[선형변환부터 동형사상까지] ch6. 좌측 곱 변환
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본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다.
9. 좌측 곱 변환
원래 행렬은 그저 수를 직사각형으로 배열하는 것에 불과했다. 여기에 합과 스칼라 곱, 행렬 곱을 잘 정의하여 연산의 대상으로 볼 수 있게 되었다. 이번 절에서는 추가로 행렬을 함수처럼 사용하는 방법을 다룬다.
정의) 행렬를 생각하자. 다음과 같이 정의되는 함수 를 좌측 곱 변환(left multiplication transformation)이라 한다. 이때 는 의 열벡터이며 는 와 의 행렬 곱이다.
※ 행렬 곱의 정의로부터,
좌측 곱 변환을 배우는 이유는, 좌측 곱 변환이 모든 선형변환을 대체할 수 있기 때문이다. 그러기 위해선 다음의 결론이 반드시 필요하다.
정리 9-1) 임의의 좌측 곱 변환은 선형이다.
proof)
임의의 행렬
정리 1.1-1(ⅱ)에 따라
다음의 정리는 좌측 곱 변환이 다양한 좋은 성질을 갖고 있음을 말한다.
정리 9-2) 행렬를 생각하자. 각각의 표준 순서기저 에 대하여 다음이 성립한다.
(ⅰ)
(ⅱ)이기 위한 필요충분조건은 인 것이다.
(ⅲ)
(ⅳ) 임의의 스칼라에 대하여 이다.
(ⅴ) 임의의 선형변환에 대하여 이다.
(ⅵ) 임의의 행렬에 대하여 이다.
(ⅶ)일때, 항등행렬 에 대하여 이다.
proof)
(ⅰ) : 행렬표현의 정의에 따라,
(ⅱ) :
(ⅲ) : 임의의 벡터
따라서
(ⅳ) : 임의의 벡터
따라서
(ⅴ) : 본 정리의 (ⅰ)에 따라
(ⅵ) :
정리 5.2-4에 따라
(ⅶ) : 항등사상
좌측 곱 변환은 행렬과 직접 연관되어있기 때문에, 위와 같이 행렬의 성질을 이용하여 좌측 곱 변환의 성질을 알아낼 수도 있다. 반대로 좌측 곱 변환의 성질로부터 행렬의 성질을 알아낼 수도 있으며, 이를테면 다음의 정리가 그렇다.
행렬 곱의 결합법칙) 행렬 곱가 정의되는 행렬 에 대하여 도 정의되며 가 성립한다.
proof)
행렬 곱
함수의 합성은 결합법칙이 성립한다는 사실과 정리 9-2(ⅵ)으로부터 다음이 성립한다.
정리 9-2(ⅱ)로부터
좌측 곱 변환은 그 쓸모가 무궁무진하다. 이후 동형사상을 공부하면 모든 선형변환을 좌측 곱 변환 계산으로 대체하는 방법을 알게 된다. 심지어 다변수 미적분학에서 벡터장의 도함수를 정의할 때에도 쓰인다.
읽어주셔서 감사합니다.
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