[대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring)
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본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다.
4. 환
우리가 자주 접하게 되는 대수구조는 연산이 두개 이상 정의되곤 한다. 당장 실수에 어렵지 않게 정의되었던 연산만 해도 사칙연산, 총 네 개의 연산을 알고 있을 것이다. 본 포스팅에서는 기본적인 두 개의 연산이 정의되는 의미있는 대수구조를 살펴본다.
정의) 임의의 집합 $R$ 에 두 이항연산 $+$ , $\cdot$ 이 정의된 이항구조 $\left<R,+,\cdot\right>$ 가 다음을 만족하면 환(ring)이라고 한다.
(ⅰ) $\left<R,+\right>$ 이 가환군이다.
(ⅱ) $\left<R,\cdot\right>$ 이 반군이다.
(ⅲ) 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in R$ 에 대하여 다음의 분배법칙(distributive law)이 성립한다.$$a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$$$$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$$ 임의의 환을 일컬어 $R$ 이라고 쓴다.
환에서 정의되는 두 이항연산 중에서 '$+$' 라고 표기하는 것은 가환군을 이루어 결합법칙, 항등원의 존재, 역원의 존재 및 교환법칙을 만족하는 연산으로, 덧셈(addition)1이라고 부른다. 나머지 연산 '$\cdot$' 은 결합법칙을 만족하는 연산으로 곱셈(multiplication)2이라고 부른다. 환의 덧셈과 곱셈 사이에서 분배법칙이라는 관계가 성립한다는 것을 기억하자.
4.1. 환의 성질
환에서 정의되는 곱셈에서는 관례적으로 붙여쓰기(juxtaposition)를 활용하여 아래와 같이 쓰기도 한다.
$$a(b+c)=(ab)+(ac)$$
환에서 덧셈과 곱셈은 각각 결합법칙을 만족한다. 하지만 덧셈과 곱셈은 서로 다른 연산이므로, 두 연산이 혼재하는 수식에서는 반드시 괄호를 표시하여 어떤 연산을 먼저 계산할지 반드시 명시해야 한다. 그러나 곱셈이 덧셈보다 먼저 계산된다는 암묵적인 룰을 받아들인다면 다음과 같이 더 간편하게 쓸 수 있다.
$$a(b+c)=ab+ac$$
환에서는 연산이 두 개가 정의되므로, 덧셈과 곱셈에서 항등원 및 역원의 표기를 서로 구분할 필요가 있다. 환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 에서 덧셈에 대한 항등원 및 역원은 다음과 같이 쓴다.
▶ $\left<R,+\right>$ 의 항등원3은 $0$ 이라고 쓴다. 이때 임의의 원소 $a\in R$ 에 대하여 다음과 같다.$$0+a=a+0=a$$ ▶ $\left<R,+\right>$ 의 임의의 원소 $a\in R$ 에 대한 역원4은 $-a$ 라고 쓴다. 이때 다음과 같다.$$a+(-a)=0$$
$\left<R,+\right>$ 는 가환군이므로 항등원 및 모든 원소의 역원의 존재성이 보장된다. 그러나 $\left<R,\cdot\right>$ 는 반군에 불과하므로 항등원 및 모든 원소의 역원의 존재성이 보장되지 않는다.
위의 편리한 표기법을 활용하여 환의 정의를 공리적으로 구성하면 아래와 같다.
환이란 다음의 모든 명제가 성립하는 대수구조 $\left<R,+,\cdot\right>$ 을 의미한다.
(R1) 임의의 두 원소 $a,\;b\in R$ 에 대하여 덧셈에 대한 교환법칙이 다음과 같이 성립한다.$$a+b=b+a$$ (R2) 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in R$ 에 대하여 덧셈에 대한 결합법칙이 다음과 같이 성립한다.$$a+(b+c)=(a+b)+c$$ (R3) 임의의 원소 $a\in R$ 에 대하여 다음을 만족하는 덧셈에 대한 항등원 $0\in R$ 이 (유일하게) 존재한다.$$0+a=a+0=a$$ (R4) 임의의 원소 $a\in R$ 에 대하여 다음을 만족하는 $a$ 의 덧셈에 대한 역원 $-a\in R$ 이 (유일하게) 존재한다.$$(-a)+a=a+(-a)=0$$ (R5) 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in R$ 에 대하여 곱셈에 대한 결합법칙이 다음과 같이 성립한다.$$a(bc)=(ab)c$$ (R6) 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in R$ 에 대하여 다음의 분배법칙이 성립한다.$$a(b+c)=ab+ac$$$$(a+b)c=ac+bc$$
위 공리에 포함된 두 개의 유일성은 공리에 포함되지 않아도 유도할 수 있는 성질이다.
