[벡터공간부터 기저까지] ch3. 기저의 특성

  이전 읽을거리 : 일차종속과 일차독립

 

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

7. 기저

 

정의)  벡터공간 $V$ 의 부분집합 $\beta$ 를 생각하자. $\beta$ 가 일차독립이고 $V$ 를 생성하면 $\beta$ 를 $V$ 의 기저(basis)라고 한다.

 

  기저의 가장 특별한 점은 가장 작은 생성집합이면서 가장 큰 일차독립인 집합이라는 것이며, 이에 대해선 아래에서 자세히 살펴볼 것이다. 벡터공간에는 기저가 하나만 존재할 수도 있고, 서로 다른 여러개의 기저가 존재할수도 있다.

 

 

7.1. 기저의 예시

 

예시 1)  점공간의 기저

  점공간 $\{0\}$ 의 생성집합은 $\varnothing ,\{0\}$ 두 개가 있다. 두 집합 중에서 $\varnothing$ 은 일차독립이고 $\{0\}$ 은 일차종속이다. 따라서 점공간의 유일한 기저는 $\varnothing$ 이다.

 

예시 2) 벡터공간 $F^n$ 의 기저

  벡터공간 $F^n$ 에 속하는 다음의 벡터를 생각하자.

$$\begin{array}{c}{e}_1:=(1,0,0,\dots ,0)\\ e_2:=(0,1,0,\dots ,0)\\ ⋮\\ e_n:=(0,0,\dots ,0,1)\end{array}$$

  이때 집합 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 은 일차독립이며 $F^n$ 를 생성하므로 벡터공간 $F^n$ 의 기저이다. 단, $F^n$ 의 기저는 유일함이 보장되지 않으며 실제로도 유일하지 않다. 이 특별한 기저는 $F^n$ 의 표준기저(standard basis)라 한다.

 

예시 3) 벡터공간 ${\mathbb{P}}_n(F)$ 의 기저

  차수가 n 이하인 다항식의 집합인 벡터공간 ${\mathbb{P}}_n(F)$ 을 생각하자. 집합 $\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$ 은 일차독립이며 ${\mathbb{P}}_n(F)$ 을 생성하는 것은 자명하다. 이 특별한 기저는 ${\mathbb{P}}_n(F)$ 의 표준기저라 한다.

 

예시 4) 벡터공간 ${\mathbb{M}}_{m\times n}$ 의 기저

  다음과 같은 행렬을 생각하자.

$$E^{ij}\in {\mathbb{M}}_{m\times n},E^{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{for}(E^{ij}{)}_{ij}\\ 0& \text{for else}\end{array}$$

  즉, $E^{ij}$ 는 i행, j열 성분만 1이고 나머지는 모두 0인 행렬이다. 다음의 집합은 일차독립이며 ${\mathbb{M}}_{m\times n}$ 를 생성하므로 벡터공간 ${\mathbb{M}}_{m\times n}$ 의 기저이다.

$$\{E^{ij}\in {\mathbb{M}}_{m\times n}:1\le i\le m,1\le j\le n\}$$

  이 또한 유일한 기저는 아니다.

 

 

7.2. 기저의 기본 성질

 

정리 7.2-1)  벡터공간 $V$ 와 서로 다른 n개의 벡터 $u_1,\dots ,u_n\in V$ 를 생각하자. 집합 $\beta :=\{u_1,\dots ,u_n\}$ 가 $V$ 의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 '임의의 벡터 $v\in V$ 를 $\beta$ 의 일차결합으로 표현하는 방법이 유일하게 존재한다'는 것이다. 다시말해, 임의의 벡터 $v$ 는 어떤 유일한 스칼라 $a_1,\dots ,a_n$ 에 대하여 다음과 같이 표현된다.
$$v=a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n$$

 

proof)

  $\beta$ 가 벡터공간 $V$ 의 기저일 때를 생각하자. 기저의 정의로부터 $\beta$ 가 $V$ 를 생성함이 보장된다. 여기서 $\beta$ 의 일차결합으로 임의의 벡터 $v\in V$ 를 표현하는 방법이 유일하지 않다고 가정해보자. 이때 다음의 서로 다른 두 가지의 일차결합이 가능하다.

