[행렬식의 엄밀한 정의] ch5. 교대텐서의 성질

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1. 교대텐서의 유일성

 

  이제부터는 정수의 순서쌍중 특별한 순서쌍들을 자주 이용할 것이다.

 

  Definition.  ${}_nT_k$ 의 원소 중 증가 순서쌍(ascending tuple)의 집합을 ${}_nT_k^*$ 라고 정의한다. 즉, 다음과 같다.$${}_nT_k^*=\{(i_1,\ldots,i_k):1\le i_1<\cdots<i_k\le n\}$$

 

  아래의 도움정리는 $\mathcal{L}^k(V)$ 에서 했던 것과 많이 닮아있다.

 

  Lemma 5.1.  $V$ 의 기저 $a_1,\ldots,a_n$ 과 $f,\;g\in\mathcal{A}^k(V)$ 에 대해 $f=g$ 일 필요충분조건은 임의의 $(i_1,\ldots,i_k)\in{}_nT_k^*$ 에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$f(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})=g(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})$$

 

  이 정리는 $\mathcal{L}^k(V)$ 보다 더 적은 경우의 수로 교대텐서 하나를 특정할 수 있음을 의미한다.

 

  Proof.  $f=g$ 일 경우 주어진 조건이 자명하게 성립한다.

  주어진 조건이 성립한다고 가정하자. $f,\;g\in\mathcal{L}^k(V)$ 이기도 하므로, Lemma 2.1. 에 따라 $V$ 의 기저의 임의의 k-순서쌍에 대한 값이 $f$ 와 $g$ 가 동일함을 보이면 $f=g$ 를 얻는다.

 

  임의의 $(j_1,\ldots,j_k)\in\mathcal{T}_n^k$ 를 생각하자. $f,\;g\in\mathcal{A}^k(V)$ 에 대해 만약 $j_1,\ldots,j_k$ 중 중복이 있을때는 $f(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})$ 와 $f(a_{j_1},\ldots,a_{k_k})$ 모두 0이므로 이러한 종류의 기저의 k-순서쌍에 대해 $f$ 와 $g$ 가 동일한 상을 갖는다. $j_1,\ldots,j_k$ 에 중복이 없을때를 생각하자. $j_1,\ldots,j_k$ 를 작은 것부터 순서대로 $j_{l_1},\ldots,j_{l_k}$ 라고 하자. $\sigma\in S_k$ 를 $\sigma(i)=l_i$ 라고 하면 순서쌍 $(j_{\sigma(1)},\ldots,j_{\sigma(k)})$ 는 증가 순서쌍이므로 가정에 따라 다음이 성립한다.

$$f(a_{j_\sigma(1)},\ldots,a_{j_\sigma(k)})=g(a_{j_\sigma(1)},\ldots,a_{j_\sigma(k)})$$

  편의상 $a_{j_i}=b_i$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}f(a_{j_{\sigma(1)}},\ldots,a_{j_{\sigma(k)}})&=f(b_{\sigma(1)},\ldots,b_{\sigma(k)})\\&=f^\sigma(b_1,\ldots,b_k)\\&=f^\sigma(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})\\&=(\text{sgn }\sigma)f(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})\end{align}$$

  이는 $g$ 에 대해서도 동일하므로 다음이 성립한다.

$$(\text{sgn }\sigma)f(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})=(\text{sgn }\sigma)g(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})$$

$$\therefore f(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})=g(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})$$

  정리하면 $f$ 와 $g$ 는 $V$ 의 기저의 모든 k-순서쌍 위에서 동일하므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

2. 교대텐서공간의 기저

 

  $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저를 이루는 교대텐서가 무엇인지를 보이기 전에 다음의 자명한 명제를 짚고가자.

 

  Lemma 5.2.  임의의 $\tau\in S_k$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\{\tau\circ\sigma:\sigma\in S_k\}=S_k$
  (ⅱ) $\{\sigma^{-1}:\sigma\in S_k\}=S_k$

 

  Proof.

