[선형변환부터 동형사상까지] ch0. 함수

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  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

  행렬(matrix)이란 선형대수학에서 절대 빠질 수 없는 주제이다. 동시에 선형대수학에선 행렬 말고도 수많은 대상들을 다루곤 한다. 가령 벡터라던가, 수열이던가, 다항식이라던가 등등.. 얼핏 보면, 선형대수학을 공부하며 행렬과 굳이 상관없는 것들도 배우게 되는 것이라 착각하기 쉽다. 놀라운 비밀은 선형대수학의 모든 것은 행렬과 깊고 직접적인 관계가 있다는 것이다. 이번 '선형변환부터 동형사상까지' 시리즈를 정독하면 선형대수학의 모든 대상이 어떻게 행렬처럼 다룰 수 있게 되는지 알게 될 것이다.

 

 

0. 함수

 

  나중에 소개할 선형변환은 일종의 함수이다. 선형변환을 다루기 전에 함수의 이모저모를 간단하게 소개한다. 모두 나중에 중요하게 사용되는 개념이므로, 너무 기초적인 내용같지만 단단하게 이해하자.

 

정의) 두 집합 $A,\;B$ 에 대하여 $A$ 의 각 원소 $x$ 에 $B$ 의 유일한 원소 $f(x)$ 를 대응시키는 규칙을 $A$ 에서 $B$ 로 가는 함수(function) $f$ 라 하고, $f:A\to B$ 라 표기한다.

 

정의) 함수 $f:A\to B$ 와 $A$ 의 임의의 원소 $x$ 를 생각하자. $B$ 의 원소인 $f(x)$ 를 $f$ 에 의한 $x$ 의 상(image), $x$ 를 $f$ 에 의한 $f(x)$ 의 원상(preimage)이라 한다.

 

정의) 함수 $f:A\to B$ 에 대하여, $A$ 를 $f$ 의 정의역(domain), $B$ 를 $f$ 의 공역(codomain), 집합 $\{f(x):x\in A\}$ 를 $f$ 의 치역(range)이라 한다.

 

  함수와 관련한 집합의 표기법중에, $A$ 의 부분집합 $S$ 에 대하여 ' $S$ 의 모든 원소의 상'을 원소로 갖는 집합 $\{f(x):x\in S\}$ 를 $f(S)$ 라고 표기하는 방식이 있다. 이 표기법을 빌려 함수 $f:A\to B$ 의 치역을 간단히 $f(A)$ 라고 표기할 수 있다.

 

  함수의 규칙이 명시적으로 주어졌다면, mapping을 의미하는 '$\mapsto$' 기호를 함께 이용하여 함수를 명료하게 나타내는 방법도 있다. 가령, 실수집합의 원소 $x$ 를 실수집합의 원소 $x^2$ 에 대응시키는 함수 $f(x)=x^2$ 는 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$f:\mathbb{R\to R},\;x\mapsto x^2$$

  이후 소개하는 다양한 선형변환들은 정의역과 공역이 매우 다채로워지므로, 단순히 $f(x)=x^2$ 와 같이 쓰기를 고집하기보단 위와 같은 표기법에 익숙해 지는 것이 여러모로 편하다.

 

  두 함수가 같다는 것은 무엇을 의미하는지 간단하게 알아보자. 실수집합에서 실수집합으로 가는 두 함수 $f,\;g$ 를 생각하자. 임의의 실수 $x$ 에 대해 $f$ 는 $x/2$ 를 대응시키는 함수, $g$ 는 2를 곱하면 $x$ 가 되는 실수로 대응시키는 함수라고 하자. 분명히 두 함수의 설명은 다르게 되어있지만, 임의의 실수에 대한 상(image)은 두 함수가 같다는 것을 쉽게 알 수 있다. 함수의 본질은 대응규칙 그 자체이므로, 이 두 함수를 다르게 볼 근거는 전혀 없다. 정리하면, 두 함수 $f:A\to B,\;g:A\to B$ 가 모든 $x\in A$ 에 대하여 $f(x)=g(x)$ 이면 두 함수는 같다(equal)고 하며, $f=g$ 라 표기한다.

