[선형변환부터 동형사상까지] 부록

  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

$\mathcal{L}(V,W)$ 가 벡터공간임을 증명

 

※ 정리 5.1-2로부터 옴.

 

정리)  $F$-벡터공간 $V,\;W$ 에 대하여 $\mathcal{L}(V,W)$ 는 $F$-벡터공간이다.

 

proof)

  벡터공간이 갖추어야 하는 조건은 [벡터공간부터 기저까지] 1.1. 벡터공간의 정의 참고

  (VS1) : 임의의 선형사상 $T_1,\;T_2\in\mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(T_1+T_2)(x)=&T_1(x)+T_2(x)\\=&T_2(x)+T_1(x)\\=&(T_2+T_1)(x)\end{align}$$

$$\therefore T_1+T_2=T_2+T_1$$

  (VS2) : 임의의 선형사상 $T_1,\;T_2,\;T_3\in\mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\Big((T_1+T_2)+T_3\Big)(x)=&(T_1+T_2)(x)+T_3(x)\\=&\Big(T_1(x)+T_2(x)\Big)+T_3(x)\\=&T_1(x)+\Big(T_2(x)+T_3(x)\Big)\\=&T_1(x)+(T_2+T_3)(x)\\=&\Big(T_1+(T_2+T_3)\Big)(x)\end{align}$$

$$\therefore (T_1+T_2)+T_3=T_1+(T_2+T_3)$$

  (VS3) : 영변환 $0:V\to W,\;x\mapsto 0\in W$ 을 생각하자. 임의의 선형변환 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 과 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$(T+0)(x)=T(x)+0(x)=T(x)+0=T(x)$$

$$\therefore T+0=T$$

  따라서 $\mathcal{L}(V,W)$ 의 영벡터는 영변환으로서 존재한다.

  (VS4) : 임의의 선형변환 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 함수 $U:V\to W,\;x\mapsto-T(x)$ 는 다음과 같이 선형임을 알 수 있다.

$$\begin{align}U(cx+y)=&-T(cx+y)\\=&-cT(x)-T(y)\\=&cU(x)+U(y)\end{align}$$

  따라서 각 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 에 대응하여 정의된 함수 $U$ 는 $\mathcal{L}(V,W)$ 에 속한다.

  임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(T+U)(x)=&T(x)+U(x)\\=&T(x)+(-T(x))\\=&T(x)-T(x)\\=&0=0(x)\end{align}$$

  따라서 각 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 에 대하여 $T+U=0$ 이게 하는 $U\in\mathcal{L}(V,W)$ 가 존재한다.

  (VS5) : 임의의 선형변환 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$(1T)(x)=1T(x)=T(x)\;\therefore 1T=T$$

  (VS6) : 임의의 선형변환 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 스칼라 $a,\;b\in F$ , 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\Big(a(bT)\Big)(x)=&a(bT)(x)\\=&a(bT(x))\\=&(ab)T(x)\\=&\Big((ab)T\Big)(x)\end{align}$$

$$\therefore a(bT)=(ab)T$$

  (VS7) : 임의의 선형변환 $T_1,\;T_2\in\mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 스칼라 $a\in F$ , 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\Big(a(T_1+T_2)\Big)(x)=&a(T_1+T_2)(x)\\=&a(T_1(x)+T_2(x))\\=&aT_1(x)+aT_2(x)\\=&(aT_1+aT_2)(x)\end{align}$$

$$\therefore a(T_1+T_2)=aT_1+aT_2$$

  (VS8) : 임의의 선형변환 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 를 생각하자. 임의의 스칼라 $a,\;b\in F$ , 벡터 $x\in V$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\Big((a+b)T\Big)(x)=&(a+b)T(x)\\=&aT(x)+bT(x)\\=&(aT+bT)(x)\end{align}$$

$$\therefore (a+b)T=aT+bT$$

  $\mathcal{L}(V,W)$ 는 합과 스칼라 곱에 대해 닫혀있으며 벡터공간의 8조건을 모두 만족하므로 벡터공간이다.   $\square$