$$v=a_1{u}_1+\cdots +a_n{v}_n=b_1{u}_1+\cdots +b_n{u}_n$$

  위의 식을 이항하여 정리하면 다음과 같다.

$$(a_1-b_1)u_1+\cdots +(a_n-b_n)u_n=0$$

  이때 각 벡터의 계수는 가정에 의하여 적어도 0이 아닌 스칼라가 하나 이상 존재한다. 이는 즉, $\beta$ 의 일차결합에 대하여 영벡터의 자명하지 않은 표현이 존재한다는 것이다. 그러나 기저 $\beta$ 는 정의로부터 일차독립이므로, 서로 모순된다. 따라서 $\beta$ 의 일차결합으로 $V$ 의 임의의 벡터를 표현하는 방법은 유일하다.

 

  $\beta$ 의 일차결합으로 $V$ 의 임의의 벡터를 표현하는 방법이 유일하게 존재할 때를 생각하자. $\beta$ 의 일차결합으로 $V$ 의 모든 벡터를 표현할 수 있다는 것은 $\beta$ 가 $V$ 의 생성집합이라는 것이다. 여기서 $\beta$ 가 일차종속이라고 가정해보자. 이는 $\beta$ 의 일차결합에 대하여 영벡터의 자명하지 않은 표현이 존재한다는 것이다. 다시 말하면,

$$\begin{array}{}\text{(1)}& b_1{u}_1+\cdots +b_n{u}_n=0\end{array}$$

  을 만족하는 스칼라 $b_1,\dots ,b_n$ 은 적어도 하나 영이 아닐 수 있다. 다음과 같이 임의의 벡터 $v\in V$ 를 표현하는 $\beta$ 의 어떤 일차결합을 고려하자.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n\end{array}$$

  여기서 양변에 영벡터를 더할 수 있다. 단, 우변에는 영벡터, 좌변에는 영벡터의 자명하지 않은 표현 (1)을 더할 것이다. 그리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}& (a_1+b_1)u_1+\cdots +(a_n+b_n)u_n\\ & =0+v=v\end{array}\end{array}$$

  이로서 임의의 벡터 $v\in V$ 를 나타내는 두 가지 표현 (2)와 (3)을 얻을 수 있다. 이는 즉 $V$ 의 임의의 벡터를 표현하는 방법이 유일하지 않다는 것이므로, $\beta$ 가 일차종속이라는 가정이 틀림을 알 수 있다. 따라서 $\beta$ 는 일차독립이며 $V$ 의 생성집합이다. 즉, $\beta$ 는 벡터공간 $V$ 의 기저이다.   $◻$

 

 

정리 7.2-2)  유한집합 $S$ 가 벡터공간 $V$ 를 생성하면, $S$ 의 부분집합 중 $V$ 의 기저가 존재한다. 즉, $V$ 는 유한집합인 기저를 포함한다.

 

proof)

  먼저, $S=\varnothing$ 또는 $S=\{0\}$ 일때를 생각하자. 이 경우 $S$ 가 생성하는 벡터공간 $V$ 는 점공간 $\{0\}$ 이다. 또한 점공간의 기저는 $\varnothing$ 이며, 이는 $\varnothing$ 또는 $\{0\}$ 의 부분집합이므로 주어진 정리가 성립한다.

 

  이제 유한부분집합 $S$ 가 영이 아닌 벡터를 하나 이상 가질때를 생각하자. $S$ 에서 임의의 영이 아닌 벡터 $u_1$ 을 가져와서 만든 집합 ${\beta }_1:=\{u_1\}$ 은 일차독립이다. (정리 5.1-2(ⅱ) 참고) 집합 ${\beta }_k:=\{u_1,\dots ,u_k\}$ 에 대하여, 만약 $u_{k+1}\notin \text{span}({\beta }_k)$ 를 만족하는 벡터 $u_{k+1}\in S$ 가 존재한다면 이를 집합 ${\beta }_k$ 에 추가하여 ${\beta }_{k+1}$ 을 만드는 일차독립을 유지하는 확장을 할 수 있다. 이러한 과정은 최대한 진행될 경우 집합 $S$ 의 모든 원소를 가져와 ${\beta }_k=S$ 가 될때까지 진행할 수 있다. 그렇지 않다면 ${\beta }_k⊊S$ 에서 더이상 $u_{k+1}\notin \text{span}({\beta }_k)$ 를 만족하는 벡터를 찾지 못해 진행이 멈출것이다. 두 가지 상황을 생각해보자. 단, 일차독립을 유지하는 확장이 끝났을 때의 집합 ${\beta }_k=\beta$ 라고 하자.

