[대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field)

  이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring)

 

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)', 'Fraleigh. A first course in abstract algebra', 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

6. 체

 

  우리가 가장 익숙한 대수구조를 하나 꼽자면, 그것은 두말 할 필요도 없이 '체'이다.

 

정의)  곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 나눗셈환을 체(field)라고 한다. 임의의 체를 일컬어 $F$ 라고 쓴다.

 

 

  체를 정의하는 다른 방법은, 가환환이며 나눗셈환인 대수구조라고 정의하는 것이다. 의미는 바뀌지 않는다.

 

※ 군과 환을 잘 이해한 사람이라면, 체를 덧셈과 곱셈이 각각 가환군을 이루는 환이라고 정의하고 싶을 수도 있다. 하지만 곱셈에 한하여 $0$ 의 역원이 존재하지 않으므로, 체의 곱셈은 가환군은 커녕 군도 이루지 못한다. 그러므로 위에 제시한 두 가지의 정의 방법이 초보적인 수준에서는 최선이다.

 

※ 단위환과 나눗셈환 사이에 있는 대수구조인 정역(integral domain)을 활용하여 체를 정의하기도 한다. 다소 비주류적인 정의방법이지만 이쪽도 충분히 가치있다.

 

  체의 정의를 처음 보면, 이게 정말로 우리에게 익숙한 대수구조가 맞나 싶을 것이다. 그러나 이렇게 정의한 대수구조 체는 말 그대로 사칙연산^[각주:1] 이 잘 정의되어 좋은 산술규칙을 대부분 만족하는 대수구조이다. 아래의 공리적으로 구성한 체의 정의를 보면 무슨 말인지 바로 이해될 것이다.

 

  체란 다음의 모든 명제가 성립하는 대수구조 $\left<F,+,\cdot\right>$ 을 의미한다.
  (F1) 임의의 두 원소 $a,\;b\in F$ 에 대하여 덧셈에 대한 교환법칙이 다음과 같이 성립한다.$$a+b=b+a$$  (F2) 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in F$ 에 대하여 덧셈에 대한 결합법칙이 다음과 같이 성립한다.$$a+(b+c)=(a+b)+c$$  (F3) 임의의 원소 $a\in F$ 에 대하여 다음을 만족하는 덧셈에 대한 항등원 $0\in F$ 이 (유일하게) 존재한다.$$0+a=a$$  (F4) 각 원소 $a\in F$ 에 대하여 다음을 만족하는 $a$ 의 덧셈에 대한 역원 $-a\in F$ 이 (유일하게) 존재한다.$$a+(-a)=0$$  (F5) 임의의 두 원소 $a,\;b\in F$ 에 대하여 곱셈에 대한 교환법칙이 다음과 같이 성립한다.$$ab=ba$$  (F6) 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in F$ 에 대하여 곱셈에 대한 결합법칙이 다음과 같이 성립한다.$$a(bc)=(ab)c$$  (F7) 임의의 원소 $a\in F$ 에 대하여 다음을 만족하는 곱셈에 대한 항등원 $1\in F$ 이 (유일하게) 존재한다.$$1a=a$$  (F8) $0$ 이 아닌 각 원소 $a\in F$ 에 대하여 다음을 만족하는 $a$ 의 곱셈에 대한 역원 $a^{-1}\in F$ 이 (유일하게) 존재한다.$$aa^{-1}=1$$  (F9) 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in F$ 에 대하여 다음의 분배법칙이 성립한다.$$a(b+c)=ab+ac$$$$(a+b)c=ac+bc$$

 

  물론, 덧셈과 곱셈은 기본적으로 닫혀있다고 가정한다. 필자에 따라 덧셈과 곱셈이 닫혀있음을 체의 공리적 정의에 포함시키기도 한다. 위의 공리에서 네 가지 유일성은 공리에 포함되지 않아도 유도될 수 있는 성질이다.

 

 

6.1. 체의 성질

 

  환까지는 덧셈만이 교환법칙, 항등원, 역원에 대한 조건이 성립했지만 체는 곱셈도 마찬가지로 덧셈과 똑같은 조건이 성립한다. 곱셈이 덧셈과 다른 점은, 곱셈에 대해 가역원이 아닌 원소^[각주:2]가 하나 존재한다는 점, 그리고 분배법칙 속에서 작동하는 방식이다.

