[실수공간의 위상] ch1. 거리공간

다음 읽을거리: ch2. 열린집합, 닫힌집합

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Inner Product

 

  두 집합 $A,B$ 에 대해, $A\times B$ 란 $a\in A$ 및 $b\in B$ 에 대하여 $(a,b)$ 꼴의 모든 순서쌍의 집합임을 상기하자.

 

Definition.  $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$ 의 inner product 란 다음의 성질을 만족하는 함수 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{R}$ 을 의미한다.
  (1) $⟨v,w⟩=⟨w,v⟩$
  (2) $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R},⟨cv,w⟩=c⟨v,w⟩=⟨v,cw⟩$
  (3) $v\ne 0\Rightarrow ⟨v,v⟩>0$
  (4) $⟨v+w,z⟩=⟨v,z⟩+⟨w,z⟩$

 

  위에서 두 번째 조건에 따라 $V$ 의 영벡터 $0_V$ 와 $\mathbb{R}$ 의 영 $0$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$⟨v,0_V⟩=⟨v,0\cdot 0_V⟩=0⟨v,0_V⟩=0$$

  따라서 영벡터와의 inner product 는 영임을 알 수 있다.

 

  다음은 inner product 를 이해하는 일반적인 방식이다. 이 정의가 위 조건을 만족함은 쉽게 보일 수 있으므로 생략한다.

 

Definition.  $\mathbb{R}$-벡터공간 ${\mathbb{R}}^n$ 의 dot product 란 다음과 같이 정의된 inner product 이다.$$x=(x_1,\dots ,x_n),y=(y_1,\dots ,y_n)$$$$⟨x,y⟩=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n$$

 

  Dot product 는 standard inner product 라고도 하며, $\mathbb{R}$-벡터공간 ${\mathbb{R}}^n$ 에 대한 논의에서 특별한 언급이 없다면 기호 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 는 dot product 를 의미한다.

 

 

Norm

 

  Norm 이란 크기의 일반화된 개념이다.

 

Definition.  $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$ 의 norm 이란 다음의 성질을 만족하는 함수 $p:V\to \mathbb{R}$ 을 의미한다.
  (1) $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R},p(cv)=|c|p(v)$
  (2) $v\ne 0\Rightarrow p(v)>0$
  (3) $p(v+w)\le p(v)+p(w)$

 

  다음의 정리에 따르면 크기가 0인 벡터는 영벡터뿐이다.

 

Theorem 1.1.  벡터공간 $V$ 의 norm $p$ 와 벡터 $v$ 에 대해 $p(v)=0$ 일 필요충분조건은 $v=0$ 인 것이다.

 

  Proof.  Norm의 정의의 첫 번째 조건에 따라 $V$ 의 영벡터 $0_V$ 와 $\mathbb{R}$ 의 영 $0$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$p(0_V)=p(0\cdot 0_V)=|0|p(0_V)=0$$

  따라서 영벡터의 norm 은 0이다. 역으로 어떤 벡터 $v$ 에 대해 $p(v)=0$ 이라고 하자. Norm 의 정의의 두 번째 조건의 대우명제는 $p(v)\le 0\Rightarrow v=0$ 이므로 $v=0$ 을 얻는다.   $◻$

 

 

  Norm의 정의에서 세 번째 성질을 삼각 부등식(triangle inequality)이라고 하는데, 이를 살짝 변형하여 아래와 같은 역삼각 부등식(reverse triangle inequality)을 얻을 수 있다. 이것도 종종 사용되는 성질이다.

 

Theorem 1.2.  $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$ 의 norm $p$ 와 임의의 $v,w\in V$ 에 대해 다음이 성립한다.$$p(v)-p(w)\le p(v-w)$$

 

  Proof.  삼각 부등식에 따라 다음이 성립한다.

$$p(v)=p(v-w+w)\le p(v-w)+p(w)$$

$$\begin{array}{}◻& \therefore p(v)-p(w)\le p(v-w)\end{array}$$

 

 

  다음은 벡터공간으로서의 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 정의되는 중요한 두 norm 이다.

