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[실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질

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열린집합과 닫힌집합의 성질

 

  다음의 정리에 따르면 열린집합은 아무리 합쳐도 열린집합이고, 닫힌집합은 아무리 겹쳐도 닫힌집합이다. 다시말해 열린집합은 쉽게 키울 수 있고, 닫힌집합은 쉽게 좁힐 수 있다. 다만 유한번의 합침 또는 겹침에 대해서는 열림성과 닫힘성이 보존된다.

 

Theorem 3.1.  거리공간 X 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) X 에서 열린집합의 임의의 합집합과 유한교집합은 X 에서 열려있다.
  (2) X 에서 닫힌집합의 임의의 교집합과 유한합집합은 X 에서 닫혀있다.

 

※ 임의의 합집합/교집합은 합집합/교집합 연산을 임의의 횟수만큼 시행한 집합을 의미한다. 특히 그 횟수가 유한하지 않거나, 심지어 비가산인 상황을 모두 포함한다.

 

  Proof.

  (1) X 에서 열린집합의 모임 {Oα:αJ} 에 대해 합집합 αJOαX 에서 열려있음을 보이자. αJOα 의 임의의 원소 x0 에 대해, 합집합의 성질에 따라 어떤 βJ 가 존재하여 x0Oβ 이다. OβX 에서 열려있으므로 어떤 ϵ>0 이 존재하여 UϵX(x0)Oβ 가 성립한다. 이때 OβαJOα 이므로 UϵX(x0)αJOα 이다. 따라서 αJOαX 에서 열려있다.

  X 에서 열린집합 O1,,On 에 대해 교집합 k=1nOkX 에서 열려있음을 보이자. k=1nOk 의 임의의 원소 x0 에 대해 x0O1,,On 모두에 속하므로, 각 k=1,,n 에 대해 ϵk>0 이 존재하여 UϵkX(x0)Ok 가 성립한다. ϵ1,,ϵn 중 가장 작은 값을 ϵ 이라고 하자. 모든 k=1,,n 에 대해 UϵX(x0)UϵkX(x0) 이므로 UϵX(x0)Ok 이기도 하다. 즉 UϵX(x0)k=1nOk 이므로 k=1nOkX 에서 열려있다.

  (2) X 에서 닫힌집합의 모임 {Fα:αJ} 에 대해 교집합 αJFαX 에서 닫혀있음을 보이자. 이는 XαJFαX 에서 열려있음을 보이는 것과 동치이다. 아래의 논리에 따라 XαJFα=αJXFα 가 성립한다.

xXαJFαxX¬(xαJFα)xX¬(αJ,xFα)xX(αJ,xFα)αJ,xXxFααJ,xXFαxαJXFα

  각 XFαX 에서 열려있으며, 따라서 αJXFαX 에서 열린집합의 임의의 합집합이므로 (1)에 따라 X 에서 열려있다. 즉 XαJFαX 에서 열려있으므로 원하는 결과를 얻는다.

  X 에서 닫힌집합 F1,,Fn 에 대해 합집합 k=1nFkX 에서 닫혀있음을 보이자. 이는 Xk=1nFkX 에서 열려있음을 보이는 것과 동치이다. 아래의 논리에 따라 Xk=1nFk=k=1nXFk 가 성립한다.

xXk=1nFkxX¬(xk=1nFk)xX¬(xF1xFn)xX(xF1xFn)(xXxF1)(xXxFn)xXF1xXFnxk=1nXFk

  각 XFkX 에서 열려있으며, 따라서 k=1nXFkX 에서 열린집합의 유한교집합이므로 (1)에 따라 X 에서 열려있다. 즉 Xk=1nFkX 에서 열려있으므로 원하는 결과를 얻는다.   

 

 

  다음의 따름정리는 점 집합이 닫힌집합의 가장 간단한 예시가 됨을 말한다.

 

Corollary 3.2.  거리공간 XaX 에 대해 {a}X 에서 닫혀있다.

 

  Proof.  X{a}X 에서 열려있음을 보이자. 각 xX{a} 에 대해 다음의 집합을 생각하자.

