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[다변수 적분] ch1. 적분의 정의
이전 읽을거리) [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 [실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary 다음 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 Partition 적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다. Definition. Rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 각 $[a_j,b_j]$ 를 $Q$ 의 component interval 이라고 한다. (1) $Q$ 의 width 를 다음과 같이 정의하자.$$\text{width }Q=\text{max}\{b_1-a_1,\ldots,b_n-a_n\}$$ (2) $Q..[다변수 적분] ch2. 측도 0과 적분가능성
이전 읽을거리) [집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합 ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 측도 0 이제부터는 유난히 rectangle 을 많이 사용하게 된다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의하자. Definition. $\mathbb{R}^n$ 의 모든 rectangles 의 모임을 $\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 다음의 정의는 기하적으로 무한히 협소한 집합, "부피" 가 0인 집합을 가리킨다. Definition. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 가산모임 $\{Q_1,Q_2,\ldots\}\subset\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이 존재하여 $A\subset\mathbb{R}^n$ 을 덮으며 다음이 성립..[다변수 적분] ch3. 푸비니 정리
이전 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 다음 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 푸비니 정리 이번 포스팅의 목표는 다음의 수식이 성립함을 보이는 것이다. $$\int_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)$$ 이는 적분의 계산을 고차원에서 저차원으로 끌어내려 실제로 적분값을 계산할 수 있도록 도와준다. 우리는 이미 1차원에 한하여 적분을 쉽게 계산하는 방법을 알고있으며, 이는 미적분학의 기본정리라고 불린다. 미적분학의 기본정리 (Tundamental theorem of calculus). (1) 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 과 다음의 함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f..
[다변수 적분] ch4. 유계집합 위의 적분
이전 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 다음 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 유계집합 위의 적분의 정의 종종 적분을 이용할때 rectangle 이 아닌 집합에서 적분을 해야 할 때가 있다. 이를테면 구의 질량중심을 구하는 문제를 풀기 위해 적분을 이용하는 경우가 그렇다. 이제 적분의 정의를 "약간" 확장해보자. 다음의 정의는 함수의 "자명한 확장" 에 대한 것이다. Definition. 함수 $f:S\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 에 대하여 함수 $f_S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의한다.$$f_S(x)=\begin{cases}f(x)&\text{if }x\in S\\0&\text{otherwise}\end{cases}$$ 이제 적분..[다변수 적분] ch5. 부피를 갖는 집합
이전 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 다음 읽을거리: ch6. 특이적분 바나흐 측도 문제 잠시 편의를 위해 $\mathbb{R}^n$ 의 모든 유계집합의 모임을 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 폴란드 수학자 바나흐(Stefan Banach, 1892-1945)는 임의의 유계집합의 "부피" 를 정의하고자, 다음의 성질을 갖는 함수 $\mu:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}$ 가 존재하는지 검토하였다. 1. 임의의 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $\mu(A)\ge 0$ 이다. 2. 임의의 $A,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $A\cap B=\varnothing$ 이..
[다변수 적분] ch6. 특이적분
이전 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 특이적분의 정의 지금까지 사용해온 적분은, 이를테면 $\int_Sf$ 라고 할때 $S$ 가 유계이고 $f$ 가 유계인 경우에 대해서만 정의했었다. 이제 $S$ 가 유계일 필요도, $f$ 가 유계일 필요도 없는 확장된 의미의 적분을 정의하자. 다만 소개할 적분은 $S$ 가 열려있고 $f$ 가 연속임을 요구한다. 다음의 보조정의부터 시작하자. 구분을 위해 기존의 적분을 $\sideset{^\text{ord}}{}\int$ , 이번에 정의할 적분을 $\sideset{^\text{ext}}{}\int$ 라고 쓰자. Definition. 음의 값을 갖지않는 연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 부분집..📂[추천 코스] 다변수 미분
[다변수 미분] ch1. 미분의 정의
이전 읽을거리: [실수공간의 위상] ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch2. 편미분 1공간에서 1공간으로의 미분 미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다. Definition. $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $a\in\text{Int }A$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 $\phi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을 $a$ 에서 $\phi$ 의 미분(der..[다변수 미분] ch2. 편미분