환은 임의의 원소 $a,\;b$ 가 각각 덧셈에 대한 역원 $-a,\;-b$ 를 가지므로, 다음과 같이 뺄셈이 잘 정의된다.
$$a-b:=a+(-b)$$
하지만 덧셈이 가환군을 이루는 것과 대조적으로 뺄셈이 이루는 대수구조는 고작 유사군에 그친다. 뺄셈이 잘 정의됨에 불구하고 환론에서 주로 덧셈만 사용하는 이유가 바로 이것이다.
환에 대해서 다음의 정리가 성립한다.
정리 4.1-1) 환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 과 임의의 원소 $a,\;b\in R$ 대하여 다음의 정리가 성립한다.
(ⅰ) $0a=a0=0$ ($0$ 은 덧셈에 대한 항등원)
(ⅱ) $a(-b)=(-a)b=-(ab)$ (원소 앞의 '$-$' 표시는 해당 원소의 역원을 의미)
(ⅲ) $(-a)(-b)=ab$
proof)
(ⅰ) : 분배법칙으로부터 다음이 성립한다.
$$0a+0a=(0+0)a=0a=0+0a$$
$$a0+a0=a(0+0)=a0=0+a0$$
$\left<R,+\right>$ 는 유사군에 포함되므로 정리 2.3-1에 따라 소거법칙을 적용할 수 있다. 위의 두 식에 오른쪽 소거법칙을 적용하면 $0a=a0=0$ 를 얻는다.
(ⅱ) : $-(ab)$ 는 $ab$ 와 더하여 $0$ (덧셈에 대한 항등원)을 얻게 되는 원소를 의미한다. 그러므로 본 정리를 증명하는 것은 $a(-b)$ 와 $ab$ , $(a-)b$ 와 $ab$ 를 더하여 $0$ 을 얻을 수 있음을 보이면 충분하다. 분배법칙으로부터 다음이 성립한다.
$$a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0$$
$$(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0$$
위의 식으로부터 $(a-)b$ 와 $(a-)b$ 는 $ab$ 의 덧셈에 대한 역원임을 알았다. 정리 3.1-1에 따라 $ab$ 의 덧셈에 대한 역원은 $-(ab)$ 로서 유일하게 존재하므로 $a(-b)=(-a)b=-(ab)$ 가 성립한다.
(ⅲ) : 본 정리의 (ⅱ)를 적용하면 다음을 얻을 수 있다.
$$(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))$$
즉, $(-a)(-b)$ 는 $ab$ 의 역원의 역원이다. 정리 3.1.1-1에 따르면 $-(-(ab))=ab$ 임을 알 수 있다. $\square$
5. 환의 파생
환을 그대로 사용하기에는 곱셈에 관한 성질이 다소 부족하다. 그렇기에 곱셈에 추가적인 성질을 부여하여 더 구체적인 환을 생각해보는 것이 바람직하다. 아래의 그림을 참고하면 도움이 될 것이다.
5.1. 가환환
환에서 덧셈 뿐 만 아니라 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 경우, 다음과 같이 분류한다.
정의) 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 환을 가환환(commutative ring)이라고 한다. 즉, 가환환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 의 임의의 두 원소 $a,\;b\in R$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$ab=ba$$
가환환을 정의하는 다른 방법은, 덧셈이 가환군을 이루고 곱셈이 가환반군5을 이루며 덧셈과 곱셈의 분배법칙이 성립하는 대수구조라고 정의하는 것이다. 이렇게 하여도 의미는 변하지 않는다.
5.2. 단위환
환에서 덧셈 뿐 만 아니라 곱셈에도 항등원이 존재할 경우, 다음과 같이 분류한다.
