[실수공간의 위상] ch7. 콤팩트 집합

이전 읽을거리: ch6. Interior, Exterior, Boundary

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콤팩트 집합

 

Definition.  $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있는 집합의 모임의 합집합이 $X$ 를 포함하면 이 모임을 $X$ 의 열린덮개(open cover)라고 하며 이 열린덮개가 $X$ 를 덮는다고 한다.

 

Definition.  $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 의 임의의 열린덮개가 $X$ 를 덮는 어떤 유한부분모임을 가지면 $X$ 가 콤팩트하다(compact)고 한다.

 

  다시말해 콤팩트집합이란 그 어떤 열린덮개를 가져와도 그 중 유한개만 택하여 다시 덮을 수 있음이 보장되는 집합이다.

 

  다음의 정리에 따르면 콤팩트성은 그 집합이 어떤 전체집합에 포함되어있는지에 구애받지 않는다. 다시말해 콤팩트성은 그 집합 고유의 성질이다. 이는 집합의 상위집합이 무엇이느냐에 따라 달라지는 열림성 및 닫힘성과는 차이를 보인다.

 

Theorem 7.1.  $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 가 콤팩트할 필요충분조건은 (합집합이) $X$ 를 포함하는, $X$ 에서 열려있는 집합의 임의의 모임이 (합집합이) $X$ 를 포함하는 유한부분모임을 갖는 것이다.

 

※ $X$ 에서 열려있는 집합의 합집합이 $X$ 를 포함한다는 것은 결국 그 합집합이 $X$ 와 같음을 의미한다.

 

  Proof.

  ($\Rightarrow$) $X$ 가 콤팩트하다고 하자. 합집합이 $X$ 를 포함하는, $X$ 에서 열려있는 집합의 임의의 모임 $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 를 생각하자. 각 $A_{\alpha }$ 는 $X$ 에서 열려있으므로 정리 3.3.에 따라 어떤 $U_{\alpha }\in {\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^n}$ 에 대해 $A_{\alpha }=U_{\alpha }\cap X$ 가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$X\subset \bigcup _{\alpha \in J}{A}_{\alpha }=\bigcup _{\alpha \in J}(U_{\alpha }\cap X)=\left(\bigcup _{\alpha \in J}{U}_{\alpha }\right)\cap X$$

$$\therefore X\subset \bigcup _{\alpha \in J}{U}_{\alpha }$$

  따라서 모임 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 는 $X$ 의 열린덮개이며 $X$ 는 콤팩트하므로 이 열린덮개의 유한부분모임 $\{U_{{\alpha }_1},\dots ,U_{{\alpha }_n}\}$ 이 존재하여 $X$ 를 덮는다. 따라서 다음이 성립한다.

$$X\subset \left(\bigcup _{k=1}^n{U}_{{\alpha }_k}\right)\cap X=\bigcup _{k=1}^n(U_{{\alpha }_k}\cap X)=\bigcup _{k=1}^n{A}_{{\alpha }_k}$$

  즉 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 의 유한부분모임 $\{A_{{\alpha }_1},\dots ,A_{{\alpha }_n}\}$ 의 합집합이 $X$ 를 포함하므로 원하는 결과를 얻는다.

  ($\Leftarrow$) 주어진 조건이 성립한다고 하자. $X$ 의 임의의 열린덮개 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 를 생각하자. 각 $U_{\alpha }$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있으므로 $A_{\alpha }=U_{\alpha }\cap X$ 는 $X$ 에서 열려있다. 따라서 다음이 성립한다.

$$X\subset \left(\bigcup _{\alpha \in J}{U}_{\alpha }\right)\cap X=\bigcup _{\alpha \in J}(U_{\alpha }\cap X)=\bigcup _{\alpha \in J}{A}_{\alpha }$$

  가정에 따라 $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 의 어떤 유한부분모임 $\{A_{{\alpha }_1},\dots ,A_{{\alpha }_n}\}$ 가 존재하여 다음이 성립한다.

