[선형변환부터 동형사상까지] ch4. 선형변환의 합성과 행렬 곱

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  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

6. 선형변환의 합성

 

  함수의 합성에 대해서는 0.3. 합성함수를 보고 오는 것이 좋다.

 

  두 함수 $f,g$ 의 합성을 표기할 때 $g\circ f$ 라고 쓰는 것이 일반적이다. 그러나 선형대수학에서는 표기에 일관성을 돋보이게 하기 위해, 두 선형변환 $T,U$ 의 합성을 $UT$ 라고 간단하게 표기한다.

 

  다음 정리에 따르면, 선형변환의 합성은 여전히 선형이다.

 

정리 6-1)  $F$-벡터공간 $V,W,Z$ 와 선형변환 $T:V\to W$ , $U:W\to Z$ 를 생각하자. 두 선형변환의 합성 $UT:V\to Z$ 는 선형변환이다.

 

proof)

  임의의 벡터 $x,y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}UT(cx+y)=& U(T(cx+y))\\ =& U(cT(x)+T(y))\\ =& cU(T(x))+U(T(x))\\ =& c(UT)(x)+UT(y)\end{array}$$

  따라서 $UT$ 는 선형이다.   $◻$

 

 

  다음은 선형변환의 합성에 대한 중요한 성질이다.

 

정리 6-2)  $F$-벡터공간 $V,W,Z$ 와 임의의 선형변환 $T,T_1,T_2\in \mathcal{L}(V,W)$ , $U,U_1,U_2\in \mathcal{L}(W,Z)$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $U(T_1+T_2)=U{T}_1+U{T}_2$
  (ⅱ) $(U_1+U_2)T=U_{1}T+U_{2}T$
  (ⅲ) $T{I}_V=I_{W}T=T$
  (ⅳ) 임의의 스칼라 $a\in F$ 에 대하여, $a(UT)=(aU)T=U(aT)$

 

proof)

  (ⅰ) : 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}(U(T_1+T_2))(x)=& U((T_1+T_2)(x))\\ =& U(T_1(x)+T_2(x))\\ =& U(T_1(x))+U_1(T_2(x))\\ =& U{T}_1(x)+U{T}_2(x)\\ =& (U{T}_1+U{T}_2)(x)\end{array}$$

  따라서 $U(T_1+T_2)=U{T}_1+U{T}_2$ 이다.

 

  (ⅱ) : 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}((U_1+U_2)T)(x)=& (U_1+U_2)(T(x))\\ =& U_1(T(x))+U_2(T(x))\\ =& U_{1}T(x)+U_{2}T(x)\\ =& (U_{1}T+U_{2}T)(x)\end{array}$$

  따라서 $(U_1+U_2)T=U_{1}T+U_{2}T$ 이다.

 

  (ⅲ) : 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$T{I}_V(x)=T(I_V(x))=T(x)$$

$$I_{W}T(x)=I_W(T(x))=T(x)$$

  따라서 $T{I}_V=I_{W}T=T$ 이다.

 

  (ⅳ) : 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}((aU)T)(x)=& (aU)(T(x))\\ =& aU(T(x))\\ =& a(UT)(x)\\ =& (a(UT))(x)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(U(aT))(x)=& U((aT)(x))\\ =& U(aT(x))\\ =& aU(T(x))\\ =& a(UT)(x)\\ =& (a(UT))(x)\end{array}$$

  따라서 $a(UT)=(aU)T=U(aT)$ 이다.   $◻$

 

 

  참고로 선형변환도 어디까지나 함수의 일종이기 때문에, 정리 0.3-1과 같이 합성에 대한 교환법칙 $R(UT)=(RU)T$ 가 성립한다.

 

  정의역과 공역이 같은 벡터공간인 선형변환의 경우, 동일한 선형변환을 여러 번 합성할 수 있다. 이러한 경우 다음의 편리한 표기법을 이용하자.

 

정의)  벡터공간 $V$ 와 선형사상 $T\in \mathcal{L}(V)$ 를 생각하자. $T^1:=T$ 라 정의하며, 2 이상의 자연수 k에 대하여 $T^k:=T^{k-1}T$ 로 정의한다. 편의상 $T^0=I_V$ 로 정의한다.

