[행렬식의 엄밀한 정의] ch6. 행렬식의 엄밀한 정의

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[행렬의 랭크] ch2. 행렬의 랭크

ch5. 교대텐서의 성질

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1. 행렬식의 정의

 

  지난 포스팅에서 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저가 무엇인지와 더불어 $\mathcal{A}^k(V)$ 의 차원에 대하여 알아보았다. 이를 요약하자면 $n$ 차원 벡터공간 $V$ 에 대해 $\mathcal{A}^k(V)$ 는 ${n\choose k}$ 차원이며, $\mathcal{A}^k(V)$ 의 기저는 $V$ 의 기저에 대응하는 기본 교대 k-텐서로 이루어져있다. 특히 $k=n$ 일 경우에 $\mathcal{A}^n(V)$ 는 1차원이며 기저로 단 하나의 교대텐서를 가짐을 알 수 있다. 다음의 정의를 확인하자.

 

  Definition.  $F^n$ 의 표준기저 $e_1,\ldots,e_n$ 에 대응하는 $F^n$ 의 유일한 기본 교대 n-텐서 $\psi_{1,\ldots,n}$ 를 행렬식(determinant)이라고 정의하고 $\text{det}$ 라고 쓴다. 즉 $n\times n$ 행렬 $X=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}$ 에 대해 다음과 같다.$$\text{det }X=\psi_{1,\ldots,n}(x_1,\ldots,x_n)$$

 

  다음의 정리는 텐서의 언어를 사용하지 않고 행렬식의 정의를 기술하는 방법에 대해 말한다.

 

  Theorem 6.1.  $n\times n$ 행렬 $X$ 에 대해 다음과 같다.$$\text{det }X=\sum_{\sigma\in S_n}(\text{sgn }\sigma)x_{1,\sigma(1)}\cdots x_{n,\sigma(n)}$$

 

※ 행렬의 열벡터 첨자와 성분 첨자의 표기에 대해서는 ch2. 텐서의 성질의 convention 참고.

 

  Proof.  $F^n$ 의 표준기저에 대응하는 $F^n$ 의 유일한 기본 교대 n-텐서 $\psi_{1,\ldots,n}$ 와 $F^n$ 의 기본 n-텐서 (여러 개가 있지만 그 중) $\phi_{1,\ldots,n}$ 에 대해 theorem 5.3. 에 따라 다음과 같다.

$$\psi_{1,\ldots,n}=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)(\phi_{1,\ldots,n})^\sigma$$

  따라서 $X=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}$ 이라고 할 때 다음과 같다.

$$\begin{align}\text{det }X&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)(\phi_{1,\ldots,n})^\sigma(x_1,\ldots,x_n)\\&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)\phi_{1,\ldots,n}(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})\end{align}$$

  $F^n$ 의 표준기저의 쌍대기저 $\phi_1,\ldots,\phi_n$ 에 대해 theorem 2.2. 에 따라 다음과 같다.

$$\begin{align}\text{det }X&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)\phi_{1,\ldots,n}(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})\\&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)\phi_1(x_{\sigma(1)})\cdots\phi_n(x_{\sigma(n)})\\&=\sum_{\sigma\in S_n}(\text{sgn }\sigma)x_{1,\sigma(1)}\cdots x_{n,\sigma(n)}\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

  다음의 정리는 교대다중선형이라는 성질이 행렬식의 특질임을 말한다.

 

  Theorem 6.2.  $f\in\mathcal{A}^n(F^n)$ 와 $X\in\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$f(X)=f(I_n)\text{det }X$$

 

  Proof.  $F^n$ 의 표준기저에 대한 기본 교대 n-텐서 $\psi_{1,\ldots,n}$ 은 $\mathcal{A}^n(F^n)$ 의 기저이므로 어떤 $k\in F$ 에 대해 $f=k\psi_{1,\ldots,n}$ 와 같으며 다음이 성립한다.

$$f(I_n)=k\psi_{1,\ldots,n}(e_1,\ldots,e_n)=k$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  이로부터 다음의 자명한 따름정리를 얻는다.

 

  Corollary 6.3.  $f\in\mathcal{A}^n(F^n)$ 가 행렬식일 필요충분조건은 $f(I_n)=1$ 인 것이다.

 

  이는 본 시리즈의 첫 포스팅에서 언급한 행렬식의 본질에 대해 직접적으로 말하고 있다. 다시말해 다음의 세 가지 성질을 만족하는 유일한 함수가 행렬식이라는 것이다.

