원하는 행렬의 존재성 증명

  다음을 증명하자.

 

임의의 벡터 $x\in F^m$ , $y\in F^n$ 에 대해 $x\neq 0$ 이면 $y=Ax$ 이도록 하는 행렬 $A\in\mathbb{M}_{n\times m}(F)$ 가 존재한다.

 

proof)

  $F^m$ 과 $F^n$ 각각의 표준순서기저 $\gamma_m$ , $\gamma_n$ 을 생각하자. $x$ 하나만을 원소로 갖는 집합 $\{x\}\subset F^m$ 는 일차독립이므로 ($\because$ 정리 5.1-2(ⅱ)) $x$ 를 포함하는 $F^m$ 의 순서기저 $\beta\subset F^m$ 를 구성할 수 있다. ($\because$ 대체정리의 따름정리 2(ⅱ)) 다음과 같다고 하자.

$$\beta=\{x,v_1,v_2,\ldots,v_{m-1}\}$$

  선형변환의 존재성 및 유일성 정리에 따라 다음을 만족하는 선형변환 $T:F^m\to F^n$ 이 유일하게 존재한다.

$$T(x)=y,\;T(v_1)=0,\;\ldots,\;T(v_{m-1})=0$$

  $T$ 의 행렬표현에 따라 다음이 성립한다. (참고: 정리 4.1-2 정리 8-1)

$$\begin{align}y&=[y]_{\gamma_n}\\&=[T(x)]_{\gamma_n}\\&=[T]_\beta^{\gamma_n}[x]_\beta\\&=[T]_\beta^{\gamma_n}[I(x)]_\beta\\&=[T]_\beta^{\gamma_n}[I]_{\gamma_m}^\beta[x]_{\gamma_m}\\&=[T]_\beta^{\gamma_n}[I]_{\gamma_m}^\beta x\end{align}$$

  따라서 원하는 행렬 $A$ 는 $[T]_\beta^{\gamma_n}[I]_{\gamma_m}^\beta$ 로서 존재한다. (다른 형태로도 존재한다)   $\square$

 

 

  특히 $[T]_\beta^{\gamma_n}$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\begin{align}[T]_\beta^{\gamma_n}&=\begin{pmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ [T(x)]_{\gamma_n}&[T(v_1)]_{\gamma_n}&\cdots&[T(v_{m-1})]_{\gamma_n}\\\mid&\mid&&\mid\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ T(x)&T(v_1)&\cdots&T(v_{m-1})\\\mid&\mid&&\mid\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ y&0&\cdots&0\\\mid&\mid&&\mid\end{pmatrix}\end{align}$$

  또한 $[I]_{\gamma_m}^\beta$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다. ($\because$ 정리 10.2-1)

$$\begin{align}[I]_{\gamma_m}^\beta&=[I^{-1}]_{\gamma_m}^\beta\\&=\left([I]_\beta^{\gamma_m}\right)^{-1}\\&=\begin{pmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ [I(x)]_{\gamma_m}&[I(v_1)]_{\gamma_m}&\cdots&[I(v_{m-1})]_{\gamma_m}\\\mid&\mid&&\mid\end{pmatrix}^{-1}\\&=\begin{pmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ [x]_{\gamma_m}&[v_1]_{\gamma_m}&\cdots&[v_{m-1}]_{\gamma_m}\\\mid&\mid&&\mid\end{pmatrix}^{-1}\\&=\begin{pmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ x&v_1&\cdots&v_{m-1}\\\mid&\mid&&\mid\end{pmatrix}^{-1}\end{align}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$y=\begin{pmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ y&0&\cdots&0\\\mid&\mid&&\mid\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mid&\mid&&\mid\\ x&v_1&\cdots&v_{m-1}\\\mid&\mid&&\mid\end{pmatrix}^{-1}x$$

 

 

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