[선형변환부터 동형사상까지] ch6. 좌측 곱 변환

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  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

9. 좌측 곱 변환

 

  원래 행렬은 그저 수를 직사각형으로 배열하는 것에 불과했다. 여기에 합과 스칼라 곱, 행렬 곱을 잘 정의하여 연산의 대상으로 볼 수 있게 되었다. 이번 절에서는 추가로 행렬을 함수처럼 사용하는 방법을 다룬다.

 

정의)  행렬 $A\in\mathbb{M}_{m\times n}(F)$ 를 생각하자. 다음과 같이 정의되는 함수 $L_A$ 를 좌측 곱 변환(left multiplication transformation)이라 한다.$$L_A:F^n\to F^m,\;x\mapsto Ax$$  이때 $x$ 는 $F^n$ 의 열벡터이며 $Ax$ 는 $A$ 와 $x$ 의 행렬 곱이다.

 

※ 행렬 곱의 정의로부터, $F^n$ 의 열벡터 $x$ 를 $m\times n$ 행렬 $A$ 에 곱한 $Ax$ 는 $m\times 1$ 행렬, 즉 $F^m$ 의 열벡터가 됨을 안다.

 

  좌측 곱 변환을 배우는 이유는, 좌측 곱 변환이 모든 선형변환을 대체할 수 있기 때문이다. 그러기 위해선 다음의 결론이 반드시 필요하다.

 

정리 9-1)  임의의 좌측 곱 변환은 선형이다.

 

proof)

  임의의 행렬 $A\in\mathbb{M}_{m\times n}(F)$ 에 대한 좌측 곱 변환 $L_A$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x,\;y\in F^n$ , 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다. (정리 6-2 참고)

$$\begin{align}L_A(cx+y)=&A(cx+y)=A(cx)+Ay\\=&cAx+Ay=cL_A(x)+L_A(y)\end{align}$$

  정리 1.1-1(ⅱ)에 따라 $L_A$ 는 선형이다.   $\square$

 

 

  다음의 정리는 좌측 곱 변환이 다양한 좋은 성질을 갖고 있음을 말한다.

 

정리 9-2)  행렬 $A,\;B\in\mathbb{M}_{m\times n}(F)$ 를 생각하자. $F^n,\;F^m$ 각각의 표준 순서기저 $\beta,\;\gamma$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $[L_A]_\beta^\gamma=A$
  (ⅱ) $L_A=L_B$ 이기 위한 필요충분조건은 $A=B$ 인 것이다.
  (ⅲ) $L_{A+B}=L_A+L_B$
  (ⅳ) 임의의 스칼라 $a\in F$ 에 대하여 $L_{aA}=aL_A$ 이다.
  (ⅴ) 임의의 선형변환 $T:F^n\to F^m$ 에 대하여 $T=L_{[T]_\beta^\gamma}$ 이다.
  (ⅵ) 임의의 행렬 $C\in\mathbb{M}_{p\times m}(F)$ 에 대하여 $L_{CA}=L_CL_A$ 이다.
  (ⅶ) $m=n$ 일때, $n\times n$ 항등행렬 $I_n$ 에 대하여 $L_{I_n}=I_{F^n}$ 이다.

 

proof)

  (ⅰ) : 행렬표현의 정의에 따라, $[L_A]_\beta^\gamma$ 의 j번째 열은 $[L_A(e_j)]_\gamma=[Ae_j]$ 이다. $Ae_j\in F^m$ 이므로, 정리 4.1-2에 따라 $[Ae_j]_\gamma=Ae_j$ 이다. 정리 8-2에 따라 $Ae_j$ 는 $A$ 의 j번째 열이므로, $[L_A]_\beta^\gamma$ 와 $A$ 는 각 열이 서로 같다. 즉 $[L_A]_\beta^\gamma=A$ 이다.

 

  (ⅱ) : $L_A=L_B$ 일 때를 생각하자. 본 정리의 (ⅰ) 에 따라 $A=[L_A]_\beta^\gamma=[L_B]_\beta^\gamma=B$ 이므로 $A=B$ 이다. $A=B$ 이면 자명하게 $L_A=L_B$ 가 성립한다.