이전 읽을거리: ch1. 미분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 연속미분가능 편미분 Definition. $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 에 대해 $D_{e_j}f(a)$ 가 존재하면 이를 $a$ 에서 $f$ 의 j번째 편미분(j-th partial derivative)이라고 하고 $D_jf(a)$ 라고 쓴다. 다시말해 $f$ 의 j번째 편미분은 아래의 극한이 존재할 때 그 극한값을 말한다. $$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$$ 편미분은 사실 계산하기에 상당히 편리하다. $a=(a_1,\ldots,a_m)$ 이라고 할때 다음의 함수를 생각하자. $$\phi(t)=f(a_1,\ldots,a_{j-1},t,a_{j+1},\ldots,a_..[다변수 미분] ch3. 연속미분가능
이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..[다변수 미분] ch4. 연쇄법칙
이전 읽을거리: ch3. 연속미분가능 다음 읽을거리: ch5. 역함수 정리 연쇄법칙 연쇄법칙 (chain rule) $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , $g:B\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ 에 대해 $f(A)\subset B$ 가 성립한다고 가정하자. $f(a)=b$ 라고 할때 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $b$ 에서 미분가능하면 $g\circ f$ 는 $a$ 에서 미분가능하며 다음이 성립한다.$$D(g\circ f)(a)=Dg(b)Df(a)$$ 우리는 아직 미분가능성이 정의되는 점을 정의역의 interior 로 제한하고 있음을 기억하자. 따라서 위 정의의 증명은 $a$ 가 $g\circ f$ 의 정의역의 inte..[다변수 미분] ch5. 역함수 정리
이전 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 역함수 정리 역함수 정리란 대략 "꼬여있지 않은 공간에는 국소적으로 역함수가 존재한다" 를 의미한다. (정확한 설명이 아님에 주의) 차근차근 증명해보자. 페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem) 미분가능함수 $\phi:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in A$ 에서 local minimum 을 가지면 $D\phi(a)=0$ 이다. ※ Local minimum 이란 어떤 근방 속에서 최소값을 갖는 점을 의미한다. Proof. 각 $j\in\{1,\ldots,m\}$ 에 대해 정의에 따라 다음과 같다. $$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+te_j)-\phi(a)}{t}=D_..📂[추천 코스] 집합의 크기
[집합의 크기] ch1. 유한집합
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch2. 합집합, 교집합, 명제 함수의 엄밀한 정의 데카르트 곱의 일반화된 정의 수학적 귀납법과 정렬원리 다음 읽을거리: ch2. 가산집합과 비가산집합 유한집합의 정의 자연수 $n$ 에 대해 $n$ 보다 작은 자연수의 집합을 $S_n$ 또는 $\{1,\ldots,n-1\}$ 이라고 표기하고, 이를 자연수의 절편(section)이라고 한다. 물론 $S_1=\varnothing$ 이다. 자연수의 절편은 유한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. Definition. 집합 $A$ 와 자연수의 어떤 절편 $S_n$ 에 대해 일대일 대응 $A\to S_n$ 이 존재하면 $A$ 가 유한하다(finite)고 한다. 다시말해 $A$ 가 유한하다는 것은 공집합이거나, 어떤 자연수 $n$ 에 ..
[집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch5. 집합의 모임 데카르트 곱의 일반화된 정의 ch1. 유한집합 다음 읽을거리: ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기 무한의 정의 마치 자연수의 절편이 유한집합의 원형이듯이, 모든 자연수의 집합은 가산무한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. 앞으로 유한하지도, 가산무한하지도 않은 집합을 구성하는 것에 대해 살펴볼 것이다. Definition. 집합 $A$ 가 유한하지 않으면 무한하다(infinite)고 한다. 일대일대응 $A\to\mathbb{N}$ 이 존재하면 $A$ 가 셀 수 있게 무한하다(countably infinite)고 하거나 가산무한이라고 한다. 예를들면, 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있게 무한하다. 다음의 함수 $f:\mathbb..[집합의 크기] ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1 ch2. 가산집합과 비가산집합 유리수 집합의 크기 ※ 앞서 증명한 많은 정리를 활용하므로 이전 포스팅을 보고 오길 추천한다. 정리 2.6.으로부터 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 가 셀 수 있음을 어렵지 않게 알 수 있다. 지난 포스팅의 초반에 언급하였듯이 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있다. 여기서부터 시작하자. Theorem 3.1. $\mathbb{Q}$ 는 셀 수 있다. Proof. 가산집합인 $\mathbb{Z}$ 에 대해 따름정리 2.3.에 따르면 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 도 셀 수 있으므로 ..🔥인기글
[벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간
본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 흔히 벡터라고 하면 실수가 2~3개 모인 순서쌍을 떠올리곤 한다. 고등학교 수학에서 배우는 바로 그것 말이다. 이러한 실수의 순서쌍을 가지고 우리는 많은 연산을 하고 수많은 의미를 도출하였다. 그러나 벡터가 단지 숫자의 순서쌍을 벗어나 꽤나 다양한 것을 지칭할 수 있다면, 그리고 벡터라고 부르기로 한 다른 대상에서도 순서쌍으로써 도출한 의미를 적용할 수 있다면 상당히 놀라운 일일 것이다. 그리고 실제로 벡터는 실수의 순서쌍만을 지칭하지는 않는다. 들어가기에 앞서 '집합'과 '~공간'을 혼동하는 일이 없도록 하자. 단순히 여러 요소가 모이면 얼마든지 집합이라고 부를 수 있지만, 집합이 특별한 몇 가지 성질을 만족할때만 어떠한 공간이라고..
