[선형변환부터 동형사상까지] 부록

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

$\mathcal{L}(V,W)$ 가 벡터공간임을 증명

 

※ 정리 5.1-2로부터 옴.

 

정리)  $F$-벡터공간 $V,W$ 에 대하여 $\mathcal{L}(V,W)$ 는 $F$-벡터공간이다.

 

proof)

  벡터공간이 갖추어야 하는 조건은 [벡터공간부터 기저까지] 1.1. 벡터공간의 정의 참고

  (VS1) : 임의의 선형사상 $T_1,T_2\in \mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}(T_1+T_2)(x)=& T_1(x)+T_2(x)\\ =& T_2(x)+T_1(x)\\ =& (T_2+T_1)(x)\end{array}$$

$$\therefore T_1+T_2=T_2+T_1$$

  (VS2) : 임의의 선형사상 $T_1,T_2,T_3\in \mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}((T_1+T_2)+T_3)(x)=& (T_1+T_2)(x)+T_3(x)\\ =& (T_1(x)+T_2(x))+T_3(x)\\ =& T_1(x)+(T_2(x)+T_3(x))\\ =& T_1(x)+(T_2+T_3)(x)\\ =& (T_1+(T_2+T_3))(x)\end{array}$$

$$\therefore (T_1+T_2)+T_3=T_1+(T_2+T_3)$$

  (VS3) : 영변환 $0:V\to W,x\mapsto 0\in W$ 을 생각하자. 임의의 선형변환 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 과 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$(T+0)(x)=T(x)+0(x)=T(x)+0=T(x)$$

$$\therefore T+0=T$$

  따라서 $\mathcal{L}(V,W)$ 의 영벡터는 영변환으로서 존재한다.

  (VS4) : 임의의 선형변환 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 함수 $U:V\to W,x\mapsto -T(x)$ 는 다음과 같이 선형임을 알 수 있다.

$$\begin{array}{rl}U(cx+y)=& -T(cx+y)\\ =& -cT(x)-T(y)\\ =& cU(x)+U(y)\end{array}$$

  따라서 각 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 에 대응하여 정의된 함수 $U$ 는 $\mathcal{L}(V,W)$ 에 속한다.

  임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}(T+U)(x)=& T(x)+U(x)\\ =& T(x)+(-T(x))\\ =& T(x)-T(x)\\ =& 0=0(x)\end{array}$$

  따라서 각 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 에 대하여 $T+U=0$ 이게 하는 $U\in \mathcal{L}(V,W)$ 가 존재한다.

  (VS5) : 임의의 선형변환 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$(1T)(x)=1T(x)=T(x)\therefore 1T=T$$

  (VS6) : 임의의 선형변환 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 스칼라 $a,b\in F$ , 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}(a(bT))(x)=& a(bT)(x)\\ =& a(bT(x))\\ =& (ab)T(x)\\ =& ((ab)T)(x)\end{array}$$

$$\therefore a(bT)=(ab)T$$

  (VS7) : 임의의 선형변환 $T_1,T_2\in \mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 스칼라 $a\in F$ , 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}(a(T_1+T_2))(x)=& a(T_1+T_2)(x)\\ =& a(T_1(x)+T_2(x))\\ =& a{T}_1(x)+a{T}_2(x)\\ =& (a{T}_1+a{T}_2)(x)\end{array}$$

$$\therefore a(T_1+T_2)=a{T}_1+a{T}_2$$

  (VS8) : 임의의 선형변환 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 스칼라 $a,b\in F$ , 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}((a+b)T)(x)=& (a+b)T(x)\\ =& aT(x)+bT(x)\\ =& (aT+bT)(x)\end{array}$$

$$\therefore (a+b)T=aT+bT$$

  $\mathcal{L}(V,W)$ 는 합과 스칼라 곱에 대해 닫혀있으며 벡터공간의 8조건을 모두 만족하므로 벡터공간이다.   $◻$