$$X\subset \bigcup _{k=1}^n{A}_{{\alpha }_k}=\bigcup _{k=1}^n(U_{{\alpha }_k}\cap X)=\left(\bigcup _{k=1}^n{U}_{{\alpha }_k}\right)\cap X$$

$$\therefore X\subset \left(\bigcup _{k=1}^n{U}_{{\alpha }_k}\right)$$

  즉 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 의 유한부분모임 $\{U_{{\alpha }_1},\dots ,U_{{\alpha }_n}\}$ 이 $X$ 를 덮으므로 $X$ 는 콤팩트하다.   $◻$

 

 

  다음은 콤팩트집합의 가장 간단한 예시이다.

 

Theorem 7.2.  $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 은 콤팩트하다.

 

※ 이 증명에는 완비성 공리가 이용된다.

 

  Proof.  $a=b$ 인 경우 $[a,b]$ 는 점집합이므로 자명하게 콤팩트하다. $a<b$ 일 때를 생각하자. $[a,b]$ 의 임의의 열린덮개 $\{A_{\alpha }\in \mathbb{R}{\}}_{\alpha \in J}$ 를 생각하자. 여기서 $\{A_{\alpha }\in \mathbb{R}{\}}_{\alpha \in J}$ 의 어떤 유한부분모임이 존재하여 $[a,x]$ 를 덮도록 하는 $x\in [a,b]$ 의 집합 $S\subset [a,b]$ 를 생각하자. $b\in S$ 임을 보이는 것으로 증명이 마무리된다.

  자명하게 $a\in S$ 가 성립한다. 또한 $b$ 는 $S$ 의 상계이므로 $S$ 는 공집합이 아니고 위로 유계이며, 따라서 $S$ 의 상한이 존재한다. $x_0=\text{sup }S$ 라고 하자. $x\le b$ 이며 모순을 보이기 위해 $x_0<b$ 라고 가정하자. $a\in S$ 이므로 어떤 $A_{\alpha }$ 에 대해 $a\in A_{\alpha }$ 이며 $A_{\alpha }\in {\mathcal{T}}_{\mathbb{R}}$ 이므로 어떤 $ϵ>0$ 이 존재하여 $C_{2ϵ}^{\mathbb{R}}(a)\subset A_{\alpha }$ 가 성립한다. 즉 다음을 얻는다.

$$(-2ϵ+a,a+2ϵ)\subset A_{\alpha }$$

$$\therefore [-ϵ+a,a+ϵ]\subset A_{\alpha }$$

  특히 $[a,a+ϵ]\subset A_{\alpha }$ 이므로 $a+ϵ\in S$ 도 성립한다. 따라서 $a<x_0$ 을 얻는다. 정리하면 $x_0\in (a,b)$ 이므로 어떤 ${ϵ}_1>0$ 이 존재하여 $C_{{ϵ}_1}^{\mathbb{R}}(x_0)\subset (a,b)$ 가 성립한다. 한편 $\{A_{\alpha }\in \mathbb{R}{\}}_{\alpha \in J}$ 는 $[a,b]$ 를 덮으며 $x_0\in [a,b]$ 이므로 어떤 ${\alpha }_0\in J$ 에 대해 $x_0\in A_{{\alpha }_0}$ 이 성립한다. 즉 $A_{{\alpha }_0}\in {\mathcal{N}}_{\mathbb{R}}(x_0)$ 이므로 어떤 ${ϵ}_2>0$ 가 존재하여 $C_{{ϵ}_2}^{\mathbb{R}}(x_0)\subset A_{{\alpha }_0}$ 가 성립한다. $2ϵ=\text{min}\{{ϵ}_1,{ϵ}_2\}$ 라고 하면 다음이 성립한다.

$$[-ϵ+x_0,x_0+ϵ]\subset C_{2ϵ}^{\mathbb{R}}(x_0)\subset (a,b)\cap A_{{\alpha }_0}\subset [a,b]\cap A_{{\alpha }_0}$$

