[실수공간의 위상] ch4. 연속함수

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연속의 정의

 

  먼저 함수의 연속성은 "어떤 점에서 연속" 으로 정의될 수 있다.

 

Definition.  거리공간 $(X,d_X)$ , $(Y,d_Y)$ 와 함수 $f:X\to Y$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $x_0\in X$ 에서 연속(continuous)이라고 한다.$$\forall V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0)),\;\;\exists U\in\mathcal{N}_X(x_0),\;\;f(U)\subset V$$

 

  이는 다시말해 $f(x_0)\in Y$ 의 아무런 근방을 가져와도 $x_0\in X$ 의 어떤 근방을 가져와 그 상을 $f(x_0)\in Y$ 의 근방 안에 집어넣을 수 있다는 것이다. 이는 거꾸로 말해 다음과 같은 상황이 발생하지 않음을 의미한다.

 

  "$f(x_0)$ 의 어떤 근방은 그 밖으로 $x_0$ 의 모든 근방의 함수값이 빠져나온다."

 

  여기서 말하고있는 근방이란 해당 점을 포함하는 열린집합이라는 포괄적인 개념을 의미한다. 그러나 다음의 정리에 따르면 좀더 협소한 의미인 $\epsilon$-근방으로 대체하여도 연속성의 정의가 바뀌지 않는다. 아마 많은 사람들은 다음의 정의가 더 익숙할 것이다.

 

Theorem 4.1.  함수 $f:X\to Y$ 가 $x_0\in X$ 에서 연속일 필요충분조건은 다음이 성립하는 것이다.$$\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;\forall x\in X,$$$$d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$$

 

  Proof.  먼저 위 정리의 조건이 다음과 같음을 보이자.

$$\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;f\left(U_\delta^X(x_0)\right)\subset U_\epsilon^Y(f(x_0))$$

  조건 $d_X(x,x_0)<\delta$ 는 $x\in U_\delta^X(x_0)$ 과 동치이고, 이는 다시 $f(x)\in f\left(U_\delta^X(x_0)\right)$ 와 동치이다. 한편 조건 $d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$ 는 $f(x)\in U_\epsilon^Y(f(x_0))$ 과 동치이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon\\\iff&\;f(x)\in f\left(U_\delta^X(x_0)\right)\Rightarrow f(x)\in U_\epsilon^Y(f(x_0))\end{align}$$

  이때 모든 $x\in X$ 이라는 조건은 모든 $f(x)\in f(X)$ 이라는 조건과 같으므로 원하는 결과를 얻는다. 본 정리를 증명하자.

  ($\Rightarrow$) $f$ 가 $x_0\in X$ 에서 연속이라고 가정하자. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $U_\epsilon^Y(f(x_0))$ 는 $Y$ 에서 $f(x_0)$ 의 근방이므로 연속의 정의에 따라 $X$ 에서 $x_0$ 의 어떤 근방 $U$ 가 존재하여 $f(U)\subset U_\epsilon^Y(f(x_0))$ 가 성립. 한편 $U$ 는 $X$ 에서 열린집합이며 $x_0$ 을 포함하므로 $x_0$ 의 어떤 $\delta$-근방 $U_\delta^X(x_0)$ 이 존재하여 $U$ 에 포함된다. 이때 $f(U_\delta^X(x_0))\subset f(U)$ 이며 정리하면 $f(U_\delta^X(x_0))\subset U_\epsilon^Y(f(x_0))$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

  ($\Leftarrow$) 주어진 조건이 성립한다고 가정하자. $Y$ 에서 $f(x_0)$ 의 임의의 근방 $V$ 를 생각하자. $V$ 는 $Y$ 에서 열려있으며 $f(x_0)$ 을 포함하므로 $f(x_0)$ 의 어떤 $\epsilon$-근방 $U_\epsilon^Y(f(x_0))$ 이 존재하여 $V$ 에 포함된다. 가정에 따라 $X$ 에서 $x_0$ 의 어떤 $\delta$-근방 $U_\delta^X(x_0)$ 이 존재하여 $f(U_\delta^X(x_0))\subset U_\epsilon^Y(f(x_0))$ 가 성립하므로 $f(U_\delta^X(x_0))\subset V$ 이다. 이때 $U_\delta^X(x_0)$ 는 $X$ 에서 $x_0$ 의 근방이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

Definition.  함수 $f:X\to Y$ 가 $X$ 의 모든 점에서 연속이면 $f$ 가 연속이라고 한다.

 

  다음의 정리에 따르면 연속함수의 역상은 열림성을 보존한다.