정의) $\left<R,\cdot\right>$ 의 항등원6이 존재하는 환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 를 단위환(unital ring)7이라고 한다. 이때 $\left<R,\cdot\right>$ 의 유일한 항등원을 단위원(unity)이라고 하며 $1$ 이라고 쓴다.
※ 학자에 따라, 위에 소개한 단위환의 정의로 환으로 정의하고, 단위원을 갖지 않는 환을 유사환(pseudoring, rng8)으로 정의하는 방식을 채택하기도 한다. 위키피디아의 경우 이러한 방법으로 작성되어있다. 두 방법이 거의 동등하게 지배적인 듯 하다.
단위환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 의 임의의 원소 $a\in R$ 에 대하여, 항등원의 정의에 따라 다음이 자명하게 성립한다.
$$1a=a1=a$$
단위환을 정의하는 다른 방법은, 덧셈이 가환군을 이루고 곱셈이 모노이드를 이루며 덧셈과 곱셈의 분배법칙이 성립하는 대수구조라고 정의하는 것이다. 어떻게 정의하든 그 의미는 동일하다.
환에 곱셈에 대한 항등원이 존재한다면, 모노이드에서 그러했듯이 곱셈에 대한 가역원인 원소를 생각해볼 수 있다. (단위환은 곱셈에 대하여 모노이드에 포함되므로 같은 맥락이다) 다음의 정의를 확인하자.
정의) 임의의 단위환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 을 생각하자. $\left<R,\cdot\right>$ 의 가역원을 유닛(unit)9이라고 하며, 유닛 $a\in R$ 에 대한 역원10은 $a^{-1}$ 라고 쓴다. 이때 $\left<R,+,\cdot\right>$ 의 단위원 $1$ 에 대하여 다음과 같다.$$a^{-1}a=aa^{-1}=1$$
단위환 원소중에는 유닛이 있을수도, 없을수도 있다.
한가지 주의하자면, 덧셈에 대한 항등원 $0$ 은 절대 유닛이 될 수 없다. 그 이유는, 정리 4.1-1(ⅰ)에 따라 $0$ 에 어떤 원소를 곱하든 $1$ 이 나올 수 없기 때문이다. 그러므로 더 구체적인 환을 어떻게 정의하든, $0$ 의 곱셈에 대한 역원은 절대 존재할 수 없다. 이러한 제약이 생기는 근본적인 이유는 환의 분배법칙 때문이다.
5.2.1. 자명환
... 사실 거짓말이다. 덧셈과 곱셈에 대한 항등원이 서로 같은 환, 즉 $1=0$ 이 성립하는 환에서는 '$0$ 에 어떤 원소를 곱하든 $1$ 이 나올 수 없다'는 말이 틀리기 때문이다. 이렇게 보면 $0$ 이 유닛인 환이 존재할 것 같은 생각이 든다. 그러한 환이 실제로도 존재하나, 다음의 정리를 보면 흥미가 떨어질 것이다.
정리 5.2.1-1) 임의의 단위환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 에 대하여 다음의 세 명제는 동치이다.
(ⅰ) $0$ 은 유닛이다.
(ⅱ) $1=0$
(ⅲ) $R$ 은 원소 하나로 이루어진 집합이다.
proof)
(ⅱ$\iff$ⅲ) : $1=0$ 이라고 가정하자. $R$ 의 임의의 원소 $a$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$a=a1=a0=0$$
따라서 $R$ 에는 오직 하나의 원소 $0$ 만이 존재한다.
역을 증명하기 위해, 하나의 원소 $a$ 만을 갖는 집합 $R$ 에서 단위환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 이 잘 정의되는지 확인하자. 원소가 하나인 집합에 닫혀있는 연산을 정의하는 방법은 $a*a=a$ 꼴의 연산 뿐이다. $a+a=a$ , $aa=a$ 라고 정의할 때 단위환의 7가지 공리11가 성립하는지 확인해보자.
(R1) : 덧셈에 대한 교환법칙은 자명하게 성립한다.
(R2) : 덧셈에 대한 결합법칙은 다음과 같이 성립한다.
$$a=a+a=a+(a+a)=(a+a)+a$$
(R3) : $a+a=a$ 이므로 $a$ 의 덧셈에 대한 유일한 항등원은 $a$ 로서 존재한다. 다시말해 $a=0$ 이다.