 

  정말 자명하게 성립하면서 함수에 관련된 수많은 증명에 사용되는 다음 정리를 보자.

 

정리 0-1)  함수 $f:A\to B$ 에 대하여, $A$ 의 부분집합 $S$ 를 생각하자. $f(S)\subset f(A)$ 가 성립한다.

 

proof)

  집합 $f(S)=\{f(x):x\in S\}$ 의 임의의 원소 $y$ 는 $S$ 의 적절한 원소 $x$ 의 상이다. 이때 $x$ 는 정의역 $A$ 에 속하므로 $y=f(x)$ 는 $f$ 의 치역 $f(A)$ 에 속한다. 따라서 $f(S)\subset f(A)$ 이다.   $\square$

 

※ 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속하면 A는 B의 부분집합이라는 공리에 익숙해지자.

 

 

0.1. 함수의 대응 형태

 

  먼저, 함수는 정의로부터 정의역의 원소 하나에 공역의 원소 하나가 대응되어야만 한다. 다시말해 정의역의 원소 하나에 공역의 원소 여러개가 대응되는 일이 없어야 한다는 의미이다. 만약 어떤 함수에 값 하나를 넣었는데 결과값이 여러 개가 나온다면 상당히 당황스러울 것이다..^[각주:1]

 

  아래의 논의는 상당히 중요하므로 모든 내용을 완전히 이해하도록 하자!

 

 

0.1.1. 단사함수

 

정의)  치역의 각 원소마다 유일한 원상을 가지는 함수를 단사함수(injection)라고 한다.

 

단사함수의 예

  단사함수라는 용어 대신에 일대일함수(one-to-one)라고도 한다.

 

  치역마다 각 원소의 유일한 원상을 가진다는 것은, 정의역의 (서로 다른) 두 원소가 같은 상을 가질 수 없다는 말과 같다. 가족이 한 상에 모여 다같이 밥을 먹는 상황을 생각하자. 가족 한명 한명을 정의역의 원소, 밥상 위에 올려진 반찬을 공역의 원소라고 볼때 (우스꽝스럽지만) 각자 가장 맘에 드는 반찬 하나를 독점하여 먹는 상황을 떠올리면 된다.

 

  위의 설명으로부터 단사함수란 다음의 명제를 참으로 만드는 함수임을 자명하게 알 수 있다.

$$x_1\ne x_2\implies f(x_1)\ne f(x_2)$$

  위 명제에 대우를 취하면 다음의 정리를 얻을 수 있다.

 

정리 0.1.1-1)  함수 $f$ 가 단사함수이기 위한 필요충분조건은 다음의 명제가 성립하는 것이다.$$f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2$$

 

  번외로, 단사함수는 치역에 속하지 않는 공역의 원소가 존재할 수도 존재하지 않을 수도 있다. 위의 그림의 예시에선 공역의 원소 'C' 가 치역에 속하지 않음을 알 수 있다. (후술할 개념을 빌리면, '단사함수는 전사함수가 아닐 수도 있다'라고 할 수 있다)

 

 

0.1.2. 전사함수

 

정의)  치역과 공역이 같은 함수를 전사함수(surjection)라고 한다.

 

전사함수의 예

  전사함수라는 용어 대신에 위로의 함수(onto)라고도 한다.

 

  단사함수를 설명할 때 사용한 밥상의 비유를 다시 들자면, 전사함수는 버려지는 반찬이 없는 식사로 볼 수 있다.

 

  위의 비유로부터 다음의 정리가 자명하게 성립함을 알 수 있다.

 

정리 0.1.2-1) 함수 $f$ 가 전사함수이기 위한 필요충분조건은 공역의 임의의 원소 $y$ 에 대하여 $y=f(x)$ 를 만족하는 정의역의 원소 $x$ 가 적어도 하나 존재한다는 것이다.

