[선형변환부터 동형사상까지] ch3. 선형변환의 행렬표현

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  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

※ 본 포스팅은 수식이 많이 포함되어 있으므로 페이지 로딩 초기에 렉이 발생할 수 있습니다.

 

 

4. 좌표벡터

 

  이번 시리즈의 초입에서 선형대수학의 수많은 대상을 행렬로 다룰 수 있다고 언급한 적이 있다. 이번 절에서는 선형변환을 행렬로 다루는 방법, 그리고 행렬을 선형변환으로 다루는 방법에 대해 알아볼 것이다. 이를 터득한다면, 행렬과 선형변환은 일대일 대응 관계에 있음을 알게된다.

 

정의)  유한차원 벡터공간 $V$ 의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저이다.^[각주:1]

 

  순서기저는 관용적으로 기저를 표기하듯이 집합기호로 쓰되, 순서가 있다고 생각하도록 한다. 예를들어, $F^2$ 의 표준기저를 이루는 벡터 $e_1,\;e_2$ 를 생각하자. 이 벡터로 만들 수 있는 순서기저는 $\{e_1,e_2\}$ , $\{e_2,e_1\}$ 두 가지가 있다. 굳이 따지고들자면 집합의 원소들은 순서가 없지만, 순서가 있다고 생각해주자는 것이다. 이러한 관점에서 이 두 순서기저는 서로 다른 순서기저이다.

 

  벡터공간 $F^n$ 의 순서기저 $\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ 을 $F^n$ 의 표준 순서기저(standard orded basis)라 한다. 비슷하게, 벡터공간 $\mathbb{P}_n(F)$ 의 순서기저 $\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}$ 을 $\mathbb{P}_n(F)$ 의 표준 순서기저라 한다. 이 순서기저들을 특별히 '표준' 순서기저라 정의하는 것은, 당신의 마음속에 아름다움이 있다면 충분히 공감할 수 있을 것이다. 다만 $F^n$ 의 표준 순서기저에 한하여 특별한 순서기저로 취급되는 합리적 이유가 있으며 잠시 후 설명할 것이다.

 

  아래의 정의는 n차원 벡터공간의 벡터와 $F^n$ 의 벡터의 일대일 대응관계를 만들기 위한 시도이다.

 

정의)  유한차원 벡터공간 $V$ 의 순서기저 $\beta=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 을 생각하자. 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음을 만족하는 유일한 스칼라 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 가 존재한다.$$x=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n=\sum_{i=1}^na_iv_i$$  순서기저 $\beta$ 에 대한 $x$ 의 좌표벡터(coordinate vector) $[x]_\beta$ 는 다음의 열벡터^[각주:2]로 정의된다.$$[x]_\beta:=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}$$

 

  참고:  만약 이전 포스팅의 '선형변환의 존재성 및 유일성 정리 1'의 증명을 잘 이해하였다면, 좌표함수를 이용하여 다음과 같이 좌표벡터를 정의할 수 있음을 알 수 있다.

$$\mbox{for }\beta=\{v_1,v_2\ldots,v_n\},\quad[x]_\beta=\begin{pmatrix}a_{v_1}(x)\\a_{v_2}(x)\\\vdots\\a_{v_n}(x)\end{pmatrix}$$

  하지만 좌표함수는 좌표벡터의 성분으로부터 정의되는 것이 자연스럽기에, 이와 같은 '거꾸로' 정의도 가능하다는 것만 알고 넘어가자. 좌표함수의 관용적인 정의에 대해서는 이후 쌍대공간에 대한 포스팅에서 자세히 설명할 것이다.

4.1. 좌표벡터의 성질

 

  좌표벡터가 작동하는 방식은 단순하다. 예로 $\mathbb{R}^2$ 의 한 순서기저 $\alpha=\{(1,1),(2,-1)\}$ 을 생각하자. 벡터 $(5,-1)\in\mathbb{R}^2$ 은 다음의 유일한 일차결합으로 표현된다.

$$(5,-1)=1(1,1)+2(2,-1)$$

  따라서 순서기저 $\alpha$ 에 대한 $(5,-1)$ 의 좌표벡터는 다음과 같다.

$$[(5,-1)]_\alpha=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$

 

  좌표벡터의 정의에 따라 순서기저 $\beta=\{v_1,\ldots,v_n\}$ 에 대하여 다음이 성립함을 알 수 있다.

$$v_j=0v_1+\cdots+0v_{j-1}+1v_j+0v_{j+1}+\cdots+0v_n$$

$$\therefore [v_j]_\beta=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}(\leftarrow\mbox{j-th row})=e_j$$

  이 사실이 자명하지 않게 느껴진다면 머릿속에서 일차결합의 형태를 계속 떠올려보길 바란다.