 

Definition.  ${\mathbb{R}}^n$ 의 원소 $x=(x_1,\dots ,x_n)$ 에 대해 아래의 두 함수 ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 을 각각 euclidean norm, sup norm이라고 한다.$$||x||=\sqrt{⟨x,x⟩}$$$$|x|=\text{max}\{|x_1|,\dots ,|x_n|\}$$

 

  위의 정의에서 norm 이라는 이름을 붙였지만, 진짜 norm 일지는 증명해보아야 아는 것이다. 다음의 정리부터 시작하자.

 

Lemma 1.3.  코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식 (Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality)
  임의의 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 다음 부등식이 성립한다.$$\left|⟨x,y⟩\right|\le ||x||||y||$$

 

※ 이 정리는 짧게 CBS 부등식, 또는 코시-슈바르츠 부등식이라고도 한다.

 

  Proof.  $y=0$ 인 경우 $|⟨x,y⟩|=0$ 및 $||x||||y||=0$ 이므로 부등식이 자명하게 성립한다. $y\ne 0$ 이라고 하자. 임의의 $c\in \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}0& \le ⟨x-cy,x-cy⟩\\ & =⟨x,x-cy⟩-c⟨y,x-cy⟩\\ & =⟨x,x⟩-c⟨x,y⟩-c⟨y,x⟩+c^2⟨y,y⟩\\ & =||x|{|}^2-2c⟨x,y⟩+c^2||y|{|}^2\end{array}$$

  이제 $c=\frac{⟨x,y⟩}{||y|{|}^2}$ 라고 하자. 위 식은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}0& \le ||x|{|}^2-2c⟨x,y⟩+c^2||y|{|}^2\\ & =||x|{|}^2-2\frac{{⟨x,y⟩}^2}{||y|{|}^2}+\frac{{⟨x,y⟩}^2}{||y|{|}^2}\end{array}$$

$$\therefore {⟨x,y⟩}^2\le ||x|{|}^2||y|{|}^2$$

  이때 $||x||$ 와 $||y||$ 는 음이 아닌 실수이므로 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

Theorem 1.4.  Euclidean norm 과 sup norm 은 ${\mathbb{R}}^n$ 의 norm 이며, 특히 다음이 성립한다.$$|x|\le ||x||\le \sqrt{n}|x|$$

 

  Proof.

  Step 1. Euclidean norm이 ${\mathbb{R}}^n$ 의 norm 임을 확인하자.

  (1) 임의의 $c\in \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}||cx||& =\sqrt{(c{x}_1{)}^2+\cdots +(c{x}_n{)}^2}\\ & =\sqrt{c^2}\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\\ & =|c|||x||\end{array}$$

  (2) 0이 아닌 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 의 어떤 성분 $x_i$ 는 0이 아니며 다음이 성립한다.

$$0<|x_i|=\sqrt{x_i^2}\le \sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}=||x||$$

  (3) 코시-부냐콥스키-슈바르츠 부등식에 따라 다음 식이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}||x+y|{|}^2& =⟨x+y,x+y⟩\\ & =⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩\\ & =||x|{|}^2+||y|{|}^2+2⟨x,y⟩\\ & \le ||x|{|}^2+||y|{|}^2+2\left|⟨x,y⟩\right|\\ & \le ||x|{|}^2+||y|{|}^2+2||x||||y||\\ & =(||x||+||y||{)}^2\end{array}$$

  따라서 $||x+y||\le ||x||+||y||$ 를 얻는다.

 

  Step 2. Sup norm이 ${\mathbb{R}}^n$ 의 norm 임을 확인하자.