 

  1. $\beta =S$ 인 경우 $\beta$ 는 일차독립을 유지하는 확장으로 만들어진 집합이므로 일차독립이다. 또한 $\text{span}(\beta )=\text{span}(S)=V$ 이므로 $V$ 를 생성한다. 따라서 $\beta$ 는 $V$ 의 기저이다.

 

  2. $\beta ⊊S$ 인 경우에도 $\beta$ 는 일차독립이다. 그리고 이 경우 $S$ 의 모든 임의의 벡터 $v\in S$ 에 대하여 확장된 집합 $S\cup \{v\}$ 가 일차독립인 경우를 찾을 수 없으므로, 임의의 벡터 $v$ 에 대하여 $S\cup \{v\}$ 는 일차종속이다. 정리 5.1-5a에 따라 임의의 벡터 $v\in S$ 에 대하여 $v\in \text{span}(\beta )$ 이다. 즉, $S\subset \text{span}(\beta )$ 이다. 정리 4.1-2(ⅱ)에 따라 $\text{span}(S)\subset \text{span}(\beta )$ 이다. $\beta \subset S$ 임은 자명하며, 정리 4.2-1에 따라 $\text{span}(\beta )\subset \text{span}(S)$ 이다. 종합하면 $\text{span}(\beta )=\text{span}(S)=V$ 이므로, $\beta$ 는 $V$ 를 생성한다. 따라서 $\beta$ 는 $V$ 의 기저이다.

 

  정리하면, 유한집합인 생성집합 $S$ 가 존재할 때 $S$ 의 원소를 이용해 일차독립을 유지하는 확장으로써 가능한 크게 만든 집합은 $V$ 의 기저이다. 따라서 유한집합 $S$ 가 벡터공간 $V$ 를 생성하면, $S$ 의 부분집합 중 $V$ 의 기저가 존재한다.   $◻$

 

  정리 7.2-2는 벡터공간의 유한집합인 생성집합이 존재할 때 벡터공간의 기저가 있음을 보장한다. 사실은 벡터공간의 유한집합인 생성집합이 존재하지 않고, 무한집합인 생성집합만 존재하여도 기저는 존재한다. 이에 대해서는 나중에 알아볼 것이다.

 

 

8. 대체정리

 

  대체정리의 따름정리들은 기저에 관련한 수많은 성질들을 보여준다. 대체정리를 이해하는 것은 기저를 손쉽게 다루기 위한 준비운동이라고 할 수 있다.

 

대체정리 (Replacement Theorem)
  벡터공간 $V$ 에 대하여, $V$를 생성하는 유한집합 $G\subset V$ 와 일차독립인 유한집합 $L\subset V$ 가 존재한다고 하자. $|G|=n$, $|L|=m$^[각주:1] 이라고 할 때, 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $m\le n$
  (ⅱ) 다음을 만족하는 $G$ 의 부분집합 $H$ 가 존재한다.
$$|H|=n-m,\text{span}(L\cup H)=V$$

 

  대체정리는 두 가지 결론을 동시에 가지며, 두 가지 결론을 각각 증명하는 것보다 한꺼번에 증명하는 것이 더 쉽다. 아래의 증명은 다소 길다. 그러나 흔한 블로그 포스팅이나 책에 나오는 증명보다 이해하기 쉬울 것임을 장담한다. 일반적으로 소개되는 대체정리의 증명은 간소화를 위하여 논리적 연결이 약하게 된 부분이 많다.

 

proof)

  m에 대한 수학적 귀납법으로 0을 포함하는 모든 자연수 m에 대하여 대체정리가 성립하는 것을 보일 것이다. 이때 대체정리의 전제로서 ' $|L|=m$ 인 일차독립 집합 $L\subset V$ 가 존재한다' 라는 사실을 고정할 것이다. 따라서 조건 (ⅰ), (ⅱ)를 참이라고 가정할 때 $G$ 도 가정 (ⅰ), (ⅱ)를 만족하도록 주어져야 한다.

