[벡터공간부터 기저까지] ch2. 일차종속과 일차독립

  이전 읽을거리 : 벡터공간과 부분공간

 

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

3. 일차결합

 

정의)  벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 를 생각하자. $S$ 에 속하는 벡터 중 유한개의 벡터 $u_1,\dots ,u_n$ 와 임의의 스칼라 $a_1,\dots ,a_n$ 에 대하여 다음과 같은 벡터 $v$ 를 $S$ 의 일차결합(Linear Combination)이라 한다. $$v=a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n$$  이때, $v$ 는 벡터 $u_1,\dots ,u_n$ 의 일차결합이고 $a_1,\dots ,a_n$ 은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다.

 

  일차결합의 정의를 이해할 때, 벡터 여러개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것도 일차결합임에 유의하자. 벡터공간의 성질에 따라 다음을 알 수 있다.

 

정리 3-1)  벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 의 모든 일차결합은 $V$ 에 속한다.

 

proof)

  수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 부분집합 $S$ 에 속하는 임의의 벡터 $u_1$ 과 임의의 스칼라 $a_1$ 을 고려하자. $S$ 의 원소는 벡터공간 $V$ 의 원소이기도 하므로, 벡터공간의 성질에 따라 $u_1$ 과 $a_1$ 의 스칼라곱 $a_1{u}_1$ 은 $V$ 에 속한다.

 

  $S$ 에 속하는 $k$ 개의 벡터 $u_1,\dots ,u_k$ 와 스칼라 $a_1,\dots ,a_k$ 에 대하여 일차결합 $a_1{u}_1+\cdots +a_k{u}_k=:v_k$ 가 $V$ 에 포함된다고 가정하자. 임의의 벡터 $u_{k+1}\in S$ 와 임의의 스칼라 $a_{k+1}$ 의 스칼라 곱 $a_{k+1}{u}_{k+1}$ 은 벡터공간의 성질에 따라 벡터공간 $V$ 에 속한다. 또한 벡터공간의 성질에 따라 $v_k+a_{k+1}{u}_{k+1}\in V$ 이다. 즉, 다음과 같다.

$$a_1{u}_1+\cdots +a_{k+1}{u}_{k+1}\in V$$

  수학적 귀납법에 따라, 임의의 자연수 $n$ 에 대하여, 임의의 벡터 $u_1,\dots ,u_n$ 와 임의의 스칼라 $a_1,\dots ,a_n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}◻& a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n\in V\end{array}$$

 

 

4. 생성공간

 

정의)  벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 를 생각하자. $S$ 의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합을 $S$ 의 생성공간(span)이라고 하며 $\text{span}(S)$ 라 표기한다. 편의를 위해 $\text{span}(\varnothing )=\{0\}$ 으로 정의한다. (단, $0$ 은 $V$ 의 영벡터)

 

  생성공간의 정의에서, 아무리 편의를 위한다지만 공집합의 생성집합이 과연 집합 $\{0\}$ 으로 정의되는 것이 합리적인가에 대한 의구심이 들 수 있다. 공집합의 생성집합은 공집합에서 원소를 가져와 만든 선형결합의 집합이고, 공집합에서 원소를 가져온다는 것이 모순되게 들리기 때문이다. 하지만 그러한 정의를 따르는 것이 앞으로 여러가지 증명에서 편리함을 가져다줄 것이다. 그리고 조금만 더 생각해보면 생각만큼 이상한 정의가 아님을 느낄 수 있다. ([수학/선형대수학] - 공집합의 생성공간 참조)

 

  Span이 '생성공간'이라 번역되었는데, 번역에 '공간'이라는 단어가 포함되는 것은 실수나 우연이 아니다. 실제로 생성공간은 단지 집합에 불과하지 아니하며 벡터공간의 조건을 만족한다. 임의의 생성공간이 벡터공간의 부분공간임을 확인하자.

 

 

4.1. 생성공간의 성질

 

정리 4.1-1)  모든 생성공간은 영벡터를 포함한다.

 

proof)

  벡터공간 $V$ 의 공집합인 부분집합 $S$ 를 생각하자. 만약 $S=\varnothing$ 이면 $S$ 의 생성공간은 영벡터만을 원소로 갖는 점공간이다. 따라서 공집합의 생성공간은 영벡터를 포함한다.

