[행렬식의 엄밀한 정의] ch2. 텐서의 성질

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쌍대공간 (Dual Space)

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1. 텐서의 유일성

 

  두 함수가 같다는 것은, 정의역의 모든 원소에 대한 상이 동일하다는 것이다. 따라서 일반적으로, 정의역의 몇 개의 원소만 가지고서는 두 함수가 같음을 알기 힘들다. 그러나 선형변환을 공부한 사람은 특수한 조건 하에서 몇 개의 원소만으로 두 함수가 같음을 보이는 것이 가능하다는 것을 기억할 것이다. ([선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 참고) 텐서의 경우에도 비슷한 모습을 볼 수 있다.

 

  텐서 이론에서는 자연수의 순서쌍이 매우 빈번하게 등장한다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의한다.

 

  Definition.  자연수 $n$ 에 대해 $\{1,\ldots,n\}$ 의 모든 $k$-순서쌍의 집합을 ${}_nT_k$ 라고 하자. 즉, 다음과 같다.$$\begin{align}{}_nT_k&=\{1,\ldots,n\}^k\\&=\{(i_1,\ldots,i_k):1\le i_1,\ldots,i_k\le n\}\end{align}$$

 

  이를테면 다음의 순서쌍들은 $_4T_3$ 의 원소이다.

$$(1,2,3)\quad(1,1,4)\quad(4,2,1)$$

 

  다음의 정리는 일단 벡터공간의 기저의 모든 배열에 대한 상이 정해지면 단 하나의 텐서가 특정됨을 의미한다.

 

  Lemma 2.1.  벡터공간 $V$ 의 기저 $a_1,\ldots,a_n$ 과 $f,\;g\in\mathcal{L}^k(V)$ 에 대해 $f=g$ 일 필요충분조건은 임의의 $(i_1,\ldots,i_k)\in{}_nT_k$ 에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$f(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})=g(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})$$

 

  Proof.  $f=g$ 일 경우 주어진 조건이 성립함은 자명하다.

  주어진 조건이 성립한다고 가정하자. 임의의 $(v_1,\ldots,v_k)\in V^k$ 에 대해 각 $v_i$ 는 주어진 기저에 대하여 다음과 같이 표현된다.

$$v_i=c_{i1}a_1+\cdots+c_{in}a_n=\sum_{j=1}^nc_{ij}a_j$$

  이때 다중선형의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}f(v_1,\ldots,v_k)&=f\left(\sum_{j_1=1}^nc_{1j_1}a_{j_1},\sum_{j_2=1}^nc_{1j_2}a_{j_2},\ldots,\sum_{j_k=1}^nc_{kj_k}a_{j_k}\right)\\&=\sum_{j_1=1}^nc_{1j_1}f\left(a_{j_1},\sum_{j_2=1}^nc_{1j_2}a_{j_2},\ldots,\sum_{j_k=1}^nc_{kj_k}a_{j_k}\right)\\&=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^nc_{1j_1}c_{1j_2}f\left(a_{j_1},a_{j_2},\ldots,\sum_{j_k=1}^nc_{kj_k}a_{j_k}\right)\\&\vdots\\&=\sum_{j_1=1}^n\cdots\sum_{j_k=1}^nc_{1j_1}\cdots c_{kj_k}f(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})\\&=\sum_{j_1=1}^n\cdots\sum_{j_k=1}^nc_{1j_1}\cdots c_{kj_k}g(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})\\&=g(v_1,\ldots,v_k)\end{align}$$

  따라서 $f,\;g$ 는 $V^k$ 의 모든 원소에 대해 동일한 상을 가지므로 $f=g$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

2. 텐서공간의 기저

 

  지난 포스팅에서 $\mathcal{L}^k(V)$ 도 벡터공간임을 증명하였다. 아래의 정리에서는 이 벡터공간의 기저가 무엇인지를 밝히는데, 이러한 텐서가 $\mathcal{L}^k(V)$ 의 기저라는 사실보다는 소개되는 텐서 그 자체가 더 중요하게 쓰인다.

 

  Theorem 2.2.  벡터공간 $V$ 의 기저 $a_1,\ldots,a_n$ 과 어떤 $I\in{}_nT_k$ 를 생각하자. 임의의 $J\in{}_nT_k$ 에 대해 다음을 만족하는 $V$ 의 k-텐서 $\phi_I$ 가 유일하게 존재한다.$$\text{let, }J=(j_1,\ldots,j_k)$$$$\phi_I(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})=\begin{cases}1&\text{if}\quad I=J\\0&\text{if}\quad I\neq J\end{cases}\tag{1}$$  특히 $a_1,\ldots,a_n$ 의 쌍대기저 $\phi_1,\ldots,\phi_n\in V^*$ 과 임의의 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\text{let, }I=(i_1,\ldots,i_k)$$$$\phi_I(v_1,\ldots,v_k)=\phi_{i_1}(v_1)\cdots\phi_{i_k}(v_k)\tag{2}$$  이때 $\{\phi_I:I\in{}_nT_k\}$ 는 $\mathcal{L}^k(V)$ 의 기저이다.

