[실수공간의 위상] ch5. 함수의 극한

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함수의 극한

 

  함수에 대한 집합의 상을 표현할 때 함수의 정의역에 포함되지 않는 원소는 무시하도록 하자.

 

Definition.  함수 $f:A\to Y$ 에 대해 $B$ 가 $A$ 의 부분집합이 아닌 경우 $f(B)=f(B\cap A)$ 라고 정의한다.

 

  이러한 약속 하에 함수의 극한을 간결하게 정의할 수 있다.

 

Definition.  거리공간 $X$ 와 $A\subset X$ , 함수 $f:A\to Y$ , $X$ 에서 $A$ 의 극한점 $x_0\in X$ 를 생각하자. 다음이 성립하면 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 라고 한다.$$\forall V\in\mathcal{N}_Y(y_0),\;\;\exists U\in\mathcal{N}_X(x_0),\;\;f(U\setminus\{x_0\})\subset V$$

 

  이 정의는 마치 함수의 연속과 비슷하지만, 함수의 극한은 그 극한점에서 함수가 정의되지 않아도 된다. 이러한 작업은 미분을 잘 정의하기 위한 노력의 일환이다.

 

  앞으로 설명 없이 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 라고 쓰면 $x_0$ 은 $f$ 의 정의역의 극한점이라고 하자. 극한은 극한점이 아닌 곳에서 판단하지 않는다.

 

Theorem 5.1.  거리공간 $X$ 와 $A\subset X$ , 함수 $f:A\to Y$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 일 필요충분조건은 다음과 같다.$$\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;\forall x\in A,$$$$0<d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow d_Y\left(f(x),y_0\right)<\epsilon$$

 

  Proof.  먼저 위 정리의 조건이 다음과 같음을 보이자.

$$\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;f\left(U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}\right)\subset U_\epsilon^Y(y_0)$$

  조건 $0<d_X(x,x_0)<\delta$ 는 $d_X(x,x_0)\neq 0$ 및 $d_X(x,x_0)<\delta$ 이므로 $x\in U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}$ 와 동치이고, 이는 다시 $f(x)\in f\left(U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}\right)$ 와 동치이다. 한편 조건 $d_Y\left(f(x),y_0\right)<\epsilon$ 은 $f(x)\in U_\epsilon^Y(y_0)$ 와 동치이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;0<d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow d_Y\left(f(x),y_0\right)<\epsilon\\\iff&\;f(x)\in f\left(U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}\right)\Rightarrow f(x)\in U_\epsilon^Y(y_0)\end{align}$$

  이때 모든 $x\in A$ 이라는 조건은 모든 $f(x)\in f(A)$ 이라는 조건과 같으므로 원하는 결과를 얻는다. 본 정리를 증명하자.

  ($\Rightarrow$) $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 라고 하자. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 $U_\epsilon^Y(y_0)\in\mathcal{N}_Y(y_0)$ 이므로 어떤 $U\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 가 존재하여 $f\left(U\setminus\{x_0\}\right)\subset U_\epsilon^Y(y_0)$ 가 성립한다. 이때 $U\in\mathcal{T}_X$ 이므로 어떤 $\delta>0$ 가 존재하여 $U_\delta^X(x_0)\subset U$ 가 성립하므로 다음을 얻는다.

$$\because U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}\subset U\setminus\{x_0\}$$

$$f\left(U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}\right)\subset f\left(U\setminus\{x_0\}\right)\subset U_\epsilon^Y(y_0)$$

  ($\Leftarrow$) 주어진 조건이 성립한다고 가정하자. 임의의 $V\in\mathcal{N}_Y(y_0)$ 에 대해 $V\in\mathcal{T}_Y$ 이므로 어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $U_\epsilon^Y(y_0)\subset V$ 가 성립한다. 한편 가정에 따라 어떤 $\delta>0$ 가 존재하여 $f\left(U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}\right)\subset U_\epsilon^Y(y_0)$ 가 성립한다. 이때 $U_\delta^X(x_0)\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 이며 $f\left(U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}\right)\subset V$ 이므로 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

함수의 극한의 성질

 

  다음의 정리는 정리 4.4.와 닮아있다.