 

  다음의 정리는 대응 $x\mapsto[x]_\beta$ 가 $V$ 에서 $F^n$ 으로 가는 선형변환임을 의미한다.^[각주:3]

 

정리 4.1-1)  유한차원 벡터공간 $V$ 의 순서기저 $\beta$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ , 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $[x+y]_\beta=[x]_\beta+[y]_\beta$
  (ⅱ) $[cx]_\beta=c[x]_\beta$

 

proof)

  (ⅰ) : 순서기저 $\beta=\{v_1,\ldots,v_n\}$ 에 대하여, 벡터 $x,\;y$ 를 표현하는 다음의 유일한 선형결합이 존재한다.

$$\begin{align}x&=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n\\y&=b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_nv_n\end{align}$$

  순서기저 $\beta$ 에 대한 $x,\;y$ 각각의 좌표벡터는 다음과 같다.

$$[x]_\beta=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix},\;[y]_\beta=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}$$

  다음이 성립한다.

$$\begin{align}x+y&=(a_1+b_1)v_1\\&+(a_2+b_2)v_2\\&\quad\vdots\\&+(a_n+b_n)v_n\end{align}$$

$$\therefore [x+y]_\beta=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\\vdots\\a_n+b_n\end{pmatrix}$$

  그러므로 다음의 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}[x+y]_\beta&=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\\vdots\\a_n+b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\\&=[x]_\beta+[y]_\beta\end{align}$$

 

  (ⅱ) : 다음이 성립한다.

$$cx=ca_1v_1+ca_2v_2+\cdots+ca_nv_n$$

$$\therefore [cx]_\beta=\begin{pmatrix}ca_1\\ca_2\\\vdots\\ca_n\end{pmatrix}$$

  그러므로 다음의 원하는 결과를 얻는다.

$$[cx]_\beta=\begin{pmatrix}ca_1\\ca_2\\\vdots\\ca_n\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=c[x]_\beta\tag*{$\square$}$$

 

 

  다음의 정리는 '특별한 벡터공간' $F^n$ 의 표준 순서기저 $\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ 이 '특별한 순서기저'인 명분을 담고있다.

 

정리 4.1-2)  벡터공간 $F^n$ 의 표준 순서기저 $\beta=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x\in F^n$ 에 대하여 $[x]_\beta=x$ 가 성립한다.

 

※ 열벡터와 순서쌍은 특별한 언급이 없으면 서로 같은 것으로 본다.

 

proof)

  $F^n$ 의 표준 순서기저 $\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ 에 대하여, 벡터 $x$ 를 표현하는 다음의 유일한 선형결합이 존재한다.

$$\mbox{let, }x=(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}$$

$$\begin{align}x=&a_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+\cdots+a_n\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\\1\end{pmatrix}\\=&a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n\end{align}$$

  따라서 표준 순서기저 $\beta$ 에 대한 $x$ 의 좌표벡터는 다음과 같다.

$$[x]_\beta=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=x\tag*{$\square$}$$

 

 

  $F^n$ 의 표준 순서기저가 아닌 다른 순서기저는 위와 같은 성질을 만족하지 않는다. 이것이 $F^n$ 의 표준 순서기저만이 가지는 특별한 점이다.

 

 

5. 선형변환의 행렬표현

 

  다음의 정의는 선형대수학에서 기저 다음으로 대단히 중요한 정의이다.

 

정의)  n차원 벡터공간 $V$ 와 m차원 벡터공간 $W$ , 선형변환 $T:V\to W$ 를 생각하자. $V,\;W$ 각각의 순서기저 $\beta=\{v_1,\ldots,v_n\}$ , $\gamma=\{w_1,\ldots,w_m\}$ 에 대하여 다음을 만족하는 스칼라 $a_{ij}$ ($j=1,\ldots,n$ , $i=1,\ldots,m$) 가 유일하게 존재한다.
$$\begin{gather}T(v_1)=a_{11}w_1+a_{21}w_2+\cdots+a_{m1}w_m\\T(v_2)=a_{12}w_1+a_{22}w_2+\cdots+a_{m2}w_m\\\vdots\\T(v_n)=a_{1n}w_1+a_{2n}w_2+\cdots+a_{mn}w_m\end{gather}$$$$\implies T(v_j)=\sum_{i=1}^na_{ij}w_i\quad(j=1,2,\ldots,n)$$  성분이 $A_{ij}=a_{ij}$ 인 $m\times n$ 행렬 $A$ 를 순서기저 $\beta$ 와 $\alpha$ 에 대한 선형변환 $T$ 의 행렬표현(matrix reprentation)이라 하고 $A=[T]_\beta^\gamma$ 라 표기한다. $\gamma=\beta$ 일 경우 $[T]_\beta^\beta$ 라고 쓰는 대신 간단히 $[T]_\beta$ 라 표기한다.^[각주:4]