  각 $\phi_I$ 는 $V$ 의 기저 $a_1,\ldots,a_n$ 에 대응하는 $V$ 의 기본 k-텐서(elementary k-tensor)라고 한다.

 

  이 정리에서는 아래의 총 4가지 명제를 증명해야 한다.

  1. 주어진 함수가 유일한가?

  2. 주어진 함수가 존재하는가?

  3. 주어진 함수가 k-텐서인가?

  4. 주어진 함수가 $\mathcal{L}^k(V)$ 의 기저를 형성하는가?

 

  Proof.  유일성은 이전의 lemma에 따라 보장된다. ($\phi_I$ 의 정의에서 기저의 모든 k-순서쌍에 대한 상이 주어졌기 때문) 존재성을 보이기 위해 식 (2)로 $\phi_I$ 를 정의하고 식 (1)을 만족하는지 확인하자. 이때 각 좌표함수 $\phi_i$ 는 선형이므로 $\phi_I$ 는 다중선형이다. 또한 임의의 $J\in{}_nT_k$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\phi_I(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})&=\phi_{i_1}(a_{j_1})\cdots\phi_{i_k}(a_{j_k})\\&=\begin{cases}1&\text{if}\quad i_1=j_1,\ldots,i_k=j_k\\0&\text{otherwise.}\end{cases}\\&=\begin{cases}1&\text{if }I=J\\0&\text{if }I\neq J\end{cases}\end{align}$$

  따라서 존재성을 얻는다. $\{\phi_I:I\in{}_nT_k\}$ (이하 $\{\phi_I\}$) 가 $\mathcal{L}^k(V)$ 의 기저임을 보이자. 이는 $V$ 의 임의의 k-텐서가 $\{\phi_I\}$ 의 유일한 선형결합으로 표현됨을 보이면 된다. 각 $I\in{}_nT_k$ 에 대해 $d_I\in F$ 를 다음으로 정의하자.

$$\text{let, }I=(i_1,\ldots,i_k)$$

$$d_I=f(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})$$

  다음과 같은 $\{\phi_I\}$ 의 선형결합을 생각하자.

$$g=\sum_{J\in\{1,\ldots,n\}^k}d_J\phi_J\tag{3}$$

※ 이는 다음을 의미한다.

$$d_{(1,1,\ldots,1)}\phi_{(1,1,\ldots,1)}+d_{(2,1,\ldots,1)}\phi_{(2,1,\ldots,1)}+\cdots+d_{(k,k,\ldots,k)}\phi_{(k,k,\ldots,k)}$$

  임의의 $I\in{}_nT_k$ 에 대해 다음과 같다.

$$\text{let, }I=(i_1,\ldots,i_k)$$

$$\begin{align}g(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})&=\sum_{J\in{}_nT_k}d_J\phi_J(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})\\&=d_I\\&=f(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})\end{align}$$

  이전의 lemma에 따라 다음을 얻는다.

$$f=\sum_{J\in{}_nT_k}d_J\phi_J$$

  다시말해 $f$ 는 $\{\phi_I\}$ 의 선형결합으로 표현된다. 표현의 유일함을 보이자. $f$ 를 표현하는 $\{\phi_I\}$ 의 임의의 선형결합을 다음과 같이 생각하자.

$$f=\sum_{J\in{}_nT_k}c_J\phi_J\tag{4}$$

  이때 각 $I\in\{1,\ldots,n\}^k$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\text{let, }I=(i_1,\ldots,i_k)$$

$$\begin{align}d_I&=f(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})\\&=\sum_{J\in\{1,\ldots,n\}^k}c_J\phi_J(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})\\&=c_I\end{align}$$

  따라서 $f$ 의 표현 (3)과 (4)는 동일하므로 $f$ 는 $\{\phi_I\}$ 의 유일한 선형결합으로 표현됨을 알 수 있다. $f$ 를 $\mathcal{L}^k(V)$ 에서 임의로 선택하였으므로 $\{\phi_I\}$ 는 $\mathcal{L}^k(V)$ 의 기저이다.   $\square$

 

 

  다음의 따름정리는 재밌지만, 행렬식 공부와는 상관이 없다.

 

  Corollary 2.3.  $\text{dim}(V)=n$ 이면 $\text{dim}(\mathcal{L}^k(V))=n^k$ 이다.

