[행렬식의 엄밀한 정의] ch2. 텐서의 성질

김한결 2022. 10. 29. 01:47

1. 텐서의 유일성
2. 텐서공간의 기저
- 2.1. 기본텐서의 성질

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1. 텐서의 유일성

두 함수가 같다는 것은, 정의역의 모든 원소에 대한 상이 동일하다는 것이다. 따라서 일반적으로, 정의역의 몇 개의 원소만 가지고서는 두 함수가 같음을 알기 힘들다. 그러나 선형변환을 공부한 사람은 특수한 조건 하에서 몇 개의 원소만으로 두 함수가 같음을 보이는 것이 가능하다는 것을 기억할 것이다. ([선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 참고) 텐서의 경우에도 비슷한 모습을 볼 수 있다.

텐서 이론에서는 자연수의 순서쌍이 매우 빈번하게 등장한다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의한다.

Definition. 자연수 $n$ 에 대해 ${1, \dots, n}$ 의 모든 $k$ -순서쌍의 집합을 $_{n} T_{k}$ 라고 하자. 즉, 다음과 같다. $\begin{aligned} _{n} T_{k} & = {1, \dots, n}^{k} \\ = {(i_{1}, \dots, i_{k}) : 1 \leq i_{1}, \dots, i_{k} \leq n} \end{aligned}$

이를테면 다음의 순서쌍들은 $_{4} T_{3}$ 의 원소이다.

$(1, 2, 3) (1, 1, 4) (4, 2, 1)$

다음의 정리는 일단 벡터공간의 기저의 모든 배열에 대한 상이 정해지면 단 하나의 텐서가 특정됨을 의미한다.

Lemma 2.1. 벡터공간 $V$ 의 기저 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 과 $f, g \in L^{k} (V)$ 에 대해 $f = g$ 일 필요충분조건은 임의의 $(i_{1}, \dots, i_{k}) \in_{n} T_{k}$ 에 대해 다음이 성립하는 것이다. $f (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}}) = g (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}})$

Proof. $f = g$ 일 경우 주어진 조건이 성립함은 자명하다.

주어진 조건이 성립한다고 가정하자. 임의의 $(v_{1}, \dots, v_{k}) \in V^{k}$ 에 대해 각 $v_{i}$ 는 주어진 기저에 대하여 다음과 같이 표현된다.

$v_{i} = c_{i 1} a_{1} + \dots + c_{i n} a_{n} = \sum_{j = 1}^{n} c_{i j} a_{j}$

이때 다중선형의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} f (v_{1}, \dots, v_{k}) & = f (\sum_{j_{1} = 1}^{n} c_{1 j_{1}} a_{j_{1}}, \sum_{j_{2} = 1}^{n} c_{1 j_{2}} a_{j_{2}}, \dots, \sum_{j_{k} = 1}^{n} c_{k j_{k}} a_{j_{k}}) \\ = \sum_{j_{1} = 1}^{n} c_{1 j_{1}} f (a_{j_{1}}, \sum_{j_{2} = 1}^{n} c_{1 j_{2}} a_{j_{2}}, \dots, \sum_{j_{k} = 1}^{n} c_{k j_{k}} a_{j_{k}}) \\ = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \sum_{j_{2} = 1}^{n} c_{1 j_{1}} c_{1 j_{2}} f (a_{j_{1}}, a_{j_{2}}, \dots, \sum_{j_{k} = 1}^{n} c_{k j_{k}} a_{j_{k}}) \\ ⋮ \\ = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} c_{1 j_{1}} \dots c_{k j_{k}} f (a_{j_{1}}, \dots, a_{j_{k}}) \\ = \sum_{j_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{j_{k} = 1}^{n} c_{1 j_{1}} \dots c_{k j_{k}} g (a_{j_{1}}, \dots, a_{j_{k}}) \\ = g (v_{1}, \dots, v_{k}) \end{aligned}$

따라서 $f, g$ 는 $V^{k}$ 의 모든 원소에 대해 동일한 상을 가지므로 $f = g$ 를 얻는다. $◻$

2. 텐서공간의 기저

지난 포스팅에서 $L^{k} (V)$ 도 벡터공간임을 증명하였다. 아래의 정리에서는 이 벡터공간의 기저가 무엇인지를 밝히는데, 이러한 텐서가 $L^{k} (V)$ 의 기저라는 사실보다는 소개되는 텐서 그 자체가 더 중요하게 쓰인다.