 

proof)

  함수 $f:A\to B$ 가 전사함수라고 하자. 즉 $f(A)=B$ 이며, 따라서 $B\subset f(A)$ 이다. 즉, 공역 $B$ 의 임의의 원소 $y$ 는 치역 $f(A)$ 에 속한다. $f(A)=\{f(x)\in B:x\in A\}$ 이므로 $y=f(x)$ 이게 하는 $A$ 의 원소 $x$ 가 적어도 하나 존재한다.

  공역의 임의의 원소 $y$ 에 대하여 $y=f(x)$ 를 만족하는 정의역의 원소 $x$ 가 적어도 하나 존재한다고 하자. 이는 즉 공역의 모든 원소가 치역에 속한다는 것이므로 $B\subset f(A)$ 가 성립한다. 치역은 원래 공역의 부분집합이므로 $f(A)\subset B$ 가 성립하며 따라서 $f(A)=B$ 이다. 즉, $f$ 는 전사함수이다.   $\square$

 

 

0.1.3. 전단사함수

 

정의)  단사함수이면서 전사함수인 함수를 전단사함수(bijection)라고 한다.

 

전단사함수의 예

  전단사함수라는 용어 대신에 일대일대응(one-to-one correspondence)이라고도 한다.

 

  전단사함수는 다음의 가시적인 특성을 지닌다.

 

정리 0.1.3-1)  함수 $f:A\to B$ 가 전단사함수이기 위한 필요충분조건은 공역 $B$ 의 임의의 원소의 (함수 $f$ 에 대한) 원상이 정의역 $A$ 에 유일하게 존재하는 것이다.

 

proof)

  함수 $f$ 가 전단사함수라고 하자. 전단사함수는 전사함수이므로 정리 0.1.2-1에 따라 $B$ 의 임의의 원소 $y$ 에 대하여 $y=f(x)$ 를 만족하는 $A$ 의 원소 $x$ 가 적어도 하나 존재한다. 전단사함수는 단사함수이므로 정리 0.1.1-1에 따라 $y=f(x_1)=f(x_2)$ 일때 $x_1=x_2$ 이다. 즉, 치역의 임의의 원소는 유일한 원상을 갖는다. 정리하면 함수 $f$ 의 공역의 임의의 원소의 원상은 존재하며 유일하다. 

  함수 $f$ 의 공역의 임의의 원소의 원상이 정의역에서 유일하게 존재한다고 하자. 공역의 임의의 원소의 원상이 존재한다는 것은 $B$ 의 임의의 원소가 $f$ 의 치역 $f(A)$ 에 포함된다는 것이다. 즉 $B\subset f(A)$ 이다. 치역은 원래 공역의 부분집합이므로 $f(A)\subset B$ 이며 따라서 $f(A)=B$ 이다. 따라서 $f$ 는 전사함수이다. $f$ 는 치역의 각 원소마다 유일한 원상을 가지므로 $f$ 는 단사함수이다. 종합하면 $f$ 는 전사함수이자 단사함수이므로 전단사함수이다.   $\square$

 

 

0.2. 항등함수

 

정의)  함수 $f:A\to A,\;x\mapsto x$ 를 집합 $A$ 에서 정의된 항등함수(identity function)라고 한다. 집합 $A$ 에서 정의된 항등함수 $f$ 는 $\mbox{id}_A$ 라고 표기한다.

 

  항등함수의 표기 $\mbox{id}_A$ 는 집합 $A$ 에서 정의되었음을 알리려는 의도가 있으며, 정의역을 굳이 밝히고싶지 않을 때는 $\mbox{id}$ 라고 표기하면 된다.

 

  항등함수가 정의되기 위해서는 반드시 정의역과 공역이 같은 집합이어야 한다. 실수집합에서 정의된 항등함수 $\mbox{id}_{\mathbb{R}}(x)=x$ 는 잘 알려져있는 항등함수이다.

 

정리 0.2-1)  항등함수는 전단사함수이다.