 

  마지막에 $T^0=I_V$ 로 정의한 것은, 식 $T^k=T^{k-1}T$ 의 k에 1을 대입하면 $T^1=T^{0}T$ 를 얻으므로 합리적인 정의라고 할 수 있다.

 

 

7. 행렬 곱

 

  이 글을 찾아온 분들은 두 행렬의 곱이 어떻게 정의되는지 알것이다. 하지만 행렬 곱이 왜 그렇게 정의되는지 모르는 분들도 분명히 있으리라. 아래에선 행렬 곱이 만족해야 하는 조건으로부터 그 정의되는지를 유도한다.

 

  유한차원 $F$-벡터공간 $V,W,Z$ 각각의 순서기저 $\alpha =\{v_1,\dots ,v_n\}$ , $\beta =\{w_1,\dots ,w_m\}$ , $\gamma =\{z_1,\dots ,z_p\}$ , 선형변환 $T:V\to W$ , $U:W\to Z$ 과 두 선형변환의 합성 $UT$ 를 생각하자. 세 행렬 $[T{]}_{\alpha }^{\beta }\in {\mathbb{M}}_{m\times n}(F)$ , $[U{]}_{\beta }^{\gamma }\in {\mathbb{M}}_{p\times m}(F)$ , $[UT{]}_{\alpha }^{\gamma }\in {\mathbb{M}}_{p\times m}(F)$ 에 대하여 다음 식이 성립하도록 행렬 곱을 정의할 것이다.

$$\begin{array}{}\text{(7-1)}& [U{]}_{\beta }^{\gamma }[T{]}_{\alpha }^{\beta }:=[UT{]}_{\alpha }^{\gamma }\end{array}$$

  행렬표현의 정의로부터 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(7-2)}& \begin{array}{c}T(v_j)=\sum _{k=1}^m([T{]}_{\alpha }^{\beta }{)}_{kj}{w}_k\\ \text{for }j=1,\dots ,n\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7-3)}& \begin{array}{c}U(w_k)=\sum _{i=1}^p([U{]}_{\beta }^{\gamma }{)}_{ik}{z}_i\\ \text{for }k=1,\dots ,m\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7-4)}& \begin{array}{c}UT(v_j)=\sum _{i=1}^p([UT{]}_{\alpha }^{\gamma }{)}_{ij}{z}_i\\ \text{for }j=1,\dots ,n\end{array}\end{array}$$

  식 (7-2)와 식 (7-3)을 종합하면 다음의 결과를 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& UT(v_j)\\ & =U(T(v_j))\\ & =U(\sum _{k=1}^m([T{]}_{\alpha }^{\beta }{)}_{kj}{w}_k)\\ & =\sum _{k=1}^m([T{]}_{\alpha }^{\beta }{)}_{kj}U(w_k)\\ & =\sum _{k=1}^m([T{]}_{\alpha }^{\beta }{)}_{kj}(\sum _{i=1}^p([U{]}_{\beta }^{\gamma }{)}_{ik}{z}_i)\\ \text{(7-5)}& & =\sum _{i=1}^p\{\sum _{k=1}^m([U{]}_{\beta }^{\gamma }{)}_{ik}([T{]}_{\alpha }^{\beta }{)}_{kj}\}{z}_i\end{array}$$

  식 (7-4)와 식 (7-5)를 종합하면, $z_1,\dots ,z_p$ 가 일차독립이라는 사실로부터 모든 $i=1,\dots ,p$ , $j=1,\dots ,n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$([UT{]}_{\alpha }^{\gamma }{)}_{ij}=\sum _{k=1}^m([U{]}_{\beta }^{\gamma }{)}_{ik}([T{]}_{\alpha }^{\beta }{)}_{kj}$$

  앞서 행렬 곱이 만족해야 하는 조건으로서 식 (7-1)을 고정하였으므로 다음 식이 성립하여야 한다.

$$([U{]}_{\beta }^{\gamma }[T{]}_{\alpha }^{\beta }{)}_{ij}=\sum _{k=1}^m([U{]}_{\beta }^{\gamma }{)}_{ik}([T{]}_{\alpha }^{\beta }{)}_{kj}$$

  이로서 모두 알고있는 다음의 정의에 명분이 생긴다.