Ud(x,a)X(x)={bX:d(b,x)<d(x,a)}

   Ud(x,a)X(x) 의 임의의 원소 b 에 대해 다음이 성립한다.

0<d(x,a)d(x,b)d(b,a)

  따라서 ab 이므로 Ud(x,a)X(x)a 를 포함하지 않는다. 이는 Ud(x,a)X(x)X{a} 를 의미하며, 각 xX{a}Ud(x,a)X(x) 에 포함되므로 다음이 성립한다.

xX{a}Ud(x,a)X(x)=X{a}

  이 집합은 X 에서 열린집합의 임의의 합집합이므로 X 에서 열려있다.   

 

 

  구간 [0,1) 을 생각해보자. 이 집합은 R 에서는 열려있지 않지만 [0,) 에서는 열려있다. 한편 [0,1)R 에서 열려있는 집합 (1,1)[0,) 에서만 나타나는 부분이다. 이러한 추론을 일반화하여 다음과 같이 주장해보자.

 

  "거리공간 X 의 부분공간 Y 에 대하여, X 에서 열려있는 집합이 Y 에서만 나타나는 부분은 Y 에서 열려있다. 비슷하게, Y 에서 열려있는 집합은 X 에서 열려있는 어떤 집합이 Y 에서만 나타나는 부분이다."

 

  이 주장은 실제로 성립하며, 좀 더 명확히하면 다음과 같다.

 

Theorem 3.3.  거리공간 X 의 부분공간 Y 를 생각하자. AYY 에서 열려있을 필요충분조건은 X 에서 열려있는 어떤 UX 에 대해 A=UY 인 것이다.

 

  Proof.  AYY 에서 열려있다고 하자. 각 aA 에 대해 어떤 ϵa>0 이 존재하여 UϵaY(a)A 이다. 각 UϵaY(a)A 에 속하므로 aAUϵaY(a)A 이며, 각 aAUϵaY(a) 에 속하므로 aAUϵaY(a)=A 를 얻는다. YX 이므로 각 aA 에 대해 UϵaX(a)Y=UϵaY(a) 임이 자명하며, 따라서 다음이 성립한다.

(aAUϵaX(a))Y=aA(UϵaX(a)Y)=aAUϵaY(a)=A

  U=aAUϵaX(a) 라고 하면 UX 에서 열린집합의 임의의 합집합이므로 X 에서 열려있으며 UY=A 이므로 원하는 결과를 얻는다.

  역으로 X 에서 열려있는 어떤 UX 에 대해 A=UY 라고 하자. 각 uU 에 대해 어떤 ϵu>0 이 존재하여 UϵuX(u)U 가 성립하며, 위의 경우와 비슷하게 uUUϵuX(u)=U 이다. 다음이 성립한다.

A=UY=(uUUϵuX(u))Y=uU(UϵuX(u)Y)=uUUϵuY(u)

  AY 에서 열린집합의 임의의 합집합이므로 Y 에서 열려있으며, 따라서 원하는 결과를 얻는다.   

 

 

Corollary 3.4.  AYX 에 대해 AY 에서 열려있고 YX 에서 열려있으면 AX 에서 열려있다.

 

  Proof.  AY 에서 열려있으면 X 에서 열려있는 UX 에 대해 A=UY 이며, 이는 X 에서 열린 두 집합의 교집합이므로 X 에서 열려있다.   

 

 

닫힌집합의 다른 정의

 

  극한점은 스스로 존재하지 않고, "어떤 집합의 극한점" 으로 존재한다. 어떤 집합의 극한점이란 그 집합의  점으로 만든 수렴하는 수열의 극한으로 정의된다.

 

Definition.  거리공간 XAX 에 대해 다음을 만족하는 x0XX 에서 A 의 극한점(limit point of A in X)이라고 한다.ϵ>0,xX,xAUϵX(x0){x0}

 

  다시말해, X 에서 A 의 극한점 x0 은 아무리 작은 ϵ-근방을 가져와도 그 안에 "x0 이 아닌" A 의 다른 점이 존재한다. 여기서 A 의 극한점은 A 에 포함될수도, 포함되지 않을수도 있다. 예를들어 0RR 에서 (0,1)[0,1] 의 극한점이다.

