[선형변환부터 동형사상까지] ch5. 행렬 연산

  이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch4. 선형변환의 합성과 행렬 곱

  다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch6. 좌측 곱 변환

 

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

8. 행렬 연산

 

  행렬의 왼쪽에 열벡터를 곱하는 과정을 생각해보자. 우선, 행렬에 포함되는 열벡터의 갯수와 곱해지는 열벡터의 크기가 똑같아야 할 것이다. 대략 $m\times n$ 행렬 $A$ 와 열벡터 $x\in F^n$ 을 곱한 $Ax$ 와 같은 것을 생각해볼 수 있다. 크기가 n인 열벡터는 $n\times 1$ 행렬로 취급하므로 이 연산의 결과는 행렬 곱의 정의에 따라 $m\times 1$ 행렬, 즉 크기가 m인 열벡터이다. 이번 절에서는 행렬과 열벡터를 곱하는 연산 속의 규칙을 밝힌다.

 

  아래의 정리에 따르면, 어떤 벡터의 선형변환에 대한 상을 구할 때 다음의 작업이 동등함을 이야기한다.

  1. 선형변환에 벡터를 대입하고 좌표벡터를 구하기.

  2. 션형변환의 행렬표현에 벡터의 좌표벡터를 곱하기.

 

정리 8-1)  유한차원 벡터공간 $V,\;W$ 각각의 순서기저 $\beta,\;\gamma$ 를 생각하자. 선형변환 $T:V\to W$ 와 임의의 벡터 $v\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$[T(v)]_\gamma=[T]_\beta^\gamma[v]_\beta$$

 

※ $F$ 를 $F$-벡터공간 $F$ 로 보는 관점은 추상대수로서의 벡터공간, 벡터공간으로서의 체 참고.

 

proof)

  임의로 주어진 벡터 $v\in V$ 에 대하여 다음의 선형변환을 생각하자. 이 두 함수가 선형임은 매우 쉽게 보일 수 있다.

$$f:F\to V,\;a\mapsto av$$

$$g:F\to W,\;a\mapsto aT(v)$$

  체 $F$ 는 정의로부터 벡터공간의 조건을 만족하므로 벡터공간으로 취급할 수 있다. 임의의 벡터 $a\in F$ 에 대하여 다음과 같다.

$$Tf(a)=T(av)=aT(v)=g(a)$$

  따라서 $g=Tf$ 이다. $F$ 의 한 순서기저 $\alpha=\{1\}$^[각주:1] 에 대하여 다음과 같다.

$$[f]_\alpha^\beta=\begin{pmatrix}|\\ [f(1)]_\beta\\|\end{pmatrix}=[f(1)]_\beta=[v]_\beta$$

$$[g]_\alpha^\gamma=\begin{pmatrix}|\\ [g(1)]_\gamma\\|\end{pmatrix}=[g(1)]_\gamma=[T(v)]_\gamma$$

  정리 7-1에 따라 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}[T(v)]_\gamma=&[g]_\alpha^\gamma=[Tf]_\alpha^\gamma\\=&[T]_\beta^\gamma[f]_\alpha^\beta=[T]_\beta^\gamma[v]_\beta\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

정리 8-2)  $p\times m$ 행렬 $A$ , $m\times n$ 행렬 $B$ 를 생각하자. 모든 $j=1,\ldots,n$ 에 대하여, 행렬 $AB$ 의 j열을 $u_j$ , $B$ 의 j열을 $v_j$ 라고 표기하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $u_j=Av_j$
  (ⅱ) $v_j=Be_j$ ($e_j$ 는 $F^n$ 의 표준 순서기저의 j번째 벡터)

 

  위 정리를 보기 좋게 쓰면 다음과 같다.

$$\mbox{let, }B=\begin{pmatrix}|&|&&|\\v_1&v_2&\cdots&v_n\\|&|&&|\end{pmatrix}$$

$$\begin{align}AB=&A\begin{pmatrix}|&|&&|\\v_1&v_2&\cdots&v_n\\|&|&&|\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}|&|&&|\\Av_1&Av_2&\cdots&Av_n\\|&|&&|\end{pmatrix}\end{align}$$

$$B=\begin{pmatrix}|&|&&|\\Be_1&Be_2&\cdots&Be_n\\|&|&&|\end{pmatrix}$$

 

proof)

  (ⅰ) : 각각 $n,\;m,\;p$ 차원인 임의의 벡터공간 $V,\;W,\;Z$ 과 각각의 순서기저 $\alpha,\;\beta,\;\gamma$ 를 생각하자. 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 2에 따라, 주어진 행렬 $A,\;B$ 에 대하여 다음을 만족하는 선형변환 $U,\;T$ 가 각각 유일하게 존재한다.

$$[U]_\beta^\gamma=A\quad[T]_\alpha^\beta=B$$

  $\alpha=\{v_1,\ldots,v_n\}$ 이라고 하자. 정리 8-1에 따라, 모든 $j=1,\ldots,n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}[UT(v_j)]_\gamma=&[U(T(v_j))]_\gamma\\=&[U]_\beta^\gamma[T(v_j)]_\beta\end{align}$$

