[행렬식의 엄밀한 정의] ch1. 다중선형사상

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1. 다중선형사상

 

  흔히 순서쌍이라 하면, 실수 2~3개를 순서지어 $(1,2)$ 처럼 나타내는 것을 떠올릴 것이다. 다음은 일반화된 순서쌍의 정의이다.

 

  Definition.  공집합이 아닌 집합 $A_1,\ldots,A_k$ 를 생각하자. 각 $i$ 에 대해 $A_i$ 의 원소 $a_i$ , 총 k개의 원소를 다음과 같이 순서지어 나타내는 것을 k-순서쌍(k-tuple)이라고 한다.$$(a_1,a_2,\ldots,a_n)$$  이러한 k-순서쌍의 집합을 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 의 곱집합(product)이라 하며 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_k$ 라고 표기한다. 즉, 다음과 같다.$$A_1\times\cdots\times A_k=\{(a_1,\ldots,a_k):a_1\in A_1,\ldots,a_k\in A_k\}$$  동일한 집합 $A$ 를 단순히 k번 곱한 집합 $A\times\cdots\times A$ 는 간단히 $A^k$ 라고 표기한다.$$A^k=\{(a_1,\ldots,a_k):a_1,\ldots,a_k\in A\}$$

 

  곱집합의 일반적인 정의를 보면, 성분이 모두 실수인 $(1,\pi,e)$ 같은 순서쌍 외에도 모든 성분이 서로 다른 벡터공간의 벡터를 원소로 갖는 순서쌍도 생각해 볼 수는 있다. (사실 별로 관심은 없다) 모든 성분이 동일한 벡터공간 $V$ 의 벡터인 k-순서쌍의 집합을 $V^k$ 라고 씀에 유의하며 다음의 정의를 보자.

 

  Definition.  $F$-벡터공간 $V$ 와 함수 $f:V^k\to F$ 를 생각하자. 어떤 $i\in\{1,\ldots,n\}$ 와 고정된 $k-1$ 개의 벡터 $v_j$ $(j\neq i)$ 에 대해 다음과 같이 정의된 함수 $T:V\to F$ 가 선형이면 $f$ 가 i번째 변수에 대해 선형이라고 한다.$$T(v)=f(v_1,\ldots,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots,v_n)$$  만약 $f$ 가 모든 $i\in\{1,\ldots,n\}$ 에서 i번째 변수에 대해 선형이면 $f$ 가 다중선형(multilinear)이라고 하며 $f$ 를 일컬어 $V$ 의 k-텐서(k-tensor) 또는 차수(order)가 k인 텐서라고 한다.

  $V$ 의 모든 k-텐서의 집합을 $\mathcal{L}^k(V)$ 라고 쓴다.

 

  위의 정의에서 $k=1$ 인 경우  $\mathcal{L}^k(V)$ 는 단지 $V\to F$ 인 선형변환, 즉 선형범함수(linear functional)을 의미하며 이는 종종 $V$ 의 dual space 라고 불리며 $V^*$ 라고 쓴다.

 

  텐서의 간단한 예시를 보자. 벡터공간 $F^2$ 를 $V$ 라고 할 때, 다음과 같이 함수 $f:V^2\to F$ 를 정의할 수 있다.
$$f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right)=a_{11}x_1y_1+a_{12}x_1y_2+a_{21}x_2y_1+a_{22}x_2y_2$$

  이때 $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$ 는 $F$ 의 원소이다. 이와 같이 정의된 함수 $f$ 는 다중선형임을 쉽게 확인할 수 있다. 예시로, $f$ 는 첫 번째 변수에 대하여 선형임을 다음과 같이 보일 수 있다.
$$\begin{align}&f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right)\\=&f\left(\begin{pmatrix}x_1+cx'_1\\x_2+cx'_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right)\\=&a_{11}(x_1+cx'_1)y_1+a_{12}(x_1+cx'_1)y_2\\&+a_{21}(x_2+cx'_2)y_1+a_{22}(x_2+cx'_2)y_2\\=&a_{11}x_1y_1+a_{12}x_1y_2+a_{21}x_2y_1+a_{22}x_2y_2\\&+c(a_{11}x'_1y_1+a_{12}x'_1y_2+a_{21}x'_2y_1+a_{22}x'_2y_2)\\=&f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right)+cf\left(\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\right)\end{align}$$

  사실 위와같이 정의된 $f$ 는 $F^2$ 의 2-텐서의 일반적인 형태이다. 나중에는 더 나아가 $F^n$ 의 모든 텐서는 실제로 이와 비슷하게 생겼음을 밝힐 것이다.

 

 

1.1. 텐서공간

 

  텐서의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자. 이는 보편적인 정의와 크게 다르지 않다.

 

  Lemma 1.1.  $F$-벡터공간 $V$ 에 대해 $\mathcal{L}^k(V)$ 는 다음과 같이 정의된 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다.
  (ⅰ) $(f+g)(v_1,\ldots,v_k)=f(v_1,\ldots,v_k)+g(v_1,\ldots,v_k)$
  (ⅱ) $(cf)(v_1,\ldots,v_k)=cf(v_1,\ldots,v_k)$

 

  Proof.