 

  벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 를 생각하자. $S$ 에 대한 생성공간 $\text{span}(S)$ 는 $S$ 의 임의의 벡터 몇 개를 선택하여 만든 일차결합의 집합이다. 일차결합은 벡터에 스칼라 곱을 한 것을 한개 또는 여러 개 더한 것이므로, 임의의 벡터 $x\in S$ 에 대하여 $0x$ 도 $S$ 의 일차결합이다. $0x=0$ 은 영벡터이므로, $\text{span}(S)$ 는 영벡터를 포함한다. 임의의 부분집합 $S$ 에 대하여 똑같이 성립하므로, 모든 생성공간은 영벡터를 포함한다.   $◻$

 

정리 4.1-2)  벡터공간 $V$ 의 임의의 부분집합 $S$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\text{span}(S)$ 는 $V$ 의 부분공간이며 $S\subset \text{span}(S)$ 이다.
  (ⅱ) $V$ 의 임의의 부분공간 $W$ 에 대하여 $S\subset W$ 이면 $\text{span}(S)\subset W$ 이다. 

 

proof)

  먼저, $S=\varnothing$ 일때를 생각하자. 정의에 따라 $\text{span}(\varnothing )=\{0\}$ 이며, 이는 점공간으로서 벡터공간 $V$ 의 부분공간임을 안다. 또한 $\varnothing \subset \{0\}$ 이므로 (ⅰ)이 성립한다. 또한 임의의 부분공간 $W$ 에 대하여 자명하게 $\varnothing \subset W$ 이며 부분공간은 영벡터를 포함하므로 $\{0\}\subset W$ 가 성립한다. 따라서 (ⅱ)도 성립한다.

 

  $S\ne \varnothing$ 일때를 생각하자. $F$-벡터공간 $V$ 의 부분집합 $S$ 에 대하여 생성공간의 정의는 다시 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}\text{span}(S):=& \{a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n:\\ & u_1,\dots ,u_n\in S,a_1,\dots ,a_n\in F\}\end{array}$$

  생성공간 $\text{span}(S)$ 의 두 원소 $u,u^{\prime }$ 와 스칼라 $c$ 를 생각하자. 편의상 다음과 같다고 하자.

$$u=a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n{u}^{\prime }=a_1^{\prime }{u}_1+\cdots +a_n^{\prime }{u}_n$$

  우선 $\text{span}(S)$생성공간은 정리 4.1-1 에 따라 영벡터를 포함한다. 두 원소 $u,u^{\prime }$ 의 합은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}u+u^{\prime }=& (a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n)\\ & +(a_1^{\prime }{u}_1+\cdots +a_n^{\prime }{u}_n)\\ =& (a_1+a_1^{\prime })u_1+\cdots +(a_n+a_n^{\prime })u_n\end{array}$$

  위 식의 마지막은 다시 $S$ 의 일차결합이라고 할 수 있다. 따라서 $\text{span}(S)$ 의 임의의 두 원소의 합은 다시 $\text{span}(S)$ 의 원소이다. 즉, $\text{span}(S)$ 는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 원소 $u$ 와 스칼라 $c$ 의 곱은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}cu=& c(a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n)\\ =& c(a_1{u}_1)+\cdots +c(a_n{u}_n)\\ =& (c{a}_1)u_1+\cdots +(c{a}_n)u_n\end{array}$$

  위 식의 마지막은 다시 $S$ 의 일차결합이라고 할 수 있다. 따라서 $\text{span}(S)$ 의 임의의 원소의 스칼라 곱은 다시 $\text{span}(S)$ 의 원소이다. 즉, $\text{span}(S)$ 는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다. 종합하면, $\text{span}(S)$ 는 영벡터를 가지며 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다. 즉, $\text{span}(S)$ 는 $V$ 의 부분공간이다. 그리고 $S$ 의 임의의 벡터 $u$ 를 생각하자. $1u$ 는 $S$ 의 일차결합이므로 $u\in \text{span}(S)$ 즉, $S$ 의 모든 원소가 $\text{span}(S)$ 에 포함되므로 $S\subset \text{span}(S)$ 이다. 따라서 (ⅰ)가 성립한다.