 

Theorem 4.2.  함수 $f:X\to Y$ 가 연속일 필요충분조건은 다음이 성립하는 것이다.$$\forall V\in\mathcal{T}_Y,\;\;f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X$$

 

  이때 집합 $f^{-1}(V)$ 는 $\{x\in X:f(x)\in V\}$ 로서, $V$ 가 $f$ 의 치역에 속하지 않는 경우에 의해 공집합이 되기도 한다.

 

  Proof.

  ($\Rightarrow$) $f$ 가 연속이라고 하자. 임의의 $V\in\mathcal{T}_Y$ 를 생각하자. $f^{-1}(V)=\varnothing$ 인 경우 $\varnothing\in\mathcal{T}_X$ 이므로 정리가 성립한다. $f^{-1}(V)$ 가 공집합이 아닐 때를 생각하자. 임의의 $x_0\in f^{-1}(V)$ 에 대해 $V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0))$ 이고 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속이므로 $U\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 가 존재하여 $f(U)\subset V$ 이다. 이때 $U\subset f^{-1}(V)$ 이므로 $f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X$ 이다.

  ($\Leftarrow$) 주어진 조건이 성립한다고 하자. 임의의 $x_0\in X$ 를 생각하자. $Y$ 에서 $f(x_0)$ 의 임의의 근방 $V$ 에 대해 $V\in\mathcal{T}_Y$ 이므로 가정에 따라 $f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X$ 이다. 이때 $x_0\in f^{-1}(V)$ 이므로 어떤 $U\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 가 존재하여 $U\subset f^{-1}(V)$ 가 성립한다. $f(U)\subset V$ 이므로 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속이며, 따라서 $f$ 는 연속이다.   $\square$

 

 

연속의 성질

 

Theorem 4.3.  함수 $f:X\to Y$ 는 $X$ 에서 $X$ 의 고립점에서 연속이다.

 

  Proof.  $X$ 의 고립점 $x_0\in X$ 를 생각하자. 임의의 $V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0))$ 을 생각하자. 고립점의 정의에 따라 어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $U_\epsilon^X(x_0)=\{x_0\}$ 이다. 다음이 성립한다.

$$f\left(U_\epsilon^X(x_0)\right)=f(\{x_0\})=\{f(x_0)\}\subset V$$

  $U_\epsilon^X(x_0)\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 이므로 연속의 정의에 따라 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속이다.   $\square$

 

 

Theorem 4.4.  $A\subset X$ 에 대해 $f:X\to Y$ 가 $x_0\in A$ 에서 연속이면 $f|_A:A\to Y$ 도 $x_0$ 에서 연속이다.

 

※ 함수 $f|_A$ 는 $f$ 의 $A$ 로의 제한을 의미한다. 엄밀한 정의는 링크 참고.

 

  Proof.  $f$ 가 $x_0$ 에서 연속이면 정의에 따라 임의의 $V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0))$ 에 대해 어떤 $U_X\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 가 존재하여 $f(U_X)\subset V$ 가 성립한다. 한 편 $U_X$ 는 $X$ 에서 열려있으므로 정리 3.3.에 따라 $U_A=U_X\cap A$ 는 $A$ 에서 열려있다. 다음이 성립한다.

$$f|_A(U_A)=f(U_A)\subset f(U_X)\subset V$$

  이때 $V$ 는 $Y$ 에서 $f(x_0)=f|_A(x_0)$ 의 근방이므로 $f_A$ 는 $x_0$ 에서 연속이다.

 

 

  위의 정리에 따르면 $f$ 가 모든 점에서 연속이면 $f|_A$ 도 모든 점에서 연속이므로 다음의 따름정리를 얻는다.

 

Corollary 4.5.  연속함수의 제한은 연속이다.

 

Theorem 4.6.  $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ 에 대해 $f$ 가 $x_0$ 에서 연속이고 $g$ 가 $f(x_0)$ 에서 연속이면 $g\circ f:X\to Z$ 는 $x_0$ 에서 연속이다.

 

  Proof.  $g$ 가 $f(x_0)$ 에서 연속이므로 임의의 $W\in\mathcal{N}_Z\big(g(f(x_0))\big)$ 에 대해 어떤 $V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0))$ 이 존재하여 $g(V)\subset W$ 가 성립한다. 한편 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속이므로 어떤 $U\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 이 존재하여 $f(U)\subset V$ 가 성립한다. $g(f(U))\subset g(V)$ 이므로 $(g\circ f)(U)$ 가 $W$ 에 속하며, $W$ 는 $Z$ 에서 $(g\circ f)(x_0)$ 의 근방이므로 $g\circ f$ 는 $x_0$ 에서 연속이다.   $\square$

 

 

  다음의 정의는 어떤 함수의 공역이 $\mathbb{R}^n$ 인 경우, 즉 함수값이 실수의 n-순서쌍인 경우에 대해 말하고있다.

