[행렬의 랭크] ch1. 기본행렬연산

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기본행렬연산

 

Definition.  $m\times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 다음의 세 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다.
  1형 연산: $A$ 의 두 행을 교환하는 것.
  2형 연산: $A$ 의 한 행에 $0$ 이 아닌 스칼라를 곱하는 것.
  3형 연산: $A$ 의 한 행에 다른 행의 스칼라배를 더하는 것.

  다음의 세 연산을 기본열연산(elementary column operation)이라고 한다.
  1형 연산: $A$ 의 두 열을 교환하는 것.
  2형 연산: $A$ 의 한 열에 $0$ 이 아닌 스칼라를 곱하는 것.
  3형 연산: $A$ 의 한 열에 다른 열의 스칼라배를 더하는 것.

  기본 행연산과 기본 열연산을 통틀어 기본연산(elementary operaton)이라고 한다.

 

  예를들어 다음의 행렬 $A$ 를 생각하자.

$$A=\begin{pmatrix}-1&-2&-3&-4\\1&2&3&4\\11&22&33&44\end{pmatrix}$$

  $A$ 의 2행과 3행을 교환하는 1형 행연산을 시행하면 다음과 같다.

$$\begin{pmatrix}-1&-2&-3&-4\\11&22&33&44\\1&2&3&4\end{pmatrix}$$

  $A$ 의 1행에 2를 곱하는 2형 행연산을 시행하면 다음과 같다.

$$\begin{pmatrix}-2&-4&-6&-8\\1&2&3&4\\11&22&33&44\end{pmatrix}$$

  $A$ 의 3행에 1행의 2배를 더하는 3형 행연산을 시행하면 다음과 같다.

$$\begin{pmatrix}-1&-2&-3&-4\\1&2&3&4\\9&18&27&36\end{pmatrix}$$

 

  어떤 행렬 $P$ 에 어떤 기본연산을 시행하여 행렬 $Q$ 를 얻었다면, 다시 행렬 $Q$ 에 같은 유형의 기본연산을 시행하여 행렬 $P$ 를 얻을 수 있음은 자명하다. 만약 $P$ 의 1행과 2행을 교환했다면 다시 1행과 2행을 교환하여, 만약 $P$ 의 1행에 $c$ 를 곱했다면 다시 1행에 $\frac{1}{c}$ 를 곱하여, 만약 $P$ 의 2행에 1행의 $c$ 배를 더했다면 다시 2행에 1행의 $-c$ 배를 더하여 $P$ 를 얻을 수 있다.

 

  다음의 정리에 따르면 세 가지 기본연산이 서로 독립적이지는 않다.

 

Theorem 1.1.  1형 행연산은 2형 및 3형 행연산을 반복하여, 1형 열연산은 2형 및 3형 열연산을 반복하여 얻을 수 있다.

 

※ 뺄셈은 $-1$ 을 곱하고 더하는 것과 같음에 유의하자.

 

  Proof.  행연산에 대해서만 증명한다. 행렬 $A$ 의 $(i,j)$ 행을 $(a,b)$ 라고 하자.

  1. $i$ 행에서 $j$ 행을 빼기 (3형): $(a-b,b)$

  2. $j$ 행에 $i$ 행을 더하기 (3형): $(a-b,a)$

  3. $i$ 행에서 $j$ 행을 빼기 (3형): $(-b,a)$

  4. $i$ 행에 $-1$ 을 곱하기 (2형): $(b,a)$   $\square$

 

 

기본행렬

 

Definition.  $n\times n$ 기본행렬(elementary matrix)이란 항등행렬 $I_n$ 에 기본연산을 시행한 행렬을 말한다. $I_n$ 에 1형, 2형, 3형 연산을 시행하여 얻은 행렬을 각각 1형, 2형, 3형 행렬이라고 한다.

 

  여기서 항등행렬에 연산을 할때 1형 행연산과 1형 열연산이 같고, 2형 행연산과 2형 열연산이 같고, 3형 행연산과 3형 열연산이 같음에 유의하자. 이는 세 가지 유형의 기본행렬은 각각 행연산과 열연산의 두 가지 방법으로 동일하게 얻을 수 있음을 의미한다.

 

  다음 정리에 따르면 기본연산을 시행하는 것과 기본행렬을 곱하는 것은 동일하다.

 

Theorem 1.2.  $m\times n$ 행렬 $A$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) 어떤 기본 행연산을 $A$ , $I_m$ 에 시행하여 각각 $B$ , $E$ 를 얻었을 때 $B=EA$ 가 성립한다.
  (2) 어떤 기본 열연산을 $A$ , $I_n$ 에 시행하여 각각 $B$ , $E$ 를 얻었을 때 $B=AE$ 가 성립한다.