 

  부분공간 $W$ 가 $S$ 를 포함한다고 하자. 부분공간은 벡터공간이므로, $S$ 는 이때 벡터공간의 부분집합이라고 할 수 있다. 정리 3-1 에 의해 $S$ 의 모든 일차결합이 벡터공간인 $W$ 에 속함을 알 수 있다. 따라서 부분공간 $W$ 가 $S$ 를 포함하면 $\text{span}(S)$ 도 포함한다. 따라서 (ⅱ)가 성립한다.   $◻$

 

 

4.2. 생성집합

 

정의)  벡터공간 $V$ 의 부분집합 $S$ 에 대하여 $\text{span}(S)=V$ 이면 $S$ 는 $V$ 를 생성한다(genrate, span)고 한다. 이때 $S$ 를 $V$ 의 생성집합(spanning set)이라고 부른다.

 

  두 집합 $A,B$ 를 비교할 때, $A=B$ 라는 것은 $A\subset B$ 이며 동시에 $B\subset A$ 일 때를 일컫는 것임을 잊지 말자.

 

  어떤 집합이 벡터공간의 생성집합이라는 것은, 그 집합의 원소로 만든 일차결합으로 벡터공간의 모든 원소를 표현할 수 있음을 의미한다. 이때 꼭 벡터공간의 원소를 표현하는 일차결합이 유일해야 할 필요는 없다.

 

정리 4.2-1)  벡터공간 $V$ 의 $S_1\subset S_2$ 를 만족하는 두 부분집합 $S_1,S_2$ 를 생각하자. 이때 $\text{span}(S_1)\subset \text{span}(S_2)$ 이다.

 

proof)

  $S_1$ 의 모든 원소는 $S_2$ 의 원소이므로, $S_1$ 의 모든 일차결합은 $S_2$ 의 일차결합이다. 따라서 $\text{span}(S_1)\subset \text{span}(S_2)$ 이다.   $◻$

 

 

5. 일차독립

 

정의)  벡터공간 $V$ 의 부분집합 $S$ 를 생각하자. $S$ 의 일차결합에서 곱해지는 스칼라를 모두 영으로 함으로써 영벡터를 표현할 수 있다. 이를 $S$ 의 일차결합에 대한 영벡터의 자명한 표현(trivial representation of $0$)이라고 한다.

 

  당연하게도, 영벡터를 표현하는 방법이 항상 자명한 방법뿐인 것은 아니다. 예를 들어 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{2}}$ 의 두 벡터 $(1,0),(-2,0)$ 의 일차결합으로 영벡터를 표현하는 방법은 다음과 같이 여러가지 방법이 존재한다.

$$\begin{array}{rl}(0,0)=& 0(1,0)+0(-2,0)\\ =& 2(1,0)+1(-2,0)\\ =& (-4)(1,0)+(-2)(-2,0)\\ ⋮\end{array}$$

 

정의)  벡터공간 $V$ 의 부분집합 $S$ 를 생각하자. 영벡터를 나타내는 $S$ 의 일차결합에 대하여 자명하지 않은 표현이 존재하면 집합 $S$ 는 일차종속(linearly dependent)이라 한다.

 

  일차종속이라는 것은 영벡터를 나타내는 $S$ 의 일차결합 중, 영이 아닌 스칼라의 곱이 적어도 하나 존재하는 표현이 가능하다는 것이다. 이전의 예시인 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{2}}$ 의 두 벡터 $(1,0),(-2,0)$ 는 스칼라가 모두 0이 아니어도 영벡터를 표현할 수 있으므로 일차종속이다.

 

  특히, 점공간을 나타내는 집합 $\{0\}$ 은 일차종속이다. 그 이유는 영벡터에 어떠한 스칼라를 곱해도 영벡터이며, 만약 영이 아닌 스칼라를 곱한다면 그 자체로 영벡터의 자명하지 않은 표현이기 때문이다.

 

정의)  벡터공간의 부분집합 $S$ 가 일차종속이 아니면 일차독립(linearly independent)이다.

 

 일차독립은 선형대수학에서 상당히 중요한 개념이다. 그러나 그 위상에 비해 정의가 다소 단순한데, 이렇게 정의하여야 일차독립에 관련한 다양한 성질을 깔끔하게 추출할 수 있다. 다음은 일차독립의 직관적인 의미를 해석한다.

