[실수공간의 위상] ch7. 콤팩트 집합

이전 읽을거리: ch6. Interior, Exterior, Boundary

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콤팩트 집합

 

Definition.  $X\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있는 집합의 모임의 합집합이 $X$ 를 포함하면 이 모임을 $X$ 의 열린덮개(open cover)라고 하며 이 열린덮개가 $X$ 를 덮는다고 한다.

 

Definition.  $X\subset\mathbb{R}^n$ 의 임의의 열린덮개가 $X$ 를 덮는 어떤 유한부분모임을 가지면 $X$ 가 콤팩트하다(compact)고 한다.

 

  다시말해 콤팩트집합이란 그 어떤 열린덮개를 가져와도 그 중 유한개만 택하여 다시 덮을 수 있음이 보장되는 집합이다.

 

  다음의 정리에 따르면 콤팩트성은 그 집합이 어떤 전체집합에 포함되어있는지에 구애받지 않는다. 다시말해 콤팩트성은 그 집합 고유의 성질이다. 이는 집합의 상위집합이 무엇이느냐에 따라 달라지는 열림성 및 닫힘성과는 차이를 보인다.

 

Theorem 7.1.  $X\subset\mathbb{R}^n$ 가 콤팩트할 필요충분조건은 (합집합이) $X$ 를 포함하는, $X$ 에서 열려있는 집합의 임의의 모임이 (합집합이) $X$ 를 포함하는 유한부분모임을 갖는 것이다.

 

※ $X$ 에서 열려있는 집합의 합집합이 $X$ 를 포함한다는 것은 결국 그 합집합이 $X$ 와 같음을 의미한다.

 

  Proof.

  ($\Rightarrow$) $X$ 가 콤팩트하다고 하자. 합집합이 $X$ 를 포함하는, $X$ 에서 열려있는 집합의 임의의 모임 $\{A_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 를 생각하자. 각 $A_\alpha$ 는 $X$ 에서 열려있으므로 정리 3.3.에 따라 어떤 $U_\alpha\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 에 대해 $A_\alpha=U_\alpha\cap X$ 가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$X\subset\bigcup_{\alpha\in J}A_\alpha=\bigcup_{\alpha\in J}(U_\alpha\cap X)=\left(\bigcup_{\alpha\in J}U_\alpha\right)\cap X$$

$$\therefore X\subset\bigcup_{\alpha\in J}U_\alpha$$

  따라서 모임 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 는 $X$ 의 열린덮개이며 $X$ 는 콤팩트하므로 이 열린덮개의 유한부분모임 $\{U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\}$ 이 존재하여 $X$ 를 덮는다. 따라서 다음이 성립한다.

$$X\subset\left(\bigcup_{k=1}^nU_{\alpha_k}\right)\cap X=\bigcup_{k=1}^n(U_{\alpha_k}\cap X)=\bigcup_{k=1}^nA_{\alpha_k}$$

  즉 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 의 유한부분모임 $\{A_{\alpha_1},\ldots,A_{\alpha_n}\}$ 의 합집합이 $X$ 를 포함하므로 원하는 결과를 얻는다.

  ($\Leftarrow$) 주어진 조건이 성립한다고 하자. $X$ 의 임의의 열린덮개 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 를 생각하자. 각 $U_\alpha$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으므로 $A_\alpha=U_\alpha\cap X$ 는 $X$ 에서 열려있다. 따라서 다음이 성립한다.

$$X\subset\left(\bigcup_{\alpha\in J}U_\alpha\right)\cap X=\bigcup_{\alpha\in J}(U_\alpha\cap X)=\bigcup_{\alpha\in J}A_\alpha$$

  가정에 따라 $\{A_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 의 어떤 유한부분모임 $\{A_{\alpha_1},\ldots,A_{\alpha_n}\}$ 가 존재하여 다음이 성립한다.

$$X\subset\bigcup_{k=1}^nA_{\alpha_k}=\bigcup_{k=1}^n(U_{\alpha_k}\cap X)=\left(\bigcup_{k=1}^nU_{\alpha_k}\right)\cap X$$

$$\therefore X\subset\left(\bigcup_{k=1}^nU_{\alpha_k}\right)$$

  즉 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 의 유한부분모임 $\{U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\}$ 이 $X$ 를 덮으므로 $X$ 는 콤팩트하다.   $\square$

 

 

  다음은 콤팩트집합의 가장 간단한 예시이다.