 

정의)  $p\times m$ 행렬 $A$ 와 $m\times n$ 행렬 $B$ 를 생각하자. 두 행렬 $A,B$ 의 곱(product) $AB$ 는 다음과 같이 정의된 $p\times n$ 행렬이다.$$\begin{array}{c}(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^m{A}_{ik}{B}_{kj}\\ \text{for }1\le i\le p,1\le j\le n\end{array}$$

 

  그리고 다음의 정리는 행렬 곱의 정의가 만족해야하는 공리로서 자명한 사실이다. 혹은 행렬 곱의 정의로부터 거꾸로 유도해낼 수도 있다.

 

정리 7-1)  유한차원 벡터공간 $V,W,Z$ 와 각각의 순서기저 $\alpha ,\beta .\gamma$ , 선형변환 $T:V\to W$ , $U:W\to Z$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$[UT{]}_{\alpha }^{\gamma }=[U{]}_{\beta }^{\gamma }[T{]}_{\alpha }^{\beta }$$

 

  정리 7-1에서 순서기저 $\gamma =\beta$ 일 경우 정리의 결론은 $[UT{]}_{\beta }=[U{]}_{\beta }[T{]}_{\beta }$ 로 쓰여진다.

 

  예로, 다음의 두 선형변환을 생각하자.

$$U:{\mathbb{P}}_3(\mathbb{R})\to {\mathbb{P}}_2(\mathbb{R}),f(x)\mapsto f^{\prime }(x)$$

$$T:{\mathbb{P}}_2(\mathbb{R})\to {\mathbb{P}}_3(\mathbb{R}),f(x)\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt$$

  ${\mathbb{P}}_3(\mathbb{R}),{\mathbb{P}}_2(\mathbb{R})$ 의 표준 순서기저 $\alpha ,\beta$ 에 대하여 다음과 같음을 계산해볼 수 있다.

$$[U{]}_{\alpha }^{\beta }=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$$

$$[T{]}_{\beta }^{\gamma }=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)$$

  정리 7-1로부터 두 선형변환의 합성의 행렬표현 $[UT{]}_{\beta }$ 는 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\begin{array}{rl}[UT{]}_{\beta }=& [U{]}_{\alpha }^{\beta }[T{]}_{\beta }^{\alpha }\\ =& \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)\\ =& \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3=[I_V{]}_{\beta }\end{array}$$

  정리 5.2-4로부터 $UT=I_V$ 임을 알 수 있다. 이 결과는 아래의 '미적분학의 기본정리'에 만족한다.

$$UT(f(x))=\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}f(t)dt=f(x)$$

 

 

7.1. 행렬 곱의 성질

 

  행렬 곱이 잘 정의되었으므로 다음과 같은 행렬 곱의 성질을 이야기할 수 있다. 이는 정리 6-2와 상당히 유사하다.

 

정리 7.1-1)  $p\times m$ 행렬 $A,A_1,A_2$ 와 $m\times n$ 행렬 $B,B_1,B_2$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $A(B_1+B_2)=A{B}_1+A{B}_2$
  (ⅱ) $(A_1+A_2)B=A_{1}B+A_{2}B$
  (ⅲ) $B{I}_n=I_{m}B=B$
  (ⅳ) 임의의 스칼라 $a\in F$ 에 대하여, $a(AB)=(aA)B=A(aB)$

 

※ 행렬 곱의 정의를 통한 증명은 매우 쉽게 할 수 있다. 그대신 새로운 증명을 소개한다.

 

proof)

  각각 차원이 $nm,p$ 인 임의의 $F$-벡터공간 $V,W,Z$ 와 각각의 순서기저 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 를 생각하자. 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 2에 따라 다음을 만족하는 선형변환 $U,U_1,U_2:W\to Z$ 와 $T,T_1,T_2:V\to W$ 가 각각 유일하게 존재한다.

$$[U{]}_{\beta }^{\gamma }=A,[U_1{]}_{\beta }^{\gamma }=A_1,[U_2{]}_{\beta }^{\gamma }=A_2$$

$$[T{]}_{\alpha }^{\beta }=B,[T_1{]}_{\alpha }^{\beta }=B_1,[T_2{]}_{\alpha }^{\beta }=B_2$$

  정리 5.2-1과 정리 6-2를 바탕으로 다음이 성립한다.