  이때 $x_0-ϵ$ 은 $S$ 의 상계가 아니므로 어떤 $x_1\in S$ 에 대해 $x_0-ϵ<x_1$ 이 성립한다. 한편 $x_1\in S$ 이므로 $\{A_{\alpha }\in \mathbb{R}{\}}_{\alpha \in J}$ 의 어떤 유한부분모임 $\{A_{{\alpha }_1},\dots ,A_{{\alpha }_n}\}$ 이 존재하여 $[a,x_1]$ 를 덮는다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}[a,x_0+ϵ]& =[a,x_1]\cup [-ϵ+x_0,x_0+ϵ]\\ & \subset \left(\bigcup _{k=1}^n{A}_{{\alpha }_k}\right)\cap A_{{\alpha }_0}\\ & =\bigcup _{k=0}^n{A}_{{\alpha }_k}\end{array}$$

  즉 $\{A_{\alpha }\in \mathbb{R}{\}}_{\alpha \in J}$ 의 유한부분모임 $\{A_{{\alpha }_0},A_{{\alpha }_1},\dots ,A_{{\alpha }_n}\}$ 은 $[a,x_0+ϵ]$ 을 덮으므로 $x_0+ϵ\in S$ 가 성립한다. 이는 모순이므로 $x_0=b$ 를 얻는다. 한편 $[a,b]$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 닫혀있으므로 정리 3.8.에 따라 ${\text{cl}}^{\mathbb{R}}(S)\subset [a,b]$ 이며, 집합의 상한은 극한점이므로 $b\in {\text{cl}}^{\mathbb{R}}(S)$ 즉 $b\in [a,b]$ 를 얻는다.   $◻$

 

 

  위 정리에서 집합의 상한이 극한점임은 자명하다. 집합 $S$ 의 상한 $x_0$ 의 아무리 작은 $ϵ$-근방을 선택해도 $(x_0-ϵ,x_0)$ 에는 $S$ 의 원소가 존재하기 때문이다. 만약 $(x_0-ϵ,x_0)$ 에 $S$ 의 원소가 없다면 $x_0-ϵ$ 도 $S$ 의 상계이므로 모순이 발생한다.

 

 

하이네-보렐 정리

 

Definition.  $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 다음이 성립하면 $X$ 가 유계(bounded)라고 한다.$$\mathrm{\exists }M>0,\mathrm{\forall }x\in X,|x|\le M$$

 

  즉 유계인 집합은 중심이 $0\in {\mathbb{R}}^n$ 인 어떤 closed cube 속에 속한다는 것이다.

 

  다음의 정리는 ${\mathbb{R}}^n$ 의 부분공간에 한정하여, 콤팩트성이 어떤 의미를 갖는지 매우 친절하게 번역해준다.

 

하이네-보렐 정리 (Heine-Borel theorem)
  $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 이 콤팩트할 필요충분조건은 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 닫혀있고 유계인 것이다.

 

  이 정리는 매우 유용하나 그 증명은 쉽지만은 않고 방법도 여러가지이다. 본 포스팅에서는 참고문헌인 "Analysis on manifold" 를 따라 콤팩트성과 관련된 다양한 좋은 정의와 성질을 소개하며 하이네-보렐 정리를 증명할 것이다. 먼저 다음의 한 방향 증명부터 시작하자.

 

Lemma 7.3.  $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 이 콤팩트하면 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 닫혀있고 유계이다.

 

  Proof.