 

 

5.1. 일차독립과 일차종속의 성질

 

정리 5.1-1)  영벡터를 포함하는 모든 부분집합은 일차종속이다.

 

proof)

  벡터공간 $V$ 와 영벡터 $0\in V$ 를 포함하는 부분집합 $S$ 를 생각하자. 임의의 스칼라 $a$ 에 대하여 $a0$ 은 $S$ 의 일차결합 중 하나이다. 이때 $a\ne 0$ 이어도 $a0=0$ 이므로, $S$ 의 일차결합에 대한 영벡터의 자명하지 않은 표현이 존재한다. 따라서 $S$ 는 일차종속이다.   $◻$

 

 

정리 5.1-2)  일차독립인 집합에 대하여, 다음의 명제는 모든 벡터공간을 가리지 않고 참이다.
  (ⅰ) 공집합은 일차독립이다.^[각주:1]
  (ⅱ) 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 일차독립이다.
  (ⅲ) 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 영벡터를 주어진 집합의 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것이다.

 

proof)

  (ⅰ) : 공집합은 일차종속이 아니다. 따라서 일차독립이다.^[각주:2]

 

  (ⅱ) : 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합 $\{u\}$ 를 생각하자. 만약 $\{u\}$ 가 일차종속이라면 일차결합에 대한 영벡터의 자명하지 않은 표현이 존재하여야 한다. 즉, 영이 아닌 어떤 스칼라 $a$ 에 대하여 $au=0$ 이다. 영이 아닌 스칼라는 곱에 대한 역원 $a^{-1}$ 이 존재하며, 양변에 $a^{-1}$ 을 곱해주면 $a^{-1}au=1u=u$ , $u^{-1}0=0$ 이므로 $u=0$ 이다. 벡터 $u$ 는 영벡터가 아니라는 가정에 모순되므로 $\{u\}$ 는 일차종속이 아니다. 따라서 $\{u\}$ 는 일차독립이다.

 

  (ⅲ) : 어떤 집합 $S$ 가 일차독립이라고 하자. 집합 $S$ 는 일차종속이 아니다. 즉, 영벡터를 나타내는 $S$ 의 일차결합 중 자명하지 않은 표현이 존재하지 않는다. 따라서 영벡터를 나타내는 유일한 일차결합은 자명한 표현 뿐이다. 역으로 어떤 집합 $S$ 가 일차종속이라고 하자. 정의에 따라, 영벡터를 나타내는 $S$ 의 일차결합 중 자명하지 않은 표현이 존재한다. 다시말해 영벡터를 $S$ 의 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐이지 않다.   $◻$

 

 

  다음 정리는 일차종속과 일차독립의 정의로 바로 알 수 있으며, 중요하므로 증명 후 꼭 기억하자.

 

정리 5.1-3)  벡터공간 $V$ 와 $S_1\subset S_2\subset V$ 인 집합 $S_1,S_2$ 를 생각하자. $S_1$ 이 일차종속이면 $S_2$ 도 일차종속이다.

 

proof)

  편의상 $S_1=\{v_1,\dots ,v_m\},S_2=\{v_1,\dots ,v_m,\dots ,v_n\}$ 이라고 하자. $S_1$ 이 일차종속이면 다음과 같이 영벡터를 표현하는 $S_1$ 의 자명하지 않은 일차결합이 존재한다.

$$a_1{v}_1+\cdots +a_m{u}_m=0$$

  이때 스칼라 $a_1,\dots ,a_m$ 중에서 적어도 하나는 영이 아니다. 이때 $v_1,\dots ,v_m$ 은 $S_2$ 의 원소이기도 하므로, 위의 식은 $S_2$ 의 일차결합이기도 하다. 다시말해 영벡터를 표현하는 $S_2$ 의 자명하지 않은 일차결합이 존재한다. 따라서 $S_2$ 는 일차종속이다.   $◻$

 

 

정리 5.1-4) 벡터공간 $V$ 와 $S_1\subset S_2\subset V$ 인 집합 $S_1,S_2$ 를 생각하자. $S_2$ 가 일차독립이면 $S_1$ 도 일차독립이다.