  (ⅰ) :

$$\begin{array}{rl}A(B_1+B_2)=& [U{]}_{\beta }^{\gamma }([T_1{]}_{\alpha }^{\beta }+[T_2{]}_{\alpha }^{\beta })\\ =& [U{]}_{\beta }^{\gamma }[T_1+T_2{]}_{\alpha }^{\beta }\\ =& [U(T_1+T_2){]}_{\alpha }^{\gamma }\\ =& [U{T}_1+U{T}_2{]}_{\alpha }^{\gamma }\\ =& [U{T}_1{]}_{\alpha }^{\gamma }+[U{T}_2{]}_{\alpha }^{\gamma }\\ =& [U{]}_{\beta }^{\gamma }[T_1{]}_{\alpha }^{\beta }+[U{]}_{\beta }^{\gamma }[T_2{]}_{\alpha }^{\beta }\\ =& A{B}_1+A{B}_2\end{array}$$

  (ⅱ) :

$$\begin{array}{rl}(A_1+A_2)B=& ([U_1{]}_{\beta }^{\gamma }+[U_2{]}_{\beta }^{\gamma })[T{]}_{\alpha }^{\beta }\\ =& [U_1+U_2{]}_{\beta }^{\gamma }[B{]}_{\alpha }^{\beta }\\ =& [(U_1+U_2)T{]}_{\alpha }^{\gamma }\\ =& [U_{1}T+U_{2}T{]}_{\alpha }^{\gamma }\\ =& [U_{1}T{]}_{\alpha }^{\gamma }+[U_{2}T{]}_{\alpha }^{\gamma }\\ =& [U_1{]}_{\beta }^{\gamma }[T{]}_{\alpha }^{\beta }+[U_2{]}_{\beta }^{\gamma }[T{]}_{\alpha }^{\beta }\\ =& A_{1}B+A_{2}B\end{array}$$

  (ⅲ) : $I_n=[I_V{]}_{\alpha }$ , $I_m=[I_W{]}_{\beta }$ 이므로 다음이 성립한다.

$$B{I}_n=[T{]}_{\alpha }^{\beta }[I_V{]}_{\alpha }=[T{I}_V{]}_{\alpha }^{\beta }=[T{]}_{\alpha }^{\beta }=B$$

$$I_{m}B=[I_W{]}_{\beta }[T{]}_{\alpha }^{\beta }=[I_{W}T{]}_{\alpha }^{\beta }=[T{]}_{\alpha }^{\beta }=B$$

$$\therefore B{I}_n=I_{m}B=B$$

  (ⅳ) :

$$\begin{array}{rl}(aA)B=& (a[U{]}_{\beta }^{\gamma })[T{]}_{\alpha }^{\beta }=[aU{]}_{\beta }^{\gamma }[T{]}_{\alpha }^{\beta }\\ =& [(aU)T{]}_{\alpha }^{\gamma }=[a(UT){]}_{\alpha }^{\gamma }\\ =& a[UT{]}_{\alpha }^{\gamma }=a([U{]}_{\beta }^{\gamma }[T{]}_{\alpha }^{\beta })\\ =& a(AB)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}A(aB)=& [U{]}_{\beta }^{\gamma }(a[T{]}_{\alpha }^{\beta })=[U{]}_{\beta }^{\gamma }[aT{]}_{\alpha }^{\beta }\\ =& [U(aT){]}_{\alpha }^{\gamma }=[a(UT){]}_{\alpha }^{\gamma }\\ =& a[UT{]}_{\alpha }^{\gamma }=a([U{]}_{\beta }^{\gamma }[T{]}_{\alpha }^{\beta })\\ =& a(AB)\end{array}$$

$$\begin{array}{}◻& \therefore (aA)B=A(aB)=a(AB)\end{array}$$

 

 

따름정리 7.1-2)  $p\times m$ 행렬 $A,A_1,A_2,\dots ,A_k$ 와 $m\times n$ 행렬 $B,B_1,B_2,\dots ,B_k$ , 그리고 임의의 스칼라 $a_1,\dots ,a_k$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$A\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{B}_i\right)=\sum _{i=1}^k{a}_{i}A{B}_i$$$$\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{A}_i\right)B=\sum _{i=1}^k{a}_i{A}_{i}B$$

 

proof)

  $k$ 에 대한 수학적 귀납법으로 증명한다. $k=1$ 일때는 정리 7.1-1(ⅳ)와 동일하므로 주어진 정리가 자명하게 성립한다.