 

Theorem 7.2.  $[a,b]\subset\mathbb{R}$ 은 콤팩트하다.

 

※ 이 증명에는 완비성 공리가 이용된다.

 

  Proof.  $a=b$ 인 경우 $[a,b]$ 는 점집합이므로 자명하게 콤팩트하다. $a<b$ 일 때를 생각하자. $[a,b]$ 의 임의의 열린덮개 $\{A_\alpha\in\mathbb{R}\}_{\alpha\in J}$ 를 생각하자. 여기서 $\{A_\alpha\in\mathbb{R}\}_{\alpha\in J}$ 의 어떤 유한부분모임이 존재하여 $[a,x]$ 를 덮도록 하는 $x\in[a,b]$ 의 집합 $S\subset[a,b]$ 를 생각하자. $b\in S$ 임을 보이는 것으로 증명이 마무리된다.

  자명하게 $a\in S$ 가 성립한다. 또한 $b$ 는 $S$ 의 상계이므로 $S$ 는 공집합이 아니고 위로 유계이며, 따라서 $S$ 의 상한이 존재한다. $x_0=\text{sup }S$ 라고 하자. $x\le b$ 이며 모순을 보이기 위해 $x_0<b$ 라고 가정하자. $a\in S$ 이므로 어떤 $A_\alpha$ 에 대해 $a\in A_\alpha$ 이며 $A_\alpha\in\mathcal{T}_\mathbb{R}$ 이므로 어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $C_{2\epsilon}^\mathbb{R}(a)\subset A_\alpha$ 가 성립한다. 즉 다음을 얻는다.

$$(-2\epsilon+a,a+2\epsilon)\subset A_\alpha$$

$$\therefore[-\epsilon+a,a+\epsilon]\subset A_\alpha$$

  특히 $[a,a+\epsilon]\subset A_\alpha$ 이므로 $a+\epsilon\in S$ 도 성립한다. 따라서 $a<x_0$ 을 얻는다. 정리하면 $x_0\in(a,b)$ 이므로 어떤 $\epsilon_1>0$ 이 존재하여 $C_{\epsilon_1}^\mathbb{R}(x_0)\subset(a,b)$ 가 성립한다. 한편 $\{A_\alpha\in\mathbb{R}\}_{\alpha\in J}$ 는 $[a,b]$ 를 덮으며 $x_0\in[a,b]$ 이므로 어떤 $\alpha_0\in J$ 에 대해 $x_0\in A_{\alpha_0}$ 이 성립한다. 즉 $A_{\alpha_0}\in\mathcal{N}_\mathbb{R}(x_0)$ 이므로 어떤 $\epsilon_2>0$ 가 존재하여 $C_{\epsilon_2}^\mathbb{R}(x_0)\subset A_{\alpha_0}$ 가 성립한다. $2\epsilon=\text{min}\{\epsilon_1,\epsilon_2\}$ 라고 하면 다음이 성립한다.

$$[-\epsilon+x_0,x_0+\epsilon]\subset C_{2\epsilon}^\mathbb{R}(x_0)\subset (a,b)\cap A_{\alpha_0}\subset[a,b]\cap A_{\alpha_0}$$

  이때 $x_0-\epsilon$ 은 $S$ 의 상계가 아니므로 어떤 $x_1\in S$ 에 대해 $x_0-\epsilon<x_1$ 이 성립한다. 한편 $x_1\in S$ 이므로 $\{A_\alpha\in\mathbb{R}\}_{\alpha\in J}$ 의 어떤 유한부분모임 $\{A_{\alpha_1},\ldots,A_{\alpha_n}\}$ 이 존재하여 $[a,x_1]$ 를 덮는다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{align}[a,x_0+\epsilon]&=[a,x_1]\cup[-\epsilon+x_0,x_0+\epsilon]\\&\subset\left(\bigcup_{k=1}^nA_{\alpha_k}\right)\cap A_{\alpha_0}\\&=\bigcup_{k=0}^nA_{\alpha_k}\end{align}$$