 

proof)

  정리 5.1-3에 따르면$S_1$ 이 일차종속이면 $S_2$ 도 일차종속이다. 이는 $S_2$ 가 일차종속이 아니면 $S_1$ 이 일차종속이 아니라는 것이다. 다시말해 $S_2$ 가 일차독립이면 $S_1$ 이 일차독립이다.   $◻$

 

  정리 5.1-4과 같이 생각해볼 것은, 공집합은 모든 집합의 부분집합이라는 점이다. 벡터공간에 공집합이 아닌 일차독립인 부분집합이 적어도 하나 존재할 때를 생각하자.^[각주:3] 상기한 정리 5.1-4에 따르면 일차독립인 집합의 부분집합은 일차독립이어야 하므로, 모든 집합의 부분집합인 공집합은 반드시 일차독립이어야 할 당위성을 말할 수 있다. 그럼에도 불구하고 공집합이 일차독립이 아니라고 말한다면, 모든 논리 전개에서 일차종속인 공집합에 대한 예외를 일일히 언급하여야 할 것이다.

 

  다음의 정리는 기저와 관련된 수많은 성질에서 끊임없이 사용되는 개념이므로 매우 중요하다.

 

정리 5.1-5a)  벡터공간 $V$ 와 일차독립인 부분집합 $S$ , 그리고 $S$ 에 포함되지 않는 벡터 $v\in V$ 를 생각하자. $S\cup \{v\}$ 가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 $v\in \text{span}(S)$ 이다.

 

proof)

  $S\cup \{v\}$ 가 일차종속이라고 하자. 그리하면 $S$ 의 유한개의 원소 $u_1,\dots ,u_n$ 을 선택하여 다음과 같이 영벡터의 자명하지 않은 표현이 존재한다.

$$a_{0}v+a_1{u}_1+\cdots +a_n{u}_n=0$$

  이때 스칼라 $a_0,\dots ,a_n$ 중에서 적어도 하나는 영이 아니다. 이때 $a_0=0$ 이면 벡터 $a_1,\dots ,a_n$ 의 자명하지 않은 영벡터의 표현이 가능하므로 $S$ 가 일차독립이라는 가정에 어긋난다. 따라서 영벡터를 표현하는 일차결합에서 반드시 $a_0\ne 0$ 이어야 한다. 양변에 $a_0^{-1}$ 을 곱하고 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}v=& a_0^{-1}(-a_1{u}_1-\cdots -a_n{u}_n)\\ =& (-a_0^{-1}{a}_1)u_1+\cdots +(-a_0^{-1}{a}_n)u_n\end{array}$$

  이로써 $v$ 가 $S$ 의 일차결합임을 알 수 있다. 즉, $v\in \text{span}(S)$ 이다.

  반대로 $v\in \text{span}(S)$ 라고 하자. 따라서 어떤 스칼라 $b_1,\dots ,b_n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& v=b_1{u}_1+\cdots +b_n{u}_n\\ ⟹& 0=(-1)v+b_1{u}_1+\cdots +b_n{u}_n\end{array}$$

  이는 영벡터를 나타내는 집합 $S\cup \{v\}$ 의 일차결합에 대하여 자명하지 않은 표현이 존재한다는 것이다. 따라서 $S\cup \{v\}$ 는 일차종속이다.   $◻$

 

 

  정리 5.1-5a의 마지막을 역으로 하여도 여전히 참이며, 다음과 같다.

 

정리 5.1-5b)  벡터공간 $V$ 와 일차독립인 부분집합 $S$ , 그리고 $S$ 에 포함되지 않는 벡터 $v\in V$ 를 생각하자. $S\cup \{v\}$ 가 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $v\notin \text{span}(S)$ 이다.

 

  심지어 이렇게 정리를 바꿔보면, 정리 자체가 일차독립을 유지하면서 집합을 확장^[각주:4]하는 방법(!)임을 알 수 있다. 실질적으로 이쪽이 더 많이 쓰이므로 정리 5.1-5b를 기억해 두는 것도 좋다.

 

 

6. 집합의 확장과 축소

 

  집합에 새로운 원소를 추가하여 더 큰 집합을 얻는 것을 집합의 확장이라 하며, 기존의 원소를 제거하여 더 작은 집합을 얻는 것을 집합의 축소라고 한다.