  2 이상의 자연수 $j$ 에 대해 $k=j-1$ 일때 주어진 정리가 참이라고 가정하자. 다음이 성립한다.

$$\text{let, }\sum _{i=1}^{j-1}{a}_i{B}_i=C,\sum _{i=1}^{j-1}{a}_i{A}_i=D$$

$$\begin{array}{rl}A\left(\sum _{i=1}^j{a}_i{B}_i\right)=& A(\sum _{i=1}^{j-1}{a}_i{B}_i+a_j{B}_j)\\ =& A(C+a_j{B}_j)\\ =& AC+a_{j}A{B}_j\\ =& A\left(\sum _{i=1}^{j-1}{a}_i{B}_i\right)+a_{j}A{B}_j\\ =& \sum _{i=1}^{j-1}{a}_{i}A{B}_i+a_{j}A{B}_j\\ =& \sum _{i=1}^j{a}_{i}A{B}_i\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\left(\sum _{i=1}^j{a}_i{A}_i\right)B=& (\sum _{i=1}^{j-1}{a}_i{A}_i+a_j{A}_j)B\\ =& (D+a_j{A}_j)B\\ =& DB+a_j{A}_{j}B\\ =& \left(\sum _{i=1}^{j-1}{a}_i{A}_i\right)B+a_j{A}_{j}B\\ =& \sum _{i=1}^{j-1}{a}_i{A}_{i}B+a_j{A}_{j}B\\ =& \sum _{i=1}^j{a}_i{A}_{i}B\end{array}$$

  따라서 $k=j$ 일때 주어진 정리가 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 임의의 자연수 $k$ 에 대하여 주어진 정리가 성립한다.   $◻$

 

 

  정의역과 공역이 같은 선형변환을 여러 번 합성하듯이, 행과 열의 수가 같은 행렬도 스스로 여러 번 곱할 수 있다.

 

정의)  $n\times n$ 행렬 $A$ 를 생각하자. $A^1:=A$ 라 정의하며, 2 이상의 자연수 k에 대하여 $A^k:=A^{k-1}A$ 로 정의한다. 편의상 $A^0=I_n$ 으로 정의한다.

 

  마지막에 $A^0=I_n$ 으로 정의한 것도 마찬가지로, 식 $A^k=A^{k-1}A$ 의 k에 1을 대입하면 $A^1=A^{0}A$ 를 얻으므로 합리적인 정의라고 할 수 있다.

 

  참고로 행렬은 행렬 곱에 대한 소거법칙이 성립하지 않는다. 다시말해 $AB=AC$ 이어도 $B=C$ 임이 보장되지 않는다는 것이다.^[각주:1] 예로 $A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$ 를 생각하자. $AA$ 를 계산하면 $2\times 2$ 영행렬 $O$ 임을 알 수 있다. $AA=O$ , $AO=O$ 이므로 $AA=AO$ 이지만 $A\ne O$ 이다.

 

  아래는 행렬 곱에 대한 전치행렬^[각주:2]에 대해 소개한다. 이 정리는 '행렬의 열벡터에 대한 성질'을 증명 한 뒤 '행렬의 행벡터에 대한 성질'을 바로 알아내기 위해 사용되곤 한다.

 

정리 7.1-3)  $p\times m$ 행렬 $A$ , $m\times n$ 행렬 $B$ 에 대하여 $(AB{)}^t=B^t{A}^t$ 가 성립한다.

 

proof)

  전치행렬에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립함을 떠올리자.

$$(A^t{)}_{ij}=A_{ji}$$

  모든 $i=1,\dots ,p$ , $j=1,\dots ,n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\{(AB{)}^t{\}}_{ij}=& (AB{)}_{ji}\\ =& \sum _{k=1}^m{A}_{jk}{B}_{ki}\\ =& \sum _{k=1}^m(A^t{)}_{kj}(B^t{)}_{ik}\\ =& \sum _{k=1}^m(B^t{)}_{ik}(A^t{)}_{kj}\\ =& (B^t{A}^t{)}_{ij}\end{array}$$

  따라서 $(AB{)}^t=B^t{A}^t$ 가 성립한다.   $◻$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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1. 가역행렬과 행렬식에 대해 알고있는 사람은, B=C가 보장되기 위한 조건이 det(A)=0 임을 알 것이다. [본문으로]
2. 행렬의 각 성분의 행과 열을 뒤집은 행렬. 상첨자에 T 또는 t를 표기하여 나타낸다. [본문으로]