[다변수 적분] ch1. 적분의 정의

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[FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리

[FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분

[실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary

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Partition

 

  적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다.

 

Definition.  Rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 각 $[a_j,b_j]$ 를 $Q$ 의 component interval 이라고 한다.
  (1) $Q$ 의 width 를 다음과 같이 정의하자.$$\text{width }Q=\text{max}\{b_1-a_1,\ldots,b_n-a_n\}$$  (2) $Q$ 의 volume 을 다음과 같이 정의하자.$$v(Q)=(b_1-a_1)\cdots(b_n-a_n)$$

 

※ 참고문헌에서는 rectangle 의 width 를 표기하도록 하는 기호를 따로 명시하지 않았다.

 

  위 정의에서 1차원 공간 $\mathbb{R}$ 의 rectangle , 즉 닫힌구간의 경우 volume 의 정의가 단순히 구간의 길이(length)의 개념으로 퇴화됨을 볼 수 있다.

 

  다음의 정의는 rectangle 을 보다 작은 여러개의 rectangle 로 나누는 방법에 대해 말한다.

 

Definition.  $[a,b]$ 의 partition 이란 $a,b$ 를 포함하며 $[a,b]$ 의 점들로 이루어진 유한집합이다.

 

  Partiton 이 유한집합임에 유의하자. 닫힌구간 $[a,b]$ 의 partition $P\subset[a,b]$ 의 원소를 표기할 때에는 일반적으로 오름차순의 표기(increasing order index)를 사용한다. 예를들면 다음과 같다.

$$P=\{t_0,t_1,\ldots,t_k\}\subset[a,b]$$

$$\Rightarrow a=t_0<t_1<\cdots<t_k=b$$

 

Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 을 생각하자. 각 $[a_j,b_j]$ 의 partition $P_j$ 에 대해 다음의 집합을 $Q$ 의 partition 이라고 한다.$$P=P_1\times\cdots\times P_n$$  $Q$ 의 모든 partitions 의 모임을 $\Pi(Q)$ 라고 쓴다.

 

  $\mathbb{R}^n$ 의 rectangle $Q$ 의 partiton $P$ 를 $P_1\times\cdots\times P_n$ 이라고 할때, 각 $P_j$ 는 유한집합이며 그 원소의 수를 $m_j$ 라고 할 경우 $P$ 의 총 원소의 수는 $m_1\times\cdots\times m_n$ 이다. 요점은 n차원 공간의 rectangle 의 partition 또한 유한집합이라는 것이며 이를 잘 기억해두자.

 

Definition.  $[a,b]$ 의 partition $P=\{t_0,t_1,\ldots,t_k\}$ 를 생각하자. 각 $i\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대해 구간 $[t_{i-1},t_i]$ 를 $P$ 에 대한 $[a,b]$ 의 subinterval 이라고 한다.

 

※ "$P$ 에 대한 $[a,b]$ 의 subinterval" 의 원문은 "the subinterval determined by $P$, of the interval $[a,b]$" 이다.

 

Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ , $Q$ 의 partition $P=P_1\times\cdots\times P_n$ 을 생각하자. 각 $I_j$ 가 $P_j$ 에 대한 $[a_j,b_j]$ 의 subinterval 이면 다음의 rectangle 을 $P$ 에 대한 $Q$ 의 subrectangle 이라고 한다.$$R=I_1\times\cdots\times I_n$$  $P$ 에 대한 $Q$ 의 모든 subrectangles 의 모임을 $S(P)$ 라고 쓴다.

 

※ "$P$ 에 대한 $Q$ 의 subrectangle" 의 원문은 "the subrectangle determined by $P$, of the rectangle $Q$" 이다.

 

  Subrectangle 은 rectangle 에 partition 이 주어진 뒤에 선택할 수 있음에, 그리고 각 subrectangle 은 그 자체로 하나의 rectangle 임에 유의하자.

 

  기하적으로 subrectangle 이란 rectangle 을 각각의 축을 따라 분할하였을 때 생겨나는 각각의 격자공간를 의미한다. 여기서 잠시 멈추어 각 subrectangle 의 각 component interval 은 원래의 rectangle 의 component inteval 의 subinterval 과 같음을 이해해보자.

 

  다음의 정의는 rectangle 을 얼마나 잘게 분할하였는지를 측정하는 도구이다.