 

  $m=0$ 일 때를 생각하자. 임의의 자연수 n에 대하여 조건 (ⅰ)이 자명하게 성립한다. $L=\varnothing$ 이므로 $L\cup H=H$ 이다. 따라서 $|H|=n$ 이고 $\text{span}(H)=V$ 를 만족하는 $H$ 는 $G$ 로서 존재한다.

 

  임의의 고정된 (0을 포함하는) 자연수 $k$ 에 대하여 $m=k$ 일때 주어진 정리가 참이라고 가정하고, $m=k+1$ 에서도 주어진 정리가 참임을 보이자. $|L|=k+1$ 인 일차독립인 집합 $L=\{v_1,\dots ,v_k,v_{k+1}\}$ 을 생각하자. 집합 $L$ 을 축소시켜서 만든 집합 $L^{-}:=\{v_1,\dots ,v_k\}$ 는 정리 5.1-4에 따라 일차독립이다. $|L^{-}|=k$ 이므로, 수학적 귀납법의 가정에 따라 다음을 만족하는 집합 $H^{+}\subset G$ 가 존재한다.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& |H^{+}|=n-k\text{span}(L^{-}\cup H^{+})=V\end{array}$$

  편의상 $H^{+}=\{u_1,\dots ,u_{n-k}\}$ 라고 하자. 벡터 $v_{k+1}\in V$ 를 표현하는 일차결합이 다음과 같이 존재한다.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}& v_{k+1}\\ & =a_1{v}_1+\cdots +a_k{v}_k+b_1{u}_1+\cdots +b_{n-k}{u}_{n-k}\end{array}\end{array}$$

  이때 $a_1,\dots ,a_k,b_1,\dots ,b_{n-k}$ 는 스칼라이다. 만약 $n-k=0$ 이어서 $H^{+}=\varnothing$ 이거나 $b_1,\dots ,b_{n-k}$ 가 모두 0이라면 $v_{k+1}\in \text{span}(L^{-})$ 이므로 정리 5.1-5a에 따라 $L^{-}\cup \{v_{k+1}\}=L$ 이 일차종속이다. 이는 $L$ 이 일차독립이라는 가정에 모순이므로 $n-k\ne 0$ 이며 $b_1,\dots ,b_{n-k}$ 중 적어도 하나 0이 아니다.

 

  수학적 귀납법 가정에 의하여 $k\le n$ 가 참이므로 $k<n$ 이다. 다시말해 $k+1\le n$ 이므로 $m=k+1$ 에서 결론 (ⅰ)이 성립한다. 일반성을 잃지않고, $b_{n-k}\ne 0$ 이라고 하자. $b_{n-k}$ 의 곱에 대한 역원 $b_{n-k}^{-1}$ 이 존재하므로 양변에 곱하고 식 (5)를 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& u_{n-k}\\ & =(-b_{n-k}^{-1}{a}_1)v_1+\cdots +(-b_{n-k}^{-1}{a}_k)v_k+b_{n-k}^{-1}{v}_{k+1}\\ & +(-b_{n-k}^{-1}{b}_1)u_1+\cdots +(-b_{n-k}^{-1}{b}_{n-k-1})u_{n-k-1}\end{array}$$

  즉, 벡터 $u_{n-k}$ 는 $\{v_1,\dots ,v_{k+1},u_1,\dots ,u_{n-(k+1)}\}$ 의 일차결합이다. $H^{+}$ 의 부분집합 $H\subset G$ 를 $H:=\{u_1,\dots ,u_{n-(k+1)}\}$ 라고 정의하면 $u_{n-k}\in \text{span}(L\cup H)$ 이다. 그리고 다음은 정리 4.1-2(ⅰ)에 따라 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& \{v_1,\dots ,v_{k+1},u_1,\dots ,u_{n-(k+1)}\}\\ & =L\cup H\subset \text{span}(L\cup H)\end{array}$$

  종합하면 다음이 성립한다.

$$L\cup H\cup \{u_{n-k}\}=L\cup H^{+}\subset \text{span}(L\cup H)$$

$$\because L^{-}\subset L,L^{-}\cup H^{+}\subset \text{span}(L\cup H)$$

  또한 정리 정리 4.1-2(ⅱ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\text{span}(L^{-}\cup H^{+})\subset \text{span}(L\cup H)$$