 

  행렬표현의 하첨자가 정의역의 순서기저, 상첨자가 공역의 순서기저임에 유의하자.

 

  선형변환의 행렬표현을 더 쉽게 이해하는 방법은, (행렬표현의 j번째 열) = ("정의역 순서기저의 j번째 벡터의 상"의 공역 순서기저에 대한 좌표벡터) 라고 생각하는 것이다. 위의 정의로부터 다음과 같음을 알 수 있다. (아직 익숙하지 않은 분들을 위해 좌표벡터는 파란색, 행렬표현은 빨간색으로 구분하였다)

$$\textcolor{blue}{[T(v_1)]_\gamma}=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}$$

$$\textcolor{blue}{[T(v_2)]_\gamma}=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\end{pmatrix}$$

$$\vdots$$

$$\textcolor{blue}{[T(v_n)]_\gamma}=\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix}$$

 

$$\begin{align}\textcolor{red}{[T]_\beta^\gamma}=&\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\end{pmatrix}&\cdots&\begin{pmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{pmatrix}\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}|&|&&|\\\textcolor{blue}{[T(v_1)]_\gamma}&\textcolor{blue}{[T(v_2)]_\gamma}&\cdots&\textcolor{blue}{[T(v_n)]_\gamma}\\|&|&&|\end{pmatrix}\end{align}$$

 

  행렬표현이 작동하는 방식도 크게 어렵지 않다. 예로, 선형변환 $T:\mathbb{R^2\to R^2},\;(a,b)\mapsto(a+3b,0,2a-4b)$ 를 생각하자. $\mathbb{R}^2,\;\mathbb{R}^3$ 의 표준 순서기저를 각각 $\beta=\{e_1,e_2\}$ , $\gamma=\{e_1',e_2',e_3'\}$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$T(e_1)=T(1,0)=(1,0,2)=1e_1'+0e_2'+2e_3'$$

$$T(e_2)=T(0,1)=(3,0,-4)=3e_1'+0e_2'-4e_3'$$

$$\therefore [T(e_1)]_\gamma=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix},\;[T(e_2)]_\gamma=\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}$$

  따라서 순서기저 $\beta,\;\gamma$ 에 대한 $T$ 의 행렬표현은 다음과 같다.

$$\begin{align}[T]_\beta^\gamma=&\begin{pmatrix}|&|\\ [T(e_1)]_\gamma& [T(e_2)]\gamma\\|&|\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}1&3\\0&0\\2&-4\end{pmatrix}\end{align}$$

 

   벡터공간 $\mathbb{P}_3(\mathbb{R}).\;\mathbb{P}_2(\mathbb{R})$ 각각의 표준 순서기저 $\beta,\;\gamma$ 에 대하여 선형사상 $T:\mathbb{P}_3(\mathbb{R})\to\mathbb{P}_2(\mathbb{R}),\;f(x)\mapsto f'(x)$ 의 행렬표현이 다음과 같다는 것을 보이는 과정은 꽤 흥미로울 것이다. 각자 해보길 추천한다.

$$[T]_\beta^\gamma=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}$$

 

 

5.1. 선형변환의 집합인 벡터공간

 

  행렬표현도 정리 4.1-1과 비슷한 관계가 성립함을 보이기 전에, 다음을 정의하자.

 

정의)  $F$-벡터공간 $V,\;W$ 와 임의의 함수 $f,\;g:V\to W$ 를 생각하자. 스칼라 $a\in F$ 에 대하여 두 함수의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.
  (ⅰ) $f+g:V\to W,\;x\mapsto f(x)+g(x)$
  (ⅱ) $af:V\to W,\;x\mapsto af(x)$ 

 

  참 놀랄 것 없는 정의가 따로없다. 보통 함수의 합과 스칼라 곱에 대한 '보편적인 정의'라 하면 위의 정의를 일컫는 것이다. 다음의 정리에서는 선형변환의 합과 스칼라 곱에 대하여 선형성이 보존됨을 보인다.