 

proof) 항등함수 $\mbox{id}_A$ 에 대하여 공역의 임의의 원소 $x$ 의 원상은 정의역에 $x$ 로서 유일하게 존재한다. 정리 0.1.3-1에 따라 항등함수는 전단사함수이다.   $\square$

 

 

0.3. 합성함수

 

정의)  두 함수 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ 를 생각하자. 다음과 같이 정의된 함수를 $g$ 와 $f$ 의 합성(coomposition)이라고 한다.$$g\circ f:A\to C,\;x\mapsto g(f(x))$$

 

  $g\circ f$ 는 $f$ 의 정의역을 정의역으로 갖고, $g$ 의 공역을 공역으로 갖는 함수이다. 정의에 따라, 정의역의 임의의 원소 $x$ 에 대하여 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ 가 성립한다.

 

  특수한 몇몇 경우를 제외하면 함수의 합성은 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉, $g\circ f\ne f\circ g$ 이다. 그러나 다음의 정리에서 함수의 합성은 결합법칙이 성립함을 알 수 있다.

 

정리 0.3-1)  세 함수 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ , $h:C\to D$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$$

 

proof)

  두 함수 $h\circ(g\circ f)$ , $(h\circ g)\circ f$ 의 정의역 $A$ 의 임의의 원소 $x$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))$$

$$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$$

  정리하면, 정의역의 임의의 원소에 대하여 두 함수 $h\circ(g\circ f)$ , $(h\circ g)\circ f$ 의 상이 같으므로 두 함수는 서로 같다. 따라서 정리가 성립한다.   $\square$

 

 

0.3.1. 합성함수의 성질

 

정리 0.3.1-1)  두 함수 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $f$ 와 $g$ 가 단사함수이면 $g\circ f$ 도 단사함수이다.
  (ⅱ) $f$ 와 $g$ 가 전사함수이면 $g\circ f$ 도 전사함수이다.
  (ⅲ) $f$ 와 $g$ 가 전단사함수이면 $g\circ f$ 도 전단사함수이다.

 

proof)

  (ⅰ) : $A$ 의 어떤 두 원소 $x_1,\;x_2$ 에 대해 $(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)$ 라고 하자. 이는 다시말해 $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ 임을 의미하고, $g$ 가 단사함수이므로 $f(x_1)=f(x_2)$ 이다. 그리고 $f$ 도 단사함수이므로 $x_1=x_2$ 가 성립한다. 정리하면 $f$ 와 $g$ 가 단사함수일 때 다음 명제가 성립한다.

$$(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\implies x_1=x_2$$

  단사함수의 필요충분조건에 따라 $g\circ f$ 는 단사함수임을 알 수 있다.

  (ⅱ) : $f$ 와 $g$ 는 전사함수이므로 다음 식이 성립한다.

$$(g\circ f)(A)=g(f(A))=g(B)=C$$

  전사함수의 정의에 따라 $g\circ f$ 는 전사함수이다.

  (ⅲ) : $f$ 와 $g$ 가 전단사함수이면 $f$ 와 $g$ 는 단사함수이므로 $g\circ f$ 는 단사함수이고, $f$ 와 $g$ 는 전사함수이므로 $g\circ f$ 는 전사함수이다. 따라서 $g\circ f$ 는 전단사함수임을 알 수 있다.   $\square$

 

  아래 정리는 더 중요하다.

 

정리 0.3.1-2)  두 함수 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $g\circ f$ 가 단사함수이면 $f$ 도 단사함수이다.
  (ⅱ) $g\circ f$ 가 전사함수이면 $g$ 도 전사함수이다.
  (ⅲ) $g\circ f$ 가 전단사함수이면 $f$ 는 단사함수, $g$ 는 전사함수이다.

 

proof)

  (ⅰ) : $f$ 가 단사함수가 아니면 $g\circ f$ 도 단사함수가 아니라는 대우명제가 참임을 보이면 된다. $f$ 가 단사함수가 아니면 $A$ 의 서로 다른 어떤 원소 $x_1,\;x_2$ 에 대하여 $f(x_1)=f(x_2)$ 가 성립한다. 이때 다음 식이 성립한다.

$$(g\circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(f(x_2))=(g\circ f)(x_2)$$

  따라서 $A$ 의 서로 다른 어떤 원소 $x_1,\;x_2$ 에 대하여 $(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)$ 가 성립하므로, $g\circ f$ 는 단사함수가 아니다. 따라서 정리가 성립한다.

