[실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질
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열린집합과 닫힌집합의 성질
다음의 정리에 따르면 열린집합은 아무리 합쳐도 열린집합이고, 닫힌집합은 아무리 겹쳐도 닫힌집합이다. 다시말해 열린집합은 쉽게 키울 수 있고, 닫힌집합은 쉽게 좁힐 수 있다. 다만 유한번의 합침 또는 겹침에 대해서는 열림성과 닫힘성이 보존된다.
Theorem 3.1. 거리공간에 대해 다음이 성립한다.
(1)에서 열린집합의 임의의 합집합과 유한교집합은 에서 열려있다.
(2)에서 닫힌집합의 임의의 교집합과 유한합집합은 에서 닫혀있다.
※ 임의의 합집합/교집합은 합집합/교집합 연산을 임의의 횟수만큼 시행한 집합을 의미한다. 특히 그 횟수가 유한하지 않거나, 심지어 비가산인 상황을 모두 포함한다.
Proof.
(1)
(2)
각
각
다음의 따름정리는 점 집합이 닫힌집합의 가장 간단한 예시가 됨을 말한다.
Corollary 3.2. 거리공간와 에 대해 는 에서 닫혀있다.
Proof.
따라서
이 집합은
구간
"거리공간
이 주장은 실제로 성립하며, 좀 더 명확히하면 다음과 같다.
Theorem 3.3. 거리공간의 부분공간 를 생각하자. 가 에서 열려있을 필요충분조건은 에서 열려있는 어떤 에 대해 인 것이다.
Proof.
역으로
Corollary 3.4.에 대해 가 에서 열려있고 가 에서 열려있으면 는 에서 열려있다.
Proof.
닫힌집합의 다른 정의
극한점은 스스로 존재하지 않고, "어떤 집합의 극한점" 으로 존재한다. 어떤 집합의 극한점이란 그 집합의 점으로 만든 수렴하는 수열의 극한으로 정의된다.
Definition. 거리공간와 에 대해 다음을 만족하는 을 에서 의 극한점(limit point of in )이라고 한다.
다시말해,
극한점의 정의에서
Defintion. 거리공간와 에 대해 의 원소 중 에서 의 극한점이 아닌 원소를 에서 의 고립점(isolated point)이라고 한다.
고립점이라는 작명은 그럴듯한 명분이 있다.
만약 당신이 수리논리에 대해 알고있다면 다음이 성립함을 이해할 것이다.
한편
이는 다시말해
다음의 정의는 어떤 집합에 그 집합의 모든 극한점을 포함시켜서 만든 새로운 집합에 대해 말한다.
Definition. 거리공간와 에 대해, 에서 의 모든 극한점의 집합을 라고 하자. 이때 집합 를 에서 의 closure 라고 하며 라고 쓴다.
이러한 집합을 정의하는 이유는 집합
Lemma 3.5. 거리공간와 에 대해 이다.
Proof.
이때
정리하면
위 정리의 결론으로, 집합에 극한점을 한 차례 전부 포함시키면 더 포함시킬 극한점은 남아있지 않게된다.
Theorem 3.6. 거리공간와 에 대해 이다.
Proof.
이제 닫힌집합의 새로운 정의를 확인하자.
Theorem 3.7. 거리공간와 에 대해 가 에서 닫혀있을 필요충분조건은 이다.
Proof. 먼저 조건
(
(
다음의 따름정리는 closure 가 주어진 집합으로 닫힌집합을 만드는 가장 효율적인 방법임을 말한다.
Corollary 3.8. 거리공간와 에 대해 는 를 포함하는, 에서 닫힌 가장 작은 집합이다.
Proof. 먼저
한편
닫힌집합의 새로운 정의로 인해 다음의 따름정의를 쉽게 정의할 수 있다. 사실 열린집합의 여집합으로 닫힌집합을 정의하는 것 만으로도 다음의 정리를 증명할 수 있지만, 공진리의 개념을 직접 사용해야하므로 다소 부담스러운 부분이 있다.
Corollary 3.9. 거리공간에 대해 와 은 에서 열려있고 닫혀있다.
Proof.
읽어주셔서 감사합니다.
References)
[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.
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