추상대수로서의 벡터공간, 벡터공간으로서의 체

  이전 읽을거리 :

  [벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간

  [대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field)

 

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

1. 벡터공간

 

  선형대수의 연구 대상인 벡터공간을 추상대수의 언어로 정의해보자.

 

정의)  임의의 체 $\left<F,+,\cdot\right>$ 와 가환군 $\left<V,+\right>$ 을 생각하자. $F$-벡터공간 $V$ ($F$-vector space $V$) 란 다음의 5가지 조건을 만족하는, $F$ 의 원소를 $V$ 의 원소 왼쪽에 곱하는 연산인 스칼라 곱(scalar multiplication)을 갖는 대수구조이다.$$\cdot:F\times V\to V,\;(a,u)\mapsto au$$  (ⅰ) 임의의 원소 $a\in F$ , $u\in V$ 에 대하여 $au\in V$ 이다.
  (ⅱ) 임의의 원소 $a,\;b\in F$ , $u\in V$ 에 대하여 $a(bu)=(ab)u$ 이다. ($ab$ 는 $F$ 에서 정의된 곱셈)
  (ⅲ) 임의의 원소 $a,\;b\in F$ , $u\in V$ 에 대하여 $(a+b)u=(au)+(bu)$ 이다.
  (ⅳ) 임의의 원소 $a\in F$ , $u,\;v\in V$ 에 대하여 $a(u+v)=(au)+(av)$ 이다.
  (ⅴ) $\left<F,+,\cdot\right>$ 의 곱셈에 대한 항등원 $1$ 과 임의의 원소 $u\in V$ 에 대하여 $1u=u$ 이다.
  $F$-벡터공간 $V$ 에서 $V$ 의 원소를 벡터(vector), $F$ 의 원소를 스칼라(scalar)라고 한다.

  이렇게 정의하는 방식을 취해도 [벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간에서 설명하는 벡터공간의 정의와 다르지 않으며, 오히려 더 선명해진다. 위와 같이 추상대수의 언어로 벡터공간을 정의하면, $V$ 가 단독으로 만족해야 하는 벡터공간의 정의와 $F,\;V$ 사이에서 정의된 스칼라 곱이 만족해야 하는 정의가 구분된다. 잠시 선형대수에 등장하는 벡터공간의 공리를 불러와보자.

 

  $F$-벡터공간 $V$ 는 다음을 만족하는 집합이다.
  (VS1) 모든 $x,\;y\in V$ 에 대하여 $x+y=y+x$ 이다.
  (VS2) 모든 $x,\;y,\;z\in V$ 에 대하여 $(x+y)+z=x+(y+z)$ 이다.
  (VS3) 모든 $x\in V$ 에 대하여 $x+0=x$ 인 $0\in V$ 이 존재한다.
  (VS4) 각 $x\in V$ 마다 $x+y=0$ 을 만족하는 $y\in V$ 가 존재한다.
  (VS5) 각 $x\in V$ 에 대하여 $1x=x$ 이다.
  (VS6) 모든 $a,\;b\in F$ 와 모든 $x\in V$ 에 대하여 $(ab)x=a(bx)$ 이다.
  (VS7) 모든 $a\in F$ 와 모든 $x\;y\in V$ 에 대하여 $a(x+y)=ax+ay$ 이다.
  (VS8) 모든 $a,\;b\in F$ 와 모든 $x\in V$ 에 대하여 $(a+b)x=ax+bx$ 이다.

 

  가환군 $V$ 가 만족하게 되는 조건은 (VS1)~(VS4)이며, 스칼라 곱이 만족해야 하는 조건은 (VS5)~(VS8)이다. 그러나 체 $F$ 가 만족해야 하는 조건은 딱히 없다.