 

정리 5.1-1)  $F$-벡터공간 $V,\;W$ 와 선형변환 $T,\;U:V\to W$ 을 생각하자. 임의의 스칼라 $a\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $T+U$ 는 선형이다.
  (ⅱ) $aT$ 는 선형이다.

 

proof)

  (ⅰ) : 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\quad (T+U)(cx+y)\\&=T(cx+y)+U(cx+y)\\&=cT(x)+T(y)+cU(x)+U(y)\\&=c\Big(T(x)+U(x)\Big)+\Big(T(y)+U(y)\Big)\\&=c(T+U)(x)+(T+U)(y)\end{align}$$

  따라서 함수 $T+U$ 는 선형이다.

 

  (ⅱ) : 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(aT)(cx+y)=&aT(cx+y)\\=&a\big(cT(x)+T(y)\Big)\\=&caT(x)+aT(y)\\=&c(aT)(x)+(aT)(y)\end{align}$$

  따라서 함수 $aT$ 는 선형이다.   $\square$

 

 

  만약 벡터공간 $V$ 에서 벡터공간 $W$ 로 가는 모든 선형변환의 집합을 생각해본다면, 이 집합은 적어도 합과 스칼라 곱에 대해 닫혀있음을 정리 5.1-1로부터 알게 되었다. 심지어 이 집합은 벡터공간이 될 조건을 모두 만족한다..! 다음을 확인하자.

 

정의)  $F$-벡터공간 $V,\;W$ 에 대하여 모든 $V\to W$ 선형변환의 집합을 $\mathcal{L}(V,W)$ 라 표기한다. $W=V$ 인 경우에는 $\mathcal{L}(V,V)$ 라고 쓰는 대신에 간단히 $\mathcal{L}(V)$ 라고 표기한다.

 

정리 5.1-2)  $F$-벡터공간 $V,\;W$ 에 대하여 $\mathcal{L}(V,W)$ 는 $F$-벡터공간이다.

 

proof)  증명이 어렵지 않으나, 분량이 많아 [선형변환부터 동형사상까지] 부록에 옮겨두었다.

 

 

5.2. 행렬표현의 성질

 

  다음의 정리는 대응 $T\mapsto[T]_\beta^\gamma$ 가 $\mathcal{L}(V,W)$ 에서 $\mathbb{M}_{m\times n}(F)$ 로 가는 선형변환임을 의미한다.^[각주:5]

 

정리 5.2-1)  유한차원 벡터공간 $V,\;W$ 와 선형변환 $T,\;U\in\mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. $V,\;W$ 각각의 순서기저 $\beta,\;\gamma$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $[T+U]_\beta^\gamma=[T]_\beta^\gamma+[U]_\beta^\gamma$
  (ⅱ) 모든 스칼라 $a\in F$ 에 대하여, $[aT]_\beta^\gamma=a[T]_\beta^\gamma$

 

proof)

  주어진 순서기저를 $\beta=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ , $\gamma=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\}$ 이라고 하자.

 

  (ⅰ) : 정의에 따라, $\beta$ 의 j번째 벡터 $v_j$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$T(v_j)=\sum_{i=1}^m\Big([T]_\beta^\gamma\Big)_{ij}w_i$$

$$U(v_j)=\sum_{i=1}^m\Big([U]_\beta^\gamma\Big)_{ij}w_i$$

$$(T+U)(v_j)=\sum_{i=1}^m\Big([T+U]_\beta^\gamma\Big)_{ij}w_i$$

  $(T+U)(v_j)=T(v_j)+U(v_j)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\quad\sum_{i=1}^m\Big([T+U]_\beta^\gamma\Big)_{ij}w_i\\&=\sum_{i=1}^m\Big\{\Big([T]_\beta^\gamma\Big)_{ij}+\Big([U]_\beta^\gamma\Big)_{ij}\Big\}w_i\end{align}$$

  $w_1,w_2,\ldots,w_m$ 은 일차독립이므로 모든 $i,\;j$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\Big([T+U]_\beta^\gamma\Big)_{ij}=&\Big([T]_\beta^\gamma\Big)_{ij}+\Big([U]_\beta^\gamma\Big)_{ij}\\=&\Big([T]_\beta^\gamma+[U]_\beta^\gamma\Big)_{ij}\end{align}$$

  따라서 다음의 결과를 얻는다.