  (ⅱ) : $g$ 가 전사함수가 아니면 $g\circ f$ 도 전사함수가 아니라는 대우명제가 참임을 보이면 된다. $f(A)\subset B$ 이므로 정리 0-1에 따라 $g(f(A))\subset g(B)$ 가 성립한다. 여기서 $g(B)$ 는 $g$ 의 치역이다. $g$ 는 전사함수가 아니기에 $g$ 의 공역에는 속하지만 치역에는 속하지 않는 원소가 존재하므로 $g(B)\subsetneq C$ 가 성립한다. 정리하면 다음 수식이 성립한다.

$$(g\circ f)(A)=g(f(A))\subset g(B)\subsetneq C$$

  $(g\circ f)(A)\subsetneq C$ 이므로 $g\circ f$ 의 공역에는 속하지만 치역에는 속하지 않는 원소가 존재한다. 즉 $g\circ f$ 는 전사함수가 아니다. 따라서 정리가 성립한다.

  (ⅲ) : $g\circ f$ 가 전단사함수이면 $g\circ f$ 는 단사함수이므로 $f$ 는 단사함수이며 $g\circ f$ 는 전사함수이므로 $g$ 는 전사함수이다. 따라서 정리가 성립한다.   $\square$

 

 

0.4. 역함수

 

  다음의 조심스러운 정의부터 시작해보자.

 

정의)  함수 $f:A\to B$ 에 대하여 $g\circ f=\mbox{id}_A$ 를 만족하는 함수 $g:B\to A$ 를 $f$ 의 왼쪽 역함수(left inverse)라 하며, $f\circ h=\mbox{id}_B$ 를 만족하는 함수 $h:B\to A$ 를 $f$ 의 오른쪽 역함수(right inverse)라 한다.

 

  다음의 정리가 성립한다.

 

정리 0.4-1)  어떤 함수에 대한 왼쪽 역함수와 오른쪽 역함수가 모두 존재하면 그 둘은 동일하며 유일하다.

 

proof)

  $f:A\to B$ 의 어떤 왼쪽 역함수 $g$ 와 어떤 오른쪽 역함수 $h$ 가 존재한다고 가정하자. 임의의 원소 $x\in B$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}g(x)=&g(\mbox{id}_B(x))=(g\circ\mbox{id}_B)(x)\\=&\Big(g\circ(f\circ h)\Big)(x)=\Big((g\circ f)\circ h\Big)(x)\\=&(\mbox{id}_A\circ h)(x)=\mbox{id}_A(h(x))\\=&h(x)\end{align}$$

  따라서 $g=h$ 가 성립한다.

  임의의 왼쪽 역함수 $g_1$ 를 생각하자. 위 과정을 반복하면 $g_1=h$ 를 얻으므로 $g=g_1$ 이다. 즉, 왼쪽 역함수는 유일하게 존재한다. 임의의 오른쪽 역함수 $h_1$ 도 마찬가지로 위 과정을 반복하면 $g=h_1$ 를 얻으므로 $h=h_1$ 이다. 즉, 오른쪽 역함수도 유일하게 존재한다.   $\square$

 

※ [성질 A를 만족하는 대상이 존재할 때, 성질 A를 만족하는 임의의 두 대상을 생각하자. 알고보니 두 대상은 같다. 따라서 성질 A를 만족하는 대상은 유일하다] 라는 논증은 '유일성'을 증명할때 거의 항상 사용된다. 유일성 증명을 자주 할 일은 없지만 이해해두는 편이 좋다. 이 논증은 다음의 귀류법 논증을 다소 순화한 것이며 동일한 의미를 갖는다.
  [성질 A를 만족하는 대상이 존재할 때, 성질 A를 만족하는 서로 다른 두 대상이 존재한다고 하자. 알고보니 두 대상은 같다는 모순이 발생한다. 그러므로 성질 A를 만족하는 서로 다른 두 대상이 존재함은 거짓이다. 따라서 성질 A를 만족하는 대상은 유일하게 존재한다.]

