[행렬식의 엄밀한 정의] ch4. 교대다중선형사상

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1. 교대텐서

 

  지난 포스팅에서 순열을 언급한 것은 지금을 위해서이다.

 

  Definition.  $f\in\mathcal{L}^k(V)$ , $\sigma\in S_k$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.$$f^\sigma(v_1,v_2,\ldots,v_k)=f(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(k)})$$  이때 $f$ 는 각 성분에 대해 선형이므로 $f^\sigma$ 도 마찬가지다. 따라서 $f^\sigma\in\mathcal{L}^k(V)$ 이다.

 

  위의 정의는 어렵지 않으나, 사람에 따라 직관과 다르게 느껴질 수 있는 구석이 있다. 다음의 순열 $\sigma\in S_5$ 를 생각하자.

$$\sigma=(2,3,4,5,1)$$

  이 순열의 경우 정의에 충실하면 분명히 다음과 같은 작용을 만들어낸다.

$$f^\sigma(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)=f(v_2,v_3,v_4,v_5,v_1)\quad\text{(correct)}$$

  그러나 순열을 이해하기를 '화살표를 따라 숫자가 이동하는 것'이라 생각하고있다면, 벡터가 화살표를 따라 이동하기를 바라며 다음의 식과 같이 착각할 수도 있다.

$$f^\sigma(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)=f(v_5,v_1,v_2,v_3,v_4)\quad\text{(incorrect)}$$

  게다가 자세히 보면 벡터의 이동의 관점에서는 오히려 화살표에 역행함을 알 수 있다. 그러므로 변환 $f\mapsto f^\sigma$ 를 이용할때는 착오가 없도록 유의하여야 한다.

 

  단, 기본순열의 경우에는 스스로 역함수이므로 벡터가 그렇게 이동한다고 보아도 결과적으로 다르지 않다.

 

  다음의 정의는 행렬식의 유명한 성질 중 하나에 대해 말하고있다.

 

  Definition.  $f\in\mathcal{L}^k(V)$ 와 임의의 기본순열 $e\in S_k$ 에 대해 $f^e=f$ 이면 $f$ 를 대칭적(symmetric), $f^e=-f$ 이면 $f$ 를 교대적(alternating)이라고 한다.

 

※ 대칭텐서는 대칭다중선형사상, 교대텐서는 교대다중선형사상이라고 길게 부를 수 있다.

 

  이 정의를 직관적으로 표현하자면 대칭텐서 $f\in\mathcal{L}^k(V)$ , 교대텐서 $g\in\mathcal{L}^k(V)$ , 임의의 $i$ 에 대해 다음과 같다.

$$f(v_1,\ldots,v_{i+1},v_i,\ldots,v_k)=f(v_1,\ldots,v_i,v_{i+1},\ldots,v_k)$$

$$g(v_1,\ldots,v_{i+1},v_i,\ldots,v_k)=-g(v_1,\ldots,v_i,v_{i+1},\ldots,v_k)$$

  즉, 교대텐서는 두 성분을 교환할 때 부호가 바뀌는 텐서를 말한다.

 

  대칭텐서도 수학에서 수학에서 중요하게 다뤄지는 대상이지만, 행렬식 공부와는 상관이 없다. 지금부터는 교대텐서에 대해서만 알아볼 것이다. 교대텐서의 간단한 예시로 다음이 있다.

$$f\left(\begin{pmatrix}x_{11}\\x_{21}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x_{12}\\x_{22}\end{pmatrix}\right)=x_{11}x_{22}-x_{21}x_{12}$$

$$\begin{align}f\left(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}\right)&=a_1b_2-a_2b_1\\&=-(b_1a_2-b_2a_1)\\&=-f\left(\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\right)\end{align}$$

  눈치 챘겠지만 이는 $2\times 2$ 행렬의 행렬식이다.

 

 

1.2. 교대텐서공간

 

  ch1. 다중선형사상에서 텐서의 집합이 벡터공간임을 증명하였었다. 이와 비슷하게 교대텐서의 집합도 벡터공간임을 증명할 수 있으며, 이는 교대텐서의 집합이 텐서공간의 부분공간임을 보이면 된다. 이는 두 교대텐서의 합도 교대텐서이고, 교대텐서의 스칼라배도 교대텐서이며, 영텐서가 교대텐서라는 사실로부터 자명하다. 다음의 정의를 보자.

 

  Definition.  $\mathcal{L}^k(V)$ 의 교대텐서의 집합인 벡터공간을 $\mathcal{A}^k(V)$ 라고 쓰자. $V$ 의 모든 1-텐서가 교대텐서라고 하여도 틀리지 않으므로 편의상 $\mathcal{A}^1(V)=\mathcal{L}^1(V)$ 라고 한다.

 

  다음은 변환 $f\mapsto f^\sigma$ 와 교대텐서의 관계에 대해 설명한다.