  즉 $\{A_\alpha\in\mathbb{R}\}_{\alpha\in J}$ 의 유한부분모임 $\{A_{\alpha_0},A_{\alpha_1},\ldots,A_{\alpha_n}\}$ 은 $[a,x_0+\epsilon]$ 을 덮으므로 $x_0+\epsilon\in S$ 가 성립한다. 이는 모순이므로 $x_0=b$ 를 얻는다. 한편 $[a,b]$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 닫혀있으므로 정리 3.8.에 따라 $\text{cl}^\mathbb{R}(S)\subset[a,b]$ 이며, 집합의 상한은 극한점이므로 $b\in\text{cl}^\mathbb{R}(S)$ 즉 $b\in[a,b]$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

  위 정리에서 집합의 상한이 극한점임은 자명하다. 집합 $S$ 의 상한 $x_0$ 의 아무리 작은 $\epsilon$-근방을 선택해도 $(x_0-\epsilon,x_0)$ 에는 $S$ 의 원소가 존재하기 때문이다. 만약 $(x_0-\epsilon,x_0)$ 에 $S$ 의 원소가 없다면 $x_0-\epsilon$ 도 $S$ 의 상계이므로 모순이 발생한다.

 

 

하이네-보렐 정리

 

Definition.  $X\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립하면 $X$ 가 유계(bounded)라고 한다.$$\exists M>0,\;\;\forall x\in X,\;\;|x|\le M$$

 

  즉 유계인 집합은 중심이 $0\in\mathbb{R}^n$ 인 어떤 closed cube 속에 속한다는 것이다.

 

  다음의 정리는 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간에 한정하여, 콤팩트성이 어떤 의미를 갖는지 매우 친절하게 번역해준다.

 

하이네-보렐 정리 (Heine-Borel theorem)
  $X\subset\mathbb{R}^n$ 이 콤팩트할 필요충분조건은 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있고 유계인 것이다.

 

  이 정리는 매우 유용하나 그 증명은 쉽지만은 않고 방법도 여러가지이다. 본 포스팅에서는 참고문헌인 "Analysis on manifold" 를 따라 콤팩트성과 관련된 다양한 좋은 정의와 성질을 소개하며 하이네-보렐 정리를 증명할 것이다. 먼저 다음의 한 방향 증명부터 시작하자.

 

Lemma 7.3.  $X\subset\mathbb{R}^n$ 이 콤팩트하면 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있고 유계이다.

 

  Proof.

  Step 1. 먼저 $X$ 가 유계임을 보이자. $0\in\mathbb{R}^n$ 을 중심으로 하고 반경이 각 자연수인 open ball 의 모임 $\left\{C_m^{\mathbb{R}^n}(0)\right\}_{m\in\mathbb{N}}$ 의 합집합은 $\mathbb{R}^n$ 와 같으므로 자명하게 $X$ 의 열린덮개이다. 가정에 따라 $\left\{C_m^{\mathbb{R}^n}(0)\right\}_{m\in\mathbb{N}}$ 의 어떤 유한부분모임 $\left\{C_{m_1}^{\mathbb{R}^n}(0),\ldots,C_{m_N}^{\mathbb{R}^n}(0)\right\}$ 이 존재하여 $X$ 를 덮는다. $M=\text{max}\{m_1,\ldots,m_N\}$ 이라고 하면 $X\subset C_M^{\mathbb{R}^n}(0)$ 이므로 $X$ 는 유계이다.

