[대수구조부터 체까지] ch1. 이항대수구조

  다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조

 

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

1. 이항대수구조

 

  체는 다양한 대수구조 중 하나이다. 대수구조가 무엇인지 알아보기 전에 아래의 정의를 확인하자.

 

정의)  주어진 두 집합 $A,B$ 를 생각하자. $A$ 와 $B$ 각각의 임의의 원소 $a,b$ 에 대하여, $a$ 와 $b$ 의 순서를 정하고 짝지어 나타내는 것을 순서쌍(tuple)^[각주:1]이라고 하며 $(a,b)$ 로 표기한다. 순서쌍의 첫 번째, 두 번째 성분을 각각 집합 $A,B$ 에서 가져오는 모든 순서쌍의 집합을 $A,B$ 의 곱집합(product set)^[각주:2]이라고 정의하며 $A\times B$ 라고 표기한다. 이 정의는 수식으로 다음과 같이 쓸 수 있다.$$A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}$$  동일한 두 집합의 곱집합 $A\times A$ 의 경우 간단히 $A^2$ 라고 쓸 수 있다.

 

  예를들자면 3차원 공간에 대응하는 실수 3개의 순서쌍 집합 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mathbb{=}{\mathbb{R}}^{\mathbb{3}}$ 이 곱집합의 대표격이다.

 

정의)  주어진 집합 $S$ 를 생각하자. 임의의 함수 $\ast$ 가 $\ast :S\times S\to S$ 로 정의된다면, 즉 $\ast (x,y)=z$ 꼴이면 이 함수를 이항연산(binary operation)이라고 부른다. 이항연산의 표기는 편리를 위해 $\ast (x,y)=x\ast y$ 라고 쓰는 것이 일반적이다.^[각주:3]
  주어진 이항연산 $\ast :S\times S\to S$ 의 치역이 $S$ 의 부분집합이라면, 즉 임의의 두 원소 $x,y\in S$ 에 대하여 $x\ast y$ 가 $S$ 에 포함되면 $\ast$ 는 $S$ 에 대하여 닫혀있다(closed under $S$)고 한다.

 

  잘 알려진 이항연산으로 실수집합의 합 '$+$' 그리고 함수집합의 합성 '$\circ$' 이 있다는 것을 생각하면 이항연산이 무엇인지 쉽게 알 수 있을 것이다. 이항연산 외에도, n-순서쌍의 집합에서 정의되어 n개의 성분을 받아 하나의 성분을 내놓는 n항연산도 존재한다. 지금은 n항연산을 다루지는 않을 것이다.

 

  다음으로 이항대수구조의 정의를 소개한다.

 

정의)  이항대수구조(binary algebraic structure) 또는 이항구조(binary structure)란 이항연산이 정의된 집합을 의미한다. 집합 $S$ 에 이항연산 $\ast$ 가 정의된 이항구조를 $⟨S,\ast ⟩$ 라 표기한다.

 

  집합에 정의되는 연산을 설명하기 위해 '확장된 정의'^[각주:4]가 필요하다면 앞에 '이항'이라는 접두어를 붙일 수 없다. 가령 스칼라 곱 $\cdot :F\times V\to V$ 가 정의되는 벡터공간을 분류할 때는 그냥 대수구조라고 한다. 한편 이항연산의 정의는 일반적인 연산의 정의에 포함되므로 이항대수구조는 대수구조라고 할 수 있다.

 

  집합에 연산이 여러 개 정의된 경우, 가령 집합 $S$ 에 이항연산 $+$ 와 $\cdot$ 이 정의되어 두 대수구조 $⟨S,+⟩$ 와 $⟨S,\cdot ⟩$ 이 존재하는 경우에는 이 둘을 한꺼번에 $⟨S,+,\cdot ⟩$ 와 같이 표기할 수 있다.

 

 

1.1. 마그마

 

  다음의 정의에 큰 의미는 없지만, 긴 문장을 줄여 쓰기에 유용하다.

 

정의)  공집합이 아닌 집합 $S$ 와 $S$ 에서 정의된 이항연산 $\ast$ 으로 이루어진 이항구조 $⟨S,\ast ⟩$ 를 생각하자. 이항연산 $\ast$ 가 $S$ 에 대하여 닫혀있으면 $⟨S,\ast ⟩$ 는 마그마(magma)라고 한다.

 

  이항연산은 정의로부터 당연히 닫혀있지 않은가? 라고 생각할 수도 있지만, 항상 그렇지는 않다. 예를들어 모든 홀수의 집합 $O$ 와 익히 알고있는 합 '$+$' 에 대한 이항구조 $⟨O,+⟩$ 를 생각해보자. 두 홀수의 합은 짝수이므로 $+$ 는 $O$ 에 대하여 닫혀있지 않다. 따라서 $⟨O,+⟩$ 는 마그마가 아니다.

 

  대수구조에서 정의된 연산이 만족하는 성질에 따라, 대수구조의 수많은 분류가 존재한다. 본 시리즈에서 소개하는 대수구조를 더 공부하고싶다면 'Fraleigh. A first course in abstract algebra' 참고.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

  다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조

1. 원소 '2개'가 순서를 형성함을 강조하기 위해 2-순서쌍, 2-tuple이라고도 한다. [본문으로]
2. 또는 집합의 데카르트 곱 [본문으로]
3. 전자를 함수 표기법, 후자를 중위 표기법이라고 한다. [본문으로]
4. 무작위로 주어진 n개의 집합의 곱집합에서 어떤 집합으로 가는 함수를 연산(operation)이라고 한다. [본문으로]