 

  잠시 생각해보면, 다음의 정리가 자명함을 알 수 있다.

 

정리 6-1)  벡터공간 $V$ 의 두 부분집합 $S_1,S_2$ 에 대하여 $S_1$ 은 공집합이 아닌^[각주:5] 일차독립인 집합이며 $S_2$ 는 $V$ 를 생성하는 $V$ 의 진부분집합^[각주:6]이라고 하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $S_1$ 를 축소시켜 새로운 집합 $S_1^{-}$ 를 얻는다면, $S_1^{-}$ 는 일차독립이다.
  (ⅱ) $S_2$ 를 확장시켜 새로운 집합 $S_2^{+}$ 를 얻는다면, $S_2^{+}$ 는 벡터공간 $V$ 를 생성한다.

 

  (ⅰ)은 정리 5.1-3의 반복이고, (ⅱ)는 정리 4.2-1의 따름정리이다.

 

  정리 6-1이 의미하는 바를 직관적으로 이해해보자. '일차독립'은 집합이 작을수록 만족하기 쉬운 조건이며, '생성집합'은 집합이 클수록 만족하기 쉬운 조건이라고 할 수 있다. 다시말해 집합이 클수록 일차독립이기 어렵고, 집합이 작을수록 생성집합이기 어렵다. 어렵다는 것은 어떤 특수한 조건에서만 가능하다는 것인데, 그렇다면 다음과 같이 질문을 다시 해볼 수 있다. 일차독립인 집합을 어떻게 확장해야 일차독립인 집합을 얻을까, 그리고 생성집합을 어떻게 축소해야 생성집합을 얻을까? 아래에서 이에 대한 답을 구체적으로 서술한다.

 

  바로 위의 질문은 결국 기저라는 하나의 개념으로 수렴한다. 나중에 살펴보겠지만, 일차독립인 집합의 궁극적 확장이 기저이며 생성집합의 궁극적 수축도 기저이다.

 

 

6.1. 일차독립을 유지하는 확장

 

  벡터공간 $V$ 의 일차독립인 부분집합 $S$ 를 생각하자. 정리 5.1-5b를 보면 집합 $S$ 가 일차독립임을 유지하며 확장할 수 있는 방법을 알 수 있다. 그 과정을 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

 

  1. $V$ 의 원소 중 $\text{span}(S)$ 에 속하지 않는 벡터 $v$ 를 찾는다. (이 벡터는 당연히 $S$ 에도 속하지 않는다)

  2. 일차독립인 집합 $S$ 에 $v$ 를 추가한 집합 $S\cup \{v\}$ 는 정리 5.1-5b에 따라 여전히 일차독립이다.

 

  이러한 방법은 나중에 일차독립인 집합을 확장하여 기저를 얻는 방법으로도 사용된다.

 

정의)  벡터공간 $V$ 의 일차독립인 부분집합 $S$ 를 생각하자. $v\in V$ 이며 $v\notin \text{span}(S)$ 를 만족하는 임의의 벡터 $v$ 가 존재한다면, 이를 집합 $S$ 에 추가시켜 일차독립인 집합 $S\cup \{v\}$ 를 얻을 수 있다. 이를 집합 $S$ 의 일차독립을 유지하는 확장^[각주:7]이라고 하자.

 

  위의 정의에 일차독립을 유지하는 확장이 가능한 조건을 같이 서술해놓았다.

 

 

6.2. 생성공간을 유지하는 축소

 

  정리 5.1-5a와 상당히 비슷해보이는 다음의 정리를 소개한다.

 

정리 6.2-1) 벡터공간 $V$ 와 $V$ 의 생성집합 $S$ , 그리고 $S$ 에 포함되는 임의의 벡터 $v\in S$ 를 생각하자. $S\setminus \{v\}$^[각주:8] 가 $V$ 를 생성하기 위한 필요충분조건은 $v\in \text{span}(S\setminus \{v\})$ 이다.

 

proof)

  $S\setminus \{v\}$ 가 $V$ 의 생성집합일 때를 생각하자. $S\setminus \{v\}$ 가 $V$ 를 생성하므로, $V$ 의 임의의 벡터는 $S\setminus \{v\}$ 의 일차결합이다. 따라서 벡터 $v$ 도 $S\setminus \{v\}$ 의 일차결합이므로, $v\in \text{span}(S\setminus \{v\})$ 이다.

