[실수공간의 위상] ch2. 열린집합, 닫힌집합

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열린집합

 

  다음의 집합은 지난 포스팅의 마지막에서 말한 "경계가 없는" 원 또는 정사각형과 비슷한 집합이다.

 

Definition.  거리공간 $(X,d)$ 에 대해 다음의 집합을 $X$ 에서 $x_0\in X$ 의 $ϵ$-근방($ϵ$-neighborhood of $x_0$ in $X$)이라고 한다.$$U_{ϵ}^X(x_0)=\{x\in X:d(x,x_0)<ϵ\}$$

 

※ 근방의 상위집합인 거리공간을 상첨자로 표기하는 방법은 필자가 독단적으로 고안하였지만, 공부 결과 이 표기법이 상당히 유용하여 소개한다.

 

  만약 $d$ 가 euclidean metric 이면 $U_2^{{\mathbb{R}}^2}(0,1)$ 은 중심이 $(0,1)$ 이고 반지름이 2인 경계가 없는 원이다. 한편 상반평면 $\mathbb{R}\times [0,\mathrm{\infty })$ 에 대해 $U_2^{\mathbb{R}\times [0,\mathrm{\infty })}(0,1)$ 는 중심이 $(0,1)$ 이고 반지름이 2이지만, 아래가 약간 잘려있는 경계가 없는 원이다.

 

Definition.  거리공간 $(X,d)$ 와 집합 $U\subset X$ 에 대해 다음이 성립하면 $U$ 는 $X$ 에서 열려있다(open in $X$)고 한다.$$\mathrm{\forall }{x}_0\in U,\mathrm{\exists }ϵ>0,U_{ϵ}^X(x_0)\subset U$$

 

  다시말해 $U$ 가 $X$ 에서 열려있으면 $U$ 의 어떤 점을 선택해도 그 점의 $U$ 에 포함되는 어떤 $ϵ$-근방이 존재한다. 어떤 점의 $ϵ$-근방이란 직관적으로 그 점에서 $ϵ$ 미만의 거리만큼 나아가 도달할 수 있는 모든 지점으로 이해되므로, 열린집합이란 "모든 점에서 모든 방향으로 (짧게라도) 길이 열려있는 집합" 으로 이해하면 도움이 된다.

 

  예를들어 열린구간 $(0,1)$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 열려있다. 특히 $(0,1)$ 의 어떤 점을 선택해도 $(0,1)$ 에 포함되는 $ϵ$-근방을 찾을 수 있으며, 이는 그 점에서 갇히지 않고 가능한 모든 방향으로 (짧게나마) 길이 열려있음을 의미한다.

 

  열린집합의 정의에서 어디에서 열려있는지를 명시하는 이유는 똑같은 집합이더라도 어떤 거리공간 속에 포함되는지를 선택함에 따라 열린집합이기도 하고, 아니기도 하기 때문이다. 예를들어 집합 $[0,1)$ 은 $[0,\mathrm{\infty })$ 에서 열려있지만 $\mathbb{R}$ 에서는 열려있지 않다. 여기서 거리는 절댓값 함수를 이용하였다.

 

  여기서 한 가지 의문이 생길 수 있다. 어떤 집합 $U$ 가 거리공간 $(X,d)$ 에 대해 열려있다면, 다른 거리 $d^{\prime }$ 가 정의된 거리공간 $(X,d^{\prime })$ 에 대해서도 열려있을까? 다행히도 이러한 고민은 실수공간 ${\mathbb{R}}^n$ 에서는 하지 않아도 된다. 다음의 정의부터 확인하자.

 

Definition.  ${\mathbb{R}}^n$ 의 부분공간 $X$ 에서 $x_0\in X$ 의 $ϵ$-근방 $U_{ϵ}^X(x_0)$ 을 생각하자.
  (1) $X$ 의 거리가 euclidean matric 이라면 $U_{ϵ}^X(x_0)$ 를 반경이 $ϵ$ 인 open ball 이라고 하며 $B_{ϵ}^X(x_0)$ 이라고 한다.
  (2) $X$ 의 거리가 sup metric 이라면 $U_{ϵ}^X(x_0)$ 를 반경이 $ϵ$ 인 open cube 라고 하며 $C_{ϵ}^X(x_0)$ 이라고 한다.