  (ⅰ) 임의의 벡터 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여, 두 텐서의 합의 정의에 따르면 다음과 같다.
$$(f+g)(v_1,\ldots,v_k)=f(v_1,\ldots,v_k)+g(v_1,\ldots,v_k)$$

  i번째 변수를 제외한 나머지 벡터는 임의로 고정한 채, i번째 변수에 대한 함수 $T$ 를 다음과 같이 정의하자.
$$T(v)=(f+g)(v_1,\ldots,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots,v_k)$$

  $f,\;g$ 는 다중선형이므로 $V$ 의 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$\begin{align}T(\textcolor{red}{cx+y})=&(f+g)(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{cx+y},v_{i+1},\ldots,v_k) \\=&f(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{cx+y},v_{i+1},\ldots,v_k) \\&+g(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{cx+y},v_{i+1},\ldots,v_k) \\=&\textcolor{red}{c}f(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{x},v_{i+1},\ldots,v_k) \\&+f(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{y},v_{i+1},\ldots,v_k) \\&+\textcolor{red}{c}g(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{x},v_{i+1},\ldots,v_k) \\&+g(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{y},v_{i+1},\ldots,v_k) \\=&\textcolor{red}{c}f(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{x},v_{i+1},\ldots,v_k) \\&+g(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{x},v_{i+1},\ldots,v_k)) \\&+(f(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{y},v_{i+1},\ldots,v_k) \\&+g(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{y},v_{i+1},\ldots,v_k)) \\=&\textcolor{red}{c}(f+g)(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{x},v_{i+1},\ldots,v_k) \\&+(f+g)(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{y},v_{i+1},\ldots,v_k) \\=&\textcolor{red}{c}T(\textcolor{red}{x})+T(\textcolor{red}{y}) \end{align}$$

  따라서 $T$ 는 선형이며, 임의의 $i=1,\ldots,k$ 에 대하여 일반적으로 성립하므로 $f+g$ 는 다중선형이다.

 

  (ⅱ) 임의의 벡터 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여, 텐서의 스칼라 곱의 정의에 따르면 다음과 같다.
$$(af)(v_1,\ldots,v)=af(v_1,\ldots,v)$$

  i번째 변수를 제외한 나머지 벡터는 임의로 고정한 채, i번째 변수에 대한 함수 $T$ 를 다음과 같이 정의하자.

$$T(v)=(af)(v_1,\ldots,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots,v_k)$$

  $f$ 는 다중선형이므로 $V$ 의 임의의 $c\in F$ , $x,\;y\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}T(\textcolor{red}{cx+y})=&(af)(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{cx+y},v_{i+1},\ldots,v_k)\\=&af(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{cx+y},v_{i+1},\ldots,v_k)\\=&a\textcolor{red}{c}f(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{x},v_{i+1},\ldots,v_k)\\&+af(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{y},v_{i+1},\ldots,v_k)\\=&\textcolor{red}{c}(af)(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{x},v_{i+1},\ldots,v_k)\\&+(af)(v_1,\ldots,v_{i-1},\textcolor{red}{y},v_{i+1},\ldots,v_k)\\=&\textcolor{red}{c}T(\textcolor{red}{x})+T(\textcolor{red}{y})\end{align}$$

  따라서 $T$ 는 선형이며, 임의의 $i=1,\ldots,k$ 에 대하여 일반적으로 성립하므로 $af$ 는 다중선형이다. 따라서 $\mathcal{L}^k(V)$ 는 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다.   $\square$

 

 

  이어서 텐서의 집합이 또 하나의 벡터공간임을 보이자.

 

  Theorem 1.2.  $F$-벡터공간 $V$ 에 대해 $\mathcal{L}^k(V)$ 는 벡터공간이다. 이를 텐서공간(tensor space)이라고 한다.

 

  Proof.  $\mathcal{L}^k(V)$ 가 벡터공간의 여덟가지 조건을 만족하는지 확인하자.

  (VS1) : 임의의 $f,\;g\in\mathcal{L}^k(V)$ 를 생각하자. 임의의$v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&(f+g)(v_1,\ldots,v_k)\\=&f(v_1,\ldots,v_k)+g(v_1,\ldots,v_k)\\=&g(v_1,\ldots,v_k)+f(v_1,\ldots,v_k)\\=&(g+f)(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore f+g=g+f$$

  (VS2) : 임의의 $f,\;g,\;h\in\mathcal{L}^k(V)$ 를 생각하자. 임의의 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\Big(f+(g+h)\Big)(v_1,\ldots,v_k)\\=&f(v_1,\ldots,v_k)+(g+h)(v_1,\ldots,v_k)\\=&f(v_1,\ldots,v_k)+\Big(g(v_1,\ldots,v_k)+h(v_1,\ldots,v_k)\Big)\\=&\Big(f(v_1,\ldots,v_k)+g(v_1,\ldots,v_k)\Big)+h(v_1,\ldots,v_k)\\=&(f+g)(v_1,\ldots,v_k)+h(v_1,\ldots,v_k)\\=&\Big((f+g)+h\Big)(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore f+(g+h)=(f+g)+h$$

  (VS3) : 다음과 같이 정의한 함수 $0$ 을 영텐서라고 한다.

$$0(v_1,\ldots,v_k)=0\in F$$

  영텐서는 각각의 변수에 대하여 영변환이다. 영변환은 선형변환이므로 영텐서는 다중선형이며 $\mathcal{L}^k(V)$ 에 속한다.