Theorem 2.2. 벡터공간 $V$ 의 기저 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 과 어떤 $I \in_{n} T_{k}$ 를 생각하자. 임의의 $J \in_{n} T_{k}$ 에 대해 다음을 만족하는 $V$ 의 k-텐서 $ϕ_{I}$ 가 유일하게 존재한다. $let, J = (j_{1}, \dots, j_{k})$ $\begin{matrix} (1) & ϕ_{I} (a_{j_{1}}, \dots, a_{j_{k}}) = {\begin{cases} 1 & if I = J \\ 0 & if I \neq J \end{cases} \end{matrix}$ 특히 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 의 쌍대기저 $ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n} \in V^{*}$ 과 임의의 $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ 에 대해 다음이 성립한다. $let, I = (i_{1}, \dots, i_{k})$ $\begin{matrix} (2) & ϕ_{I} (v_{1}, \dots, v_{k}) = ϕ_{i_{1}} (v_{1}) \dots ϕ_{i_{k}} (v_{k}) \end{matrix}$ 이때 ${ϕ_{I} : I \in_{n} T_{k}}$ 는 $L^{k} (V)$ 의 기저이다.

각 $ϕ_{I}$ 는 $V$ 의 기저 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 에 대응하는 $V$ 의 기본 k-텐서(elementary k-tensor)라고 한다.

이 정리에서는 아래의 총 4가지 명제를 증명해야 한다.

1. 주어진 함수가 유일한가?

2. 주어진 함수가 존재하는가?

3. 주어진 함수가 k-텐서인가?

4. 주어진 함수가 $L^{k} (V)$ 의 기저를 형성하는가?

Proof. 유일성은 이전의 lemma에 따라 보장된다. ( $ϕ_{I}$ 의 정의에서 기저의 모든 k-순서쌍에 대한 상이 주어졌기 때문) 존재성을 보이기 위해 식 (2)로 $ϕ_{I}$ 를 정의하고 식 (1)을 만족하는지 확인하자. 이때 각 좌표함수 $ϕ_{i}$ 는 선형이므로 $ϕ_{I}$ 는 다중선형이다. 또한 임의의 $J \in_{n} T_{k}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} ϕ_{I} (a_{j_{1}}, \dots, a_{j_{k}}) & = ϕ_{i_{1}} (a_{j_{1}}) \dots ϕ_{i_{k}} (a_{j_{k}}) \\ = {\begin{cases} 1 & if i_{1} = j_{1}, \dots, i_{k} = j_{k} \\ 0 & otherwise. \end{cases} \\ = {\begin{cases} 1 & if I = J \\ 0 & if I \neq J \end{cases} \end{aligned}$

따라서 존재성을 얻는다. ${ϕ_{I} : I \in_{n} T_{k}}$ (이하 ${ϕ_{I}}$ ) 가 $L^{k} (V)$ 의 기저임을 보이자. 이는 $V$ 의 임의의 k-텐서가 ${ϕ_{I}}$ 의 유일한 선형결합으로 표현됨을 보이면 된다. 각 $I \in_{n} T_{k}$ 에 대해 $d_{I} \in F$ 를 다음으로 정의하자.

$let, I = (i_{1}, \dots, i_{k})$

$d_{I} = f (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}})$

다음과 같은 ${ϕ_{I}}$ 의 선형결합을 생각하자.

$\begin{matrix} (3) & g = \sum_{J \in {1, \dots, n}^{k}} d_{J} ϕ_{J} \end{matrix}$

※ 이는 다음을 의미한다.