  Step 1. 먼저 $X$ 가 유계임을 보이자. $0\in {\mathbb{R}}^n$ 을 중심으로 하고 반경이 각 자연수인 open ball 의 모임 ${\{C_m^{{\mathbb{R}}^n}(0)\}}_{m\in \mathbb{N}}$ 의 합집합은 ${\mathbb{R}}^n$ 와 같으므로 자명하게 $X$ 의 열린덮개이다. 가정에 따라 ${\{C_m^{{\mathbb{R}}^n}(0)\}}_{m\in \mathbb{N}}$ 의 어떤 유한부분모임 $\{C_{m_1}^{{\mathbb{R}}^n}(0),\dots ,C_{m_N}^{{\mathbb{R}}^n}(0)\}$ 이 존재하여 $X$ 를 덮는다. $M=\text{max}\{m_1,\dots ,m_N\}$ 이라고 하면 $X\subset C_M^{{\mathbb{R}}^n}(0)$ 이므로 $X$ 는 유계이다.

  Step 2. $X$ 가 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 닫혀있음을 보이자. 이는 ${\mathbb{R}}^n\setminus X$ 가 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있음을 보이는 것과 같다. Step 1에 따라 $X$ 는 유계이므로 ${\mathbb{R}}^n\setminus X\ne \varnothing$ 이다. 임의의 $a\in {\mathbb{R}}^n\setminus X$ 를 생각하자. 각 자연수 $m$ 에 대해 다음과 같이 새로운 집합을 정의하자.

$$C_m=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x-a|\le \frac{1}{m}\}$$

  $C_m$ 은 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 닫혀있다. 한편 $\bigcap _{m\in \mathbb{N}}{C}_m=\{a\}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\bigcup _{m\in \mathbb{N}}({\mathbb{R}}^n\setminus C_m)={\mathbb{R}}^n\setminus \left(\bigcap _{m\in \mathbb{N}}{C}_m\right)={\mathbb{R}}^n\setminus \{a\}\supset X$$

  따라서 ${\{{\mathbb{R}}^n\setminus C_m\}}_{m\in \mathbb{N}}$ 은 $X$ 의 열린덮개이며 가정에 따라 어떤 유한부분모임 $\{{\mathbb{R}}^n\setminus C_{m_1},\dots ,{\mathbb{R}}^n\setminus C_{m_N}\}$ 이 존재하여 $X$ 를 덮는다. $M=\text{max}\{m_1,\dots ,m_N\}$ 이라고 하면 $\bigcap _{k=1}^N{C}_{m_k}=C_M$ 이므로 다음이 성립한다.

$$X\subset \bigcup _{k=1}^N({\mathbb{R}}^n\setminus C_{m_k})={\mathbb{R}}^n\setminus \left(\bigcap _{k=1}^N{C}_{m_k}\right)={\mathbb{R}}^n\setminus C_M$$

  따라서 $C_M\subset {\mathbb{R}}^n\setminus X$ 가 성립한다. 한편 $C_{\frac{1}{M}}^{{\mathbb{R}}^n}(a)\subset C_M$ 이므로 $C_{\frac{1}{M}}^{{\mathbb{R}}^n}(a)\subset {\mathbb{R}}^n\setminus X$ 이다. $a$ 를 ${\mathbb{R}}^n\setminus X$ 에서 임의로 선택하였으므로 ${\mathbb{R}}^n\setminus X$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있으며, 따라서 $X$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 닫혀있다.   $◻$

 

 

  다음의 정리에 따르면 연속함수는 콤팩트성을 보존한다.

 

최대-최소 정리 (Extreme-value theorem)
  $X\subset {\mathbb{R}}^m$ 이 콤팩트하다고 하자.
  (1) $f:X\to {\mathbb{R}}^n$ 이 연속이면 $f(X)$ 는 콤팩트하다.
  (2) $\varphi :X\to \mathbb{R}$ 이 연속이면 $\varphi$ 는 최댓값과 최솟값을 갖는다.

 

※ 정리 4.5.에 따라 정의역의 진부분집합인 콤팩트집합의 상도 콤팩트하다.

 

  Proof.