 

  Lemma 4.1.  $F$-벡터공간 $V$ 와 $f\in\mathcal{L}^k(V)$ , $\sigma,\;\tau\in S_k$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 변환 $f\mapsto f^\sigma$ 는 $\mathcal{L}^k(V)\to\mathcal{L}^k(V)$ 인 선형변환이다.
  (ⅱ) $(f^\sigma)^\tau=f^{\tau\circ\sigma}$
  (ⅲ) $f\in\mathcal{A}^k(V)$ 일 필요충분조건은 임의의 $\sigma\in S_k$ 에 대해 $f^\sigma=(\text{sgn }\sigma)f$ 인 것이다.
  (ⅳ) $F$ 의 표수가 2가 아니면 $f\in\mathcal{A}^k(V)$ 일때 어떤 $p\neq q$ 에 대해 $v_p=v_q$ 이면 $f(v_1,\ldots,v_k)=0$ 이다.

 

※ 표수(characteristic)란 $1\in F$ 를 $n$ 번 더하여 $0$ 이 되도록 하는 가장 작은 정수 $n$ 을 의미한다. $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$ 등의 경우 이를 만족하는 정수 $n$ 이 없으므로 편의상 $n=0$ 이라고 한다.

 

  Proof.

  (ⅰ) $f\mapsto f^\sigma$ 가 선형변환임을 보이자. 임의의 $f,\;g\in\mathcal{L}^k(V)$ , $c\in F$ , $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대해 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;(f+cg)^\sigma(v_1,\ldots,v_k)\\=&\;(f+cg)(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})\\=&\;f(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})+cg(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})\\=&\;f^\sigma(v_1,\ldots,v_k)+cg^\sigma(v_1,\ldots,v_k)\\=&\;(f^\sigma+cg^\sigma)(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore (f+cg)^\sigma=f^\sigma+cg^\sigma$$

 

  (ⅱ) 편의상 각 $i\in\{1,\ldots,k\}$ 에 대해 $v_{\tau(i)}=w_i$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(f^\sigma)^\tau(v_1,\ldots,v_k)&=f^\sigma(v_{\tau(1)},\ldots,v_{\tau(k)})\\&=f^\sigma(w_1,\ldots,w_k)\\&=f(w_{\sigma(1)},\ldots,w_{\sigma(k)})\\&=f(w_{\tau(\sigma(1))},\ldots,w_{\tau(\sigma(k))})\\&=f(w_{\tau\circ\sigma(1)},\ldots,w_{\tau\circ\sigma(k)})\\&=f^{\tau\circ\sigma}(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore (f^\sigma)^\tau=f^{\tau\circ\sigma}$$

 

  (ⅲ) 임의의 $\sigma\in S_k$ 를 생각하자. Lemma 3.1. 에 따라 기본순열 $\sigma_i$ 들에 의해 $\sigma=\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_m$ 과 같다. 교대텐서의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$f^\sigma=f^{\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_m}=(\cdots(f^{\sigma_m})\cdots)^{\sigma_1}=(-1)^mf$$

  이때 $\sigma$ 는 기본순열 $m$ 개의 합성이므로 Theorem 3.2. 에 따라 $\text{sgn }\sigma=(-1)^m$ 이다.

 

  (ⅳ) $p\neq q$ 에 대해 $v_p=v_q$ 이면 $p$ 와 $q$ 만 교환하는 순열 $\sigma\in S_k$ 에 대해 다음과 같다.

$$f^\sigma(v_1,\ldots,v_k)=f(v_1,\ldots,v_k)$$

  한편 $f$ 는 교대적이므로 (ⅲ)과 Theorem 3.2. 에 따라 다음과 같다.

$$f^\sigma(v_1,\ldots,v_k)=(\text{sgn }\sigma)f(v_1,\ldots,v_k)=-f(v_1,\ldots,v_k)$$

  즉, $f(v_1,\ldots,v_k)=-f(v_1,\ldots,v_k)$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

※ 만약 $F$ 의 표수가 2이면 $2f(v_1,\ldots,v_k)=0$ 이어도 $f(v_1,\ldots,v_k)\neq 0$ 일 수 있기 때문에 $F$ 의 표수가 2라는 가정이 필요하다.

 

  마지막 결론을 눈여겨보자. Lemma 2.1. 에 따르면 $f\in\mathcal{L}^k(V)$ 는 $V$ 의 기저의 k-순서쌍의 상에 의해 결정됨을 안다. 만약 $V$ 의 차원이 $f$ 의 차수 $k$ 보다 작다면 $V$ 의 기저의 k-순서쌍에는 반드시 동일한 벡터가 두 개 이상 포함된다. 여기서 $f$ 가 교대적이라면 $V$ 의 기저의 k-순서쌍에 대한 $f$ 의 값은 모두 0이 됨을 알 수 있다. 이는 다시말해 $\text{dim}(V)<k$ 라면 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 모든 텐서는 서로 구분되지 않는다는 것이다. 그러므로 $\mathcal{A}^k(V)$ 는 단 하나의 텐서만을 포함하며, $\mathcal{A}^k(V)$ 는 벡터공간으로서 영텐서를 반드시 포함하므로 $\mathcal{A}^k(V)$ 는 영텐서만을 갖는 점공간이 된다.

 

  이러한 현상을 피하기 위해서는 기초가 되는 벡터공간 $V$ 의 차원이 텐서의 차수보다 작아서는 안된다. 앞으로의 모든 논의들에서는 이를 따르도록 하자.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] 스티븐 H, 프리드버그. (2020). 프리드버그 선형대수학 (한빛수학교재연구소 옮김). 한빛아카데미.

[2] 김홍종. (2020). 미적분학 1+. 서울대학교출판문화원.

[3] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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