 

Definition.  Rectangle $Q$ 와 $P\in\Pi(Q)$ 에 대하여 다음을 $P$ 의 mesh 라고 한다.$$\text{max}\{\text{width }R:R\in S(P)\}$$

 

  다시말해 mesh 란 rectangle 의 모든 component interval 과 그의 모든 subinterval 중에서 얻을 수 있는 가장 큰 length 이다.

 

  다음의 정리는 주어진 partition 을 더 잘게 분할한 partition 에 대해 말한다. 더 잘게 분할한 partition 의 점들은 원래의 partition 의 모든 점을 이미 포함함에 유의하자.

 

Definition.  Rectangle $Q$ 의 partition $P,P'$ 에 대해 $P\subset P'$ 이면 $P'$ 를 $P$ 의 refinement 라고 한다.

 

  $\mathbb{R}^n$ 의 rectangle $Q$ 와 $Q$ 의 partition $P,P'$ 가 다음과 같다고 하자.

$$Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$$

$$P=P_1\times\cdots\times P_n$$

$$P'=P_1'\times\cdots\times P_n'$$

  만약 $P'$ 가 $P$ 의 refinement 라면, 각 $P_j'$ 는 $[a_j,b_j]$ 의 원소중 유한개를 택하여 $P_j$ 에 추가한 형태일 것이다.

 

  어떤 partition 의 refinement 를 얻는 또다른 방법은, 다른 partition 을 가져와 겹쳐놓는 것이다.

 

Definition.  Rectangle $Q\subset\mathbb{R}^n$ 과 $Q$ 의 partition $P,P'$ 에 대해 다음과 같다고 하자.$$P=P_1,\times\cdots\times P_n$$$$P'=P_1'\times\cdots\times P_n'$$  다음의 집합을 $P$ 와 $P'$ 의 common refinement 라고 한다.$$P''=(P_1\cup P_1')\times\cdots\times(P_n\cup P_n')$$

 

  위 정의에서 $P''$ 가 동시에 $P$ 와 $P'$ 의 refinement 임은 자명하다.

 

 

적분의 정의

 

Definition.  함수 $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 어떤 $M>0$ 이 존재하여 모든 $x\in A$ 에 대해 $|f(x)|\le M$ 이 성립하면 $f$ 가 유계(bounded)라고 한다.

 

  위 정의에 따르면 공역이 $\mathbb{R}$ 인 유계함수는 어떤 $M>0$ 에 대해 치역이 구간 $[-M,M]$ 에 포함되므로 치역에 상한과 하한이 존재한다. 그러므로 다음의 정의가 잘 선언된다.

 

Definition.  Rectangle $Q$ 와 유계함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ , 그리고 $P\in\Pi(Q)$ 에 대해 다음과 같이 정의하자.$$L(f,P)=\sum_{R\in S(P)}\left(\underset{R}{\text{inf}}\;f\right)v(R)$$$$U(f,P)=\sum_{R\in S(P)}\left(\underset{R}{\text{sup}}\;f\right)v(R)$$  이때 $L(f,P)$ 와 $U(f,P)$ 를 각각 $P$ 에 대한 $f$ 의 lower sum, upper sum 이라고 한다.

 

※ 위 정의에서 $\underset{R}{\text{inf}}\;f$ 와 $\underset{R}{\text{sup}}\;f$ 는 다음을 의미한다.

$$\underset{R}{\text{inf}}\;f=\text{inf}\{f(x):x\in R\}$$

$$\underset{R}{\text{sup}}\;f=\text{sup}\{f(x):x\in R\}$$

 

  다음의 정리에 따르면 partition 을 잘게 분할할수록 lower sum 은 커지고, upper sum 은 작아진다.

 

Theorem 1.1.  Rectangle $Q$ , $P\in\Pi(Q)$ , 유계함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. $P$ 의 refinement $P''$ 에 대해 다음이 성립한다.$$L(f,P)\le L(f,P'')$$$$U(f,P'')\le U(f,P)$$

 

  Proof.  $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 및 $P=P_1\times\cdots\times P_n$ 이라고 하자. 본 정리를 증명하는 것은 어떤 $[a_j,b_j]$ 의 점을 $P_j$ 에 추가하여 $P''$ 를 구성하는 것으로 충분하다. 그 이후는 귀납적으로 알 수 있다.