$$[T+U]_\beta^\gamma=[T]_\beta^\gamma+[U]_\beta^\gamma$$

 

  (ⅱ) : 정의에 따라, $\beta$ 의 j번째 벡터 $v_j$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$(aT)(v_j)=\sum_{i=1}^m\Big([aT]_\beta^\gamma\Big)_{ij}w_i$$

  $(aT)(v_j)=aT(v_j)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\sum_{i=1}^m\Big([aT]_\beta^\gamma\Big)_{ij}w_i=\sum_{i=1}^ma\Big([T]_\beta^\gamma\Big)_{ij}w_i$$

  $w_1,w_2,\ldots,w_m$ 은 일차독립이므로 모든 $i,\;j$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\Big([aT]_\beta^\gamma\Big)_{ij}=a\Big([T]_\beta^\gamma\Big)_{ij}=\Big(a[T]_\beta^\gamma\Big)_{ij}$$

  따라서 다음의 결과를 얻는다.

$$[aT]_\beta^\gamma=a[T]_\beta^\gamma\tag*{$\square$}$$

 

 

  항등변환의 행렬표현이 무엇인지 알아보기 전에, 다음의 편리한 도구를 알아보자.

 

정의)  크로네커 델타(cronecker delta)는 다음과 같이 정의한다.$$\delta_{ij}=\begin{cases}1&\mbox{for }i=j\\0&\mbox{for }i\ne j\end{cases}$$  크로네커 델타의 정의에 따르면, $n\times n$ 항등행렬^[각주:6] $I_n$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$(I_n)_{ij}=\delta_{ij}$$

 

  다음으로 두 특별한 선형변환의 행렬표현이 어떻게 나타나는지 알아보자.

 

정리 5.2-2)  $F$-벡터공간 $V,\;W$ 와 영변환 $0:V\to W,\;x\mapsto 0$ , 항등변환 $I_V:V\to V,\;x\mapsto x$ 를 생각하자. $V,\;W$ 각각의 순서기저 $\beta,\;\gamma$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $[0]_\beta^\gamma=O$ (이때 $O$ 는 $\mbox{dim}(W)\times\mbox{dim}(V)$ 영행렬)
  (ⅱ) $[I_V]_\beta=I_n$ (이때 $n=\mbox{dim}(V)$ )

 

proof)

  주어진 순서기저를 $\beta=\{v_1,\ldots,v_n\}$ , $\gamma=\{w_1,\ldots,w_m\}$ 이라고 하자.

 

  (ⅰ) : 영변환 $0$ 에 대하여, $0(v_j)=0=0w_1+\cdots+0w_m$ 이므로 모든 $j=1,\ldots,n$ 에 대하여 다음과 같다.

$$[0(v_j)]_\gamma=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\in F^m$$

  이는 영변환의 행렬표현 $[0]_\beta^\gamma$ 의 j번째 열이므로, n개 열의 성분은 모두 0임을 알 수 있다. 그러므로 $[0]_\beta^\gamma$ 는 $m\times n$ 영행렬이다.

 

  (ⅱ) : 항등변환 $I_V$ 에 대하여 다음과 같다.

$$\begin{align}&\quad I_V(v_j)\\&=v_j\\&=0v_1+\cdots+0v_{j-1}+1v_j+0v_{j+1}+\cdots+0v_n\end{align}$$

  따라서 모든 $j=1,\ldots,n$ 에 대하여 다음과 같다.

$$[I_V(v_j)]_\beta=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}(\Leftarrow\mbox{j-th row})=e_j$$

  이는 항등변환의 행렬표현 $[I_V]_\beta$ 의 j번째 열이므로 다음의 원하는 결과를 얻는다.

$$[I_V]_\beta=\begin{pmatrix}|&|&&|\\e_1&e_2&\cdots&e_n\\|&|&&|\end{pmatrix}=I_n\tag*{$\square$}$$

 

 

  우리는 이전 포스팅에서 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 1을 공부하였다. 행렬 표현에서도 동등한 정리가 성립하는데, 그 이전에 아래의 보조정리를 확인하자.

 

보조정리 5.2-3)  n차원 $F$-벡터공간 $V$ 의 순서기저 $\beta$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x\in F^n$ 에 대하여 $[v]_\beta=x$ 를 만족하는 벡터 $v\in V$ 가 유일하게 존재한다.

