원하는 행렬의 존재성 증명

  다음을 증명하자.

 

임의의 벡터 $x\in F^m$ , $y\in F^n$ 에 대해 $x\ne 0$ 이면 $y=Ax$ 이도록 하는 행렬 $A\in {\mathbb{M}}_{n\times m}(F)$ 가 존재한다.

 

proof)

  $F^m$ 과 $F^n$ 각각의 표준순서기저 ${\gamma }_m$ , ${\gamma }_n$ 을 생각하자. $x$ 하나만을 원소로 갖는 집합 $\{x\}\subset F^m$ 는 일차독립이므로 ($\because$ 정리 5.1-2(ⅱ)) $x$ 를 포함하는 $F^m$ 의 순서기저 $\beta \subset F^m$ 를 구성할 수 있다. ($\because$ 대체정리의 따름정리 2(ⅱ)) 다음과 같다고 하자.

$$\beta =\{x,v_1,v_2,\dots ,v_{m-1}\}$$

  선형변환의 존재성 및 유일성 정리에 따라 다음을 만족하는 선형변환 $T:F^m\to F^n$ 이 유일하게 존재한다.

$$T(x)=y,T(v_1)=0,\dots ,T(v_{m-1})=0$$

  $T$ 의 행렬표현에 따라 다음이 성립한다. (참고: 정리 4.1-2 정리 8-1)

$$\begin{array}{rl}y& =[y{]}_{{\gamma }_n}\\ & =[T(x){]}_{{\gamma }_n}\\ & =[T{]}_{\beta }^{{\gamma }_n}[x{]}_{\beta }\\ & =[T{]}_{\beta }^{{\gamma }_n}[I(x){]}_{\beta }\\ & =[T{]}_{\beta }^{{\gamma }_n}[I{]}_{{\gamma }_m}^{\beta }[x{]}_{{\gamma }_m}\\ & =[T{]}_{\beta }^{{\gamma }_n}[I{]}_{{\gamma }_m}^{\beta }x\end{array}$$

  따라서 원하는 행렬 $A$ 는 $[T{]}_{\beta }^{{\gamma }_n}[I{]}_{{\gamma }_m}^{\beta }$ 로서 존재한다. (다른 형태로도 존재한다)   $◻$

 

 

  특히 $[T{]}_{\beta }^{{\gamma }_n}$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}[T{]}_{\beta }^{{\gamma }_n}& =\left(\begin{array}{cccc}\mid & \mid & & \mid \\ [T(x){]}_{{\gamma }_n}& [T(v_1){]}_{{\gamma }_n}& \cdots & [T(v_{m-1}){]}_{{\gamma }_n}\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\mid & \mid & & \mid \\ T(x)& T(v_1)& \cdots & T(v_{m-1})\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\mid & \mid & & \mid \\ y& 0& \cdots & 0\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right)\end{array}$$

  또한 $[I{]}_{{\gamma }_m}^{\beta }$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다. ($\because$ 정리 10.2-1)

$$\begin{array}{rl}[I{]}_{{\gamma }_m}^{\beta }& =[I^{-1}{]}_{{\gamma }_m}^{\beta }\\ & ={([I{]}_{\beta }^{{\gamma }_m})}^{-1}\\ & ={\left(\begin{array}{cccc}\mid & \mid & & \mid \\ [I(x){]}_{{\gamma }_m}& [I(v_1){]}_{{\gamma }_m}& \cdots & [I(v_{m-1}){]}_{{\gamma }_m}\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right)}^{-1}\\ & ={\left(\begin{array}{cccc}\mid & \mid & & \mid \\ [x{]}_{{\gamma }_m}& [v_1{]}_{{\gamma }_m}& \cdots & [v_{m-1}{]}_{{\gamma }_m}\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right)}^{-1}\\ & ={\left(\begin{array}{cccc}\mid & \mid & & \mid \\ x& v_1& \cdots & v_{m-1}\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right)}^{-1}\end{array}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$y=\left(\begin{array}{cccc}\mid & \mid & & \mid \\ y& 0& \cdots & 0\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right){\left(\begin{array}{cccc}\mid & \mid & & \mid \\ x& v_1& \cdots & v_{m-1}\\ \mid & \mid & & \mid \end{array}\right)}^{-1}x$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.