  귀납법 가정에서 식 (4)와 같이 $\text{span}(L^{-}\cup H^{+})=V$ 이므로, $V\subset \text{span}(L\cup H)$ 이다. $\text{span}(L\cup H)\subset V$ 임은 자명하므로, $\text{span}(L\cup H)=V$ 가 성립한다. 그러므로 $m=k+1$ 에서 결론 (ⅱ)가 성립한다.   $◻$

 

 

  대체정리는 정성적으로 다음과 같이 말할 수 있다.

 

  (ⅰ): 일차독립인 집합은 임의의 생성집합보다 반드시 원소의 수가 같거나 작다.

  (ⅱ): 일차독립인 집합을 확장^[각주:2]하여 반드시 생성집합으로 만들 수 있다.

 

  이러한 의미를 기억해둔다면, 대체정리로 기저의 다양한 성질을 증명하는 과정에서 무슨 일이 일어나고 있는지를 파악할 수 있다. 증명은 직관을 논리로 이어주는 역할을 하는 것일 뿐, 직관을 갖고 있는 것이 중요함을 잊지 말자. 증명이 참이라고 하여 증명만 할줄 안다면, 도대체 무엇을 하고있는지 길을 잃을 수 있다.

 

 

8.1. 대체정리의 따름정리들

 

  기저는 일차독립이며 벡터공간을 생성함을 상기하자. 이제부터는 본격적으로 기저의 특징을 샅샅히 파헤친다.

 

대체정리의 따름정리 1)  벡터공간 $V$ 가 유한집합인 기저를 포함할 때를 생각하자. $V$ 의 모든 기저는 유한집합이며, 모두 같은 개수의 벡터로 이루어져 있다.

 

proof)

  벡터공간 $V$ 의 두 기저 $\beta ,\gamma$ 에 대하여 $\beta$ 가 유한집합이라고 하자. $\gamma$ 의 유한집합인 임의의 부분집합 $S$ 를 생각하자. 정리 5.1-4 에 따라 $S$ 는 일차독립이다. 대체정리의 결론 (ⅰ)에 따르면 일차독립인 집합 $S$ 의 원소의 수는 생성집합 $\beta$ 의 원소의 수보다 작거나 같다. 만약 $\gamma$ 가 무한집합이거나 $|\beta |$ 보다 많은 원소를 갖는 유한집합이라면, $|\beta |$ 보다 더 큰 원소의 갯수를 갖는 부분집합을 항상 선택할 수 있으므로, $\gamma$ 는 $|\beta |$ 보다 원소의 수가 작거나 같은 유한집합이다. 즉 $|\gamma |\le |\beta |$ 이다. 다시 대체정리의 결론 (ⅰ)에 따르면 일차독립인 집합 $\beta$ 의 원소의 수는 생성집합 $\gamma$ 의 원소의 수보다 작다. 즉 $|\beta |\le |\gamma |$ 이다. $|\gamma |\le |\beta |$ 이며 $|\beta |\le |\gamma |$ 이므로 $|\gamma |=|\beta |$ 이다.   $◻$

 

 

  대체정리의 따름정리 1로부터, 기저가 유한집합인 어떤 벡터공간은 기저를 이루는 벡터의 갯수가 하나로 고정됨을 알 수 있다. 즉, 우리가 어떤 벡터공간을 정의한다는 것은 동시에 벡터공간의 기저를 이루는 벡터의 갯수도 정한다는 것이다. 다시말해 벡터공간의 기저를 이루는 벡터의 갯수는 그 벡터공간 고유의 성질이다. 그러므로 다음의 정의는 well-defined 되어있다.

 

정의)  기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimention)이라 하고, 유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원(infinite dimension)이다. 유한차원 벡터공간 $V$ 의 기저가 n개의 벡터로 이루어질 때, 유일한 자연수 n은 주어진 벡터공간의 차원(dimension)이고, $\text{dim}(V)$ 라 표기한다.

 

  다음의 따름정리는 매우 중요하다.