 

  극한점의 정의에서 xx0 조건의 이유는 집합의 모든 점이 극한점이 되는 것을 막기 위해서이며, 궁극적으로 미분이 잘 정의되도록 하기 위해서이다. 이에 대해서는 극한의 정의에서 다시 언급할 것이다. 어떤 집합의 점이 극한점이 아닌 경우에 대해 다음과 같이 분류해두자.

 

Defintion.  거리공간 XAX 에 대해 A 의 원소 중 X 에서 A 의 극한점이 아닌 원소를 X 에서 A 의 고립점(isolated point)이라고 한다.

 

  고립점이라는 작명은 그럴듯한 명분이 있다. X 에서 A 의 고립점 x0 을 정의에 따라 형식적으로 쓰면 다음과 같다.

ϵ>0,xXxAUϵX(x0){x0}

  만약 당신이 수리논리에 대해 알고있다면 다음이 성립함을 이해할 것이다.

xAUϵX(x0){x0}¬(xAUϵX(x0){x0})¬(xAUϵX(x0)xx0)xAUϵX(x0)x=x0(xAUϵX(x0)x=x0)

  한편 AUϵX(x0) 는 반드시 x0 을 포함하므로 고립점의 정의는 다시 다음과 같다.

ϵ>0,AUϵX(x0)={x0}

  이는 다시말해 A 의 고립점은 어떤 ϵ-근방이 존재하여 그 안에 x0 을 제외한 A 의 원소가 하나도 존재하지 않는다는 것이다.

 

  다음의 정의는 어떤 집합에 그 집합의 모든 극한점을 포함시켜서 만든 새로운 집합에 대해 말한다.

 

Definition.  거리공간 XAX 에 대해, X 에서 A 의 모든 극한점의 집합을 LX(A) 라고 하자. 이때 집합 ALX(A)X 에서 Aclosure 라고 하며 clX(A) 라고 쓴다.

 

  이러한 집합을 정의하는 이유는 집합 A 가 자기 자신의 극한점을 모두 포함하는 경우, 즉 A=clX(A)A 가 닫힌집합임과 동치이기 때문이다. 이를 증명하기 위해, 집합에 극한점을 포함시키는 행위는 또다른 극한점을 생성하지 않음을 확인하자.

 

Lemma 3.5.  거리공간 XAX 에 대해 LX(clX(A))=LX(A) 이다.

 

  Proof.  X 에서 clX(A) 의 극한점 aX 를 생각하자. aX 에서 ALX(A) 의 극한점이므로 임의의 ϵ-근방 UϵX(a) 에는 a 가 아닌 ALX(A) 의 원소 x 가 존재한다. 이때 UϵX(a)a 가 아닌 A 의 원소가 반드시 존재함을 보이자. xA 또는 xLX(A) 이므로, xLX(A) 인 경우에 대해서만 확인하면 된다. UϵX(a)X 에서 열린집합이므로, 이에 포함되는 x 의 어떤 ϵ1-근방 Uϵ1X(x) 가 존재한다. 다음과 같이 정의하자.

ϵ2=min{ϵ1,d(x,a)}

  이때 Uϵ2X(x)Uϵ1X(x)Ud(x,a)X(x) 모두에 속하며, 따름정리 3.2.의 증명에서와 같이 Ud(x,a)X(x)a 를 포함하지 않으므로 Uϵ2X(x)a 를 포함하지 않고 UϵX(a) 에 포함된다. 한편 xLX(A) 라고 가정하였으므로 Uϵ2X(x) 에는 (중요하지 않지만, x 가 아닌) A 의 원소가 존재한다. 이는 UϵX(a) 의 원소이기도 하므로 UϵX(a) 는 반드시 A 의 원소를 포함한다.