  Step 2. $X$ 가 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있음을 보이자. 이는 $\mathbb{R}^n\setminus X$ 가 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있음을 보이는 것과 같다. Step 1에 따라 $X$ 는 유계이므로 $\mathbb{R}^n\setminus X\neq\varnothing$ 이다. 임의의 $a\in\mathbb{R}^n\setminus X$ 를 생각하자. 각 자연수 $m$ 에 대해 다음과 같이 새로운 집합을 정의하자.

$$C_m=\left\{x\in\mathbb{R}^n:|x-a|\le\frac{1}{m}\right\}$$

  $C_m$ 은 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있다. 한편 $\bigcap_{m\in\mathbb{N}}C_m=\{a\}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\bigcup_{m\in\mathbb{N}}\left(\mathbb{R}^n\setminus C_m\right)=\mathbb{R}^n\setminus\left(\bigcap_{m\in\mathbb{N}}C_m\right)=\mathbb{R}^n\setminus\{a\}\supset X$$

  따라서 $\left\{\mathbb{R}^n\setminus C_m\right\}_{m\in\mathbb{N}}$ 은 $X$ 의 열린덮개이며 가정에 따라 어떤 유한부분모임 $\left\{\mathbb{R}^n\setminus C_{m_1},\ldots,\mathbb{R}^n\setminus C_{m_N}\right\}$ 이 존재하여 $X$ 를 덮는다. $M=\text{max}\{m_1,\ldots,m_N\}$ 이라고 하면 $\bigcap_{k=1}^NC_{m_k}=C_M$ 이므로 다음이 성립한다.

$$X\subset\bigcup_{k=1}^N\left(\mathbb{R}^n\setminus C_{m_k}\right)=\mathbb{R}^n\setminus\left(\bigcap_{k=1}^NC_{m_k}\right)=\mathbb{R}^n\setminus C_M$$

  따라서 $C_M\subset\mathbb{R}^n\setminus X$ 가 성립한다. 한편 $C_{\frac{1}{M}}^{\mathbb{R}^n}(a)\subset C_M$ 이므로 $C_{\frac{1}{M}}^{\mathbb{R}^n}(a)\subset\mathbb{R}^n\setminus X$ 이다. $a$ 를 $\mathbb{R}^n\setminus X$ 에서 임의로 선택하였으므로 $\mathbb{R}^n\setminus X$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으며, 따라서 $X$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있다.   $\square$

 

 

  다음의 정리에 따르면 연속함수는 콤팩트성을 보존한다.

 

최대-최소 정리 (Extreme-value theorem)
  $X\subset\mathbb{R}^m$ 이 콤팩트하다고 하자.
  (1) $f:X\to\mathbb{R}^n$ 이 연속이면 $f(X)$ 는 콤팩트하다.
  (2) $\phi:X\to\mathbb{R}$ 이 연속이면 $\phi$ 는 최댓값과 최솟값을 갖는다.

 

※ 정리 4.5.에 따라 정의역의 진부분집합인 콤팩트집합의 상도 콤팩트하다.

 

  Proof.

  (1) $f(X)$ 의 임의의 열린덮개 $\{A_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 를 생각하자. $f$ 는 연속이므로 각 $f^{-1}(A_\alpha)$ 는 $X$ 에서 열려있다. $\left\{f^{-1}(A_\alpha)\right\}_{\alpha\in J}$ 는 $X$ 에서 열려있는 집합의 모임이며 합집합이 $X$ 를 포함하므로 정리 7.1.에 따라 유한부분모임 $\left\{f^{-1}(A_{\alpha_1}),\ldots,f^{-1}(A_{\alpha_n})\right\}$ 이 존재하여 합집합이 $X$ 를 포함한다. 따라서 $\{A_{\alpha_1},\ldots,A_{\alpha_n}\}$ 의 합집합이 $f(X)$ 를 포함하므로 $f(X)$ 는 콤팩트하다.

  (2) (1) 에 따라 $\phi(X)\subset\mathbb{R}$ 은 콤팩트하며, 보조정리 7.3.에 따라 $\phi(X)$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 닫혀있으므로 극한점을 모두 포함한다. 한편 $\phi(X)$ 의 상한과 하한은 $\phi(X)$ 의 극한점이므로 $\phi(X)$ 에 포함되며, 각각 $\phi$ 의 최댓값과 최솟값이다.   $\square$

 

 

  다음의 정의는 비유하자면 집합의 안팎으로 일정한 두께의 코팅을 하는 행위이다.