 

Theorem 2.1.  Euclidean metric 을 $d_1$ , sup metric 을 $d_2$ 라고 하자. ${\mathbb{R}}^n$ 의 부분공간 $X$ 에 대해 $U\subset X$ 가 $(X,d_1)$ 에서 열려있을 필요충분조건은 $(X,d_2)$ 에서 열려있는 것이다.

 

  Proof.  $U$ 가 $(X,d_1)$ 에서 열려있다고 하자. 임의의 $x_0\in U$ 에 대해, 정의에 따라 어떤 ${ϵ}^{\prime }>0$ 이 존재하여 $B_{{ϵ}^{\prime }}^X(x_0)\subset U$ 가 성립한다. $ϵ=\frac{{ϵ}^{\prime }}{\sqrt{n}}$ 이라고 하자. $C_{ϵ}^X(x_0)$ 의 임의의 점 $x$ 에 대해 $|x-x_0|<ϵ$ 이며, 정리 1.4.에 따라 다음이 성립한다.

$$||x-x_0||\le \sqrt{n}|x-x_0|<\sqrt{n}ϵ={ϵ}^{\prime }$$

즉 $||x-x_0||<{ϵ}^{\prime }$ 도 성립하므로 $x$ 는 $B_{{ϵ}^{\prime }}^X(x_0)$ 에 속한다. $x$ 를 $C_{ϵ}^X(x_0)$ 에서 임의로 선택하였으므로 $C_{ϵ}^X(x_0)\subset B_{{ϵ}^{\prime }}^X(x_0)$ 를 얻으며, 따라서 $C_{{ϵ}^{\prime }}^X(x_0)\subset U$ 가 성립한다. 정의에 따라 $U$ 는 $(X,d_2)$ 에서 열려있다.

  역으로 $U$ 가 $(X,d_2)$ 에서 열려있다고 하자. 임의의 $x_0\in U$ 에 대해, 정의에 따라 어떤 $ϵ>0$ 이 존재하여 $C_{ϵ}^X(x_0)\subset U$ 가 성립한다. $B_{ϵ}^X(x_0)$ 의 임의의 점 $x$ 에 대해 $||x-x_0||<ϵ$ 이며, 정리 1.4.에 따라 다음이 성립한다.

$$|x-x_0|\le ||x-x_0||<ϵ$$

즉 $|x-x_0|<ϵ$ 도 성립하므로 $x$ 는 $C_{ϵ}^X(x_0)$ 에 속한다. $x$ 를  $B_{ϵ}^X(x_0)$ 에서 임의로 선택하였으므로 $B_{ϵ}^X(x_0)\subset C_{ϵ}^X(x_0)$ 를 얻으며, 따라서 $B_{ϵ}^X(x_0)\subset U$ 가 성립한다. 정의에 따라 $U$ 는 $(X,d_1)$ 에서 열려있다.   $◻$

 

 

  위 정리에 따르면 두 거리 중 어느 것을 이용하더라도 어떤 집합이 열린집합임은 변하지 않으므로, ${\mathbb{R}}^n$ 에서 euclidean metric 과 sup metric 둘 만 고려한다면 열린집합이란 개념은 거리의 선택에 구애받지 않는다.

 

Definition.  거리공간 $X$ 에서 열려있는 모든 집합의 모임을 ${\mathcal{T}}_X$ 라고 쓴다.

 

  특히, 정리 2.1.의 증명 과정으로부터 다음의 따름정리를 바로 얻을 수 있다.

 

Corollary 2.2.  ${\mathbb{R}}^n$ 의 부분공간 $X$ 를 생각하자. 임의의 $x_0\in X$ , $ϵ>0$ 에 대해 $B_{ϵ}^X(x_0),C_{ϵ}^X(x_0)\in {\mathcal{T}}_X$ 이다.

 

  위 따름정리는 $ϵ$-근방 또한 열린집합이라고 말하고 있다. $ϵ$-근방의 개념을 확장하자.