  $P_1=\{t_0,\ldots,t_k\}$ 라고 할때 어떤 $q\in(t_{i-1},t_i)$ 를 $P_1$ 에 추가하여 $P''$ 를 구성하자. 다음의 모임을 생각하자.

$$\left\{[t_{i-1},t_i]\times r:r\in S(P_2\times\cdots\times P_n)\right\}$$

  위 모임은 분명 $S(P)$ 에 속하지만 $S(P'')$ 에는 속하지 않는다. 다음의 두 모임은 $S(P'')$ 에 속한다.

$$\left\{[t_{i-1},q]\times r:r\in S(P_2\times\cdots\times P_n)\right\}$$

$$\left\{[q,t_i]\times r:r\in S(P_2\times\cdots\times P_n)\right\}$$

  임의의 $r\in S(P_2\times\cdots\times P_n)$ 을 고정하고 다음과 같이 쓰자.

$$R_r=[t_{i-1},t_i]\times r$$

$$R_r'=[t_{i-1},q]\times r$$

$$R_r''=[q,t_i]\times r$$

  위의 논의와 같이 $R_r\in S(P)$ , $R_r',R_r''\in S(P'')$ 이다. 한편 $R_r',R_r''\subset R_r$ 이므로 하한의 정의에 따라 다음이 자명하다.

$$\forall x\in R_r',\;\;\underset{R_r}{\text{inf}}\;f\le f(x)$$

$$\forall x\in R_r'',\;\;\underset{R_r}{\text{inf}}\;f\le f(x)$$

  따라서 $\underset{R_r}{\text{inf}}\;f$ 는 $\{f(x):x\in R_r'\}$ 와 $\{f(x):x\in R_r''\}$ 의 하계이므로 $\underset{R_r}{\text{inf}}\;f\le\underset{R_r'}{\text{inf}}\;f,\underset{R_r''}{\text{inf}}\;f$ 를 얻는다. 다음이 자명하다.

$$v(R_r)=v(R_r')+v(R_r'')$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\left(\underset{R_r}{\text{inf}}\;f\right)v(R_r)\le\left(\underset{R_r'}{\text{inf}}\;f\right)v(R_r')+\left(\underset{R_r''}{\text{inf}}\;f\right)v(R_r'')$$

  위 식은 모든 $r\in S(P_2\times\cdots\times P_n)$ 에 대해 성립하므로 $L(f,P)\le L(f,P'')$ 를 얻는다. 비슷하게 $U(f,P'')\le U(f,P)$ 를 얻을 수 있다.   $\square$

 

 

  다음의 정리에 따르면 항상 lower sum 보다 upper sum 이 더 크며, 따라서 lower sum 의 집합은 upper sum 에 의해 위로 유계이고 upper sum 의 집합은 lower sum 에 의해 아래로 유계이다.

 

Theorem 1.2.  Rectangle $Q$ , 유계함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ , $P,P'\in\Pi(Q)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$L(f,P)\le U(f,P')$$

 

  Proof.  만약 $P=P'$ 일 경우 임의의 $R\in S(P)$ 에 대해 $\underset{R}{\text{inf}}\;f\le\underset{R}{\text{sup}}\;f$ 이므로 본 정리가 성립한다. $P\neq P'$ 라고 가정하고 $P$ 와 $P'$ 의 common refinement $P''$ 를 생각하자. Thm 1.1 에 따라 다음이 성립한다.

$$L(f,P)\le L(f,P'')\le U(f,P'')\le U(f,P')$$

  정리하면 $L(f,P)\le U(f,P')$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

Definition.  Rectangle $Q$ , 유계함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 정의하자.$$\underline{\int_Q}f=\underset{P\in\Pi(Q)}{\text{inf}}L(f,P)$$$$\overline{\int_Q}f=\underset{P\in\Pi(Q)}{\text{sup}}U(f,P)$$  이를 각각 $Q$ 에서 $f$ 의 lower integral, upper integral 이라고 한다.

 

※ "$Q$ 에서 $f$ 의 lower integral" 의 원문은 "the lower integral of $f$ over $Q$" 이다.

 

  Thm 1.2 로부터 유계함수의 lower, upper integral 은 항상 존재함을 알 수 있다. 그러나 그 두 값이 같음은 보장되지 않는다.

 

Definition.  다음이 성립하면 $Q$ 에서 $f$ 가 적분가능하다(integrable)고 한다.$$\underline{\int_Q}f=\overline{\int_Q}f$$  이때 이 공통값을 $Q$ 에서 $f$ 의 적분(integral)이라고 하고 다음과 같이 쓴다.$$\int_Qf\qquad\text{or}\qquad\int_{x\in Q}f(x)$$

 

※ "$Q$ 에서 $f$ 가 적분가능하다" 의 원문은 "$f$ is integrable over $Q$" 이고, "$Q$ 에서 $f$ 의 적분" 의 원문은 "the integral of $f$ over $Q$" 이다.