 

  (ⅲ) : 임의의 벡터 $x\in F^n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}L_{A+B}(x)=&(A+B)x=Ax+Bx\\=&L_A(x)+L_B(x)=(L_A+L_B)(x)\end{align}$$

  따라서 $L_{A+B}=L_A+L_B$ 이다.

 

  (ⅳ) : 임의의 벡터 $x\in F^n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}L_{aA}(x)=&(aA)x=a(Ax)\\=&aL_A(x)=(aL_A)(x)\end{align}$$

  따라서 $L_{aA}=aL_A$ 이다.

 

  (ⅴ) : 본 정리의 (ⅰ)에 따라 $[L_{\textcolor{red}{[T]_\beta^\gamma}}]_\beta^\gamma=\textcolor{red}{[T]_\beta^\gamma}$ 가 성립한다. 두 선형변환 $T$ 와 $L_{[T]_\beta^\gamma}$ 의 행렬표현이 동일하므로 정리 5.2-4에 따라 $T=L_{[T]_\beta^\gamma}$ 가 성립한다.

 

  (ⅵ) : $F^p$ 의 표준 순서기저 $\alpha$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$[L_{CA}]_\beta^\alpha=CA=[L_C]_\gamma^\alpha[L_A]_\beta^\gamma=[L_CL_A]_\beta^\alpha$$

  정리 5.2-4에 따라 $L_{CA}=L_CL_A$ 가 성립한다.

 

  (ⅶ) : 항등사상 $I_{F^n}$ 에 대하여 정리 5.2-2에 따라 $[I_{F^n}]_\beta=I_n$ 이 성립한다. 본 정리의 (ⅴ)에 따르면 $I_{F^n}=L_{[I_{F^n}]_\beta}=L_{I_n}$ 이므로 정리가 성립한다.   $\square$

 

 

  좌측 곱 변환은 행렬과 직접 연관되어있기 때문에, 위와 같이 행렬의 성질을 이용하여 좌측 곱 변환의 성질을 알아낼 수도 있다. 반대로 좌측 곱 변환의 성질로부터 행렬의 성질을 알아낼 수도 있으며, 이를테면 다음의 정리가 그렇다.

 

행렬 곱의 결합법칙) 행렬 곱 $A(BC)$ 가 정의되는 행렬 $A,\;B,\;C$ 에 대하여 $(AB)C$ 도 정의되며 $A(BC)=(AB)C$ 가 성립한다.

 

proof)

  행렬 곱 $A(BC)$ 가 정의되기 위해서는 우선 행렬 곱 $BC$ 가 정의되어야 한다. 행렬 곱의 전제로부터 $C$ 의 행벡터 갯수와 $B$ 의 열벡터 갯수가 동일해야 한다. 즉, $C$ 를 $m\times n$ 행렬이라고 하면 $B$ 는 $p\times m$ 행렬이어야 한다. 이때 $BC$ 는 $p\times n$ 행렬이 된다. $A(BC)$ 가 정의되기 위해서는 $A$ 가 $q\times p$ 행렬이어야 한다.

 

  $A$ 는 $q\times p$ 행렬, $B$ 는 $p\times m$ 행렬, $C$ 는 $m\times n$ 이라고 하자. $B$ 의 행벡터 갯수와 $A$ 의 열벡터 갯수는 $p$ 개로 동일하므로 $q\times m$ 행렬 $AB$ 가 정의된다. $C$ 의 행벡터 갯수와 $AB$ 의 열벡터 갯수는 $m$ 개로 동일하므로 $q\times n$ 행렬 $(AB)C$ 가 정의된다.

 

  함수의 합성은 결합법칙이 성립한다는 사실과 정리 9-2(ⅵ)으로부터 다음이 성립한다.

$$\begin{align}L_{A(BC)}=&L_AL_{BC}=L_A(L_BL_C)\\=&(L_AL_B)L_C=L_{AB}L_C\\=&L_{(AB)C}\end{align}$$

  정리 9-2(ⅱ)로부터 $A(BC)=(AB)C$ 가 성립함을 알 수 있다.   $\square$

 

 

  좌측 곱 변환은 그 쓸모가 무궁무진하다. 이후 동형사상을 공부하면 모든 선형변환을 좌측 곱 변환 계산으로 대체하는 방법을 알게 된다. 심지어 다변수 미적분학에서 벡터장의 도함수를 정의할 때에도 쓰인다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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