[벡터공간부터 기저까지] ch3. 기저의 특성
이전 읽을거리 : 일차종속과 일차독립 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다. 7. 기저 정의) 벡터공간 $V$ 의 부분집합 $\beta$ 를 생각하자. $\beta$ 가 일차독립이고 $V$ 를 생성하면 $\beta$ 를 $V$ 의 기저(basis)라고 한다. 기저의 가장 특별한 점은 가장 작은 생성집합이면서 가장 큰 일차독립인 집합이라는 것이며, 이에 대해선 아래에서 자세히 살펴볼 것이다. 벡터공간에는 기저가 하나만 존재할 수도 있고, 서로 다른 여러개의 기저가 존재할수도 있다. 7.1. 기저의 예시 예시 1) 점공간의 기저 점공간 $\{0\}$ 의 생성집합은 $\varnothing,\;\{0\}$ 두 개가 있다. 두 집합 중에서 $\varnothing$ 은 일차독립이고..
[FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한 [직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. ※ 본 포스팅은 PC 환경에서 보기를 권장합니다. 2. 완비성 공리 완비성 공리를 대뜸 공개하자면 다음과 같다. 완비성 공리 (Axiom of Completeness) 공집합이 아니고 위로 유계인 (실수 집합의) 부분집합은 항상 상한을 갖는다. 이를 처음 본다면 '위로 유계', '상한'과 같이 낯선 단어때문에 알아볼 수가 없을 것이다. 차근차근 그 정의를 확인하자. 정의) 어떤 $b\in\mathbb{R}$ 이 존재하여 모든 $a\in A$..[벡터공간부터 기저까지] ch2. 일차종속과 일차독립
이전 읽을거리 : 벡터공간과 부분공간 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다. 3. 일차결합 정의) 벡터공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 를 생각하자. $S$ 에 속하는 벡터 중 유한개의 벡터 $u_1,\ldots,u_n$ 와 임의의 스칼라 $a_1,\ldots,a_n$ 에 대하여 다음과 같은 벡터 $v$ 를 $S$ 의 일차결합(Linear Combination)이라 한다. $$v=a_1u_1+\cdots+a_nu_n$$ 이때, $v$ 는 벡터 $u_1,\ldots,u_n$ 의 일차결합이고 $a_1,\ldots,a_n$ 은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다. 일차결합의 정의를 이해할 때, 벡터 여러개가 아닌 벡터 하나에 스칼라 곱을 한 것도 일차결..
[집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합
이전 읽을거리) [집합론 기초] ch5. 집합의 모임 데카르트 곱의 일반화된 정의 ch1. 유한집합 다음 읽을거리: ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기 무한의 정의 마치 자연수의 절편이 유한집합의 원형이듯이, 모든 자연수의 집합은 가산무한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. 앞으로 유한하지도, 가산무한하지도 않은 집합을 구성하는 것에 대해 살펴볼 것이다. Definition. 집합 $A$ 가 유한하지 않으면 무한하다(infinite)고 한다. 일대일대응 $A\to\mathbb{N}$ 이 존재하면 $A$ 가 셀 수 있게 무한하다(countably infinite)고 하거나 가산무한이라고 한다. 예를들면, 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있게 무한하다. 다음의 함수 $f:\mathbb..
[FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 17. 균등연속 우리는 연속함수에 대해 공부하였다. $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $c$ 에서 연속이라는 것은 치역의 점 $f(c)$ 의 아무리 좁은 근방 $B_\epsilon\big(f(c)\big)$ 을 선택해도 적절한 $c$ 의 근방 $B_\delta(c)$ 가 존재하여 $f\big(B_\delta(c)\big)$ 가 $B_\epsilon\big(f(c)\big)$ 에 포함되도록 할 수 있다는 것을 의미한다. 정의역의 부분집합 $E\subset A$ 의 모든 점에서 ..쌍대공간 (Dual Space)
이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 [선형변환부터 동형사상까지] 5.1. 선형변환의 집합인 벡터공간 [선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Kenneth Hoffman & Ray Kunze. Linear algebra'를 공부하며 작성하였습니다. 1. 선형범함수 선형변환의 정의를 다시 소개하자면 다음과 같다. 정의) 임의의 두 $F$-벡터공간 $V,\;W$ 를 생각하자. 어떤 함수 $T:V\to W$ 가 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음의 두 조건을 만족하면 $T$ 를 선형변환이라고 한다. (ⅰ) $T(x+y)=T(x)+T(y)$ (ⅱ) $T(cx)=cT(x)$ 선형변환의 구..[선형변환부터 동형사상까지] ch3. 선형변환의 행렬표현
이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch4. 선형변환의 합성과 행렬 곱 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. ※ 본 포스팅은 수식이 많이 포함되어 있으므로 페이지 로딩 초기에 렉이 발생할 수 있습니다. 4. 좌표벡터 이번 시리즈의 초입에서 선형대수학의 수많은 대상을 행렬로 다룰 수 있다고 언급한 적이 있다. 이번 절에서는 선형변환을 행렬로 다루는 방법, 그리고 행렬을 선형변환으로 다루는 방법에 대해 알아볼 것이다. 이를 터득한다면, 행렬과 선형변환은 일대일 대응 관계에 있음을 알게된다. 정의) 유한차원 벡터공간 $V$ 의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저..