 

  체는 본 시리즈에서 다룬 대수구조 중에서 가장 구체적이므로, 체를 포함하는 관계에 있는 대수구조에서 성립하는 정리가 체에서도 모두 성립한다. 단, 곱셈이 이루는 대수구조는 $0$ 에 대한 특수성을 가지므로 이 점만 유의하자.

 

  체에서 성립하는 다양한 성질들을 다시 정리하면 다음과 같다.

 

  ▶ 임의의 원소 $a,\;b\in F$ 에 대하여 $a+c=b$ 를 만족하는 $c\in F$ 가 유일하게 존재한다.
  ▶ 임의의 원소 $a,\;b\in F$ , $a\ne0$ 에 대하여 $ac=b$ 를 만족하는 $c\in F$ 가 유일하게 존재한다.

  ▶ 임의의 원소 $a,\;b,\;c\in F$ 에 대하여 $a+b=a+c$ 이면 $a=c$ 이다.
  ▶ 임의의 원소 $a,\;b,\;c\in F$ , $a\ne0$ 에 대하여 $ab=ac$ 이면 $b=c$ 이다.

  ▶ 임의의 원소 $a\in F$ 에 대하여 $-(-a)=a$ 이다.
  ▶ $0$ 이 아닌 임의의 원소 $a\in F$ 에 대하여 $(a^{-1})^{-1}=a$ 이다.

  ▶ 임의의 원소 $a,\;b\in F$ 에 대하여 $a=b$ 이기 위한 필요충분조건은 $-a=-b$ 인 것이다.
  ▶ $0$ 이 아닌 임의의 원소 $a,\;b\in F$ 에 대하여 $a=b$ 이기 위한 필요충분조건은 $a^{-1}=b^{-1}$ 인 것이다.

  ▶ 임의의 원소 $a,\;b,\;c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$0a=0$$$$a(-b)=(-a)b=-(ab)$$
  ▶ $1\ne0$ 이며, $0$ 은 곱셈에 대한 역원을 가지지 않는다.

  ▶ $0$ 이 아닌 임의의 원소 $a,\;b\in F$ 에 대하여 $a^{-1}=b(ab)^{-1}$ 이다.

 

  위에서 소개한 정리들은 전부 소개했었던 정리이거나, 교환법칙을 고려하여 약간만 변형시킨 것이다. 본 시리즈의 내용을 전부 다 이해하신 분들은 위의 정리들이 증명할 필요 없이 당연하게 느껴질 것이다.

 

 

7. 체의 예시

 

  대수구조 체계는 기본적으로 이미 존재하던 대수구조를 분류하기 위해 고안되었다. 대수구조 체계로부터 연산규칙이 정의된 것이 아니라, 이미 존재하는 연산규칙을 대수구조 체계가 모방한 것이다. 체도 마찬가지로 이미 존재하는 대수구조를 집어넣기 위해 만들어진 분류이다. 체의 몇 가지 예시를 소개한다.

 

 

7.1. 유리수체

 

정리 7.1-1)  유리수집합 $\mathbb{Q}$ 은 일반적인 덧셈과 곱셈에 대하여 체이다. 이를 유리수체(rational number field)라고 한다.

 

  권위 있는 독일의 수학자 레오폴드 크로네커(Leopold Kronecker, 1823-1891)은 말했다.

 

"자연수는 신의 작품이다. 나머지 수는 모두 인간의 작품이다."

 

  자연수부터 시작하자.

 

$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,...\}$$

 

  자연수집합 $\mathbb{N}$ 은 덧셈과 곱셈이 닫혀있도록 잘 정의된 집합이다. 그리고 덧셈과 곱셈에 의한 분배법칙도 성립한다.

 

  그러나 항등원은 곱셈에만 존재하고( $1$ ) 덧셈에는 존재하지 않는다. 더 정확히 하면 자연수집합 $\mathbb{N}$ 은 덧셈에 대하여 반군, 곱셈에 대하여 모노이드인 대수구조이다. 이렇게 되면 체는 커녕 환도 되지 못한다. 환이 되기 위해서는 덧셈에 대하여 가환군이 되어야한다.