 

  (ⅰ) 정사각행렬 $A$ 의 두 열을 교환하여 얻은 행렬을 $B$ 라 하면 $\text{det }B=-\text{det }A$ 이다.
  (ⅱ) 정사각행렬의 행렬식은 나머지 열이 고정되어 있을 때, 행렬의 각 열에 대하여 선형변환이다.
  (ⅲ) $\text{det }I_n=1$ 이다.

 

  따라서 귀납적으로 정의한 행렬식 함수와 순열을 이용하여 정의한 행렬식 함수가 서로 같다는 것은 따로 증명하지 않아도 결과를 자명하게 얻어낼 수 있다.

 

 

2. 행렬식의 성질

 

  다음의 정리에 따르면 열벡터에 관한 행렬식의 성질은 행벡터의 경우에도 동일하게 나타난다.

 

  Lemma 6.4.  정사각행렬 $X$ 에 대해 $\text{det }X^t=\text{det }X$ 이다.

 

  Proof.  Theorem 6.1. 에 따르면 다음과 같다.

$$\begin{align}\text{det }X^t&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)(X^t)_{1,\sigma(1)}\cdots(X^t)_{n,\sigma(n)}\\&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)x_{\sigma(1),1}\cdots x_{\sigma(n),n}\end{align}$$

  이때 $x_{\sigma(1),1}\cdots x_{\sigma(n),n}$ 의 곱하는 순서를 첫 번째 첨자가 가장 작은 수부터 나타나도록 재배열할 것이다. 다시말해 $x_{1,i_1}\cdots x_{n,i_n}$ 의 꼴로 순서만 바꾸는 것이며, 각 성분의 하첨자 자체는 바뀌지 않으므로 각 $j,\;k\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대해 다음과 같다.

$$(\sigma(j),j)=(k,i_k)\quad\therefore\sigma(j)=k,\;j=i_k$$

  이때 $j=\sigma^{-1}(k)$ 이므로 $i_k=\sigma^{-1}(k)$ 를 얻는다. 따라서 성분들의 곱의 재배열은 다음과 같다.

$$x_{1,\sigma^{-1}(1)}\cdots x_{n,\sigma^{-1}(n)}$$

$$\therefore\text{det }X^t=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)x_{1,\sigma^{-1}(1)}\cdots x_{n,\sigma^{-1}(n)}$$

  Lemma 5.2. 에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{align}\text{det }X^t&=\sum_{\sigma\in S_k}(\text{sgn }\sigma)x_{1,\sigma^{-1}(1)}\cdots x_{n,\sigma^{-1}(n)}\\&=\sum_{\sigma^{-1}\in S_k}(\text{sgn }\sigma)x_{1,\sigma^{-1}(1)}\cdots x_{n,\sigma^{-1}(n)}\\&=\text{det }X\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

  다음은 행렬식의 대표적인 성질에 대해 말한다.

 

  Theorem 6.5.a.  $F$ 의 표수가 2가 아닐 때 $A\in\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $A$ 의 두 열을 교환하여 얻은 행렬 $B$ 에 대해 $\text{det }B=-\text{det }A$ 이다.
  (ⅱ) $A$ 의 한 열에 스칼라 $c$ 를 곱하여 얻은 행렬 $B$ 에 대해 $\text{det }B=c\;\text{det }A$ 이다.
  (ⅲ) $A$ 의 $j$ 열에 $i(\neq j)$ 열의 스칼라 배를 더하여 얻은 행렬 $B$ 에 대해 $\text{det }B=\text{det }A$ 이다.

 

  Proof.  행렬식은 교대다중선형이므로 (ⅰ)과 (ⅱ)가 자명하게 성립한다.

  (ⅲ) 정사각행렬 $A=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}$ 에 대해 다중선형성에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\text{det}(a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_j+ca_i,\ldots,a_n)\\=&\;\text{det}(a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_j,\ldots,a_n)\\&\;+c\;\text{det}(a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_i,\ldots,a_n)\end{align}$$

  이때 lemma 4.1. 에 따라 서로 다른 성분에 동일한 벡터를 갖는 경우 그 값이 0이 되므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  Corollary 6.5.b.  $F$ 의 표수가 2가 아닐 때 $A\in\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $A$ 의 두 행을 교환하여 얻은 행렬 $B$ 에 대해 $\text{det }B=-\text{det }A$ 이다.
  (ⅱ) $A$ 의 한 행에 스칼라 $c$ 를 곱하여 얻은 행렬 $B$ 에 대해 $\text{det }B=c\;\text{det }A$ 이다.
  (ⅲ) $A$ 의 $j$ 행에 $i(\neq j)$ 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 행렬 $B$ 에 대해 $\text{det }B=\text{det }A$ 이다.