  (ⅰ) 임의의 $\sigma'\in S_k$ 를 생각하자. 주어진 $\tau\in S_k$ 에 대해 $\sigma=\tau^{-1}\circ\sigma'$ 라고 하면 $\tau\circ\sigma=\sigma'$ 이므로 $\sigma'\in\{\tau\circ\sigma:\sigma\in S_k\}$ 이다. 따라서 $S_k\subset\{\tau\circ\sigma:\sigma\in S_k\}$ 가 성립하며 $\{\tau\circ\sigma:\sigma\in S_k\}\subset S_k$ 임은 자명하므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  (ⅱ) 임의의 $\sigma\in S_k$ 에 대해 $\sigma^{-1}\in S_k$ 이므로 $S_k\subset \{\sigma^{-1}:\sigma\in S_k\}$ 이며 $\{\sigma^{-1}:\sigma\in S_k\}\subset S_k$ 임은 자명하므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  Theorem 5.3.  $V$ 의 기저 $a_1,\ldots,a_n$ 과 $I\in{}_nT_k^*$ 를 생각하자. 임의의 $J\in{}_nT_k^*$ 에 대해 다음을 만족하는 $V$ 의 교대 k-텐서 $\psi_I$ 가 유일하게 존재한다.$$\text{let, }J=(j_1,\ldots,j_k)$$$$\psi_I(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})=\begin{cases}1&\text{if}&I=J\\0&\text{if}&I\neq J\end{cases}\tag{1}$$  특히 $V$ 의 기저 $a_1,\ldots,a_n$ 에 대응하는 $V$ 의 기본 k-텐서 $\phi_I$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\psi_I=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)(\phi_I)^\sigma\tag{2}$$  이때 $\{\psi_I:I\in{}_nT_k^*\}$ 는 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저이다.

  각 $\psi_I$ 는 $V$ 의 기저 $a_1,\ldots,a_n$ 에 대응하는 $V$ 의 기본 교대 k-텐서(elementary alternating k-tensor)라고 한다.

 

  이 정리에서는 아래의 총 4가지 명제를 증명해야 한다.

  1. 주어진 함수가 유일한가?

  2. 주어진 함수가 존재하는가?

  3. 주어진 함수가 교대 k-텐서인가?

  4. 주어진 함수가 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저를 형성하는가?

 

  Proof.  유일성은 이전 lemma에 따라 성립한다. 존재성을 보이기 위해 식 (2)로 $\psi_I$ 를 정의하고 식 (1)을 만족하는지 확인하자. 임의의 $\tau\in S_k$ 에 대해 theorem 3.2. , lemma 4.1. 과 이전의 lemma와 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(\psi_I)^\tau&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)((\phi)^\sigma)^\tau\\&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)(\phi_I)^{\tau\circ\sigma}\\&=(\text{sgn }\tau)\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)(\text{sgn }\tau)(\phi_I)^{\tau\circ\sigma}\\&=(\text{sgn }\tau)\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn}(\sigma\circ\tau))(\phi_I)^{\tau\circ\sigma}\\&=(\text{sgn }\tau)\sum_{\sigma\circ\tau\in S_k}(\text{sgn}(\sigma\circ\tau))(\phi_I)^{\tau\circ\sigma}\\&=(\text{sgn }\tau)\psi_I\end{align}$$

  다시 lemma 4.1. 에 따라 $\psi_I\in\mathcal{A}^k(V)$ 임을 안다. 이제 $\psi_I$ 가 식 (1) 을 만족하는지 확인하자. 임의의 $(j_1,\ldots,j_k)\in{}_nT_k^*$ 에 대해 $a_{j_i}=a_i'$ 라고 하면 정의에 따라 다음과 같다.

$$\begin{align}\psi_I(a_{j_1}\,\ldots,a_{j_k})&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)(\phi_I)^\sigma(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})\\&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)(\phi_I)^\sigma(a_1',\ldots,a_k')\\&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)\phi_I(a_{\sigma(1)}',\ldots,a_{\sigma(k)}')\\&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)\phi_I(a_{j_{\sigma(1)}},\ldots,a_{j_{\sigma(k)}})\end{align}$$