 

Definition.  $X\subset\mathbb{R}^n$ 와 $\epsilon>0$ 에 대해 집합 $\displaystyle\bigcup_{x\in X}C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(x)$ 를 $X$ 의 $\epsilon$-근방이라고 하며 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(X)$ 라고 쓴다.

 

  열린집합에 포함되는 점은 그 열린집합에 포함되는 $\epsilon$-근방을 반드시 가지지만, 열린집합에 포함되는 "집합" 은 그 열린집합에 포함되는 $\epsilon$-근방을 가짐이 보장되지 않는다. 가령 $\mathbb{R}^2$ 의 x축은 다음의 집합 $U$ 에 포함되고 $U$ 는 $\mathbb{R}^2$ 에서 열려있지만, x축의 그 어떠한 $\epsilon$-근방도 $U$ 에 포함되지 않는다.

$$U=\left\{(x,y):y^2<\frac{1}{1+x^2}\right\}$$

  그러나 열린집합에 포함되는 집합이 콤팩트한 경우에는 익숙한 성질이 그대로 성립한다. 어찌보면 콤팩트집합은 위상적으로 점과 비슷하다고 말할 수 있는 것이다.

 

$\epsilon$-근방 정리 (The $\epsilon$-neighborhood theorem)
  콤팩트한 $X\subset\mathbb{R}^n$ 과 $X$ 를 포함하는 임의의 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\exists\epsilon>0,\;\;C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(X)\subset U$$

 

※ 본 증명에서 정의하는 함수 $d$ 는 꽤 나중에 다른 정리의 증명에도 사용된다.

 

  Proof.  다음의 함수를 정의하자.

$$d:\mathbb{R}^n\times\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^n\right)\to\mathbb{R},\quad d(x,C)=\text{inf}\{|x-c|:c\in C\}$$

  예를들어 $d(x,C)$ 는 점 $x$ 와 집합 $C$ 의 거리로 이해된다. 임의의 $C\subset\mathbb{R}^n$ 를 고정하고 $x$ 에 대한 함수 $d(x,C)$ 가 연속임을 보이자. 임의의 $c\in C$ , $x,y\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$d(x,C)-|x-y|\le|x-c|-|x-y|\le|y-c|\le d(y,C)$$

$$\therefore d(x,C)-d(y,C)\le|x-y|$$

  한편 $d(y,C)-d(x,C)\le|y-x|=|x-y|$ 도 성립하므로 $|d(x,C)-d(y,C)|\le|x-y|$ 를 얻는다. 연속의 정의에 그대로 적용하면 $x$ 에 대한 함수 $d(x,C)$ 가 연속임을 쉽게 알 수 있다.

  정리에서 주어진 $\mathbb{R}^n$ 에서 열린집합 $U$ 에 대해 $f:X\to\mathbb{R}$ , $f(x)=d(x,\mathbb{R}^n\setminus U)$ 는 $x$ 에 대한 함수 $d(x,\mathbb{R}^n\setminus U)$ 의 $X$ 로의 제한이므로 정리 4.5.에 따라 연속이다. 임의의 $x\in X$ 를 생각하자. $x\in U$ 이므로 어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(x)\subset U$ 가 성립한다. 임의의 $a\in\mathbb{R}^n\setminus U$ 를 생각하자. $a\notin U$ 이므로 $a\notin C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(x)$ 이며, 따라서 $|x-a|\ge\epsilon$ 이 성립한다. 한편 $d$ 의 정의에 따라 $f(x)=\text{inf}\{|x-a|:a\in U\}$ 이므로 $f(x)\ge\epsilon$ , 즉 $f(x)>0$ 을 얻는다. $f$ 는 정의역이 콤팩트한 연속함수이므로 최솟값을 가지며, 이 최솟값을 $\delta$ 라고 하면 $\delta>0$ 가 성립한다.