  (1) $f(X)$ 의 임의의 열린덮개 $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 를 생각하자. $f$ 는 연속이므로 각 $f^{-1}(A_{\alpha })$ 는 $X$ 에서 열려있다. ${\{f^{-1}(A_{\alpha })\}}_{\alpha \in J}$ 는 $X$ 에서 열려있는 집합의 모임이며 합집합이 $X$ 를 포함하므로 정리 7.1.에 따라 유한부분모임 $\{f^{-1}(A_{{\alpha }_1}),\dots ,f^{-1}(A_{{\alpha }_n})\}$ 이 존재하여 합집합이 $X$ 를 포함한다. 따라서 $\{A_{{\alpha }_1},\dots ,A_{{\alpha }_n}\}$ 의 합집합이 $f(X)$ 를 포함하므로 $f(X)$ 는 콤팩트하다.

  (2) (1) 에 따라 $\varphi (X)\subset \mathbb{R}$ 은 콤팩트하며, 보조정리 7.3.에 따라 $\varphi (X)$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 닫혀있으므로 극한점을 모두 포함한다. 한편 $\varphi (X)$ 의 상한과 하한은 $\varphi (X)$ 의 극한점이므로 $\varphi (X)$ 에 포함되며, 각각 $\varphi$ 의 최댓값과 최솟값이다.   $◻$

 

 

  다음의 정의는 비유하자면 집합의 안팎으로 일정한 두께의 코팅을 하는 행위이다.

 

Definition.  $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 와 $ϵ>0$ 에 대해 집합 ${\displaystyle \bigcup _{x\in X}{C}_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(x)}$ 를 $X$ 의 $ϵ$-근방이라고 하며 $C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(X)$ 라고 쓴다.

 

  열린집합에 포함되는 점은 그 열린집합에 포함되는 $ϵ$-근방을 반드시 가지지만, 열린집합에 포함되는 "집합" 은 그 열린집합에 포함되는 $ϵ$-근방을 가짐이 보장되지 않는다. 가령 ${\mathbb{R}}^2$ 의 x축은 다음의 집합 $U$ 에 포함되고 $U$ 는 ${\mathbb{R}}^2$ 에서 열려있지만, x축의 그 어떠한 $ϵ$-근방도 $U$ 에 포함되지 않는다.

$$U=\{(x,y):y^2<\frac{1}{1+x^2}\}$$

  그러나 열린집합에 포함되는 집합이 콤팩트한 경우에는 익숙한 성질이 그대로 성립한다. 어찌보면 콤팩트집합은 위상적으로 점과 비슷하다고 말할 수 있는 것이다.

 

$ϵ$-근방 정리 (The $ϵ$-neighborhood theorem)
  콤팩트한 $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 과 $X$ 를 포함하는 임의의 $U\in {\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^n}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\mathrm{\exists }ϵ>0,C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(X)\subset U$$

 

※ 본 증명에서 정의하는 함수 $d$ 는 꽤 나중에 다른 정리의 증명에도 사용된다.

 

  Proof.  다음의 함수를 정의하자.

$$d:{\mathbb{R}}^n\times \mathcal{P}\left({\mathbb{R}}^n\right)\to \mathbb{R},d(x,C)=\text{inf}\{|x-c|:c\in C\}$$

  예를들어 $d(x,C)$ 는 점 $x$ 와 집합 $C$ 의 거리로 이해된다. 임의의 $C\subset {\mathbb{R}}^n$ 를 고정하고 $x$ 에 대한 함수 $d(x,C)$ 가 연속임을 보이자. 임의의 $c\in C$ , $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$d(x,C)-|x-y|\le |x-c|-|x-y|\le |y-c|\le d(y,C)$$

$$\therefore d(x,C)-d(y,C)\le |x-y|$$

  한편 $d(y,C)-d(x,C)\le |y-x|=|x-y|$ 도 성립하므로 $|d(x,C)-d(y,C)|\le |x-y|$ 를 얻는다. 연속의 정의에 그대로 적용하면 $x$ 에 대한 함수 $d(x,C)$ 가 연속임을 쉽게 알 수 있다.