 

  이제부터 당분간은 "적분가능함수" 는 "유계함수" 를 자동으로 함의한다고 하자. 이 약속은 유계가 아닌 함수에 대한 적분을 정의하기 전까지 유효할 것이다.

 

  이렇게 정의된 적분은 다르부 적분(Darboux integral)이며 엄밀히 하면 "적분가능하다" 대신 "다르부 적분가능하다" 라고 해야한다. 한편 별도로 정의된 리만 적분(Riemann integral)에 대해, 리만 적분가능할 필요충분조건은 다르부 적분가능한 것이며 그 적분값이 동일함이 알려져있다. 즉 다르부 적분과 리만 적분은 동치이므로 "다르부 적분가능하다" 대신 "리만 적분가능하다" 라고 하기도 한다. 본 시리즈에서는 수식어를 빼고 "적분가능하다" 라고 할 것이다.

 

  표기법에 대해 이야기해보자. $\mathbb{R}$ 에서의 적분에 대하여 종종 다소 다른 표기법을 이용할 수 있는데, 이를테면 $Q=[a,b]$ 인 경우 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 적분을 $\int_{[a,b]}f$ 대신 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$\int_a^bf\qquad\text{or}\qquad\int_{x=a}^{x=b}f(x)$$

  그 밖에도 미적분학에서 1차원 적분을 나타내기 위해 자주 사용되는 표기법이 있으며, 이는 다음과 같다.

$$\int_a^bf(x)dx$$

  이 경우 기호 "$dx$" 는 독립적인 어떠한 의미도 갖지 않는다. 본 시리즈에서는 이 표기법을 의도적으로 피할 것이며, 나중에 다른 시리즈에서 "$dx$" 에 어떠한 의미를 부여하여 이 표기법을 다시금 사용할 기회가 있을 것이다. "미분형식" 또는 "differentlal form" 이라는 이름을 기억해두자.

 

 

적분의 성질

 

  다음의 정리는 두 단계로 되어있으며, 둘 다 중요하다.

 

Theorem 1.3 (The Riemann condition).
  Rectangle $Q$ , 유계함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\underline{\int_Q}f\le\overline{\int_Q}f$$  등식이 성립할 필요충분조건은 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $P\in\Pi(Q)$ 가 존재하여 다음이 성립하는 것이다.$$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$$

 

  Proof.  임의의 $P'\in\Pi(Q)$ 를 고정하자. 임의의 $P\in\Pi(Q)$ 에 대해 Thm 1.2 에 따라 $L(f,P)\le U(f,P')$ 가 성립한다. 따라서 $\underline{\int_Q}f\le U(f,P')$ 가 성립하며, $P'$ 를 $\Pi(Q)$ 에서 임의로 선택하였으므로 $\underline{\int_Q}f\le\overline{\int_Q}f$ 를 얻는다.

 

  ($\Rightarrow$) $\underline{\int_Q}f=\overline{\int_Q}f$ 라고 가정하자. $\underline{\int_Q}f$ 는 lower sum 의 상한이고 $\overline{\int_Q}f$ 는 upper sum 의 하한이므로 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $P,P'\in\Pi(Q)$ 가 존재하여 다음이 성립한다.

$$\underline{\int_Q}f-L(f,P)<\frac{\epsilon}{2}$$

$$U(f,P')-\overline{\int_Q}f<\frac{\epsilon}{2}$$

  한편 $P$ 와 $P'$ 의 common refinement $P''$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$L(f,P)\le L(f,P'')\le \int_Qf\le U(f,P'')\le U(f,P')$$

  이를 적절하게 정리하면 다음을 얻는다.

$$L(f,P)-\int_Qf\le L(f,P'')-\int_Qf$$

$$U(f,P'')-\int_Qf\le U(f,P')-\int_Qf$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\int_Qf-L(f,P'')<\frac{\epsilon}{2}$$

$$U(f,P'')-\int_Qf<\frac{\epsilon}{2}$$

$$\therefore U(f,P'')-L(f,P'')<\epsilon$$

 

  ($\Leftarrow$) $\underline{\int_Q}f\neq\overline{\int_Q}f$ 라고 가정하자. $\epsilon=\overline{\int_Q}f-\underline{\int_Q}f$ 라고 하면 본 증명의 초반 논의에 따라 $\epsilon>0$ 이다. 임의의 $P\in\Pi(Q)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$L(f,P)\le\underline{\int_Q}f<\overline{\int_Q}f\le U(f,P)$$