 

대체정리의 따름정리 2)  벡터공간 $V$ 에 대하여 $\text{dim}(V)=n$ 이라고 하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $V$ 의 유한 생성집합은 반드시 n개 이상의 벡터로 이루어진다. 또한 n개의 벡터로 이루어진 생성집합은 $V$ 의 기저이다.
  (ⅱ) 일차독립이고 n개의 벡터로 이루어진 ($V$ 의) 부분집합은 $V$ 의 기저이다.
  (ⅲ) $V$ 의 일차독립인 부분집합을 확장하여 기저를 만들 수 있다.

 

proof)

  (ⅰ) : 정리 7.2-2에 따라 $V$ 의 유한 생성집합 $G$ 는 기저 $\beta$ 를 부분집합으로 갖는다. 대체정리의 따름정리 1에 따라 $\beta$ 는 항상 n개의 벡터를 원소로 가지므로 유한 생성집합 $G$ 의 원소의 수는 n개 이상이다. 만약 $|G|=n$ 일 경우 $\beta \subset G$ 에 대하여 집합 $G\setminus \beta$ 에 속하는 원소의 개수가 0이므로 $\beta =G$ 이다. 그러므로 n개의 벡터로 이루어진 생성집합은 $V$ 의 기저이다.

 

  (ⅱ) : 일차독립이고 n개의 벡터로 이루어진 부분집합 $\beta$ 를 생각하자. 대체정리에 따라 $|H|=n-n=0$ 이며 $\text{span}(\beta \cup H)=V$ 를 만족하는 $H$ 가 존재한다. 이때 $|H|=0$ 이면 $H=\varnothing$ 이므로 $\text{span}(\beta )=V$ 이다. 즉, $\beta$ 는 일차독립이며 $V$ 를 생성한다. 따라서 $\beta$ 는 $V$ 의 기저이다.

 

(ⅲ) : $V$ 의 일차독립인 부분집합 $L$ 을 생각하자. 대체정리의 첫 번째 가정에 따라 $|L|=m$ 이라면 $m\le n$ 이며, 두 번째 가정에 따라 $|H|=n-m$ 이고 $\text{span}(L\cup H)=V$ 를 만족하는 집합 $H$ 가 존재한다. 이때 $L\cup H$ 의 집합의 수는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}|L\cup H|=& |L|+|H|-|L\cap H|\\ =& m+(n-m)+|L\cap H|\\ =& n-|L\cap H|\\ \le & n\end{array}$$

 

  (ⅰ) 에 따르면, 생성집합은 반드시 n개 이상의 벡터로 이루어진다. $L\cup H$ 는 생성집합이므로, 종합하면 $|L\cup H|=n$ 이다. (ⅱ) 에 따라, 일차독립이고 n개의 벡터로 이루어진 집합 $L\cup H$ 는 $V$ 의 기저이다.   $◻$

 

 

9. 기저의 성질

 

  앞서 설명한 대체정리의 따름정리와 기저의 기본 성질을 조합하면 다음의 결론을 얻을 수 있다.

 

  (ⅰ) 벡터공간 $V$ 의 부분집합이 기저이기 위해서는 $V$ 를 생성하고 일차독립이어야 한다.^[각주:3]
  (ⅱ) $V$ 의 어떤 기저가 유한집합이면 $V$ 는 유한차원이며 $V$ 의 모든 기저는 이 집합과 같은 개수의 벡터를 포함한다. 이때 기저를 이루는 원소의 갯수를 $V$ 의 차원이라 한다.^[각주:4]
  (ⅲ) 벡터공간 $V$ 의 차원이 n이면, $V$ 의 모든 기저는 반드시 n개의 벡터로 이루어져 있다.^[각주:5]
  (ⅳ) 벡터공간 $V$ 의 차원이 n이면, $V$ 의 일차독립인 부분집합은 n개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으며 일차독립을 유지하는 확장으로 기저를 만들 수 있다.^[각주:6]
  (ⅴ) 벡터공간 $V$ 의 차원이 n이면, $V$ 의 모든 유한생성집합은 적어도 n개 이상의 벡터를 가지며 생성공간을 유지하는 축소로 기저를 만들 수 있다.^[각주:7]

 

  차원의 정의와 대체정리의 따름정리 2를 참고하면, 차원이 n인 벡터공간의 어떤 부분집합이 다음의 세 조건 중 적어도 두 조건을 만족한다면 그 부분집합은 기저이며 나머지 한 조건도 자동으로 만족함을 알 수 있다.