 

  위의 정리를 다시 이해해보자. 어떤 함수 $f$ 가 왼쪽 및 오른쪽 역함수를 모두 가질 경우, $f$ 는 역함수를 유일하게 가진다. 이러한 특성으로 인하여 다음과 같은 정의가 가능하다.

 

정의)  함수 $f:A\to B$ 에 대하여 $g\circ f=\mbox{id}_A$ , $f\circ g=\mbox{id}_B$ 를 만족하는 함수 $g:B\to A$ 가 존재하면 함수 $f$ 는 가역(invertible)이라고 한다. 왼쪽 역함수이며 오른쪽 역함수인 유일한 함수 $g$ 는 $f$ 의 역함수(inverse)라고 하며 $f^{-1}$ 라고 표기한다.

 

  역함수에 대한 개념은 어떤 수학 분야든 골고루 사용되는 개념이며, 특히 동형사상을 공부할 때 시도때도없이 등장하는 주요 개념이다. 따라서 역함수와 관련된 성질을 최대한 잘 이해해놓는 것이 좋다.

 

 

0.4.1. 역함수의 성질

 

정리 0.4.1-1)  함수 $f$ 가 가역이기 위한 필요충분조건은 $f$ 가 전단사함수인 것이다.

 

정리 0.4.1-2) 가역인 함수의 역함수는 전단사함수이다.

 

  위의 두 정리를 한꺼번에 증명한다.

 

proof)

  함수 $f:A\to B$ 가 가역이라고 하자. $g\circ f=\mbox{id}_A$ 와 $f\circ g=\mbox{id}_B$ 를 만족하는 함수 $g$ 가 존재한다. 정리 0.2-1에 따라 $\mbox{id}_A$ 와 $\mbox{id}_B$ 는 전단사함수이다. 정리 0.3.1-2에 따라 $g\circ f=\mbox{id}_A$ 로부터 $f$ 는 단사함수 $g$ 는 전사함수이고 $f\circ g=\mbox{id}_B$ 로부터 $f$ 는 전사함수 $g$ 는 단사함수이다. $f$ 는 단사함수이며 전사함수이므로 전단사함수이다. 추가적으로 $g$ 는 전사함수이며 단사함수이므로 $g$ 는 전단사함수이다. 이때 $g=f^{-1}$ 이므로 $f$ 의 역함수는 전단사함수임을 안다. 정리 0.4.1-2   $\square$

  $f$ 가 전단사함수라고 하자. 정리 0.1.3-1에 따라 $f$ 의 공역$ B$ 의 임의의 원소는 그 원상이 정의역 $A$ 에 유일하게 존재한다. $B$ 를 정의역으로 하고 $A$ 를 공역으로 하며, 정의역의 임의의 원소의 상을 $f$ 에 대한 원상으로 갖는 함수 $g$ 를 생각하자. 즉 다음과 같다.

$$g:B\to A,\quad g(y)=x\iff y=f(x)\tag{0.4.1-1}$$

  합성함수 $g\circ f$ 를 생각하자. 이 함수의 정의역 $A$ 의 임의의 원소 $x$ 와 치역 $A$ 의 어떤 원소 $z$ 에 대하여 다음과 같다고 하자.

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=z$$

  식 (0.4.1-1)에 따라 $f(x)=f(z)$ 이다. $f$ 는 단사함수이므로 $x=z$ 이다. 즉, $(g\circ f)(x)=x$ 이다. 따라서 $g\circ f=\mbox{id}_A$ 임을 안다.

  합성함수 $f\circ g$ 를 생각하자. 이 함수의 정의역 $B$ 의 임의의 원소 $y$ 와 $A$ 의 어떤 원소 $x$ 에 대하여 다음과 같다고 하자.

$$(f\circ g)(y)=f(g(y))=f(x)$$

  $f$ 는 단사함수이므로 $g(y)=x$ 이며, 식 (0.4.1-1)에 따라 $f(x)=y$ 이다. 즉, $(f\circ g)(y)=y$ 이다. 따라서 $f\circ g=\mbox{id}_B$ 임을 안다.