(R4) : $a+a=a=0$ 이므로 $a$ 의 덧셈에 대한 역원은 $a$ 로서 유일하게 존재한다. $a$ 는 $R$ 의 유일한 원소이므로 $R$ 의 모든 원소는 덧셈에 대한 역원을 갖는다.
(R5) : 곱셈에 대한 결합법칙은 다음과 같이 성립한다.
$$a=aa=a(aa)=(aa)a$$
(R6) : 덧셈과 곱셈의 분배법칙이 다음과 같이 성립한다.
$$a(a+a)=aa=a=a+a=aa+aa$$
$$(a+a)a=aa=a=a+a=aa+aa$$
(+R7) : $aa=a$ 이므로 $a$ 의 곱셈에 대한 유일한 항등원은 $a$ 로서 존재한다. 다시말해 $a=1$ 이다.
따라서 $\left<R,+,\cdot\right>$ 는 단위환이며, 위 과정에서 $a=0=1$ 임을 보였다. 원소가 하나인 단위환은 이렇게 정의하는 것이 유일한 방법이므로 원소가 하나인 임의의 단위환에서 $1=0$ 이 성립한다.
(ⅰ$\iff$ⅱ) : 대우 명제를 증명하자. $1\ne0$ 이라고 가정하면 정리 4.1-1(ⅰ)에 따라 $0$ 에 어떤 원소를 곱하든 $1$ 이 나오지 않는다. 따라서 $0$ 은 유닛이 아니다.
$1=0$ 이라고 가정하면 위의 결론에 따라 (ⅱ$\iff$ⅲ) 이므로 $R=\{0\}$ 이다. $0\cdot0=0=1$ 이므로 $0$ 의 곱셈에 대한 유일한 역원은 $0$ 임을 안다. 따라서 $0$ 은 유닛이다. $\square$
위의 정리에 따르면 $0$ 이 유닛인 단위환, $1=0$ 인 단위환은 $R=\{0\}$ 이다. 이러한 별 볼 일 없어 보이는 단위환을 다음과 같이 정의한다.
정의) 하나의 원소만을 갖는 집합에서 정의되는 단위환을 자명환(trivial ring)이라고 한다. 이는 $0$ 이 유닛인 환 또는 $1=0$ 인 환으로도 정의된다.
자명환을 정의하는 이유는, 이를 활용하기 위해서가 아닌 피해다니기 위해서이다. 원소가 하나가 되어버리는 불상사를 피하기 위해서는 적어도 자명환이 아닌 대수구조를 찾아야 한다. 실제로, 단위환보다 더 구체적인 대수구조의 정의에서는 $1\ne0$ 이라고 하거나, $0$ 은 유닛이 아니라는 등의 제한을 두는데, 그 이유가 바로 자명환을 피하기 위해서이다.
5.3. 나눗셈환
단위환에서 한번 더 나아가자.
정의) $0$ 을 제외한 모든 원소가 유닛인 단위환을 나눗셈환(division ring)이라고 한다.
나눗셈환의 정의에서 유닛의 대상으로 $0$ 을 제외하는 이유는, 나눗셈환을 자명환이 아닌 대수구조로 정의하기 위함이다.
나눗셈환을 정의하는 다른 방법은, 덧셈이 가환군을 이루고 곱셈이 ($0$ 을 제외한 집합에서) 군을 이루며 덧셈과 곱셈의 분배법칙이 성립하는 대수구조라고 정의하는 것이다. 어떻게 정의하든 그 의미는 동일하다.
이렇게 정의된 환을 '나눗셈'환이라고 부르는 이유는, 우리가 잘 아는 그 나눗셈이 정의되기 때문이다. $0$ 이 아닌 임의의 두 원소 $a,\;b$ 에 대하여 $a^{-1},\;b^{-1}$ 가 존재하며, 다음과 같이 나눗셈을 정의할 수 있다.
$$a/b:=ab^{-1}\quad a\backslash b:=a^{-1}b$$
물론, 나눗셈환에서는 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않으므로 $a/b=b\backslash a$ , 즉 $ab^{-1}=b^{-1}a$ 가 항상 성립하리란 보장이 없다. 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 나눗셈환은 정말 중요한 대수구조로 다음 포스팅에서 소개한다.