 

proof)

  주어진 순서기저를 $\beta=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ , 임의의 벡터를 $x=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ 이라고 하자. 이때 $a_1,\ldots,a_n$ 은 $F$ 의 원소이므로 벡터공간 $V$ 의 스칼라이다. 이때 다음의 선형결합 $v$ 는 $V$ 에 속하는 벡터이다.

$$v=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n\in V$$

  좌표벡터의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$[v]_\beta=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=x$$

  따라서 $[v]_\beta=x$ 를 만족하는 벡터 $v\in V$ 가 적어도 하나 존재함을 안다. 어떤 벡터 $u\in V$ 도 $[u]_\beta=x$ 를 만족한다고 하자. 좌표벡터의 정의에 따라 다음과 같다.

$$u=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n=v$$

  즉, $[v]_\beta=x$ 를 만족하는 벡터 $v\in V$ 는 유일하다.   $\square$

 

 

  다음의 정리는 실로 강력한 도구이다.

 

선형변환의 존재성 및 유일성 정리 2)  각각 $n,\;m$ 차원인 $F$-벡터공간 $V,\;W$ 을 생각하자. $V,\;W$ 의 순서기저를 각각 $\beta,\;\gamma$ 라 할때, 임의의 행렬 $A\in\mathbb{M}_{m\times n}(F)$ 에 대하여 $[T]_\beta^\gamma=A$ 를 만족하는 선형변환 $T:V\to W$ 가 유일하게 존재한다.

 

proof)

  임의로 주어진 행렬 $A$ 의 j번째 열을 $a_j$ 라고 하자. $a_j$ 는 $F^m$ 의 벡터이며, 보조정리 5.2-3에 따라 $[w_j]_\gamma=a_j$ 를 만족하는 벡터 $w_j\in W$ 가 각 $j=1,\ldots,n$ 에 대하여 유일하게 존재한다.

 

  주어진 순서기저를 $\beta=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 이라고 하자. 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 1에 따라 다음을 만족하는 선형변환 $T:V\to W$ 가 유일하게 존재한다.

$$T(v_j)=w_j\quad\mbox{for }j=1,2,\ldots,n$$

  이 선형변환 $T$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$[T(v_j)]_\gamma=[w_j]_\gamma=a_j$$

  따라서 $[T(v_j)]_\gamma$ 는 행렬 $A$ 의 j번째 열이다. 한편 $T$ 의 행렬표현 $[T]_\beta^\gamma$ 의 j번째 열도 $[T(v_j)]_\gamma$ 이므로, $[T]_\beta^\gamma=A$ 이다.   $\square$

 

 

  앞으로 선형변환을 다룰 때는 행렬표현을 자주 사용하게 되므로, 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 2는 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 1을 완전히 대체하게 된다.

 

정리 5.2-4)  벡터공간 $V,\;W$ 의 순서기저 $\beta,\;\gamma$ 를 생각하자. 선형변환 $T,\;U:V\to W$ 에 대하여 $[T]_\beta^\gamma=[U]_\beta^\gamma$ 를 만족하면 $U=T$ 이다.

 

proof)

  $\beta=\{v_1,\ldots,v_n\}$ 이라고 하자. $[T]_\beta^\gamma=[U]_\beta^\gamma$ 일 경우 $[T]_\beta^\gamma$ 의 j번째 열과 $[U]_\beta^\gamma$ 의 j번째 열이 같으므로 모든 $j=1,\ldots,n$ 에 대하여 $[T(v_j)]_\gamma=[U(v_j)]_\gamma$ 가 성립한다. 보조정리 5.2-3에 따르면 $T(v_j)=U(v_j)$ 이며, 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 1의 따름정리로부터 $T=U$ 이다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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1. 엄밀히, V의 기저로 이루어진 유한 수열이 순서기저이다. 하지만 굳이 어렵게 알 필요는 없고, 각 벡터에 순서가 주어진 기저를 생각하자. [본문으로]
2. n×1 행렬 또는 Fⁿ 의 벡터(순서쌍). 본질적으로 이 둘은 같다. [본문으로]
3. 이를 함수로서 본격적으로 다루는 것은 차후 포스팅에서 볼 수 있을 것이다. [본문으로]
4. 이 경우 벡터의 좌표벡터 표기와 비슷하게 보인다. 괄호 [ ] 안에 벡터가 있으면 좌표벡터, 선형변환이 있으면 행렬표현이다. [본문으로]
5. 이 대응도 나중에 함수로서 본격적으로 다루게 된다 [본문으로]
6. 대각성분만 1이고 나머지 성분은 0인 행렬 [본문으로]