하여 다음이 성립한다는 점이다. (참고: [선형변환부터 동형사상까지] 4.1. 좌표벡터의 성질) 좌표함수가 작동하는 방식을 생각하면 왜 다음과 같은 성질을 갖는지 쉽게 파악할 수 있다.

$$\phi_i(x_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1&\mbox{for }i=j\\0&\mbox{for }i\ne j\end{cases}$$

 

proof)

$$\phi_i(x_j)=([x_j]_\beta)_{i1}=(e_j)_{i1}$$

  이때 $e_j$ 는 j번째 성분만 1이고 나머지 성분은 0인 n-순서쌍인 열벡터이므로, $i=j$ 이면 $\phi_i(x_j)=1$ 이며 그 외에는 $\phi_i(x_j)=0$ 임을 알 수 있다.   $\square$

 

 

2. 쌍대공간

 

※ 이 부분은 포스팅 상단에 소개한 '이전 읽을거리'를 읽지 않으면 이해하기 어려운 내용입니다.

 

  두 $F$ 벡터공간 $V,\;W$ 에 대하여 $V$ 에서 $W$ 로 가는 모든 선형변환의 집합인 벡터공간을 일컬어 $\mathcal{L}(V,W)$ 라 하며, 이 집합은 벡터공간임이 보장되어있다. 그리고 체 $F$ 는 $F$-벡터공간이므로, $W$ 대신에 $F$ 를 집어넣으면 벡터공간 $\mathcal{L}(V,F)$ 를 얻는다. 다음의 정의를 보자.

 

정의)  $F$-벡터공간 $V$ 를 생각하자. 벡터공간 $\mathcal{L}(V,F)$ 는 $V$ 의 쌍대공간(dual space)이라고 하며, 간단히 $V^*$ 라 표기한다.

 

  $V$ 의 쌍대공간을 알고있다면 $V^*$ 의 차원도 알 수 있을까? 다음의 정리를 보자.

 

정리 2-1)  임의의 유한차원 벡터공간 $V$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$\mbox{dim}(V^*)=\mbox{dim}(V)$$

 

proof)

  선형대수학의 기본정리의 따름정리에 따라 다음이 성립한다.

$$\mbox{dim}(V^*)=\mbox{dim}(\mathcal{L}(V,F))=\mbox{dim}(V)\mbox{dim}(F)$$

  체 $F$ 는 $F$-벡터공간 $F$ 로서 1차원이므로, $\mbox{dim}(V^*)=\mbox{dim}(V)$ 가 성립한다.   $\square$

 

  따라서 다음이 자명하게 성립한다. (정리 11.1-3 참고)

 

정리 2-2)  임의의 유한차원 벡터공간 $V$ 에 대하여 $V^*\simeq V$ 이다.

 

※ 무한차원의 경우 $V$ 와 $V^*$ 가 동형이 아님이 알려져있다.

 

※ $V$ 와 $V^*$ 가 동형이라는 것은 $V$ 에서 $V^*$ 로 가는 동형사상^[각주:1]이 존재한다는 것이다. 이러한 동형사상이 아주 자연스럽게 정의된다면 좋겠지만, 일반적으로 $V$ 에서 순서기저를 어떻게 선택하느냐에 동형사상의 형태가 의존된다. 즉, $V$ 에서 순서기저를 선택하지 않는다면 $V$ 에서 $V^*$ 로 가는 동형사상이 무엇인지 말할 수 없다. (단, 주어진 벡터공간이 내적공간이면 순서기저의 선택에 무관한 자연스러운 동형사상이 존재함이 알려져있다)

 

  다음의 정리는 위에서 소개한 좌표함수가 쌍대공간의 기저를 이룸을 말한다.