$d_{(1, 1, \dots, 1)} ϕ_{(1, 1, \dots, 1)} + d_{(2, 1, \dots, 1)} ϕ_{(2, 1, \dots, 1)} + \dots + d_{(k, k, \dots, k)} ϕ_{(k, k, \dots, k)}$

임의의 $I \in_{n} T_{k}$ 에 대해 다음과 같다.

$let, I = (i_{1}, \dots, i_{k})$

$\begin{aligned} g (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}}) & = \sum_{J \in_{n} T_{k}} d_{J} ϕ_{J} (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}}) \\ = d_{I} \\ = f (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}}) \end{aligned}$

이전의 lemma에 따라 다음을 얻는다.

$f = \sum_{J \in_{n} T_{k}} d_{J} ϕ_{J}$

다시말해 $f$ 는 ${ϕ_{I}}$ 의 선형결합으로 표현된다. 표현의 유일함을 보이자. $f$ 를 표현하는 ${ϕ_{I}}$ 의 임의의 선형결합을 다음과 같이 생각하자.

$\begin{matrix} (4) & f = \sum_{J \in_{n} T_{k}} c_{J} ϕ_{J} \end{matrix}$

이때 각 $I \in {1, \dots, n}^{k}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$let, I = (i_{1}, \dots, i_{k})$

$\begin{aligned} d_{I} & = f (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}}) \\ = \sum_{J \in {1, \dots, n}^{k}} c_{J} ϕ_{J} (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{k}}) \\ = c_{I} \end{aligned}$

따라서 $f$ 의 표현 (3)과 (4)는 동일하므로 $f$ 는 ${ϕ_{I}}$ 의 유일한 선형결합으로 표현됨을 알 수 있다. $f$ 를 $L^{k} (V)$ 에서 임의로 선택하였으므로 ${ϕ_{I}}$ 는 $L^{k} (V)$ 의 기저이다. $◻$

다음의 따름정리는 재밌지만, 행렬식 공부와는 상관이 없다.

Corollary 2.3. $dim (V) = n$ 이면 $dim (L^{k} (V)) = n^{k}$ 이다.

Proof. $L^{k} (V)$ 의 차원은 ${ϕ_{I} : I \in_{n} T_{k}}$ 의 원소의 갯수, 즉 ${1, \dots, n}^{k}$ 의 원소의 갯수이며 이는 각 성분이 $1, \dots, n$ 중 하나인 k-순서쌍의 갯수이므로 원하는 결과를 얻는다. $◻$

2.1. 기본텐서의 성질

기본 텐서는 간단한 함수이다. $R^{3}$ 의 표준기저를 생각하자.

${e_{1}, e_{2}, e_{3}} = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}$

정의에 따라 $R^{3}$ 의 표준기저에 대응하는 기본 2-텐서중 하나인 $ϕ_{3, 1}$ 는 다음과 같다.

$\begin{aligned} ϕ_{3, 1} ((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}), (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array})) = & ϕ_{3} (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) ϕ_{1} (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}) \\ = & x_{3} y_{1} \end{aligned}$

위의 예시에서 보다시피 특정한 벡터공간에서는 기본 텐서를 간단하게 나타낼 수 있다. 위의 예시에서 3-순서쌍의 2-순서쌍을 $3 \times 2$ 행렬로 취급하면 $ϕ_{3, 1}$ 은 1열3행, 2열1행의 곱을 의미한다. 이러한 관점은 매우 도움이 된다.

우리의 최종 목표는 행렬에 대한 함수이므로 순서쌍의 인식을 확장시킬 필요가 있다. 앞으로는 아래의 약속을 따르자.