 

  Proof.  (2)를 증명하면 (1)은 그 따름정리로 얻을 수 있다.

  (2) $A$ 에서 $B$ 를 얻을 때 시행한 기본행연산을 $\beta$ 라고 하자. $E$ 가 다음과 같다고 하자.

$$E=\begin{pmatrix}\mid&&\mid\\\epsilon_1&\cdots&\epsilon_n\\\mid&&\mid\end{pmatrix}$$

  다음이 성립한다. (링크의 정리 8-2 참고)

$$AE=\begin{pmatrix}\mid&&\mid\\A\epsilon_1&\cdots&A\epsilon_n\\\mid&&\mid\end{pmatrix}$$

  즉 $B$ 의 $i$ 열은 $A\epsilon_i$ 와 같다. 한편 $A$ 의 $j$ 열은 $Ae_j$ 임에 유의하자.

 

  1. $\beta$ 가 $p$ 열과 $q$ 열을 교환한 1형 연산이라고 하자. 이 경우 $\epsilon_p=e_q$ , $\epsilon_q=e_p$ 이고 나머지는 $\epsilon_r=e_r$ ($r\neq p,q$) 이므로 $A\epsilon_p=Ae_q$ , $A\epsilon_q=Ae_p$ , $A\epsilon_r=Ae_r$ 이다. 정리하면 $B$ 의 $p$ 열, $q$ 열은 $A$ 의 $q$ 열, $p$ 열이고 $B$ 의 나머지 열은 $A$ 의 나머지 열과 서로 같으므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  2. $\beta$ 가 $p$ 열에 $c$ 를 곱한 2형 연산이라고 하자. 이 경우 $\epsilon_p=ce_p$ 이고 나머지는 $\epsilon_r=e_r$ ($r\neq p$) 이므로 $A\epsilon_p=cAe_p$ , $A\epsilon_r=Ae_r$ 이다. 정리하면 $B$ 의 $p$ 열은 $A$ 의 $p$ 열에 $c$ 를 곱한 것이고 $B$ 의 나머지 열은 $A$ 의 나머지 열과 서로 같으므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  3. $\beta$ 가 $q$ 열에 $p$ 열의 $c$ 배를 곱한 3형 연산이라고 하자. 이 경우 $\epsilon_q=e_q+ce_p$ 이고 나머지는 $\epsilon_r=e_r$ ($r\neq q$) 이므로 $A\epsilon_q=Ae_q+cAe_p$ , $A\epsilon_r=Ae_r$ 이다. 정리하면 $B$ 의 $q$ 열은 $A$ 의 $q$ 열에 $A$ 의 $p$ 열의 $c$ 배를 더한 것이고 $B$ 의 나머지 열은 $A$ 의 나머지 열과 서로 같으므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  (1) $A$ 에서 $B$ 를 얻을 때 시행한 기본행연산을 $\alpha$ 라고 하고 $\alpha$ 에 대응하는 기본열연산을 $\alpha^t$ 라고 하자. 이때 $A^t$ 에 $\alpha^t$ 를 시행하여 얻은 행렬은 자명하게 $B^t$ 이다. (2)에 따라 $I_m$ 에 $\alpha^t$ 를 시행하여 얻은 행렬을 $E$ 라고 하면 $B^t=A^tE$ 가 성립한다. 따라서 $B=E^tA$ 이며, $E^t$ 는 $I_m$ 에 $\alpha$ 를 시행한 것과 같으므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  다음의 정리에 따르면 기본행렬의 역행렬도 기본행렬이다.

 

Theorem 1.3.  기본행렬을 가역이며 그 역행렬은 같은 유형의 기본행렬이다.

 

  Proof.  $n\times n$ 기본행렬 $E$ 를 생각하자. $I_n$ 에서 $E$ 를 얻을 때 시행한 기본행연산과 동일한 유형의 기본 행연산을 다시 $E$ 에 시행하여 $I_n$ 을 얻을 수 있다. 정리 1.2.에 따르면 $I_n=E^*E$ 인 기본행렬 $E^*$ 가 존재한다. 가역의 성질(링크의 정리 10.1-4)에 따라 $E$ 는 가역이며 $E^{-1}=E^*$ 이므로 원하는 결과를 얻는다. 기본열연산에 대해서도 비슷하게 증명할 수 있다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)
[1] 스티븐 H, 프리드버그. (2020). 프리드버그 선형대수학 (한빛수학교재연구소 옮김). 한빛아카데미.

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