  정리에서 주어진 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열린집합 $U$ 에 대해 $f:X\to \mathbb{R}$ , $f(x)=d(x,{\mathbb{R}}^n\setminus U)$ 는 $x$ 에 대한 함수 $d(x,{\mathbb{R}}^n\setminus U)$ 의 $X$ 로의 제한이므로 정리 4.5.에 따라 연속이다. 임의의 $x\in X$ 를 생각하자. $x\in U$ 이므로 어떤 $ϵ>0$ 이 존재하여 $C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(x)\subset U$ 가 성립한다. 임의의 $a\in {\mathbb{R}}^n\setminus U$ 를 생각하자. $a\notin U$ 이므로 $a\notin C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(x)$ 이며, 따라서 $|x-a|\ge ϵ$ 이 성립한다. 한편 $d$ 의 정의에 따라 $f(x)=\text{inf}\{|x-a|:a\in U\}$ 이므로 $f(x)\ge ϵ$ , 즉 $f(x)>0$ 을 얻는다. $f$ 는 정의역이 콤팩트한 연속함수이므로 최솟값을 가지며, 이 최솟값을 $\delta$ 라고 하면 $\delta >0$ 가 성립한다.

  임의의 $x\in X$ 에 대해 $C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^n}(x)\subset U$ 임을 보이자. 모순을 보이기 위해 어떤 $a\in {\mathbb{R}}^n$ 이 존재하여 $a\in C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^n}(x)$ , $a\notin U$ 라고 가정하자. $a\in {\mathbb{R}}^n\setminus U$ 이므로 $f$ 의 정의에 따라 $f(x)\le |x-a|$ 가 성립한다. 한편 $a\in C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^n}(x)$ 이므로 $|x-a|<\delta$ 이며, $\delta \le f(x)$ 이므로 $|x-a|<|x-a|$ 라는 모순이 발생한다. 따라서 $C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^n}(x)\subset U$ 가 성립하고, $x$ 를 $X$ 에서 임의로 선택하였으므로 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}◻& \bigcup _{x\in X}{C}_{\delta }^{{\mathbb{R}}^n}(x)=C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^n}(C)\subset U\end{array}$$

 

 

  다음의 정의는 연속보다 조금 더 강한 조건을 가리킨다.

 

Definition.  함수 $f:X\to Y$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 균등연속(uniformly coutinuous)이라고 한다.$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x,y\in X$$$$d_X(x,y)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))<ϵ$$

 

  이는 연속의 조건과 비슷하면서도 조금 다르다. 연속의 조건을 형식적으로 쓰면 다음과 같다.

$$\mathrm{\forall }y\in X,\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in X$$

$$d_X(x,y)<\delta \Rightarrow d_Y(f(x),f(y))<ϵ$$

  위 표현에서 "$\mathrm{\forall }y\in X,\mathrm{\forall }ϵ>0$" 는 "$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\forall }y\in X$" 로 순서가 바뀌어도 된다. 임의의 $ϵ>0$ 에 대해, $f$ 가 연속임을 판단하기 위해서는 각 $y$ 에 대해 적절한 $\delta >0$ 를 찾아 이하의 조건이 만족함을 보이면 된다. 그러나 $f$ 가 균등연속임을 판단하기 위해서는 미리 적절한 $\delta >0$ 를 찾아서 이하의 모든 조건이 만족함을 보여야 한다.

 

Theorem 7.4.  콤팩트집합 $X\in {\mathbb{R}}^m$ 에 대해 함수 $f:X\to {\mathbb{R}}^n$ 가 연속이면 균등연속이다.