  이를 적절하게 정리하면 다음을 얻는다.

$$L(f,P)-\underline{\int_Q}f\le 0$$

$$0\le U(f,P)-\overline{\int_Q}f$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$U(f,P)-L(f,P)\ge\overline{\int_Q}f-\underline{\int_Q}f=\epsilon$$

  정리하면 $\underline{\int_Q}f\neq\overline{\int_Q}f$ 인 경우 어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 임의의 $P\in\Pi(Q)$ 에 대해 $U(f,P)-L(f,P)\ge\epsilon$ 가 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  다음 정리의 의의중 하나는 rectangle 의 volume 이 subrectangles 의 volume 의 합과 같음을 형식적으로 보여줌에 있다.

 

Theorem 1.4.  상수함수는 모든 rectangle 에서 적분가능하다. 특히 rectangle $Q$ 와 $P\in\Pi(Q)$ 에 대해 다음과 같다.$$\int_Qc=c\cdot v(Q)=c\sum_{R\in S(P)}v(R)$$

 

  Proof.  상수함수 $c:Q\to\mathbb{R}$ , $c(x)=c$ 와 임의의 $R\in S(P)$ 에 대해 다음이 자명하다.

$$\underset{R}{\text{inf}}\;c=c=\underset{R}{\text{sup}}\;c$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$L(f,P)=c\sum_{R\in S(P)}v(R)=U(f,P)$$

  따라서 Riemann condition 이 성립하므로 $c$ 는 $Q$ 에서 적분가능하다. 이때 $\int_Qc$ 가 존재하며 다음이 성립해야 함을 안다.

$$L(f,P)\le\int_Qc\le U(f,P)$$

  따라서 $\int_Qc=c\displaystyle\sum_{R\in S(P)}v(R)$ 를 얻는다. 이 결과는 임의의 $P\in\Pi(Q)$ 에 대해 성립하므로, 자명한 partition 즉 유일한 subrectangle 이 $Q$ 자기 자신인 경우에 대해서도 성립하여야 한다. 이 경우 $\displaystyle\sum_{R\in S(P)}v(R)=v(Q)$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  위 정리로부터 다음의 따름정리를 얻으며, 이는 얼핏 보기에 과하게 기하적인 의미만 갖는 것처럼 느껴진다. 하지만 적분가능성에 대한 논의에서 "measure zero" 의 개념을 빼고 말하기는 어려우며 이 과정에서 기하적인 응용이 많이 사용되므로 아래의 따름정리는 그 의의를 갖는다.

 

Corollary 1.5.  Rectangles 의 유한모임 $\{Q_1,\ldots,Q_k\}$ 이 rectangle $Q$ 를 덮으면 다음이 성립한다.$$v(Q)\le\sum_{i=1}^kv(Q_i)$$

 

※ $\{Q_1,\ldots,Q_k\}$ 가 $Q$ 를 덮는다는 것은 합집합 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^kQ_i$ 에 $Q$ 가 포함된다는 의미이다.

  Proof.  $Q_1,\ldots,Q_k$ 를 모두 포함하는 rectangle $Q'$ 를 생각하자. $Q$ 와 $Q'$ 및 $Q_1,\ldots,Q_k$ 의 subintervals 의 end points(예를들어 $[a,b]$ 의 end points 는 $a,b$) 의 집합들로 $Q'$ 의 partition $P$ 를 구성하자. 이때 $Q_1,\ldots,Q_k$ 와 $Q$ 는 각각 $P$ 에 대한 $Q'$ 의 subrectangles 의 어떤 합집합과 같다. Thm 1.4 에 따라 다음이 성립한다.

$$v(Q)=\sum_{\substack{R\in S(P)\\R\subset Q}}v(R)$$

  이때 $Q$ 는 $\{Q_1,\ldots,Q_k\}$ 에 의해 덮이므로 $R\subset Q$ 인 각 $R\in S(P)$ 는 $\{Q_1,\ldots,Q_k\}$ 에 의해 덮인다. 이때 이 $R$ 은 $Q_1,\ldots,Q_k$ 중 적어도 하나에 완전히 포함되므로 다음이 성립한다.

$$\sum_{\substack{R\in S(P)\\R\subset Q}}v(R)\le\sum_{i=1}^k\sum_{\substack{R\in S(P)\\R\subset Q_i}}v(R)$$

  다시 Thm 1.4 에 따라 다음이 성립한다.

$$\sum_{\substack{R\in S(P)\\R\subset Q_i}}v(R)=v(Q_i)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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