  (1) 임의의 $c\in \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}|cx|& =\text{max}\{|c{x}_1|,\dots ,|c{x}_n|\}\\ & =\text{max}\{|c||x_1|,\dots ,|c||x_n|\}\\ & =|c|\text{max}\{|x_1|,\dots ,|x_n|\}\\ & =|c||x|\end{array}$$

  (2) 0이 아닌 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 의 어떤 성분 $x_i$ 는 0이 아니며 $|x|=|x_m|$ 이라고 할 때 다음이 성립한다.

$$0<|x_i|\le |x_m|=|x|$$

  (3) Step 1에 따라 euclidean norm 은 ${\mathbb{R}}^n$ 의 norm이며, $n=1$ 의 경우 euclidean norm 은 절댓값함수 $|\cdot |$ 와 동일하므로 norm 의 세 번째 성질에 따라 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$ 에 대해 삼각 부등식 $|a+b|\le |a|+|b|$ 가 성립한다. $|x+y|=|x_m+y_m|$ 이라고 하자. 다음이 성립한다.

$$|x+y|=|x_m+y_m|\le |x_m|+|y_m|\le |x|+|y|$$

 

  Step 3. 정리의 부등식을 증명하자. $|x|=|x_m|$ 이라고 하자. 다음이 성립한다.

$$|x|=|x_i|=\sqrt{x_m^2}\le \sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}=||x||$$

  따라서 $|x|\le ||x||$ 를 얻는다. 한편 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}||x||& =\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\\ & =\sqrt{|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2}\\ & \le \sqrt{|x_m{|}^2+\cdots +|x_m{|}^2}\\ & =\sqrt{n|x_m{|}^2}=\sqrt{n}|x_m|\\ & =\sqrt{n}|x|\end{array}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  일상생활에서 쓰이는 길이의 개념과 더 비슷한 norm 은 euclidean norm 이지만, 다변수 해석학에서 더 자주 쓰이는 것은 sup norm 이다. Sup norm 를 더 선호하는 것은 단지 단순함 때문이며, 나중에 살펴보겠지만 두 norm 중 어느 것을 사용하더라도 달라지는 것이 없다. 미리 힌트를 주자면 위 정리의 부등식에 따라 두 norm 은 서로 비슷한 (사실상 같은) 값을 갖는 것이 그 원인이다.

 

  ${\mathbb{R}}^n$ 의 sup norm 을 정의하였듯이 실수를 성분으로 갖는 $m\times n$ 행렬의 집합 ${\mathbb{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ 에서도 절댓값이 가장 큰 성분을 그 값으로 하여 sup norm 을 잘 정의할 수 있다. 이 경우 다음의 성질이 성립한다.

 

Theorem 1.5.  $m\times n$ 행렬 $A$ 와 $n\times p$ 행렬 $B$ 에 대해 다음 부등식이 성립한다.$$|AB|\le n|A||B|$$

 

  Proof.  $|AB|$ 가 $AB$ 의 $(r,s)$ 번째 성분의 절댓값이라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}|AB|& =\left|\sum _{k=1}^n{a}_{rk}{b}_{ks}\right|\le \sum _{k=1}^n|a_{rk}||b_{ks}|\\ ◻& & \le \sum _{k=1}^n|A||B|=n|A||B|\end{array}$$

 

 

거리공간

 

Definition.  집합 $X$ 의 거리(metric)란 다음의 성질을 만족하는 함수 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ 을 의미한다.
  (1) $d(x,y)=d(y,x)$
  (2) $d(x,y)=0\iff x=y$
  (3) $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$
  거리 $d$ 가 정의된 집합 $X$ 를 거리공간(metric space)이라고 하며 $(X,d)$ 와 같이 표기한다.

 

  한 집합에 반드시 하나의 거리만 정의될 이유는 없으며, 하나의 집합에 서로 다른 거리가 정의된 두 거리공간은 엄밀히 서로 다른 거리공간으로 보야아 한다.

 

  만약 거리공간의 거리가 무엇인지 분명한 경우 거리공간을 그냥 그 집합으로 언급하기도 한다. 예를들어 절대값 함수 $|\cdot |$ 가 정의된 실수집합 $\mathbb{R}$ 은 거리공간으로서 $(\mathbb{R},|\cdot |)$ 이라고 하기보다는 일반적으로 $\mathbb{R}$ 이라고 한다.

 

  위 정의로부터 거리의 숨겨진 성질 하나를 얻어낼 수 있다. 이는 "음의 거리" 를 고려하지 않는 우리의 직관과 일치한다.