Convention. $F^{n}$ 의 k-순서쌍 $(x_{1}, \dots, x_{k})$ 에서 i번째 벡터 $x_{i} \in F^{n}$ 의 j번째 성분을 $x_{j i}$ 라고 쓰자. $x_{1} = (\begin{matrix} x_{11} \\ x_{21} \\ ⋮ \\ x_{n 1} \end{matrix}), x_{2} = (\begin{matrix} x_{12} \\ x_{22} \\ ⋮ \\ x_{n 2} \end{matrix}), \dots, x_{k} = (\begin{matrix} x_{1 k} \\ x_{2 k} \\ ⋮ \\ x_{n k} \end{matrix})$ $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) = ((\begin{matrix} x_{11} \\ x_{21} \\ ⋮ \\ x_{n 1} \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{12} \\ x_{22} \\ ⋮ \\ x_{n 2} \end{matrix}), \dots, (\begin{matrix} x_{1 k} \\ x_{2 k} \\ ⋮ \\ x_{n k} \end{matrix}))$ 이때 $(F^{n})^{k}$ 와 $M_{n \times k} (F)$ 사이에는 아래와 같은 자명한 일대일 대응이 존재한다. 즉, 동형이다. $((\begin{matrix} x_{11} \\ x_{21} \\ ⋮ \\ x_{n 1} \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{12} \\ x_{22} \\ ⋮ \\ x_{n 2} \end{matrix}), \dots, (\begin{matrix} x_{1 k} \\ x_{2 k} \\ ⋮ \\ x_{n k} \end{matrix})) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1 k} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \dots & x_{n k} \end{matrix})$ 앞으로 이 둘을 동일한 것으로 취급할 것이다. 따라서 $F^{n}$ 의 k-텐서는 $(F^{n})^{k} \to F$ 또는 $M_{n \times k} (F) \to F$ 둘 중 어느 것으로 보아도 좋다.

다음의 정리에 따르면 $F^{n}$ 의 표준기저에 대응하는 기본 텐서의 상은 벡터의 각 성분들의 곱으로 이루어진다. 이는 특수한 조건 아래서 기본 텐서를 쉽게 이해하도록 해준다.

Theorem 2.4. $F^{n}$ 의 표준기저에 대응하는 기본 k-텐서 $ϕ_{I}$ 와 행렬 $X \in M_{n \times k} (F)$ 에 대하여 다음이 성립한다. $let, I = (i_{1}, \dots, i_{k}), X = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \end{matrix})$ $\begin{array}{r} ϕ_{I} (X) = x_{i_{1}, 1} x_{i_{2}, 2} \dots x_{i_{k}, k} \end{array}$

Proof. 본 정리는 매우 쉽게 증명된다. $F^{n}$ 의 표준기저 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 의 쌍대기저 ${ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n}}$ 을 생각하자. $ϕ_{j}$ 는 $x_{i} \in F^{n}$ 의 j번째 성분을 취하는 좌표함수이므로 $ϕ_{j} (x_{i}) = x_{j, i}$ 가 성립한다. 모든 $j \in {1, \dots, n}$ 에 대하여 일반적으로 성립하므로 다음을 얻는다.

$ϕ_{i_{1}} (x_{1}) = x_{i_{1}, 1}, ϕ_{i_{2}} (x_{2}) = x_{i_{2}, 2}, \dots, ϕ_{i_{k}} (x_{k}) = x_{i_{k}, k}$

이때 다음과 같이 풀어쓸 수 있다.

$\begin{aligned} ϕ_{I} (X) & = ϕ_{I} (\begin{array}{c} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \end{array}) \\ = ϕ_{I} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) \\ = ϕ_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) \\ = ϕ_{i_{1}} (x_{1}) ϕ_{i_{2}} (x_{2}) \dots ϕ_{i_{k}} (x_{k}) \end{aligned}$

따라서 원하는 결과를 얻는다. $◻$

읽어주셔서 감사합니다.

References)

[1] 스티븐 H, 프리드버그. (2020). 프리드버그 선형대수학 (한빛수학교재연구소 옮김). 한빛아카데미.

[2] 김홍종. (2020). 미적분학 1+. 서울대학교출판문화원.

[3] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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쌍대공간 (Dual Space)

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