 

  벡터공간의 정의에 체가 필요한 이유는 단지 사칙연산이 잘 정의되기 때문이다. 벡터공간은 크기와 방향을 가진 힘을 묘사하기 위해 고안되었으므로, 현실을 잘 설명할 수 있는 대수구조가 필요했을 뿐이다. 사실, 정말로 현실을 잘 묘사하기 위해서라면 체보다 더 구체적인 실수체로 벡터공간을 정의하는 것이 더 좋았을 수도 있다. 그러나 실수체가 아닌 체로 벡터공간을 정의하는 이유는 더 일반적인 결론을 이끌어내기 위해서였다. 그 결과 선형대수는 힘의 크기와 방향을 설명하는 것을 넘어 현대대수학의 단단한 기반이 되었다.

 

 

2. 벡터공간으로서의 체

 

  다음의 정리는 체를 벡터공간처럼 다룰 수 있음을 의미한다.

 

정리 2-1)  임의의 체 $F$ 는 $F$-벡터공간이다.

 

proof)

  체 $\left<F,+,\cdot\right>$ 는 정의에 따라 $\left<F,+\right>$ 가 가환군을 이룬다. 반면 $\left<F,+,\cdot\right>$ 은 체이므로 임의의 원소 $a,\;b,\;c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

  (ⅰ) : $ab\in F$
  (ⅱ) : $a(bc)=(ab)c$
  (ⅲ) : $(a+b)c=ac+bc$
  (ⅳ) : $a(b+c)=(ab)+(ac)$
  (ⅴ) : $\left<F,+,\cdot\right>$ 의 곱셈에 대한 항등원 $1$ 에 대하여 $1a=a$ 이다.

  따라서 $F$ 에 정의된 곱셈을 스칼라 곱으로 볼 수 있다. 이러한 경우 $F$ 는 $F$-벡터공간이다.   $\square$

 

 

2.1. 체의 기저와 차원

 

  체의 성질에 따르면 다음이 성립한다. ([대수구조부터 체까지] 6.1. 체의 성질 참고)

 

체 $F$ 의 임의의 원소 $u,\;v$ 에 대하여 $au=v$ 를 만족하는 원소 $a\in F$ 가 존재한다. (단, $u\ne0$)

 

  이는, 체에서 $0$ 을 제외한 집합과 곱셈이 이루는 대수구조가 군(group)이라는 점에서 바로 알 수 있다. 위의 성질을 이용하여 다음의 정리를 이끌어낼 수 있다.

 

정리 2.1-1)  임의의 체 $F$ 의 $0$ 이 아닌 원소 $a$ 에 대하여 $\{a\}$ 는 $F$-벡터공간 $F$ 의 기저이다.

 

※ 참고: [벡터공간부터 기저까지] ch2. 일차종속과 일차독립, ch3. 기저의 특성

 

proof)

  체 $F$ 의 $0$ 이 아닌 임의의 원소 $a\in F$ 를 생각하자. $F$-벡터공간 $F$ 을 $V$ 라고 쓴다면 $a$ 는 $V$ 의 벡터이다. $0$ 이 아닌 하나의 벡터로 이루어진 집합은 일차독립임이므로, $\{a\}$ 는 일차독립인 집합이다.

  $V$ 의 임의의 벡터 $b$ 에 대하여, 위에서 소개한 성질에 따르면 $ca=b$ 를 만족하는 스칼라 $c\in F$ 가 존재한다. 다시말해 $V$ 의 임의의 벡터 $b$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$b\in \mbox{span}(\{a\})$$

   즉, $V\subset\mbox{span}(\{a\})$ 가 성립한다. $\{a\}\in V$ 이므로 $\mbox{span}(\{a\})\subset V$ 이다. 따라서 $V=\mbox{span}(\{a\})$ 이므로, $\{a\}$ 는 $V$ 를 생성한다. 즉, $\{a\}$ 는 $V$ 의 기저이다.   $\square$

 

  위의 정리부터 다음의 신묘한 따름정리를 얻을 수 있다.

 

정리 2.1-2)  임의의 체 $F$ 는 1차원 벡터공간이다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.