 

  Proof.  $f$ 는 연속이므로 각 $z\in X$ 와 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 어떤 ${\delta }_z>0$ 이 존재하여 $f(C_{{\delta }_z}^X(z))\subset C_{\frac{ϵ}{2}}^X(f(z))$ 가 성립한다. 이때 ${\{C_{\frac{{\delta }_z}{2}}^X(z)\}}_{z\in X}$ 는 $X$ 의 열린덮개이며 $X$ 는 콤팩트하므로 $X$ 를 덮는 유한부분모임 $\{C_{\frac{{\delta }_{z_1}}{2}}^X(z_1),\dots ,C_{\frac{{\delta }_{z_n}}{2}}^X(z_n)\}$ 가 존재한다. $\delta =\text{min}\{\frac{{\delta }_{z_1}}{2},\dots ,\frac{{\delta }_{z_n}}{2}\}$ 이라고 하자. $|x-y|<\delta$ 가 성립하는 임의의 $x,y\in X$ 를 생각하자. $x\in X$ 이므로 어떤 $i\in \{1,\dots ,n\}$ 에 대해 $x\in C_{\frac{{\delta }_{z_i}}{2}}^X(x_i)$ 이다. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}|z_i-y|& \le |z_i-x|+|x-y|\\ & <\frac{{\delta }_{z_i}}{2}+\delta \\ & \le \frac{{\delta }_{z_i}}{2}+\frac{{\delta }_{z_i}}{2}\\ & ={\delta }_{z_i}\end{array}$$

$$\therefore y\in C_{{\delta }_{z_i}}^X(z_i)$$

  한편 $x\in C_{{\delta }_{z_i}}^X(z_i)$ 도 성립하며, $f(C_{{\delta }_{z_i}}^X(z_i))\subset C_{\frac{ϵ}{2}}^X(f(z_i))$ 이므로 $f(x),f(y)\in C_{\frac{ϵ}{2}}^X(f(z))$ 를 얻는다. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}|f(x)-f(y)|& \le |f(x)-f(z_i)|+|f(z_i)-f(y)|\\ & <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ\end{array}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  $\mathbb{R}$ 의 가장 대표적인 콤팩트집합이 닫힌구간이라면, ${\mathbb{R}}^n$ 의 가장 대표적인 콤팩트집합은 rectangle 이다.

 

Theorem 7.5.  ${\mathbb{R}}^n$ 의 rectangle 은 콤팩트하다.

 

  Proof.  ${\mathbb{R}}^n$ 의 rectangle $Q=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ 을 생각하자. $n$ 에 대한 귀납법으로 증명하자. $n=1$ 인 경우에는 정리 7.2.에 따라 본 정리가 성립한다. $Q^{\prime }=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_{n-1},b_{n-1}]$ 이 콤팩트하다고 가정하고 $Q$ 가 콤팩트함을 보이자. 각 $t\in [a_n,b_n]$ 에 대해 다음의 함수를 생각하자.

$$f_t:Q^{\prime }\to {\mathbb{R}}^n,f(x_1,\dots ,x_{n-1})=(x_1,\dots ,x_{n-1},t)$$

  $f$ 의 $1,\dots ,n-1$ 번째 성분함수는 사영이고 $n$ 번째 성분함수는 상수함수이므로 정리 4.7.에 따라 $f$ 는 연속이다. 최대-최소 정리에 따라 $f_t(Q^{\prime })=Q^{\prime }\times \{t\}$ 는 콤팩트하다. 한편 $f_t(Q^{\prime })\subset Q$ 이므로, $Q$ 의 임의의 열린덮개 $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 는 $f_t(Q^{\prime })$ 의 열린덮개이기도 하며, $f_t(Q^{\prime })$ 를 덮는 유한부분모임 ${\mathcal{A}}_t\subset \{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in J}$ 가 존재한다. ${\mathcal{A}}_t$ 의 합집합은 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있으므로 $ϵ$-근방 정리에 따라 어떤 ${ϵ}_t>0$ 가 존재하여 $C_{{ϵ}_t}^{{\mathbb{R}}^n}(f_t(Q^{\prime }))$ 가 ${\mathcal{A}}_t$ 에 의해 덮인다. 한편 $Q^{\prime }\times C_{{ϵ}_t}^{\mathbb{R}}(t)\subset C_{{ϵ}_t}^{{\mathbb{R}}^n}(f_t(Q^{\prime }))$ 이므로 ${\mathcal{A}}_t$ 는 $Q^{\prime }\times C_{{ϵ}_t}^{\mathbb{R}}(t)$ 의 열린덮개이다. $Q^{\prime }\times C_{{ϵ}_t}^{\mathbb{R}}(t)$ 는 $Q$ 에서 열려있으며, 모임 ${\{Q^{\prime }\times C_{{ϵ}_t}^{\mathbb{R}}(t)\}}_{t\in [a_n,b_n]}$ 의 합집합은 $Q$ 를 포함하므로 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}{Q}^{\prime }\times [a_n,b_n]& =Q\subset \bigcup _{t\in [a_n,b_n]}(Q^{\prime }\times C_{{ϵ}_t}^{\mathbb{R}}(t))\\ & =Q^{\prime }\times (\bigcup _{t\in [a_n,b_n]}{C}_{{ϵ}_t}^{\mathbb{R}}(t))\end{array}$$

