[행렬식의 엄밀한 정의] ch0. 행렬식의 귀납적 정의

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※ 본 시리즈는 행렬식을 이미 알고있는 사람들을 대상으로 하는 글 입니다.

 

  초심자를 대상으로 하는 대부분의 책에서는 행렬식을 소개할 때 어떠한 귀납적인 계산 공식을 이용하여 정의하곤 한다. 예를들어 '프리드버그 선형대수학'에서는 행렬식을 다음과 같이 소개한다.

 

  행렬 $A\in\mathbb{M}_{n\times n}$ 의 행렬식 $\text{det }A$ 를 다음과 같이 정의한다.$$\text{det }A=\begin{cases}A_{11}&\text{if}\quad n=1\\\displaystyle\sum_{j=1}^n(-1)^{1+j}A_{1j}\;\text{det }\tilde{A}_{1j}&\text{if}\quad n\ge2\end{cases}$$  이때 $\tilde{A}_{ij}$ 란 $A$ 의 $i$ 행과 $j$ 열을 제거한 $(n-1)\times(n-1)$ 행렬이다.

 

  이러한 정의 방법은 행렬식을 실제로 어떻게 계산하느냐에 대한 명쾌한 설명이다. 복잡하게 생각할 필요 없이 주어진 공식에 맞추어 반복 계산만 하면 되기 때문이다. 그러나 이러한 정의 방법은 행렬식의 성질을 탐구할때 큰 방해가 된다. 이는 행렬식의 사소한 성질 하나를 증명하는데도 필연적으로 귀납법을 사용할 수밖에 없기 때문인데, 사실 귀납법을 이용한 증명은 꽤 귀찮은 일이다. 이번 시리즈에서는 귀납적 기술을 배제한 (꽤 멋진) 행렬식의 정의를 소개한다.

 

  '프리드버그 선형대수학'에서는 행렬식의 성질로 다음의 8가지를 나열하였다.

 

  1. 정사각행렬 $A$ 의 두 행 또는 두 열을 교환하여 얻은 행렬을 $B$ 라 하면 $\text{det }B=-\text{det }A$ 이다.
  2. 정사각행렬 $A$ 의 한 행 또는 열에 스칼라 $c$ 를 곱하여 얻은 행렬을 $B$ 라 하면 $\text{det }B=c\;\text{det }A$ 이다.
  3. $i\neq j$ 에 대하여, 정사각행렬 $A$ 의 $j$ 행에 $i$ 행의 스칼라 배(또는 $j$ 열에 $i$ 행의 스칼라배)를 더하여 얻은 행렬을 $B$ 라 하면 $\text{det }B=\text{det }A$ 이다.
  4. 상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이다. 특히 $\text{det }I_n=1$ 이다.
  5. 행렬의 두 행(또는 두 열)이 같으면 그 행렬식은 0이다.
  6. 정사각행렬 $A$ 와 $B$ 에 대하여 $\text{det}(AB)=(\text{det }A)(\text{det }B)$ 이다.
  7. 정사각행렬 $A$ 가 가역일 필요충분조건은 $\text{det }A\neq 0$ 이다. 이때 다음이 성립한다.$$\text{det }A^{-1}=\frac{1}{\text{det }A}$$  8. $n\times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 $A$ 와 $A^t$ 의 행렬식은 같다.

 

  위의 다양한 성질은 행렬식의 귀납적 정의로부터 얻어낼 수 있는 것들이다. 여기서 비교적 덜 유명한 성질 하나를 추가하자.

 

  9. $n\times n$ 행렬 $A$ 의 $i$ 열을 열벡터 $x\in F^n$ 로 바꾼것을 $A_i(x)$ 라고 쓰자. 임의의 열벡터 $x,\;y\in F^n$ 과 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$\text{det }A_i(x+cy)=\text{det }A_i(x)+c\;\text{det }A_i(y)$$  즉, 행렬식은 각 열에 대한 선형변환이다.

 

  이것도 마찬가지로 귀납적 정의로부터 얻어지는 성질이다. (증명은 프리드버그 참조) 여기서 중요한 세 가지 성질만 추려보자.

 

  (ⅰ) 정사각행렬 $A$ 의 두 열을 교환하여 얻은 행렬을 $B$ 라 하면 $\text{det }B=-\text{det }A$ 이다.
  (ⅱ) 정사각행렬의 행렬식은 나머지 열이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 열에 대하여 선형변환이다.
  (ⅲ) $\text{det }I_n=1$ 이다.

 

  사실, 이 세가지 성질이 행렬식의 본질이다. 다시말해 위의 세 가지 성질을 만족하는 유일한 함수가 바로 행렬식이며 이 세가지 성질을 토대로 나머지 모든 성질을 유도해낼 수 있다는 것이다. 기본적인 부분부터 출발해보자.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] 스티븐 H, 프리드버그. (2020). 프리드버그 선형대수학 (한빛수학교재연구소 옮김). 한빛아카데미.

[2] 김홍종. (2020). 미적분학 1+. 서울대학교출판문화원.

[3] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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