 

  $v\in \text{span}(S\setminus \{v\})$ 일때를 생각하자. 정리 4.1-2(ⅰ) 에 따라 $S\setminus \{v\}\subset \text{span}(S\setminus \{v\})$ 이다. 즉, $S\setminus \{v\}$ 의 모든 원소는 $\text{span}(S\setminus \{v\})$ 에 포함된다. 그리고 전제에 의해 $v\in \text{span}(S\setminus \{v\})$ 이므로, 종합하면 $S$ 의 모든 원소는 $\text{span}(S\setminus \{v\})$ 에 포함된다. 즉, $S\subset \text{span}(S\setminus \{v\})$ 이다. 정리 4.1-2(ⅱ)에 따라 $\text{span}(S)\subset \text{span}(S\setminus \{v\})$ 임을 알 수 있다. 이때 $\text{span}(S)=V$ 이므로 $V\subset \text{span}(S\setminus \{v\})$ 이고, $\text{span}(S\setminus \{v\})\subset V$ 임은 자명하므로 $\text{span}(S\setminus \{v\})=V$ 이다. 즉, $S\setminus \{v\}$ 는 $V$ 를 생성한다. $◻$

 

 

  정리 6.2-1을 말로 다시쓰면, 생성집합의 어떤 벡터가 나머지 벡터의 일차결합으로 나타나면 그 벡터를 뺀 집합도 생성집합이라는 것이다. 이는 생성집합을 유지하면서 축소시키는 방법을 지시한다.

 

정의)  벡터공간 $V$ 의 생성집합 $S$ 를 생각하자. $v\in S$ 이며 $v\in \text{span}(S\setminus \{v\})$ 를 만족하는 임의의 벡터 $v$ 가 존재한다면, 이를 집합 $S$ 에서 제거하여 $V$ 의 생성집합 $S\setminus \{v\}$ 를 얻을 수 있다. 이를 집합 $S$ 의 생성공간을 유지하는 축소^[각주:9]라고 하자.

 

  위의 정의에 생성공간을 유지하는 축소가 가능한 조건을 같이 서술해놓았다.

 

  이로서 일정한 조건 하에서는 일차독립인 집합을 확장시킬 수 있으며, 생성공간 또한 축소시킬 수 있음을 알았다. 그러나 이 조건은 언제나 만족시킬 수는 없다. 만약 이 조건을 항상 만족시킬 수 있다면, 일차독립인 집합을 무한정 확장하여 일차독립인 벡터공간을 만들어버릴 수도 있고, 생성집합을 무한정 축소하여 생성집합인 공집합을 만들어버릴 수도 있을 것이다. 일차독립과 생성공간의 의미로부터 이는 일반적으로 불가능하다. 그러므로 이 조건이 적용되는 것을 허용하는 각각의 마지노선이 존재할 것이라고 기대할 수 있으며, 실제로도 그렇다.

 

  이에 대한 답을 얻기 위해 다음 포스팅에서는 기저를 소개한다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

다음 읽을거리 : 기저의 특성

1. 따라서 어떤 집합이 일차종속이기 위해선 반드시 공집합이 아니어야 한다! [본문으로]
2. 이러한 증명이 마음에 들지 않는다면, 공집합이 일차독립임을 일종의 정의로 받아들여도 좋다. 공집합을 일차독립으로 받아들이면 앞으로 보게 될 논리적 연속성에 오점이 생기지 않을 것이다. [본문으로]
3. 점공간을 제외한 모든 벡터공간에 해당된다 [본문으로]
4. 기존의 집합에서 새로운 원소를 추가하여 새로운 집합을 만드는 것 [본문으로]
5. 축소 가능한 집합으로 제한하는 조건 [본문으로]
6. 확장 가능한 집합으로 제한하는 조건 [본문으로]
7. 이 정의는 선형대수학 교재에 없으나, 필자의 편의에 의하여 별도로 정의하였다. [본문으로]
8. 이 기호는 차집합을 의미한다 [본문으로]
9. 이 정의도 선형대수학 교재에는 없다. [본문으로]