$$\therefore [a_n,b_n]\subset \bigcup _{t\in [a_n,b_n]}{C}_{{ϵ}_t}^{\mathbb{R}}(t)$$

  따라서 모임 ${\{C_{{ϵ}_t}^{\mathbb{R}}(t)\}}_{t\in [a_n,b_n]}$ 은 $[a_n,b_n]$ 의 열린덮개이며, $[a_n,b_n]$ 은 콤팩트하므로 $[a_n,b_n]$ 를 덮는 유한부분모임 $\{C_{{ϵ}_{t_1}}^{\mathbb{R}}(t_1),\dots ,C_{{ϵ}_{t_n}}^{\mathbb{R}}(t_n)\}$ 이 존재한다. 다음이 성립한다.

$$Q\subset \bigcup _{k=1}^n(Q^{\prime }\times C_{{ϵ}_{t_k}}^{\mathbb{R}}(t_k))$$

  한편 각 $Q^{\prime }\times C_{{ϵ}_{t_k}}^{\mathbb{R}}(t_k)$ 는 유한모임 ${\mathcal{A}}_{t_k}$ 에 의해 덮이므로, $Q$ 는 유한모임 ${\mathcal{A}}_{t_1}\cup \cdots \cup {\mathcal{A}}_{t_n}$ 에 의해 덮인다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  이제 하이네-보렐 정리의 나머지 방향을 증명하자.

 

Lemma 7.6.  $X\subset {\mathbb{R}}^n$ 이 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 닫혀있고 유계이면 콤팩트하다.

 

  Proof.  $X$ 의 임의의 열린덮개 $\mathcal{A}$ 를 생각하자. ${\mathbb{R}}^n\setminus X$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 에서 열려있으므로 $\mathcal{A}\cup \{{\mathbb{R}}^n\setminus X\}$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 의 열린덮개이다. 한편 $X$ 는 유계이므로 $X$ 를 포함하는 rectangle $Q\in {\mathbb{R}}^n$ 이 존재한다. 한편 $Q$ 는 콤팩트하므로 $\mathcal{A}\cup \{{\mathbb{R}}^n\setminus X\}$ 의 유한부분모임 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 가 존재하여 $Q$ 를 덮는다. 이때 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 는 $X$ 의 열린덮개이기도 하다. 한편 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 는 ${\mathbb{R}}^n\setminus X$ 를 포함하거나 포함하지 않는데, 포함하는 경우 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 에서 ${\mathbb{R}}^n\setminus X$ 를 제외하여도 여전히 $X$ 의 열린덮개이다. 따라서 $X$ 는 $\mathcal{A}$ 의 어떤 유한부분모임에 의해 덮이므로 $X$ 는 콤팩트하다.   $◻$

 

 

  이로써 하이네-보렐 정리의 증명이 끝났다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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