[실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary

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Interior, Exterior, Boundary

 

  일반적으로 interior 는 내부, exterior 는 외부, boundary 는 경계로 번역된다. 그러나 내부와 외부는 그저 집합과 여집합으로 오해되기 쉬우므로 본 블로그에서는 번역하지 않는다.

 

Definition.  집합 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 을 생각하자.
  (1) $A$ 에 포함되는, ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있는 모든 집합의 합집합을 $A$ 의 interior 라고 하고 $\text{Int }A$ 라고 쓴다.
  (2) ${\mathbb{R}}^n\setminus A$ 에 포함되는, ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있는 모든 집합의 합집합을 $A$ 의 exterior 라고 하고 $\text{Ext }A$ 라고 쓴다.
  (3) ${\mathbb{R}}^n\setminus (\text{Int }A\cup \text{Ext }A)$ 를 $A$ 의 boundary 라고 하고 $\text{Bd }A$ 라고 쓴다.

 

  집합의 interior, exterior, boundary 각각이 서로소임은 자명하다. 간단한 성질을 모아보자.

 

Theorem 6.1.  집합 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) $\text{Int }A$ 와 $\text{Ext }A$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있다.
  (2) $\text{Int }A\cup \text{Bd }A={\text{cl}}^{{\mathbb{R}}^n}(A)$

 

  Proof.

  (1) 정리 3.1.에 따라 열린집합의 임의의 합집합은 열린집합이므로 원하는 결과를 얻는다.

  (2) 편의를 위해 $\text{Int }A\cup \text{Bd }A=B$ 라고 하자. ${\mathbb{R}}^n\setminus B=\text{Ext }A$ 이며 이는 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있으므로 $B$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 닫혀있다. 한편 ${\mathbb{R}}^n\setminus B$ 는 $A$ 와 서로소이므로 $A\subset B$ 를 얻는다. 정리 3.8.에 따라 ${\text{cl}}^{{\mathbb{R}}^n}A\subset B$ 를 얻는다. 따라서 다음이 성립한다.

$${\mathbb{R}}^n\setminus B\subset {\mathbb{R}}^n\setminus {\text{cl}}^{{\mathbb{R}}^n}(A)$$

  이때 ${\mathbb{R}}^n\setminus {\text{cl}}^{{\mathbb{R}}^n}(A)$ 는 $A$ 와 서로소이므로 ${\mathbb{R}}^n\setminus A$ 에 속하고, ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있다. 정의에 따라 ${\mathbb{R}}^n\setminus {\text{cl}}^{{\mathbb{R}}^n}(A)\subset \text{Ext }A$ 가 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

Rectangle

 

  Rectangle 은 좌표평면에서는 직사각형에 대응하는 도형이며, 이는 다변수 해석학에서 가장 중요한 도구 중 하나이다.

 

Definition.  다음의 두 집합을 각각 ${\mathbb{R}}^n$ 의 rectangle, open rectangle 이라고 한다.$$[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$$$$(a_1,b_1)\times \cdots \times (a_n,b_n)$$

 

  다음의 정리는 interior 를 직관적으로 이해하기 아주 좋은 예시이다.

 

Theorem 6.2.  ${\mathbb{R}}^n$ 의 rectangle $Q=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ 에 대해 $\text{Int }Q$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 의 open rectangle 이며 다음이 성립한다$$\text{Int }Q=(a_1,b_1)\times \cdots \times (a_n,b_n)$$

 

  Proof.  편의상 $Q^{\prime }=(a_1,b_1)\times \cdots \times (a_n,b_n)$ 이라고 하자. 각 $j\in \{1,\dots ,n\}$ 에 대해 사영 ${\pi }_j:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 과 $(a_j,b_j)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$${\pi }_j^{-1}((a_j,b_j))={\mathbb{R}}^{j-1}\times (a_j,b_j)\times {\mathbb{R}}^{n-j}$$

  이때 ${\pi }_j$ 는 연속이므로 ${\pi }_j^{-1}((a_j,b_j))$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있으며, $Q^{\prime }$ 는 ${\pi }_1^{-1}((a_1,b_1)),\dots ,{\pi }_n^{-1}((a_n,b_n))$ 의 교집합이므로 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있다. 한편 $Q^{\prime }\subset Q$ 이므로 $Q^{\prime }\subset \text{Int }Q$ 를 얻는다.

  모순을 보이기 위해 $\text{Int }Q\not\subset Q^{\prime }$ 라고 가정하자. $\text{Int }Q$ 와 $Q^{\prime }$ 모두 $Q$ 에 속하므로, $\text{Int }Q$ 에는 속하고 $Q^{\prime }$ 에는 속하지 않는 어떤 $x\in Q$ 가 존재한다. $Q$ 와 $Q^{\prime }$ 의 정의에 따라, $x=(x_1,\dots ,x_n)$ 이라고 하면 반드시 어떤 $x_i$ 는 $a_i$ 또는 $b_i$ 이다. 편의상 $x_i=a_i$ 라고 하자. $x\in \text{Int }Q$ 이므로 어떤 $ϵ>0$ 이 존재하여 $C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(x)\subset \text{Int }Q$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$(a_1-\frac{ϵ}{2},x_2,\dots ,x_n)\in (a_1,b_1)\times \cdots \times (a_n,b_n)$$

  이때 $a_1-\frac{ϵ}{2}$ 는 $(a_1,b_1)$ 에 포함되지 않으므로 모순. 다른 경우에도 모순이 발생하므로 $\text{Int }Q\subset Q^{\prime }$ 가 성립한다. 따라서 $Q^{\prime }=\text{Int }Q$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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