  정리하면 $g\circ f=\mbox{id}_A$ , $f\circ g=\mbox{id}_B$ 를 만족하는 함수 $g$ 가 존재한다. 따라서 $f$ 는 가역이다. 정리 0.4.1-1   $\square$

 

  다음의 정리는 역함수를 사용하는 방법에 대한 것이다.

 

정리 0.4.1-3)  가역인 함수 $f:A\to B$ 를 생각하자. 임의의 원소 $y\in B$ 에 대하여 $f(x)=y$ 를 만족하는 $x$ 가 유일하게 존재하며 $x=f^{-1}(y)$ 가 성립한다.

 

proof)

  정리 0.4.1-1로부터 가역인 함수 $f$ 는 전단사함수이며 정리 0.1.3-1에 따라 임의의 원소 $y\in B$ 에 대하여 $f(x)=y$ 를 만족하는 $x$ 가 유일하게 존재함이 보장된다. 역함수의 정의로부터 다음이 성립한다.

$$x=(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

정리 0.4.1-4)  가역인 함수 $f$ 의 역함수 $f^{-1}$ 은 가역이며 $(f^{-1})^{-1}=f$ 이다.

 

proof)

  정리 0.4.1-2에 따라 가역인 함수의 역함수는 전단사함수이다. 정리 0.4.1-1에 따라 전단사함수인 그 역함수는 가역이다.

  이 결론에 따르면 가역인 함수 $f:A\to B$ 의 역함수 $f^{-1}:B\to A$ 는 가역이다. 따라서 $f^{-1}$ 의 역함수 $(f^{-1})^{-1}:A\to B$ 가 존재한다. 역함수의 정의로부터 다음이 성립한다.

$$\begin{align}f=&f\circ\mbox{id}_A=f\circ\Big(f^{-1}\circ(f^{-1})^{-1}\Big)\\=&(f\circ f^{-1})\circ(f^{-1})^{-1}=\mbox{id}_B\circ(f^{-1})^{-1}\\=&(f^{-1})^{-1}\end{align}$$

  따라서 원하는 결론을 얻는다.   $\square$

 

  다음은 합성함수의 역함수에 대한 정리이다. 아래의 정리에 대한 널리 알려진 비유가 있다.^[각주:2]

 

정리 0.4.1-5)  가역인 두 함수 $f:A\to B$ , $g:B\to C$ 를 생각하자. $g\circ f$ 는 가역이며, 그 역함수는 $f^{-1}\circ g^{-1}$ 이다.

 

proof)

  가역인 함수 $f$ , $g$ 는 정리 0.4.1-2에 따라 전단사함수이며, 정리 0.3.1-1(ⅲ)에 따라 $g\circ f:A\to C$ 도 전단사함수이다. 다시 정리 0.4.1-2에 따라 $g\circ f$ 는 가역이다. 따라서 $g\circ f$ 의 역함수 $(g\circ f)^{-1}:C\to A$ 가 존재한다.

  역함수의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(g\circ f)^{-1}=&(g\circ f)^{-1}\circ\mbox{id}_C\\=&(g\circ f)^{-1}\circ\left(g\circ g^{-1}\right)\\=&(g\circ f)^{-1}\circ g\circ\mbox{id}_B\circ g^{-1}\\=&(g\circ f)^{-1}\circ g\circ\left(f\circ f^{-1}\right)\circ g^{-1}\\=&\left\{(g\circ f)^{-1}\circ(g\circ f)\right\}\circ\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\\=&\mbox{id}_A\circ\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\\=&f^{-1}\circ g^{-1}\end{align}$$

  따라서 원하는 결론을 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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1. 결과값이 여러개가 나오는 다가함수(multivalued function)는 분명 수학적 의미가 있다. 특히 복소함수를 공부할 때는 반드시 알아야 하는 개념이다. 지금은 선형대수학을 공부하는 중이므로 다가함수는 논외로 하자. [본문으로]
2. 신을 때에는 양말 신고 신 신고, 벗을 때에는 신 벗고 양말 벗고 [본문으로]