 

정리 2-3)  유한차원 벡터공간 $V$ 와 $V$ 의 순서기저 $\beta=\{x_1,\ldots,x_n\}$ 를 생각하자. $\beta$ 에 대한 $1,\ldots,n$ 번째 좌표벡터의 집합 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 은 $V^*$ 의 기저이다. 또한 $V^*$ 의 임의의 선형범함수 $f$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$f=\sum_{i=1}^nf(x_i)\phi_i=f(x_1)\phi_1+f(x_2)\phi_2+\cdots+f(x_n)\phi_n$$

 

proof)

  집합 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 이 $V^*$ 를 생성함을 보이자. 주어진 선형범함수 $f$ 에 대하여 스칼라 $a_1,\ldots,a_n$ 를 다음과 같이 정의하자.

$$a_i=f(x_i)$$

  위와 같이 주어진 스칼라 $a_1,\ldots,a_n$ 에 대하여 다음과 같이 정의한 선형범함수 $g$ 를 생각하자.

$$g=\sum_{i=1}^na_i\phi_i$$

  $\beta$ 의 j번째 벡터 $x_j$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}g(x_j)=&\sum_{i=1}^na_i\phi_i(x_j)=\sum_{i=1}^na_i\delta_{ij}\\=&a_j=f(x_j)\end{align}$$

  이는 $\beta$ 의 모든 벡터 $x_1,\ldots,x_n$ 에 대하여 일반적으로 성립하므로, 선형변환의 존재성 및 유일성 정리의 따름정리에 따라 $g=f$ 가 성립한다. 따라서 $V^*$ 의 임의의 원소(선형범함수)는 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 의 선형결합으로 표현되므로 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 는 $V^*$ 를 생성한다.

  집합 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 이 $V^*$ 의 기저임을 보이자. 어떤 스칼라 $c_1,\ldots,c_n$ 으로 주어진 선형범함수 $f$ 를 표현하는 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 의 임의의 일차결합을 다음과 같이 생각하자.

$$f=\sum_{i=1}^nc_i\phi_i=c_1\phi_1+c_2\phi_2+\cdots+c_n\phi_n$$

  $\beta$ 의 j번째 벡터를 하나씩 대입하면 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\begin{align}f(x_j)=&\sum_{i=1}^nc_i\phi_i(x_j)=\sum_{i=1}^nc_i\delta_{ij}\\=&c_j\end{align}$$

  이는 위에서 살펴본 선형결합과 동일하다. 즉, $V^*$ 의 임의의 원소 $f$ 를 표현하는 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 의 선형결합은 다음과 같이 유일하게 존재한다.

$$f=\sum_{i=1}^nf(x_i)\phi_i=f(x_1)\phi_1+f(x_2)\phi_2+\cdots+f(x_n)\phi_n$$

  따라서 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 는 $V^*$ 의 기저이다.   $\square$

 

  쌍대공간의 기저를 간단하게 다음과 같이 부른다.

 

정의)  유한차원 벡터공간 $V$ 의 순서기저 $\beta=\{x_1,\ldots,x_n\}$ 을 생각하자. $\beta$ 에 대한 $1,\ldots,n$ 번째 좌표함수로 이루어진 $V^*$ 의 순서기저 $\beta^*=\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 을 $\beta$ 의 쌍대기저(dual basis)라 한다.

 

  좌표함수라는 친절한 설명 대신에, $\phi_i(x_j)=\delta_{ij}$ 를 만족하는 함수 $\phi_1,\ldots,\phi_n$ 으로 이루어진 $V^*$ 의 순서기저 $\beta^*=\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 을 $\beta$ 의 쌍대기저라고 정의하여도 된다.

 

  여담으로, 필자에 따라 다음과 같이 $V^*$ 의 쌍대기저를 표현하기도 한다.

$$\beta=\{v_1,\ldots,v_n\}\implies\beta^*=\{v_1^*,\ldots,v_n^*\}$$

  즉, $\beta$ 에 대한 j번째 좌표함수를 $v_j^*$ 라고 표기하는 것이다. 쌍대기저를 알고 나면, 좌표함수를 이렇게 표기하는 방법도 납득이 간다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

1. 전단사인 선형변환 [본문으로]