 

Theorem 5.2.  거리공간 $X$ 와 $A\subset B\subset X$ , 함수 $f:B\to Y$ 와 $A$ 의 극한점 $x_0$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0\Rightarrow\lim_{x\to x_0}f|_B(x)=y_0$$

 

  증명은 정리 4.4.의 증명과 매우 비슷하므로 생략한다.

 

  다음의 정리는 정리 4.7.과 닮아있다.

 

Theorem 5.3.  거리공간 $X$ 와 $A\subset X$ , 함수 $f:A\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 일 필요충분조건은 다음과 같다.$$\left(\lim_{x\to x_0}f_1(x),\ldots,\lim_{x\to x_0}f_n(x)\right)=y_0$$

 

  마찬가지로 증명은 정리 4.7.의 증명과 매우 비슷하므로 생략한다.

 

Theorem 5.4.  거리공간 $X$ 와 $A\subset X$ , 함수 $A\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\lim_{x\to x_0}f(x)=0\in\mathbb{R}^n\iff\lim_{x\to x_0}|f(x)|=0\in\mathbb{R}$$

  Proof.

$$\begin{gather}\lim_{x\to x_0}f(x)=0\\\Updownarrow\\\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;\forall x\in A,\\0<d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow|f(x)-0|<\epsilon\\\Updownarrow\\\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;\forall x\in A,\\0<d_X(x,x_0)<\delta\Rightarrow\big||f(x)|-0\big|<\epsilon\\\Updownarrow\\\lim_{x\to x_0}|f(x)|=0\tag*{$\square$}\end{gather}$$

 

 

  만약 어떤 극한점이 함수의 정의역에 포함되며, 그 극한점에서 함수가 연속인 경우 특별한 식이 성립한다.

 

Theorem 5.5.  거리공간 $X$ 와 $A\subset X$ , 함수 $f:A\to Y$ 와 $X$ 에서  $A$ 의 극한점 $x_0\in A$ 에 대해 $f$ 가 $x_0$ 에서 연속일 필요충분조건은 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 이다.

 

  Proof.

  ($\Rightarrow$) $f$ 가 $x_0$ 에서 연속이라고 하자. 임의의 $V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0))$ 에 대해 어떤 $U\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 가 존재하여 $f(U)\subset V$ 가 성립한다. 이때 $f(U\setminus\{x_0\})\subset f(U)$ 이므로 $f(U\setminus\{x_0\})\subset V$ 를 얻는다. 따라서 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 가 성립한다.

  ($\Leftarrow$) $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 라고 하자. 임의의 $V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0))$ 에 대해 어떤 $U\in\mathcal{N}_X(x_0)$ 이 존재하여 $f(U\setminus\{x_0\})\subset V$ 가 성립한다. 이때 $f(x_0)\in V$ 이므로 $f(U)\subset V$ 도 성립한다. 따라서 $f$ 는 $x_0$ 에서 연속이다.   $\square$

 

 

Theorem 5.6.  거리공간 $X$ 와 $A\subset X$ , 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 라고 가정하자.
  (1) 모든 $x\in A$ 에 대해 $f(x)\ge 0$ 이면 $y_0\ge 0$ 이다.
  (2) 모든 $x\in A$ 에 대해 $f(x)\le 0$ 이면 $y_0\le 0$ 이다.

 

  Proof.

  (1) 모순을 보이기 위해 모든 $x\in A$ 에 대해 $f(x)\ge 0$ 이고 $y_0<0$ 이라고 가정하자. $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 이므로 어떤 $\delta>0$ 이 존재하여 임의의 $x\in X$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$x\in U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}\Rightarrow|f(x)-y_0|<-y_0$$

  한편 부등식의 성질에 따라 $|f(x)-y_0|<-y_0$ 이면 $y_0<f(x)-y_0<-y_0$ 이 성립하므로 다음을 얻는다.

$$\begin{align}x\in U_\delta^X(x_0)\setminus\{x_0\}&\Rightarrow y_0<f(x)-y_0<-y_0\\&\Rightarrow f(x)<0\end{align}$$

  이는 모순이므로 원하는 결과를 얻는다.

  (2) $g(x)=-f(x)$ 라고 정의하면 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=-y_0$ 이 성립하며, (1)에 따라 $-y_0\ge 0$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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