  임의의 $f\in\mathcal{L}^k(V)$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(f+0)(v_1,\ldots,v_k)=&f(v_1,\ldots,v_k)+0(v_1,\ldots,v_k)\\=&f(v_1,\ldots,v_k)+0\\=^f(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore f+0=f$$

  (VS4) : 임의의 $f\in\mathcal{L}^k(V)$ 를 생각하자. 다음의 함수를 정의하자.

$$g:V^k\to F,\;(v_1,\ldots,v_k)\mapsto-f(v_1,\ldots,v_k)$$

  $g$ 가 다중선형임을 보일 것이다. $g$ 의 i번째 성분에 대한 함수 $T$ 를 다음과 같이 정의하자.

$$T(v)=g(v_1,\ldots,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots,v_k)$$

  $T$ 가 선형임을 보이자. 임의의 $c\in F$ , $x,\;y\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&T(cx+y)\\=&g(v_1,\ldots,v_{i-1},cx+y,v_{i+1},\ldots,v_k)\\=&-f(v_1,\ldots,v_{i-1},cx+y,v_{i+1},\ldots,v_k)\\=&-cf(v_1,\ldots,v_{i-1},x,v_{i+1},\ldots,v_k)\\&-f(v_1,\ldots,v_{i-1},y,v_{i+1},\ldots,v_k)\\=&cg(v_1,\ldots,v_{i-1},x,v_{i+1},\ldots,v_k)\\&+g(v_1,\ldots,v_{i-1},y,v_{i+1},\ldots,v_k)\\=&cT(x)+T(y)\end{align}$$

  따라서 $T$ 는 선형이다. 임의의 $i=\{1,\ldots,k\}$ 에 대하여 일반적으로 성립하므로 $g$ 는 다중선형이다. 임의의 벡터 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(f+g)(v_1,\ldots,v_k)=&f(v_1,\ldots,v_k)+g(v_1,\ldots,v_k)\\=&f(v_1,\ldots,v_k)-f(v_1,\ldots,v_k)\\=&0\\=&0(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore f+g=0$$

  (VS5) : 임의의  $f\in\mathcal{L}^k(V)$ 를 생각하자. 임의의 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(1f)(v_1,\ldots,v_k)=&1f(v_1,\ldots,v_k)\\=&f(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore 1f=f$$

  (VS6) : 임의의 $f\in\mathcal{L}^k(V)$ 를 생각하자. 임의의 $a,\;b\in F$ , $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\Big(a(bf)\Big)(v_1,\ldots,v_k)=&a(bf)(v_1,\ldots,v_k)\\=&a\Big(bf(v_1,\ldots,v_k)\Big)\\=&(ab)f(v_1,\ldots,v_k)\\=&\Big((ab)f\Big)(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore a(bf)=(ab)f$$

  (VS7) : 임의의 $f,\;g\in\mathcal{L}^k(V)$ 를 생각하자. 임의의 $a\in F$ , $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\Big(a(f+g)\Big)(v_1,\ldots,v_k)=&a(f+g)(v_1,\ldots,v_k)\\=&a\Big(f(v_1,\ldots,v_k)+g(v_1,\ldots,v_k)\Big)\\=&af(v_1,\ldots,v_k)+ag(v_1,\ldots,v_k)\\=&(af+ag)(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore a(f+g)=af+ag$$

  (VS8) : 임의의 $f\in\mathcal{L}^k(V)$ 를 생각하자. 임의의 $a,\;b\in F$ , $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\Big((a+b)g\Big)(v_1,\ldots,v_k)=&(a+b)f(v_1,\ldots,v_k)\\=&af(v_1,\ldots,v_k)+bf(v_1,\ldots,v_k)\\=&(af+bf)(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

$$\therefore (a+b)f=af+bf$$

  $\mathcal{L}^k(V)$ 는 lemma 에 따라 합과 스칼라 곱에 대해 닫혀있으며 벡터공간의 8조건을 모두 만족하므로 벡터공간이다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] 스티븐 H, 프리드버그. (2020). 프리드버그 선형대수학 (한빛수학교재연구소 옮김). 한빛아카데미.

[2] 김홍종. (2020). 미적분학 1+. 서울대학교출판문화원.

[3] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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