 

  자연수집합 $\mathbb{N}$ 을 확장하여 환으로 만들기 위해서는, 덧셈에 대한 항등원( $0$ ) 과 각 원소에 대한 역원을 추가함으로써 그 목적을 달성할 수 있다. 이것이 바로 정수이다.

 

$$\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$$

 

  이렇게 만들어진 대수구조 $\left<\mathbb{Z},+,\cdot\right>$ 는 곱셈에 대하여 교환법칙이 성립하며 단위원(곱셈에 대한 항등원, $1$ )이 존재하므로 이미 가환환이자 단위환이다. 체까지 한 단계가 남았다.

 

  정수집합 $\mathbb{Z}$ 의 $0$ 을 제외한 모든 원소에 역원을 추가하여 체를 만들자. 이렇게 만들어진 체가 바로 유리수집합 $\mathbb{Q}$ 이다.

 

$$\mathbb{Q}=\left\{\left.\frac{p}{q}:=pq^{-1}\;\right|\;p,q\in\mathbb{Z},\;q\neq 0\right\}$$

 

  유리수에서 '어떤 원소의 곱셈에 대한 역원'을 다른 원소와 곱하는 것을 분수로 표현하는 유용한 방법은 이미 모두가 잘 알고 있을 것이다.

 

 

7.2. 실수체

 

정리 7.2-1)  실수집합 $\mathbb{R}$ 은 일반적인 덧셈과 곱셈에 대하여 체이다. 이를 실수체(real number field)라고 한다.

 

  실수집합이 체라는 것은 사실 증명할 필요가 없다. 체인 것이 자명한 유리수 집합을 (체의 성질을 보존하면서) 확장한 집합이 바로 실수이기 때문이다.

 

  자세한 내용은 [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 참고.

 

 

7.3. 복소수체

 

정리 7.3-1)  복소수집합 $\mathbb{C}$ 은 다음과 같이 정의된 덧셈과 곱셈에 대하여 체이다. 이를 복소수체(complex number field)라고 한다.
  임의의 복소수 $(a,b),(c,d)\in\mathbb{C}$  (단, $a,\;b,\;c,\;d$ 는 실수) 에 대해 다음과 같이 정의한다.$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$$$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$$

 

※ 실수체의 뺄셈은 $a-b:=a+(-b)$ 로 정의한다.

 

proof)

  (F1) : 임의의 두 복소수 $(a,b),(c,d)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음과 같다.

$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$

$$(c,d)+(a,b)=(c+a,d+b)$$

  이때 실수의 덧셈은 교환법칙이 성립하므로 다음과 같다.

$$(c,d)+(a,b)=(c+a,d+b)=(a+c,b+d)=(a,b)+(c,d)$$

  따라서 덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다.

  (F2) : 임의의 세 복소수 $(a,b),(c,d),\;(e,f)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음과 같다.

$$\begin{align}(a,b)+((c,d)+(e,f))=&(a,b)+(c+e,d+f)\\=&(a+(c+e),b+(d+f))\end{align}$$

$$\begin{align}((a,b)+(c,d))+(e,f)=&(a+c,b+d)+(e,f)\\=&((a+c)+e,(b+d)+f)\end{align}$$

  이때 실수의 덧셈은 결합법칙이 성립하므로 다음과 같다.

$$\begin{align}(a,b)+((c,d)+(e,f))=&(a+(c+e),b+(d+f))\\=&((a+c)+e,(b+d)+f)\\=&((a,b)+(c,d))+(e,f)\end{align}$$

  따라서 덧셈에 대한 결합법칙이 성립한다.

  (F3) : 임의의 복소수 $(a,b)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음을 만족하는 복소수 $(c,d)\in\mathbb{C}$ 가 있는지 살펴보자.

$$(a,b)+(c,d)=(a,b)$$

  이때 각각의 항을 별개로 보면 다음과 같다.

$$a+c=a\quad b+d=b$$

  임의의 실수 $a,\;b$ 에 대하여 위의 식이 성립하도록 하는 $c,\;d$ 는 실수체의 덧셈에 대한 항등원 $0$ 이다. 즉, 다음이 성립한다.

$$(a,b)+(0,0)=(a,b)$$

  따라서 복소수체의 덧셈에 대한 항등원은 $(0,0)$ 로서 존재한다.