 

Theorem 1.6.  거리공간 $(X,d)$ 과 임의의 $x,y\in X$ 에 대해 다음이 성립한다.$$d(x,y)\ge 0$$

 

  Proof.  거리의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$0=d(x,x)\le d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  다음의 정의는 어떤 집합과 그 부분집합에 동일한 거리를 사용하는 일반적인 상황에 대해 말한다.

 

Defintion.  거리공간 $(X,d)$ 을 생각하자. 집합 $Y\subset X$ 와 정의역을 $Y\times Y$ 로 제한한 거리 $d$ 에 대해 $(Y,d)$ 를 $(X,d)$ 의 부분공간(subspace)이라고 한다.

 

  부분공간의 원소는 원래 거리공간에도 속하므로 거리의 성질을 모두 만족하며, 따라서 부분공간도 거리공간임은 자명하다. 사실상 부분공간이라는 개념은 (거리를 바꾸지 않는다면) 그저 부분집합에 불과하다.

 

  다음의 정리에 따르면 집합에 norm 이 잘 정의되는 경우 그 집합은 자연스럽게 거리를 가진다.

 

Theorem 1.7.  집합 $X$ 에 정의된 norm $p$ 에 대해 함수 $d(x,y)=p(x-y)$ 는 $X$ 의 거리이다.

 

  Proof.  위와 같이 정의된 함수가 거리의 성질을 만족하는지 확인하자.

  (1) 다음이 성립한다.

$$d(x,y)=p(x-y)=|-1|p(y-x)=d(y,x)$$

  (2) 정리 1.1.에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}d(x,y)=0& ⟺p(x-y)=0⟺x-y=0\\ & ⟺x=y\end{array}$$

  (3) 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}d(x,z)& =p(x-z)=p(x-y+y-z)\\ & \le p(x-y)+p(y-z)\\ ◻& & =d(x,y)+d(y,z)\end{array}$$

 

 

  따라서 다음의 따름정리를 얻는다.

 

Corollary 1.8.  다음과 같이 정의된 두 함수는 각각 euclidean matric, sup matric 이라고 하며 ${\mathbb{R}}^n$ 의 거리이다.$$d(x,y)=||x-y||d(x,y)=|x-y|$$

 

  여기서 잠시 두 거리가 서로 어떠한 모양을 갖는지를 생각하자.

 

  쉽게 좌표평면 ${\mathbb{R}}^2$ 위에서, $y=0$ 인 경우를 생각하자. $||x-0||=2$ 을 만족하는 모든 $x$ 의 집합을 $U$ , $|x-0|=2$ 을 만족하는 모든 $x$ 의 집합을 $V$ 라고 하자. $U$ 의 원소의 경우 식 $x^2=4$ 를 만족하므로 $U$ 는 좌표평면에서 중심이 원점이고 반지름이 2인 원의 형태이다. 한편 $V$ 의 원소의 경우 가장 큰 성분의 절댓값이 2인 점이므로, 두 성분 중 하나는 $\pm 2$ 이고 나머지 성분은 -2 에서 2 사이의 값을 갖는 점일 것이다. 이러한 점들을 모으면 좌표평면에서 중심이 원점이고 한 변의 길이가 4인 정사각형으로 나타난다.

 

  나아가 다음의 두 집합을 생각하자.

$$U^{\prime }=\{x:||x-y_0||\le r\}$$

$$V^{\prime }=\{x:|x-y_0|\le r\}$$

  이 두 집합이 좌표평면에서 어떻게 나타나는지를 생각해본다면, $U^{\prime }$ 는 중심이 $y_0$ 이고 반지름이 $r$ 인 내부가 채워진 원, $V^{\prime }$ 는 중심이 $y_0$ 이고 한 변의 길이가 $2r$ 인 정사각형임을 쉽게 떠올릴 수 있다. 만약 집합의 표현에 $\le$ 대신 $<$ 가 사용되었다면 각각 이전의 도형에서 경계선이 제외된 집합을 가리킬 것이다.

 

  이렇게 경계선이 없는 원과 정사각형은 (다음 포스팅에서 알아볼) 열린집합의 원형이다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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