 

Definition.  함수 $f:X\to\mathbb{R}^n$ 는 어떤 함수 $f_1,\ldots,f_n:X\to\mathbb{R}$ 와 각 $x\in X$ 에 대해 다음과 같이 표현된다.$$f(x)=\big(f_1(x),\ldots,f_n(x)\big)$$  이때 각 $f_i$ 를 $f$ 의 성분함수(componenet function)라고 한다.

 

Theorem 4.7.  $f:X\to\mathbb{R}^n$ 가 $x_0\in X$ 에서 연속일 필요충분조건은 각 성분함수가 $x_0$ 에서 연속인 것이다.

 

  Proof.

  ($\Rightarrow$) $f$ 가 $x_0$ 에서 연속이라고 하자. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $\delta>0$ 가 존재하여 임의의 $x\in X$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$

  이때 $|f(x)-f(x_0)|$ 는 $|f_1(x)-f_1(x_0)|,\ldots,|f_n(x)-f_n(x_0)|$ 중 가장 큰 값이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{gather}d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow|f_1(x)-f_1(x_0)|<\epsilon\\\vdots\\d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow|f_n(x)-f_n(x_0)|<\epsilon\end{gather}$$

  따라서 각 $f_1,\ldots,f_n$ 은 $x_0$ 에서 연속이다.

  ($\Leftarrow$) 각 $f_1,\ldots,f_n$ 이 $x_0$ 에서 연속이라고 하자. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 어떤 $\delta_1,\ldots,\delta_n>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$\begin{gather}d_X(x,x_0)<\delta_1\Rightarrow|f_1(x)-f_1(x_0)|<\epsilon\\\vdots\\d_X(x,x_0)<\delta_n\Rightarrow|f_n(x)-f_n(x_0)|<\epsilon\end{gather}$$

  $\delta=\text{min}\{\delta_1,\ldots,\delta_n\}$ 이라고 하자. $U_\delta^X(x_0)$ 은 $U_{\delta_1}^X(x_0),\ldots,U_{\delta_n}^X(x_0)$ 에 포함되므로 다음이 성립한다.

$$d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow\left\{\begin{matrix}|f_1(x)-f_1(x_0)|<\epsilon\\\vdots\\|f_1(x)-f_1(x_0)|<\epsilon\end{matrix}\right.$$

  한편 $|f(x)-f(x_0)|$ 은 $|f_1(x)-f_1(x_0)|,\ldots,|f_n(x)-f_n(x_0)|$ 중 가장 큰 값이므로 이 또한 $\epsilon$ 미만의 값을 갖는다. 따라서 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속이다.   $\square$

 

 

연속함수의 예시

 

Theorem 4.8.  상수함수(constant function) $c:X\to X$ , $c(x)=c$ 는 연속이다.

 

  Proof.  상수함수 $c$ 에 대해 $c(X)=\{c\}$ 이다. 임의의 $x_0\in X$ 에 대해 임의의 $V\in\mathcal{N}_X(c(x_0))$ 를 생각하자. 아무런 $U\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$f(U)\subset f(X)=\{y\}\in V$$

  따라서 $c$ 는 $x_0$ 에서 연속이므로 $c$ 는 연속이다.   $\square$

 

 

Theorem 4.9.  항등함수(identiy function) $\text{id}:X\to X$ , $\text{id}(x)=x$ 는 연속이다.

 

  Proof.  임의의 $x_0\in X$ 에 대해 임의의 $V\in\mathcal{N}_X(\text{id}(x_0))$ 를 생각하자. $\text{id}(V)=V$ 이므로 $\text{id}(V)\subset V$ 이며, $V\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 이므로 $\text{id}$ 는 $x_0$ 에서 연속이다. 따라서 $\text{id}$ 는 연속이다.   $\square$

 

 

Corollary 4.10.  사영(projection map) $\pi_j:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ , $\pi_j(x_1,\ldots,x_n)=x_j$ 는 연속이다.

 

  Proof.  항등함수 $\text{id}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 은 연속이며 $\text{id}_j=\pi_j$ 이므로 정리 4.7.에 따라 $\pi_j$ 는 연속이다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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