  (F4) : 각 복소수 $(a,b)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음을 만족하는 복소수 $(c,d)\in\mathbb{C}$ 가 있는지 살펴보자.

$$(a,b)+(c,d)=(0,0)$$

  이때 각각의 항을 별개로 보면 다음과 같다.

$$a+c=0\quad b+d=0$$

  임의의 실수 $a,\;b$ 에 대하여 위의 식이 성립하도록 하는 $c,\;d$ 는 실수체에서 $a,\;b$ 각각의 덧셈에 대한 역원 $-a,\;-b$ 이다. 즉, 다음이 성립한다.

$$(a,b)+(-a,-b)=(0,0)$$

  따라서 각 복소수 $(a,b)$ 의 덧셈에 대한 역원 $-(a,b)$ 는 $(-a,-b)$ 로서 존재한다.

  (F5) : 임의의 두 복소수 $(a,b),(c,d)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음과 같다.

$$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$$

$$(c,d)(a,b)=(ca-db,cb+da)$$

  이때 실수의 덧셈과 곱셈의 교환법칙과 분배법칙에 따라 다음과 같다.

$$\begin{align}(a,b)(c,d)=&(ac-bd,ad+bc)\\=&(ca-db,cb+da)\\=&(c,d)(a,b)\end{align}$$

  따라서 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다.

  (F6) : 임의의 세 복소수 $(a,b),(c,d),\;(e,f)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음과 같다.
$$\begin{align}(a,b)((c,d)(e,f))=&(a,b)(ce-df,cf+de)\\=&(a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))\end{align}$$

$$\begin{align}((a,b)(c,d))(e,f)=&(ac-bd,ad+bc)(e,f)\\=&((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e)\end{align}$$

  이때 실수의 곱셈은 결합법칙이 성립하므로 다음과 같음을 알 수 았다.
$$\begin{align}(a,b)((c,d)(e,f))=&(a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))\\=&((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e)\\=&((a,b)(c,d))(e,f)\end{align}$$

  따라서 곱셈에 대한 결합법칙이 성립한다.

  (F7) : 임의의 복소수 $(a,b)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음을 만족하는 복소수 $(c,d)\in\mathbb{C}$ 가 있는지 살펴보자.

$$(a,b)(c,d)=(a,b)$$

  이때 각각의 항을 별개로 보면 다음과 같다.

$$ac-bd=a\quad ad+bc=b$$

  식을 정리하면 다음과 같다.

$$a(c-1)=bd\quad b(c-1)=-(ad)$$

  만약 $c=1$ 이라면 $bd=0$ , $ad=0$ 이다. 임의의 실수 $a,\;b$ 에 대하여 이 식이 성립하도록 하는 $d$ 는 $0$ 이다. 즉, 다음이 성립한다.

$$(a,b)(1,0)=(a,b)$$

  따라서 복소수체의 곱셈에 대한 항등원은 $(1,0)$ 로서 존재한다.^[각주:3]

  (F8) : $(0,0)$ 이 아닌 각 복소수 $(a,b)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음을 만족하는 복소수 $(c,d)\in\mathbb{C}$ 가 있는지 살펴보자.

$$(a,b)(c,d)=(1,0)$$

  이때 각각의 항을 별개로 보면 다음과 같다.

$$ac-bd=1\quad ad+bc=0$$

  $(a,b)\ne(0,0)$ 이므로 $a,\;b$ 둘 중에 적어도 하나는 $0$ 이 아니다. 만약 $a\ne0$ 이라고 가정하면 두 번째 식으로부터 $d=-a^{-1}bc$ 를 얻을 수 있고, 이를 첫 번째 식에 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&ac+a^{-1}bbc=1\\\iff&aac+bbc=a\\\iff&(aa+bb)c=a\\\iff&c=a(aa+bb)^{-1}\end{align}$$

$$\therefore d=-a^{-1}bc=-b(aa+bb)^{-1}$$

  이는 $b\ne0$ 으로 가정하여도 똑같이 얻을 수 있는 결과이다. 다음이 성립한다.

$$(a,b)(a(aa+bb)^{-1},-b(aa+bb)^{-1})=(1,0)$$

  따라서 각 복소수 $(a,b)$ 의 곱셈에 대한 역원 $(a,b)^{-1}$ 은 $(a(aa+bb)^{-1},-b(aa+bb)^{-1})$ 로서 존재한다.

