[선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성

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  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

3. 선형변환의 존재성 및 유일성 정리

 

  이번 절에서 소개하는 정리는 원래 이름이 붙여지지 않은 정리이다. 그러나 필자 생각에 꽤 중요한 정리라고 생각되어 없던 이름을 짓고 별도로 소개한다.

 

  중요한 정리를 다루기 이전에, 특별한 함수를 소개한다. 임의의 벡터 $x\in V$ 를 생각하자. $V$ 의 기저 $\{v_1,\ldots,v_n\}$ 의 일차결합으로 $x$ 를 표현하는 방법은 적절한 스칼라 $a_1,\ldots,a_n\in F$ 에 대하여 유일하게 존재한다. (참고: [벡터공간부터 기저까지] 정리 7.2-1 )
$$x=\sum_{i=1}^na_iv_i$$

  모든 $i=1,2,\ldots,n$ 에 대하여 스칼라 $a_i$ 는 $x$ 가 구체적으로 어떤 값인가에 따라 달라진다. 즉, 벡터 $x$ 가 스칼라 $a_i$ 를 결정한다. 새로운 관점으로, 다음의 함수를 정의할 수 있다.

 

정의)  벡터공간 $V$ 와 $V$ 의 기저 $\beta=\{v_1,\ldots,v_n\}$ 를 생각하자. 함수 $a_{v_i}:V\to F$ 를 구체적으로 "$a_{v_i}(x)$ 는 $\beta$ 의 일차결합으로 벡터 $x\in V$ 를 표현할 때 $v_i$ 의 계수인 스칼라" 로 정의하자. 이를 기저 $\beta$ 의 벡터 $v_i$ 에 대한 좌표함수(coordinate function)라고 하자.

 

  좌표함수의 정의에 따르면 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음과 같다.
$$x=\sum_{i=1}^na_{v_i}(x)v_i=a_{v_1}(x)v_1+a_{v_2}(x)v_2+\cdots+a_{v_n}(x)v_n$$

 

  좌표함수는 이후 쌍대공간을 소개하는 포스팅에서 더 세련되게 정의할 것이다.

 

  좌표함수가 작동하는 원리는 매우 간단하다. 예로 $\mathbb{R}^3$ 의 표준기저 $\{e_1,e_2,e_3\}$ 을 생각하자. 벡터 $(7,8,9)$ 을 표준기저의 일차결합으로 표현하면 $7e_1+8e_2+9e_3$ 이므로 세 좌표함수 $a_{e_1},a_{e_2},a_{e_3}$ 에 대한 벡터 $(7,8,9)$ 의 상은 각각 다음과 같다.

$$a_{e_1}(7,8,9)=7\quad a_{e_2}(7,8,9)=8\quad a_{e_3}(7,8,9)=9$$

 

도움정리 3-1)  임의의 좌표함수는 선형이다.

 

proof)

  벡터공간 $V$ 와 $V$ 의 기저 $\beta=\{v_1,\ldots,v_n\}$ 를 생각하자. 좌표함수 $a_{v_1},\ldots,a_{v_n}$ 이 정의된다. 모든 $i=1,\ldots,n$ 에 대해 함수 $a_{v_i}$ 가 선형임을 보일 것이다. 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$x=\sum_{i=1}^na_{v_i}(x)v_i,\quad y=\sum_{i=1}^na_{v_i}(y)v_i$$

$$\begin{align}\implies cx+y=&c\left(\sum_{i=1}^na_{v_i}(x)v_i\right)+\left(\sum_{i=1}^na_{v_i}(y)v_i\right)\\=&\sum_{i=1}^n\Big(ca_{v_i}(x)+a_{v_i}(y)\Big)v_i\end{align}$$

  한편, 다음이 자명하다.
$$cx+y=\sum_{i=1}^na_{v_i}(cx+y)v_i$$

$$\therefore cx+y=\sum_{i=1}^n\Big(ca_{v_i}(x)+a_{v_i}(y)\Big)v_i=\sum_{i=1}^na_{v_i}(cx+y)v_i$$

  기저의 선형결합에 대한 벡터의 표현은 유일하게 존재하므로 위의 식에서 두 스칼라는 각 $i=1,\ldots,n$ 에 대하여 모두 같다. 즉, 모든 $i=1,\ldots,n$ 에 대하여 $a_{v_i}(cx+y)=ca_{v_i}(x)+a_{v_i}(y)$ 이다. 정리 1.1-1(ⅱ)에 따라 함수 $a_{v_1},\ldots,a_{v_n}$ 은 모두 선형이다.   $\square$

 

 

  이전 포스팅에서 선형변환은 두 가지 특수한 조건을 만족하는 함수라고 정의되었다. 그러나 이 조건으로 인하여 선형변환은 원하는 함수값을 갖지 못할 수도 있지 않을까 하는 걱정이 들 수도 있다. n차원 벡터공간 $V$ 와 m차원 벡터공간 $W$ 를 생각하자. $W$ 에서 임의로 벡터 n개를 뽑았을 때, 이 벡터 모두를 함숫값으로 갖는 '선형변환'이 존재할까? 다음 정리의 대답은 'Yes' 이다.