  이제 $\phi_I$ 의 정의에 따라 $(j_{\sigma(1)},\ldots,j_{\sigma(k)})=I$ 이게 하는 $\sigma$ 에 의한 항을 제외한 나머지 하은 0이다. 전제에 따라 $I$ 는 $\{1,\ldots,n\}^k$ 의 증가 순서쌍이며, $J$ 도 $\{1,\ldots,n\}^k$ 의 증가 순서쌍이므로 $\sigma$ 는 항등수열일수밖에 없다. (증가 순서쌍의 다른 모든 재배열은 증가순서쌍이 아니기 때문이다) 따라서 $\text{sgn }\sigma=1$ 이므로 $\psi_I(a_{j_1},\ldots,a_{j_k})=1$ 을 얻는다. 그러나 $I\neq J$ 인 경우 $\sigma=\text{id}$ 이어도 $(j_{\sigma(1)},\ldots,j_{\sigma(kj)})\neq I$ 이므로 모든 항이 0이 된다. 따라서 $\psi_I$ 는 식 (1)을 만족한다.

 

  $\{\psi_I:I\in{}_nT_k^*\}$ (이하 $\{\psi_I\}$) 가 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저임을 보이자. 이는 임의의 $f\in\mathcal{A}^k(V)$ 가 $\{\psi_I\}$ 의 유일한 선형결합으로 표현됨을 보이면 된다. 각 $I\in{}_nT_k^*$ 에 대해 $d_I\in F$ 를 다음으로 정의하자.

$$\text{let, }I=(i_1,\ldots,i_k)$$

$$d_I=f(a_i,\ldots,a_k)$$

  다음과 같은 $\{\psi_I\}$ 의 선형결합을 생각하자.

$$g=\sum_{J\in{}_nT_k^*}d_J\psi_J\tag{3}$$

  임의의 $I\in{}_nT_k^*$ 에 대해 다음과 같다.

$$\text{let, }I=(i_1,\ldots,i_k)$$

$$\begin{align}g(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})&=\sum_{J\in{}_nT_k^*}d_J\psi_J(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})\\&=d_I\\&=f(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})\end{align}$$

  Lemma 5.1. 에 따라 다음을 얻는다.

$$f=\sum_{J\in{}_nT_k^*}d_J\psi_J$$

  다시말해 $f$ 는 $\{\psi_I\}$ 의 선형결합으로 표현된다. 표현의 유일함을 보이자. $f$ 를 표현하는 $\{\psi_I\}$ 의 임의의 선형결합을 다음과 같이 생각하자.

$$f=\sum_{J\in{}_nT_k^*}c_J\psi_J$$

  이때 각 $I\in{}_nT_k^*$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\text{let, }I=(i_1,\ldots,i_k)$$

$$\begin{align}d_I&=f(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})\\&=\sum_{J\in{}_nT_k^*}c_J\psi_J(a_{i_1},\ldots,a_{i_k})\\&=c_I\end{align}$$

  따라서 $f$ 의 표한 (3)과 (4)는 동일하므로 $f$ 는 $\{\psi_I\}$ 의 유일한 선형결합으로 표현됨을 알 수 있다. $f$ 를 $\mathcal{A}^k(V)$ 에서 임의로 선택하였으므로 $\{\psi_I\}$ 는 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저이다.   $\square$

 

 

  다음의 따름정리는 행렬식의 특질을 설명할 때 쓰인다.

 

  Corollary 5.4.  $\text{dim}(V)=n$ 이면 $\text{dim}(\mathcal{A}^k(V))={n\choose k}$ 이다.

 

  Proof.  $\mathcal{A}^k(V)$ 의 차원은 $\{\psi_I:I\in{}_nT_k^*\}$ 의 원소의 갯수, 즉 ${}_nT_k^*$ 의 원소의 갯수이다. $\{1,\ldots,n\}$ 의 부분집합 중 $k$ 개의 원소를 갖는 것을 생각해보자. 이러한 집합의 원소를 성분으로 갖는 증가 k-순서쌍은 단 하나이다. 다시말해 $\{1,\ldots,n\}$ 중에서 $k$ 개를 중복 없이 선택하면 그것에는 단 하나의 증가 순서쌍이 대응한다는 것이므로 ${}_nT_k^*$ 의 원소의 갯수는 $n$ 개에서 중복없이 $k$ 개를 선택하는 경우의 수이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] 스티븐 H, 프리드버그. (2020). 프리드버그 선형대수학 (한빛수학교재연구소 옮김). 한빛아카데미.

[2] 김홍종. (2020). 미적분학 1+. 서울대학교출판문화원.

[3] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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