 

  1. 일차독립   2. n개의 벡터로 이루어짐   3. 벡터공간을 생성

  기저에 대한 대부분의 논의에서는 이 논리를 가장 많이 이용한다.

 

 

9.1. 차원의 성질

 

정리 9.1-1)  유한차원 벡터공간 $V$ 에 대하여 부분공간 $W$ 는 유한차원이고, $\text{dim}(W)\le \text{dim}(V)$ 이다. 특히 $\text{dim}(W)=\text{dim}(V)$ 이면 $W=V$ 이다.

 

proof)

  편의상 $\text{dim}(V)=n$ 이라고 하자. 만약 $W$ 가 무한차원이면 $W$ 는 무한집합인 기저를 포함한다. 그러나 $V$ 의 일차독립인 부분집합은 최대 n개의 원소를 가질 수 있으므로 $W$ 는 무한집합인 기저를 포함할 수 없다. 따라서 $W$ 는 유한차원이다. $\text{dim}(W)=m$ 이라고 하면, $W$ 는 벡터를 m개 포함하는 기저를 갖는다.

 

  $W=V$ 이면 $W$ 의 기저는 동시에 $V$ 의 기저이어야 하므로 $m=n$ 이다.

 

  $W⊊V$ 일때, 즉 $V\setminus W$ 가 공집합이 아닐 때를 생각하자. 이때 $V\setminus W$ 에 속하는 어느 벡터 $u$ 가 존재한다. $W$ 의 기저 $\beta$ 는 $\text{span}(\beta )=W$ 이므로 $u$ 는 $\text{span}(W)$ 에 속하지 않는다. 정리 5.1-5b에 따르면 $\beta \cup \{u\}$ 는 일차독립이고, 대체정리의 따름정리 2(ⅲ)에 따르면 $\beta \cup \{u\}$ 를 확장하여 $V$ 의 기저를 얻을 수 있다. 즉, $V$ 의 기저는 $\beta$ 보다 적어도 하나 이상의 벡터를 더 포함한다. 따라서 $m<n$ 이다.

 

  마지막으로 $\text{dim}(W)=\text{dim}(V)$ 이라면 $W$ 의 기저는 n개의 벡터로 구성되며 이는 $V$ 의 일차독립인 부분집합이므로 동시에 $V$ 의 기저이다. 따라서 $W=V$ 를 얻는다.   $◻$

 

 

  다음의 정리는 단사인 선형변환을 설명하거나 할때 사용된다.

 

정리 9.1-2)  벡터공간 $V$ 의 유한차원 부분공간 $W$ 대하여 $\text{dim}(W)=0$ 이기 위한 필요충분조건은 $W=\{0\}$ 인 것이다.

 

proof)

  $\text{dim}(W)=0$ 이라고 가정하자. 이는 $W$ 를 생성하는 기저를 구성하는 벡터가 0개임을 의미한다. 즉 $W$ 의 기저는 공집합이다. $W=\text{span}(\varnothing )=\{0\}$ 가 성립한다. (참고: 부록. 공집합의 생성공간)

 

  $W=\{0\}$ 이라고 가정하자. 7.1. 기저의 예시에서 알아보았듯이 $W$ 의 기저는 공집합이 유일하다. 공집합을 구성하는 벡터의 수는 0개이므로 $\text{dim}(W)=0$ 이다.   $◻$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

1. 기호 '|  |' 는 집합의 원소의 수를 의미하는 기호이다. [본문으로]
2. 기존의 집합에서 새로운 원소를 추가하여 새로운 집합을 만드는 것 [본문으로]
3. 기저의 정의 [본문으로]
4. 대체정리의 따름정리 1, 차원의 정의 [본문으로]
5. (ⅱ)와 의미하는 바가 같으며, 차원의 정의가 well-defined 되어있으므로 이렇게 말할 수 있다. [본문으로]
6. 대체정리의 결론 (ⅰ), 대체정리의 따름정리 2(ⅲ) [본문으로]
7. 대체정리의 따름정리 2(ⅰ), 정리 7.2-2 [본문으로]