 

  다음의 정리는 lemma 4.1. 에 따라 자명하다.

 

  Theorem 6.6.  $F$ 의 표수가 2가 아닐 때 $A\in\mathbb{M}_{n\times n}(F)$ 의 두 행 또는 두 열이 같으면 $\text{det }A=0$ 이다.

 

  다음의 정리는 상삼각행렬의 행렬식을 쉽게 계산하는 방법에 대해 말한다.

 

  Theorem 6.7.  상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이다.

 

  Proof.  $n\times n$ 상삼각행렬 $X$ 를 생각하자. 먼저 theorem 6.1. 에 따라 다음과 같다.

$$\text{det }X=\sum_{\sigma\in S_n}(\text{sgn }\sigma)x_{1,\sigma(1)}\cdots x_{n,\sigma(n)}$$

  이때 $X$ 는 상삼각행렬이므로 $i>j$ 인 모든 $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대해 $x_{ij}=0$ 이다. 즉, 위 식에서 모든 $k\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대해 $k\le\sigma(k)$ 를 만족하는 $\sigma\in S_k$ 에 의한 항만 0이 아니게 된다. 이러한 순열은 항등순열 뿐이므로 다음을 얻는다.

$$\text{det }X=(\text{sgn id})x_{1,1}\cdots x_{n,n}$$

  $\text{sgn id}=1$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  아래의 정리에 따르면 행렬식은 행렬의 곱을 보존하는 사상임을 알 수 있다.

 

  Theorem 6.8.  $n\times n$ 행렬 $A,\;B$ 에 대해 $\text{det}(AB)=(\text{det }A)(\text{det }B)$ 이다.

 

  Proof.  $B=\begin{pmatrix}b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}$ 에 대해 $AB=\begin{pmatrix}Ab_1&\cdots&Ab_n\end{pmatrix}$ 이다. (링크의 정리 8-2 참고) 다음의 함수 $f$ 를 생각하자.

$$f(X)=\text{det}(AX)=\text{det}(Ax_1,\ldots,Ax_n)$$

  따라서 $f$ 가 교대다중선형사상임이 자명하다. 그러므로 theorem 6.2. 에 따라 다음이 성립한다.

$$\text{det}(AB)=f(B)=f(I_n)\text{det }B=(\text{det }A)(\text{det }B)\tag*{$\square$}$$

 

 

3. 역행렬과 행렬식

 

  역행렬은 행렬식과 밀접한 관계를 갖는데, 여기서는 행렬의 랭크에 대한 지식이 도움이 된다.

 

  Lemma 6.9.  $n\times n$ 행렬 $A$ 에 대해 $\text{rank}(A)<n$ 이면 $\text{det }A=0$ 이다.

 

※ 사실 이 도움정리는 그 역도 성립하지만, 이를 증명하기 위해서는 아래의 theorem 6.10.이 필요하므로 생략한다.

 

  Proof.  $A$ 의 랭크가 $n$ 미만이면 $A$ 의 열은 일차종속을 이룬다. (링크의 corollary 2.13. 참고) 따라서 $A$ 의 어떤 m번째 열은 다른 열의 일차결합이다. 따라서 m번째 열에 다른 열의 스칼라배를 더하여 m번째 열을 0으로 만들 수 있으며, 이렇게 얻은 행렬을 $B$ 라고 하자. Theorem 6.5.에 따르면 $\text{det }A=\text{det }B$ 이며 $B$ 의 m번째 열은 모든 성분이 0이므로 $\text{det }B=0$ 이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  Theorem 6.10.  $n\times n$ 행렬 $A$ 가 가역일 필요충분조건은 $\text{det }A\neq 0$ 인 것이며 이때 다음이 성립한다.$$\text{det}(A^{-1})=\frac{1}{\text{det }A}$$

 

  Proof.

  ($\Leftarrow$) 대우명제를 증명하자. $A$ 가 가역이 아니면 랭크의 성질(링크의 theorem 2.1.)에 따라 $A$ 의 랭크는 $n$ 보다 작으며, lemma 6.9.에 따라 $\text{det }A=0$ 를 얻는다.

  ($\Rightarrow$) $A$ 가 가역이면 theorem 6.8.에 따라 다음을 얻는다.

$$(\text{det }A)(\text{det}(A^{-1}))=\text{det}(AA^{-1})=\text{det }I_n=1$$

  따라서 $\text{det }A$ 는 0일 수 없으므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] 스티븐 H, 프리드버그. (2020). 프리드버그 선형대수학 (한빛수학교재연구소 옮김). 한빛아카데미.

[2] 김홍종. (2020). 미적분학 1+. 서울대학교출판문화원.

[3] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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