  정리하면 clX(A) 의 모든 극한점은 임의의 ϵ-근방에 자기 자신이 아닌 A 의 원소를 포함하므로 A 의 극한점이기도 하다. 따라서 LX(clX(A))LX(A) 이며, A 의 극한점은 자명하게 ALX(A) 의 극한점이기도 하므로 원하는 결과를 얻는다.   

 

 

  위 정리의 결론으로, 집합에 극한점을 한 차례 전부 포함시키면 더 포함시킬 극한점은 남아있지 않게된다.

 

Theorem 3.6.  거리공간 XAX 에 대해 clX(clX(A))=clX(A) 이다.

 

  Proof.

clX(clX(A))=clX(A)L(clX(A))=clX(A)L(A)=(AL(A))L(A)=clX(A)

 

 

  이제 닫힌집합의 새로운 정의를 확인하자.

 

Theorem 3.7.  거리공간 XAX 에 대해 AX 에서 닫혀있을 필요충분조건은 clX(A)=A 이다.

 

  Proof.  먼저 조건 clX(A)=AALX(A)=A 이므로 LX(A)A 와 동치임을 짚고가자.

  () clX(A)=A 라고 하자. 임의의 xXA 에 대해, 만약 xA 의 극한점이면 xclX(A) 이어야 하므로 xA 의 극한점이 아니다. 따라서 x 의 어떤 ϵ-근방 UϵX(x) 가 존재하여 이 안에 A 의 원소가 없다. 즉 UϵX(x)XA 이므로 XAX 에서 열려있음, 즉 AX 에서 닫혀있다.

  () clX(A)A 라고 하자. LX(A)A 이므로 LX(A) 에 속하고 A 에는 속하지 않는 원소 xX 가 존재한다. 다시말해 X 에서 A 의 어떤 극한점 xXXA 에 속한다. 극한점의 정의에 따라 x 의 모든 ϵ-근방은 A 의 점을 포함하므로 XA 에 속하지 않는다. 따라서 XAX 에서 열려있지 않다. 그러므로 AX 에서 닫혀있지 않다.   

 

 

  다음의 따름정리는 closure 가 주어진 집합으로 닫힌집합을 만드는 가장 효율적인 방법임을 말한다.

 

Corollary 3.8.  거리공간 XAX 에 대해 clX(A)A 를 포함하는, X 에서 닫힌 가장 작은 집합이다.

 

  Proof.  먼저 clX(A)X 에서 닫힌집합임을 보이자. 정리 3.6.에 따라 clX(clX(A))=clX(A) 이므로 정리 3.7.에 따라 clX(A)X 에서 닫힌집합이다.

  A 를 포함하는, 임의의 X 에서 닫힌집합 B 를 생각하자. AB 이므로 X 에서 A 의 극한점은 B 의 극한점이기도 하다. 따라서 LX(A)LX(B) 이므로 다음이 성립.

clX(A)=ALX(A)BLX(B)=clX(B)

  한편 BX 에서 닫힌집합이므로 clX(B)=B 이기 때문에 clX(A)B 를 얻는다. 따라서 clX(A)A 를 포함하는, 모든 X 에서 닫힌집합의 부분집합이므로 원하는 결과를 얻는다.   

 

 

  닫힌집합의 새로운 정의로 인해 다음의 따름정의를 쉽게 정의할 수 있다. 사실 열린집합의 여집합으로 닫힌집합을 정의하는 것 만으로도 다음의 정리를 증명할 수 있지만, 공진리의 개념을 직접 사용해야하므로 다소 부담스러운 부분이 있다.

 

Corollary 3.9.  거리공간 X 에 대해 XX 에서 열려있고 닫혀있다.

 

  Proof.  X 의 임의의 점의 X 에서의 ϵ-근방은 반드시 X 에 포함되므로 XX 에서 열려있다. 이때 =XX 이므로 XX 에서 닫혀있다.

  X 의 부분집합의 X 에서의 극한점은 X 의 원소이므로 X 의 모든 극한점은 X 에 속한다. 따라서 XX 에서 닫혀있고, X 에서 열려있다.   

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.


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