  임의의 $x\in X$ 에 대해 $C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)\subset U$ 임을 보이자. 모순을 보이기 위해 어떤 $a\in\mathbb{R}^n$ 이 존재하여 $a\in C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)$ , $a\notin U$ 라고 가정하자. $a\in\mathbb{R}^n\setminus U$ 이므로 $f$ 의 정의에 따라 $f(x)\le|x-a|$ 가 성립한다. 한편 $a\in C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)$ 이므로 $|x-a|<\delta$ 이며, $\delta\le f(x)$ 이므로 $|x-a|<|x-a|$ 라는 모순이 발생한다. 따라서 $C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)\subset U$ 가 성립하고, $x$ 를 $X$ 에서 임의로 선택하였으므로 다음이 성립한다.

$$\bigcup_{x\in X}C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)=C_\delta^{\mathbb{R}^n}(C)\subset U\tag*{$\square$}$$

 

 

  다음의 정의는 연속보다 조금 더 강한 조건을 가리킨다.

 

Definition.  함수 $f:X\to Y$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 균등연속(uniformly coutinuous)이라고 한다.$$\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;\forall x,y\in X$$$$d_X(x,y)<\delta\Rightarrow d_Y\big(f(x),f(y)\big)<\epsilon$$

 

  이는 연속의 조건과 비슷하면서도 조금 다르다. 연속의 조건을 형식적으로 쓰면 다음과 같다.

$$\forall y\in X,\;\;\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;\forall x\in X$$

$$d_X(x,y)<\delta\Rightarrow d_Y\big(f(x),f(y)\big)<\epsilon$$

  위 표현에서 "$\forall y\in X,\;\;\forall\epsilon>0$" 는 "$\forall\epsilon>0,\;\;\forall y\in X$" 로 순서가 바뀌어도 된다. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해, $f$ 가 연속임을 판단하기 위해서는 각 $y$ 에 대해 적절한 $\delta>0$ 를 찾아 이하의 조건이 만족함을 보이면 된다. 그러나 $f$ 가 균등연속임을 판단하기 위해서는 미리 적절한 $\delta>0$ 를 찾아서 이하의 모든 조건이 만족함을 보여야 한다.

 

Theorem 7.4.  콤팩트집합 $X\in\mathbb{R}^m$ 에 대해 함수 $f:X\to\mathbb{R}^n$ 가 연속이면 균등연속이다.

 

  Proof.  $f$ 는 연속이므로 각 $z\in X$ 와 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $\delta_z>0$ 이 존재하여 $f\left(C_{\delta_z}^X(z)\right)\subset C_\frac{\epsilon}{2}^X(f(z))$ 가 성립한다. 이때 $\left\{C_\frac{\delta_z}{2}^X(z)\right\}_{z\in X}$ 는 $X$ 의 열린덮개이며 $X$ 는 콤팩트하므로 $X$ 를 덮는 유한부분모임 $\left\{C_\frac{\delta_{z_1}}{2}^X(z_1),\ldots,C_\frac{\delta_{z_n}}{2}^X(z_n)\right\}$ 가 존재한다. $\delta=\text{min}\left\{\frac{\delta_{z_1}}{2},\ldots,\frac{\delta_{z_n}}{2}\right\}$ 이라고 하자. $|x-y|<\delta$ 가 성립하는 임의의 $x,y\in X$ 를 생각하자. $x\in X$ 이므로 어떤 $i\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대해 $x\in C_\frac{\delta_{z_i}}{2}^X(x_i)$ 이다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}|z_i-y|&\le|z_i-x|+|x-y|\\&<\frac{\delta_{z_i}}{2}+\delta\\&\le\frac{\delta_{z_i}}{2}+\frac{\delta_{z_i}}{2}\\&=\delta_{z_i}\end{align}$$

$$\therefore y\in C_{\delta_{z_i}}^X(z_i)$$

  한편 $x\in C_{\delta_{z_i}}^X(z_i)$ 도 성립하며, $f\left(C_{\delta_{z_i}}^X(z_i)\right)\subset C_\frac{\epsilon}{2}^X(f(z_i))$ 이므로 $f(x),f(y)\in C_\frac{\epsilon}{2}^X(f(z))$ 를 얻는다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}|f(x)-f(y)|&\le|f(x)-f(z_i)|+|f(z_i)-f(y)|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\\&=\epsilon\end{align}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  $\mathbb{R}$ 의 가장 대표적인 콤팩트집합이 닫힌구간이라면, $\mathbb{R}^n$ 의 가장 대표적인 콤팩트집합은 rectangle 이다.

