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추상대수로서의 벡터공간, 벡터공간으로서의 체

이전 읽을거리 : [벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간 [대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 벡터공간 선형대수의 연구 대상인 벡터공간을 추상대수의 언어로 정의해보자. 정의) 임의의 체 Missing or unrecognized delimiter for \left 와 가환군 Missing or unrecognized delimiter for \left 을 생각하자. F-벡터공간 V (F-vector space V) 란 다음의 5가지 조건을 만족하는, F 의 원소를 V 의 원소 왼쪽에 곱하는 연산인 스칼라 곱(scalar multiplication)을 갖는 대수구조이다.$$\cdot:F\times V\to V,\;(a,u)\..
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[대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field)

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)', 'Fraleigh. A first course in abstract algebra', 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 6. 체 우리가 가장 익숙한 대수구조를 하나 꼽자면, 그것은 두말 할 필요도 없이 '체'이다. 정의) 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 나눗셈환을 체(field)라고 한다. 임의의 체를 일컬어 F 라고 쓴다. 체를 정의하는 다른 방법은, 가환환이며 나눗셈환인 대수구조라고 정의하는 것이다. 의미는 바뀌지 않는다. ※ 군과 환을 잘 이해한 사람이라면, 체를 덧셈과 곱셈이 각각 가환군을 이루는 환이라고 정의하고 싶을 수도 있다. 하지만..
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[대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring)

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group) 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 4. 환 우리가 자주 접하게 되는 대수구조는 연산이 두개 이상 정의되곤 한다. 당장 실수에 어렵지 않게 정의되었던 연산만 해도 사칙연산, 총 네 개의 연산을 알고 있을 것이다. 본 포스팅에서는 기본적인 두 개의 연산이 정의되는 의미있는 대수구조를 살펴본다. 정의) 임의의 집합 R 에 두 이항연산 + , ⋅ 이 정의된 이항구조 Missing or unrecognized delimiter for \left 가 다음을 만족하면 환(ring)이라고 한다. (ⅰ) $\le..

[대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group)

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 3. 군 군은 다음과 같이 정의한다. 정의) 어떤 마그마가 반군이며 단위마그마이며 유사군인 경우, 이 마그마를 군(group)이라고 한다. 임의의 군을 일컬어 G 라고 쓴다. 다시말해 군은 반군의 조건, 단위마그마의 조건, 유사군의 조건을 모두 만족하는 이항구조를 의미한다. 위 정의를 공리적으로 재구성하면 다음과 같다. 군이란 다음의 세 명제를 모두 만족하는 이항구조 Missing or unrecognized delimiter for \left 를 의미한다. (ⅰ) 임의의 세 원소..
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[대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch1. 이항대수구조 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 2. 마그마의 파생 군(group)은 어떤 '세 가지 조건'을 만족하는 이항구조로 정의한다. 그 조건들을 하나씩만 만족하는 특별한 마그마를 살펴보자. 2.1. 단위마그마 항등원은 빈번하게 사용되는 개념이다. 항등원의 유일성에 대한 혼란을 없애기 위해 다음의 기초적인 정의부터 시작한다. 정의) 임의의 마그마 Missing or unrecognized delimiter for \left 를 생각하자. S 의 임의의 원소 a∈S 에 대하여 eL∗a=a 가 성립하는 $e_L..

[대수구조부터 체까지] ch1. 이항대수구조

다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 이항대수구조 체는 다양한 대수구조 중 하나이다. 대수구조가 무엇인지 알아보기 전에 아래의 정의를 확인하자. 정의) 주어진 두 집합 A,B 를 생각하자. A 와 B 각각의 임의의 원소 a,b 에 대하여, a 와 b 의 순서를 정하고 짝지어 나타내는 것을 순서쌍(tuple)이라고 하며 (a,b) 로 표기한다. 순서쌍의 첫 번째, 두 번째 성분을 각각 집합 A,B 에서 가져오는 모든 순서쌍의 집합을 A,B 의 곱집합(product set)..
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