 

Definition.  거리공간 $X$ 에서 열려있는 $U$ 에 대해 $x_0\in U$ 이면 $U$ 를 $X$ 에서 $x_0$ 의 근방(neighborhood of $x_0$ in $X$)이라고 한다. $X$ 에서 $x_0$ 의 모든 근방의 모임을 ${\mathcal{N}}_X(x_0)$ 이라고 쓴다.

 

  이러한 사고의 확장은 커다란 유연성을 가져다준다. 모든 $ϵ$-근방이 열린집합이라는 성질 덕분에, 위 정의를 이용하여 $ϵ$-근방을 그냥 근방으로 대체할 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 시도를 해볼 수 있다.

 

Theorem 2.3. 거리공간 $X$ 에 대해 어떤 집합 $U$ 가 $U\in {\mathcal{T}}_X$ 일 필요충분조건은 다음이 성립하는 것이다.$$\mathrm{\forall }{x}_0\in U,\mathrm{\exists }{U}_{x_0}\in {\mathcal{N}}_X(x_0),U_{x_0}\subset U$$

 

  Proof.  $U\in {\mathcal{T}}_X$ 라고 가정하자. 임의의 $x_0\in U$ 에 대해 열린집합의 정의에 따라 어떤 $ϵ>0$ 이 존재하여 $U$ 에 포함되는 $x_0$ 의 $ϵ$-근방 $U_{ϵ}^X(x_0)$ 이 존재한다. 한편 $U_{ϵ}^X(x_0)$ 는 $x_0$ 를 포함하며 $X$ 에서 열려있는 집합이므로 $x_0$ 의 근방이다. 따라서 $U_{ϵ}^X(x_0)=U_{x_0}$ 이라고 하면 원하는 결과를 얻는다.

  역으로 임의의 $x_0\in U$ 에 대해 어떤 $U_{x_0}\in {\mathcal{N}}_X(x_0)$ 가 존재하여 $U_{x_0}\subset U$ 가 성립한다고 가정하자. 이때 $U_{x_0}$ 는 $x_0$ 를 포함하는 $X$ 에서 열려있는 집합이므로 열린집합의 정의에 따라 어떤 $ϵ>0$ 이 존재하여 $x_0$ 의 $U_{x_0}$ 에 포함되는 $ϵ$-근방 $U_{ϵ}^X(x_0)$ 이 존재한다. 따라서 $U_{ϵ}^X(x_0)\subset U$ 이므로 $U$ 는 $X$ 에서 열려있는 집합이다.   $◻$

 

 

닫힌집합

 

  닫힌집합을 다음과 같이 정의하자. 사실 이러한 정의방법은 닫힌집합의 본질과는 다소 거리가 있지만, 일단 닫힌집합의 성질을 알기에는 더할나위없이 편리한 정의이다. 닫힌집합의 본질을 담은 정의는 다음 포스팅에서 설명한다.

 

Definition.  거리공간 $X$ 와 $U\subset X$ 에 대해 $X\setminus U$ 가 $X$ 에서 열려있으면 $U$ 가 $X$ 에서 닫혀있다(closed in $X$)고 한다.

 

  다시말해 여집합이 열린집합이면 그 집합은 닫힌집합이라고 하자는 것이다. 열린집합이 아닌 집합이 닫힌집합이라는 것이 아님에 주의하자. 사실 대부분의 집합은 열려있지도, 닫혀있지도 않다. 다음의 정리로 이 논의를 선명히 하자.

 

Theorem 2.4.  거리공간 $X$ 에서 $U$ 가 열려있을 필요충분조건은 $X\setminus U$ 가 $X$ 에서 닫혀있는 것이다.

 

  Proof.  $X\setminus U=V$ 라고 하자. $U$ 와 $V$ 는 $X$ 의 부분집합이며 $V$ 는 $U$ 의 여집합이므로 $U$ 는 $V$ 의 여집합이다. 즉 $X\setminus V=U$ 이다. 닫힌집합의 정의에 따라 $V$ 가 $X$ 에서 닫혀있다는 것은 $X\setminus V$ 가 $X$ 에서 열려있다는 것과 동치이므로 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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