 

선형변환의 존재성 및 유일성 정리 1)  $F$-벡터공간 $V,\;W$ 와 $V$ 의 기저 $\{v_1,\ldots,v_n\}$ 을 생각하자. $W$ 에서 임의로 선택한 벡터 $w_1,\ldots,w_n\in W$ 에 대하여 다음을 만족하는 선형변환 $T:V\to W$ 가 유일하게 존재한다.$$T(v_i)=w_i\quad\mbox{for }i=1,2,\ldots,n$$

 

proof)

  임의로 주어진 벡터 $w_1,\ldots,w_n$ 에 대하여 다음의 새로운 함수 $T$ 를 정의하자

$$T:V\to W,\;x\mapsto\sum_{i=1}^na_{v_i}(x)w_i$$

  이 함수 $T$ 가 선형이고, 정리의 마지막에 주어진 조건을 만족하며, 조건을 만족하는 유일한 함수임을 보일 것이다.

 

  (ⅰ) $T$ 는 선형인가?

  함수 $a_{v_1},\ldots,a_{v_n}$ 가 선형이므로, 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}T(cx+y)=&\sum_{i=1}^na_{v_i}(cx+y)w_i\\=&\sum_{i=1}^n\Big(ca_{v_i}(x)+a_{v_i}(y)\Big)w_i\\=&c\left(\sum_{i=1}^na_{v_i}(x)w_i\right)+\left(\sum_{i=1}^na_{v_i}(y)w_i\right)\\=&cT(x)+T(y)\end{align}$$

  따라서 $T$ 는 선형이다.

 

  (ⅱ) 모든 $i=1,\ldots,n$ 에 대하여 $T(v_i)=w_i$ 인가?

  $V$ 의 기저 $\{v_1,\ldots,v_n\}$ 에 속하는 한 벡터 $v_j$ 에 대하여 다음과 같다.

$$\begin{align}v_j=&0v_1+\cdots+0v_{j-1}+1v_j+0v_{j+1}+\cdots+0v_n\\=&\sum_{i=1}^na_{v_i}(v_j)v_i\end{align}$$

  따라서 다음과 같음을 알 수 있다.

$$a_{v_i}(v_j)=\begin{cases}1&\mbox{for }i=j\\0&\mbox{for }i\ne j\end{cases}$$

  임의의 $j=1,\ldots,n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$T(v_j)=\sum_{i=1}^na_{v_i}(v_j)w_i=w_j$$

  새로 정의된 선형변환 $T$ 가 조건 (ⅱ)를 만족함을 안다.

 

  (ⅲ) 조건 (ⅱ) 를 만족하는 선형변환은 $T$ 가 유일한가?

  어떤 선형변환 $U:V\to W$ 에 대하여 $U$ 가 조건 (ⅱ)를 만족한다고 가정하자. 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}U(x)=&U\left(\sum_{i=1}^na_{v_i}(x)v_i\right)\\=&\sum_{i=1}^na_{v_i}(x)U(v_i)\\=&\sum_{i=1}^na_{v_i}(x)w_i\\=&T(x)\end{align}$$

  따라서 $U=T$ 이다.   $\square$

 

 

  위 정리의 의의는 유용한 쓸모로서 드러날 것이다.

 

  아래의 따름정리는, 어떤 선형변환이 다른 선형변환과 구분되는 방법으로서 기저를 이루는 각 벡터의 상이 무엇인지만 고려하면 된다는 것을 지시한다.

 

선형변환의 존재성 및 유일성 정리 1의 따름정리)  두 벡터공간 $V,\;W$ 에 대하여 $V$ 가 유한집합인 기저 $\{v_,\ldots,v_n\}$ 을 포함한다고 가정하자. 두 선형변환 $U,\;T:V\to W$ 가 모든 $i=1,\ldots,n$ 에 대해 $U(v_i)=T(v_i)$ 를 만족하면 $U=T$ 이다.

 

proof)

  기저를 이루는 각 벡터 $v_1,\ldots,v_n$ 의 선형변환 $T$ 에 대한 상을 각각 $T(v_i)=w_i\in W$ 라고 하자. 모든 $i=1,\ldots,n$ 에 대해 $U(v_i)=T(v_i)=w_i$ 이며, 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 1에 따라 $T(v_i)=w_i$ 인 선형변환은 $T$ 가 유일하므로 $U=T$ 이다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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