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[선형변환부터 동형사상까지] ch6. 좌측 곱 변환

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  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

9. 좌측 곱 변환

 

  원래 행렬은 그저 수를 직사각형으로 배열하는 것에 불과했다. 여기에 합과 스칼라 곱, 행렬 곱을 잘 정의하여 연산의 대상으로 볼 수 있게 되었다. 이번 절에서는 추가로 행렬을 함수처럼 사용하는 방법을 다룬다.

 

정의)  행렬 AMm×n(F) 를 생각하자. 다음과 같이 정의되는 함수 LA좌측 곱 변환(left multiplication transformation)이라 한다.LA:FnFm,xAx  이때 xFn 의 열벡터이며 AxAx 의 행렬 곱이다.

 

※ 행렬 곱의 정의로부터, Fn 의 열벡터 xm×n 행렬 A 에 곱한 Axm×1 행렬, 즉 Fm 의 열벡터가 됨을 안다.

 

  좌측 곱 변환을 배우는 이유는, 좌측 곱 변환이 모든 선형변환을 대체할 수 있기 때문이다. 그러기 위해선 다음의 결론이 반드시 필요하다.

 

정리 9-1)  임의의 좌측 곱 변환은 선형이다.

 

proof)

  임의의 행렬 AMm×n(F) 에 대한 좌측 곱 변환 LA 를 생각하자. 임의의 벡터 x,yFn , 스칼라 cF 에 대하여 다음이 성립한다. (정리 6-2 참고)

LA(cx+y)=A(cx+y)=A(cx)+Ay=cAx+Ay=cLA(x)+LA(y)

  정리 1.1-1(ⅱ)에 따라 LA 는 선형이다.   

 

 

  다음의 정리는 좌측 곱 변환이 다양한 좋은 성질을 갖고 있음을 말한다.

 

정리 9-2)  행렬 A,BMm×n(F) 를 생각하자. Fn,Fm 각각의 표준 순서기저 β,γ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) [LA]βγ=A
  (ⅱ) LA=LB 이기 위한 필요충분조건은 A=B 인 것이다.
  (ⅲ) LA+B=LA+LB
  (ⅳ) 임의의 스칼라 aF 에 대하여 LaA=aLA 이다.
  (ⅴ) 임의의 선형변환 T:FnFm 에 대하여 T=L[T]βγ 이다.
  (ⅵ) 임의의 행렬 CMp×m(F) 에 대하여 LCA=LCLA 이다.
  (ⅶ) m=n 일때, n×n 항등행렬 In 에 대하여 LIn=IFn 이다.

 

proof)

  (ⅰ) : 행렬표현의 정의에 따라, [LA]βγ 의 j번째 열은 [LA(ej)]γ=[Aej] 이다. AejFm 이므로, 정리 4.1-2에 따라 [Aej]γ=Aej 이다. 정리 8-2에 따라 AejA 의 j번째 열이므로, [LA]βγA 는 각 열이 서로 같다. 즉 [LA]βγ=A 이다.

 

  (ⅱ) : LA=LB 일 때를 생각하자. 본 정리의 (ⅰ) 에 따라 A=[LA]βγ=[LB]βγ=B 이므로 A=B 이다. A=B 이면 자명하게 LA=LB 가 성립한다.

 

  (ⅲ) : 임의의 벡터 xFn 에 대하여 다음이 성립한다.

LA+B(x)=(A+B)x=Ax+Bx=LA(x)+LB(x)=(LA+LB)(x)

  따라서 LA+B=LA+LB 이다.

 

  (ⅳ) : 임의의 벡터 xFn 에 대하여 다음이 성립한다.

LaA(x)=(aA)x=a(Ax)=aLA(x)=(aLA)(x)

  따라서 LaA=aLA 이다.

 

  (ⅴ) : 본 정리의 (ⅰ)에 따라 [L[T]βγ]βγ=[T]βγ 가 성립한다. 두 선형변환 TL[T]βγ 의 행렬표현이 동일하므로 정리 5.2-4에 따라 T=L[T]βγ 가 성립한다.

 

  (ⅵ) : Fp 의 표준 순서기저 α 에 대하여 다음이 성립한다.

[LCA]βα=CA=[LC]γα[LA]βγ=[LCLA]βα

  정리 5.2-4에 따라 LCA=LCLA 가 성립한다.

 

  (ⅶ) : 항등사상 IFn 에 대하여 정리 5.2-2에 따라 [IFn]β=In 이 성립한다. 본 정리의 (ⅴ)에 따르면 IFn=L[IFn]β=LIn 이므로 정리가 성립한다.   

 

 

  좌측 곱 변환은 행렬과 직접 연관되어있기 때문에, 위와 같이 행렬의 성질을 이용하여 좌측 곱 변환의 성질을 알아낼 수도 있다. 반대로 좌측 곱 변환의 성질로부터 행렬의 성질을 알아낼 수도 있으며, 이를테면 다음의 정리가 그렇다.

 

행렬 곱의 결합법칙) 행렬 곱 A(BC) 가 정의되는 행렬 A,B,C 에 대하여 (AB)C 도 정의되며 A(BC)=(AB)C 가 성립한다.

 

proof)

  행렬 곱 A(BC) 가 정의되기 위해서는 우선 행렬 곱 BC 가 정의되어야 한다. 행렬 곱의 전제로부터 C 의 행벡터 갯수와 B 의 열벡터 갯수가 동일해야 한다. 즉, Cm×n 행렬이라고 하면 Bp×m 행렬이어야 한다. 이때 BCp×n 행렬이 된다. A(BC) 가 정의되기 위해서는 Aq×p 행렬이어야 한다.

 

  Aq×p 행렬, Bp×m 행렬, Cm×n 이라고 하자. B 의 행벡터 갯수와 A 의 열벡터 갯수는 p 개로 동일하므로 q×m 행렬 AB 가 정의된다. C 의 행벡터 갯수와 AB 의 열벡터 갯수는 m 개로 동일하므로 q×n 행렬 (AB)C 가 정의된다.

 

  함수의 합성은 결합법칙이 성립한다는 사실과 정리 9-2(ⅵ)으로부터 다음이 성립한다.

LA(BC)=LALBC=LA(LBLC)=(LALB)LC=LABLC=L(AB)C

  정리 9-2(ⅱ)로부터 A(BC)=(AB)C 가 성립함을 알 수 있다.   

 

 

  좌측 곱 변환은 그 쓸모가 무궁무진하다. 이후 동형사상을 공부하면 모든 선형변환을 좌측 곱 변환 계산으로 대체하는 방법을 알게 된다. 심지어 다변수 미적분학에서 벡터장의 도함수를 정의할 때에도 쓰인다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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