 

  Proof.  $\mathcal{L}^k(V)$ 의 차원은 $\{\phi_I:I\in{}_nT_k\}$ 의 원소의 갯수, 즉 $\{1,\ldots,n\}^k$ 의 원소의 갯수이며 이는 각 성분이 $1,\ldots,n$ 중 하나인 k-순서쌍의 갯수이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

2.1. 기본텐서의 성질

 

  기본 텐서는 간단한 함수이다. $\mathbb{R}^3$ 의 표준기저를 생각하자.

$$\{e_1,e_2,e_3\}=\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right\}$$

  정의에 따라 $\mathbb{R}^3$ 의 표준기저에 대응하는 기본 2-텐서중 하나인 $\phi_{3,1}$ 는 다음과 같다.

$$\begin{align}\phi_{3,1}\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\right)=&\phi_3\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\phi_1\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}\\=&x_3y_1\end{align}$$

  위의 예시에서 보다시피 특정한 벡터공간에서는 기본 텐서를 간단하게 나타낼 수 있다. 위의 예시에서 3-순서쌍의 2-순서쌍을 $3\times 2$ 행렬로 취급하면 $\phi_{3,1}$ 은 1열3행, 2열1행의 곱을 의미한다. 이러한 관점은 매우 도움이 된다.

 

  우리의 최종 목표는 행렬에 대한 함수이므로 순서쌍의 인식을 확장시킬 필요가 있다. 앞으로는 아래의 약속을 따르자.

 

  Convention.  $F^n$ 의 k-순서쌍 $(x_1,\ldots,x_k)$ 에서 i번째 벡터 $x_i\in F^n$ 의 j번째 성분을 $x_{ji}$ 라고 쓰자.$$x_1=\begin{pmatrix}x_{11}\\x_{21}\\\vdots\\x_{n1}\end{pmatrix},\;x_2=\begin{pmatrix}x_{12}\\x_{22}\\\vdots\\x_{n2}\end{pmatrix},\cdots,x_k=\begin{pmatrix}x_{1k}\\x_{2k}\\\vdots\\x_{nk}\end{pmatrix}$$$$(x_1,x_2,\ldots,x_k)=\left(\begin{pmatrix}x_{11}\\x_{21}\\\vdots\\x_{n1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x_{12}\\x_{22}\\\vdots\\x_{n2}\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}x_{1k}\\x_{2k}\\\vdots\\x_{nk}\end{pmatrix}\right)$$  이때 $(F^n)^k$ 와 $\mathbb{M}_{n\times k}(F)$ 사이에는 아래와 같은 자명한 일대일 대응이 존재한다. 즉, 동형이다.$$\left(\begin{pmatrix}x_{11}\\x_{21}\\\vdots\\x_{n1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x_{12}\\x_{22}\\\vdots\\x_{n2}\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}x_{1k}\\x_{2k}\\\vdots\\x_{nk}\end{pmatrix}\right)\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1k}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nk}\end{pmatrix}$$  앞으로 이 둘을 동일한 것으로 취급할 것이다. 따라서 $F^n$ 의 k-텐서는 $(F^n)^k\to F$ 또는 $\mathbb{M}_{n\times k}(F)\to F$ 둘 중 어느 것으로 보아도 좋다.

 

  다음의 정리에 따르면 $F^n$ 의 표준기저에 대응하는 기본 텐서의 상은 벡터의 각 성분들의 곱으로 이루어진다. 이는 특수한 조건 아래서 기본 텐서를 쉽게 이해하도록 해준다.

 

  Theorem 2.4.  $F^n$ 의 표준기저에 대응하는 기본 k-텐서 $\phi_I$ 와 행렬 $X\in\mathbb{M}_{n\times k}(F)$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$\text{let, }I=(i_1,\ldots,i_k),\;X=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots& x_n\end{pmatrix}$$$$\begin{align}\phi_I(X)=x_{i_1,1}\;x_{i_2,2}\;\cdots\;x_{i_k,k}\end{align}$$

 

  Proof.  본 정리는 매우 쉽게 증명된다. $F^n$ 의 표준기저 $\{e_1,\ldots,e_n\}$ 의 쌍대기저 $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ 을 생각하자. $\phi_j$ 는 $x_i\in F^n$ 의 j번째 성분을 취하는 좌표함수이므로 $\phi_j(x_i)=x_{j,i}$ 가 성립한다. 모든 $j\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대하여 일반적으로 성립하므로 다음을 얻는다.

$$\phi_{i_1}(x_1)=x_{i_1,1},\;\phi_{i_2}(x_2)=x_{i_2,2},\ldots,\phi_{i_k}(x_k)=x_{i_k,k}$$

  이때 다음과 같이 풀어쓸 수 있다.

$$\begin{align}\phi_I(X)&=\phi_I\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots& x_n\end{pmatrix}\\&=\phi_I(x_1,x_2,\ldots,x_k)\\&=\phi_{i_1,i_2,\ldots,i_k}(x_1,x_2,\ldots,x_k)\\&=\phi_{i_1}(x_1)\phi_{i_2}(x_2)\cdots\phi_{i_k}(x_k)\end{align}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] 스티븐 H, 프리드버그. (2020). 프리드버그 선형대수학 (한빛수학교재연구소 옮김). 한빛아카데미.

[2] 김홍종. (2020). 미적분학 1+. 서울대학교출판문화원.

[3] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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