나눗셈환은 다음의 성질을 지닌다.
정리 5.3-1) 임의의 나눗셈환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 의 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in R$ 에 대하여 다음이 성립한다.
(ⅰ) $ab=0\iff a=0\mbox{ or }b=0$
(ⅱ) 오른쪽 소거법칙 : $a\ne0$ 이면 $ba=ca\iff b=c$ 이다.
(ⅲ) 왼쪽 소거법칙 : $a\ne0$ 이면 $ab=ac\iff b=c$ 이다.
proof)
(ⅰ) : $ab=0$ 이며 $a,\;b$ 둘 다 $0$ 이 아니라고 가정하자. $a,\;b\ne 0$ 이므로 $a^{-1},\;b^{-1}$ 가 존재하므로 다음이 성립한다.
$$a^{-1}ab=b=a^{-1}0=0$$
$$abb^{-1}=a=0b^{-1}=0$$
정리하면 $a=b=0$ 을 얻으므로, 가정에 모순이다. 귀류법에 따라 $a,\;b$ 둘 중에 적어도 하나는 $0$ 이다.
(ⅱ) : $a\ne0$ 이며 $ba=ca$ 라고 가정하자. 정리 4.1-1에 따라 다음이 성립한다.
$$\begin{align}0=&-(ba)+ba=-(ca)+ba\\=&(-c)a+ba=(-c+b)a\end{align}$$
$$\begin{align}0=&ba+(-(ba))=ba+(-(ca))\\=&ba+(-c)a=(b+(-c))a\end{align}$$
본 정리의 (ⅰ)에 따라 $-c+b=0$ 이며 $b+(-c)=0$ 이다. 즉 $(-c)$ 는 $b$ 의 덧셈에 대한 역원이므로 $-b=-c$ 가 성립한다. 정리 3.1.1-2에 따라 $b=c$ 가 성립한다. (ⅲ) 도 비슷하게 증명할 수 있다. $\square$
추가로 다음의 정리는 사뭇 하찮아 보이지만, 이는 강력한 계산법인 '분모의 유리화 및 실수화'에 응용되곤 한다.
정리 6.1-1) 임의의 나눗셈환 $\left<R,+,\cdot\right>$ 를 생각하자. $0$ 이 아닌 임의의 원소 $a,\;b\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$a^{-1}=b(ab)^{-1}$$
proof)
이는 아주 간단하게 증명할 수 있다. 다음이 성립한다.
$$a^{-1}=1a^{-1}=bb^{-1}a^{-1}$$
정리 3.1.1-3에 따르면 $b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}$ 이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다. $\square$
나눗셈환의 $0$ 이 아닌 임의의 원소 $a$ 에 대하여 $a^{-1}$ 를 $\frac{1}{a}$ 와 같이 적는 표기법이 있다. 이러한 표기법을 차용하여 위의 정리를 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\frac{1}{a}=b\frac{1}{ab}$$
읽어주셔서 감사합니다.
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다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field)
- 우리가 흔히 떠올리는 그 덧셈이 아니어도 된다. 환에서 정의되는 '덧셈'이란, 환의 정의를 만족하는 임의의 연산을 부르는 대명사에 불과하다. [본문으로]
- 마찬가지로 우리가 흔히 떠올리는 그 곱셈이 아니어도 된다. 심지어 환에서 정의되는 '곱셈'은 만족하는 대수적 특성이 상당히 적다. [본문으로]
- 덧셈에 대한 항등원, additive identity. [본문으로]
- 덧셈에 대한 역원, additive inverse. [본문으로]
- Commutative semigroup : 교환법칙이 성립하는 반군 [본문으로]
- 곱셈에 대한 항등원, multiplicative identity. [본문으로]
- 또는 단위원을 갖는 환(ring with unity)이라고 한다. 사실 이쪽이 더 보편적인 용어이다. [본문으로]
- 'I'dentity가 빠진 ring이라는 뜻이다. 일종의 언어유희 [본문으로]
- 단위, 단원 등 번역이 통일되지 않아 본 포스팅에서는 음차로 표기하였다. [본문으로]
- 곱셈에 대한 역원, multiplicative inverse. [본문으로]
- 환의 6가지 공리 + 단위환의 공리 하나 [본문으로]
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