  (F9) : 임의의 세 복소수 $(a,b),(c,d),\;(e,f)\in\mathbb{C}$ 에 대하여 다음과 같다.

$$\begin{align}(a,b)((c,d)+(e,f))=&(a,b)(c+e,d+f)\\=&(a(c+e)-b(d+f),a(d+f)+b(c+e))\\=&(ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)\end{align}$$

$$\begin{align}(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)=&(ac-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be)\\=&(ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)\end{align}$$

  정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align}(a,b)((c,d)+(e,f))=&(a(c+e)-b(d+f),a(d+f)+b(c+e))\\=&(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)\end{align}$$

  따라서 복소수체의 덧셈과 곱셈의 분배법칙이 성립한다.   $\square$

 

  위의 정리에서 복소수의 역원에 대한 결론은 표기가 상당히 난잡하다. 다음의 표기법을 추천한다.

$$a^1:=a\quad a^n:=a^{n-1}a$$

  위의 표기법과 $a^{-1}$ 을 $\frac{1}{a}$ 로 적는 표기법을 응용하면 다음과 같이 적을 수 있다.

$$(a,b)^{-1}=\left(a\frac{1}{a^2+b^2},-b\frac{1}{a^2+b^2}\right)$$

  유리수가 뭔지 안다면, 다음과 같이 적어도 된다.

$$(a,b)^{-1}=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)$$

 

 

7.4. $Z_2$

 

  두 원소로 이루어진 집합에서도 체를 정의할 수 있다. 체에는 덧셈에 대한 항등원 $0$ 과 곱셈에 대한 항등원 $1$ 이 포함되어야 하며, 체가 비자명환이기 위해서는 반드시 $0\ne1$ 이어야 하므로 두 원소로 이루어진 체는 $\{0,1\}$ 임을 알 수 있다. 이러한 집합을 $Z_2$ 라고 한다.

 

  $Z_2$ 에서 $0,\;1$ 이 각각 덧셈과 곱셈에 대한 항등원의 기능을 하며 $0\ne1$ 이 성립하도록 하는 덧셈 및 곱셈의 모든 경우는 다음의 여섯 가지가 전부이다. 하나라도 다르게 정의하면 $0$ 또는 $1$ 이 항등원의 기능을 못하거나, $0=1$ 이 되어버린다.

$$\begin{matrix}0+0=0&0+1=1+0=1&1+1=0\\00=0&01=10=0&11=1\end{matrix}$$

 

정리 7.4-1)  $Z_2$ 는 체이다.

 

proof)

  위 정리를 증명하는 방법은 여러가지가 있는데, 본 포스팅에서는  $0$ 을 짝수, $1$ 을 홀수에 대응시키는 방법을 추천한다. 우리는 이미 홀수와 짝수에 대하여 다음이 성립함을 알고있다.

 

짝수+짝수=짝수  짝수+홀수=홀수+짝수=홀수  홀수+홀수=짝수

짝수×짝수=짝수  짝수×홀수=홀수×짝수=짝수  홀수×홀수=홀수

 

  그러므로 $Z_2$ 가 체임을 증명하는 것은 위와 같이 정의된 {짝수,홀수} 가 체임을 증명하는 것과 같다. 덧셈에 대한 항등원은 짝수, 곱셈에 대한 항등원이 홀수라는 것을 고정하면 나머지는 매우 쉽게 증명할 수 있다.   $\square$

 

  체 $Z_2$ 는 아주 변종이어서, 선형대수에는 $Z_2$ 를 제외한 모든 체에서 성립하는 정리가 존재하기도 한다.

 

  이 밖에도 수많은 체가 존재한다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

  이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring)

1. 덧셈에 대한 역원이 항상 존재하므로 뺄셈이 잘 정의되며, 0을 제외하면 곱셈에 대한 역원이 항상 존재하므로 나눗셈도 마찬가지로 잘 정의된다. [본문으로]
2. 덧셈에 대한 항등원, 0 [본문으로]
3. 항등원의 유일성에 따라 c≠1인 항등원은 존재하지 않음을 알 수 있으며, 만약 직접 계산해본다면 c≠1의 가정에 모순이 발생함을 확인할 수 있다. [본문으로]