  정리 7-1에 따르면 $[UT]_\alpha^\gamma=[U]_\beta^\gamma[T]_\alpha^\beta$ 이므로, $[UT(v_j)]_\gamma$ 는 행렬 $[UT]_\alpha^\gamma$ 의 j번째 열이자 행렬 $[U]_\beta^\gamma[T]_\alpha^\beta=AB$ 의 j번째 열 $u_j$ 이다. 한편 $[T(v_j)]_\beta$ 는 $[T]_\alpha^\beta=B$ 의 j번째 열이므로 $v_j$ 이다. 정리하면 다음과 같으므로 원하는 결과를 얻는다.

$$u_j=[U]_\beta^\gamma v_j=Av_j$$

  (ⅱ) : 정리 7.1-1에 따라 $B=BI_n$ 이며, $I_n$ 의 j번째 열은 $e_j$ 이다. $BI_n$ 의 j열은 $B$ 의 j열 $v_j$ 이므로 본 정리의 (ⅰ)로부터 결과가 성립한다.   $\square$

 

 

  아래의 정리에서는 두 행렬의 곱에 대한 의미있는 성질 하나를 소개한다.

 

정리 8-3)  $p\times m$ 행렬 $A$ , $m\times n$ 행렬 $B$ 를 생각하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 행렬 $AB$ 의 j번째 열은 $A$ 의 열벡터의 일차결합이며, 이때 $A$ 의 k번째 열벡터의 계수는 $B$ 의 j번째 열벡터의 k번째 성분이다.
  (ⅱ) 행렬 $AB$ 의 j번째 행은 $B$ 의 행벡터의 일차결합이며, 이때 $B$ 의 k번째 행벡터의 계수는 $A$ 의 j번째 행벡터의 k번째 성분이다.

 

  위 정리를 보기 좋게 쓰면 다음과 같다.

  (ⅰ) :

$$\begin{align}\mbox{let, }AB=&\begin{pmatrix}|&&|\\u_1&\cdots&u_n\\|&&|\end{pmatrix}\\A=&\begin{pmatrix}|&&|\\w_1&\cdots&w_m\\|&&|\end{pmatrix}\\B=&\begin{pmatrix}|&&|\\v_1&\cdots&v_n\\|&&|\end{pmatrix}\end{align}$$

$$\mbox{let, }v_j=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix}$$

$$\implies u_j=a_1w_1+a_2w_2+\cdots+a_mw_m$$

  (ⅱ) :
$$\begin{align}\mbox{let, }AB=&\begin{pmatrix}-&u_1&-\\&\vdots&\\-&u_p&-\end{pmatrix}\\A=&\begin{pmatrix}-&w_1&-\\&\vdots&\\-&w_p&-\end{pmatrix}\\B=&\begin{pmatrix}-&v_1&-\\&\vdots&\\-&v_m&-\end{pmatrix}\end{align}$$

$$\mbox{let, }w_j=\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}$$

$$\implies u_j=b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_mv_m$$

 

proof)

  (ⅰ) : 행렬 $AB$ 의 j열을 $u_j$ , $B$ 의 j열을 $v_j$ 라고 하자. 정리 8-2(ⅰ)에 따라 $u_j=Av_j$ 이다. $v_j$ 가 다음과 같다고 가정하자.

$$v_j=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{pmatrix}=a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_me_m$$

  행렬 $A$ 의 k열을 $w_k$ 라고 하자. 정리 8-2(ⅱ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}u_j=&Av_j\\=&A(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_me_m)\\=&a_1Ae_1+a_2Ae_2+\cdots+a_mAe_m\\=&a_1w_1+a_2w_2+\cdots+a_mw_m\end{align}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  (ⅱ) : 행렬 $AB$ 의 j행을 $u_j$ , $A$ 의 j행을 $w_j$ 라고 하자. 정리 7.1-3에 따라 $(AB)^t=B^tA^t$ 이며 이때 $(AB)^t$ 의 j열은 $(u_j)^t$ 이며 $A^t$ 의 j열은 $(w_j)^t$ 이다. $(w_j)^t$ 가 다음과 같다고 가정하자.

$$(w_j)^t=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}=b_1e_1+b_2e_2+\cdots+b_me_m$$

  $B$ 의 k행을 $v_k$ 라 하자. 이때 $B^t$ 의 k열은 $(v_k)^t$ 이다. 본 정리의 (ⅰ)에 따라 행렬 $B^tA^t$ 의 j번째 열은 $B^t$ 의 열벡터의 일차결합이며, 이때 $B^t$ 의 k번째 열벡터의 계수는 $A^t$ 의 j번째 열벡터의 k번째 성분이므로 다음이 성립한다.

$$(u_j)^t=b_1(v_1)^t+b_2(v_2)^t+\cdots+b_m(v_m)^t$$

  다시 양변에 전치를 취하면 다음과 같다.

$$u_j=b_1v_1+b_2v_2+\cdots+b_mv_m$$

  $u_j$ 는 $AB$ 의 j행, $b_k$ 는 $A$ 의 j행의 k번째 성분, $v_k$ 는 $B$ 의 k번째 행으로 정의하였으므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

  이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch4. 선형변환의 합성과 행렬 곱

  다음 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch6. 좌측 곱 변환

1. 벡터공간으로서 F의 표준 순서기저 [본문으로]