[선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환
이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch0. 함수 다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 선형변환 선형변환의 정의는 추상적이지만, 그 덕분에 실제로 많은 것이 선형변환에 속하게 된다. 추상적인 공부를 할 때는, 지금 공부하는 것들이 나중에 반드시 구체화될 것이라는 믿음이 도움이 된다. 선형변환이 쓸모 있는 것 중 하나는, 행렬을 함수처럼 자연스럽게 쓸 수 있게 된다는 것이다. 행렬의 오른쪽에 열벡터를 곱하면 또다른 열벡터가 나오는걸 생각하면 어떤 느낌인지 알 것이다. 이러한 느낌을 잡아둔 채, 선형변환의 정의를 보자. 정의) 두 $F$-벡터공간 $V$ 와 $W$ 를 생각하자..[행렬의 랭크] ch1. 기본행렬연산
이전 읽을거리) [선형변환부터 동형사상까지] ch5. 행렬 연산 [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 다음 읽을거리: ch2. 행렬의 랭크 기본행렬연산 Definition. $m\times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 다음의 세 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다. 1형 연산: $A$ 의 두 행을 교환하는 것. 2형 연산: $A$ 의 한 행에 $0$ 이 아닌 스칼라를 곱하는 것. 3형 연산: $A$ 의 한 행에 다른 행의 스칼라배를 더하는 것. 다음의 세 연산을 기본열연산(elementary column operation)이라고 한다. 1형 연산: $A$ 의 두 열을 교환하는 것. 2형 연산: $A$ 의 한 열에 $0$ 이 아닌 스칼라를 곱하는 것...[FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 7. 코시 수열 수열 $(a_n)$ 이 수렴한다는 것은 정의에 따르면 다음과 같다. 주어진 $a\in\mathbb{R}$ 에 대해, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|M$$ 따라서 조화급수는 유계가 아니다. 수렴하는 수열은 유계이므로, 유계가 아닌 수열은 수렴하지 않는다. 따라서 조화급수는 수렴하지 않는다. $\square$ 조화급수의 예시에서, 수열의 변화가..
[FTC의 엄밀한 증명] ch8. 열린 집합과 닫힌 집합
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 9. 열린 집합과 닫힌 집합 열린 집합과 닫힌 집합의 개념은 함수에 대한 성질을 탐구할 때 매우 중요한 성질이다. 미리 밝히자면, 열린 구간은 열린 집합의 한 종류이며 닫힌 구간은 닫힌 집합의 한 종류이다. 이러한 사실을 기준으로 열린 집합과 닫힌 집합의 정의를 잘 이해해보자. 9.1. 열린 집합 근방의 정의를 다시 확인하자. 정의) $a\in\mathbb{R}$ 와 $\epsilon>0$ 에 대해, 다음과 같이 정의된 집합 $B_\epsilon(a)$ 를 $a$ 의 $\epsilon$-근방(..
[대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field)
이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)', 'Fraleigh. A first course in abstract algebra', 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 6. 체 우리가 가장 익숙한 대수구조를 하나 꼽자면, 그것은 두말 할 필요도 없이 '체'이다. 정의) 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 나눗셈환을 체(field)라고 한다. 임의의 체를 일컬어 $F$ 라고 쓴다. 체를 정의하는 다른 방법은, 가환환이며 나눗셈환인 대수구조라고 정의하는 것이다. 의미는 바뀌지 않는다. ※ 군과 환을 잘 이해한 사람이라면, 체를 덧셈과 곱셈이 각각 가환군을 이루는 환이라고 정의하고 싶을 수도 있다. 하지만..
[FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열
이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 6. 부분수열 어떤 수열 위를 껑충껑충 건너뛰어다니는 수열을 정의해두면 재밌는 작업을 할 수 있다. 정의) 수열 $(a_n)$ 과 다음의 증가하는 자연수 수열을 생각하자. $$k_1