 

Theorem 7.5.  $\mathbb{R}^n$ 의 rectangle 은 콤팩트하다.

 

  Proof.  $\mathbb{R}^n$ 의 rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 을 생각하자. $n$ 에 대한 귀납법으로 증명하자. $n=1$ 인 경우에는 정리 7.2.에 따라 본 정리가 성립한다. $Q'=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_{n-1},b_{n-1}]$ 이 콤팩트하다고 가정하고 $Q$ 가 콤팩트함을 보이자. 각 $t\in[a_n,b_n]$ 에 대해 다음의 함수를 생각하자.

$$f_t:Q'\to\mathbb{R}^n,\quad f(x_1,\ldots,x_{n-1})=(x_1,\ldots,x_{n-1},t)$$

  $f$ 의 $1,\ldots,n-1$ 번째 성분함수는 사영이고 $n$ 번째 성분함수는 상수함수이므로 정리 4.7.에 따라 $f$ 는 연속이다. 최대-최소 정리에 따라 $f_t(Q')=Q'\times\{t\}$ 는 콤팩트하다. 한편 $f_t(Q')\subset Q$ 이므로, $Q$ 의 임의의 열린덮개 $\{A_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 는 $f_t(Q')$ 의 열린덮개이기도 하며, $f_t(Q')$ 를 덮는 유한부분모임 $\mathcal{A}_t\subset\{A_\alpha\}_{\alpha\in J}$ 가 존재한다. $\mathcal{A}_t$ 의 합집합은 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으므로 $\epsilon$-근방 정리에 따라 어떤 $\epsilon_t>0$ 가 존재하여 $C_{\epsilon_t}^{\mathbb{R}^n}(f_t(Q'))$ 가 $\mathcal{A}_t$ 에 의해 덮인다. 한편 $Q'\times C_{\epsilon_t}^\mathbb{R}(t)\subset C_{\epsilon_t}^{\mathbb{R}^n}(f_t(Q'))$ 이므로 $\mathcal{A}_t$ 는 $Q'\times C_{\epsilon_t}^\mathbb{R}(t)$ 의 열린덮개이다. $Q'\times C_{\epsilon_t}^\mathbb{R}(t)$ 는 $Q$ 에서 열려있으며, 모임 $\left\{Q'\times C_{\epsilon_t}^\mathbb{R}(t)\right\}_{t\in[a_n,b_n]}$ 의 합집합은 $Q$ 를 포함하므로 다음이 성립한다.

$$\begin{align}Q'\times[a_n,b_n]&=Q\subset\bigcup_{t\in[a_n,b_n]}\left(Q'\times C_{\epsilon_t}^\mathbb{R}(t)\right)\\&=Q'\times\left(\bigcup_{t\in[a_n,b_n]}C_{\epsilon_t}^\mathbb{R}(t)\right)\end{align}$$

$$\therefore[a_n,b_n]\subset\bigcup_{t\in[a_n,b_n]}C_{\epsilon_t}^\mathbb{R}(t)$$

  따라서 모임 $\left\{C_{\epsilon_t}^\mathbb{R}(t)\right\}_{t\in[a_n,b_n]}$ 은 $[a_n,b_n]$ 의 열린덮개이며, $[a_n,b_n]$ 은 콤팩트하므로 $[a_n,b_n]$ 를 덮는 유한부분모임 $\left\{C_{\epsilon_{t_1}}^\mathbb{R}(t_1),\ldots,C_{\epsilon_{t_n}}^\mathbb{R}(t_n)\right\}$ 이 존재한다. 다음이 성립한다.

$$Q\subset\bigcup_{k=1}^n\left(Q'\times C_{\epsilon_{t_k}}^\mathbb{R}(t_k)\right)$$

  한편 각 $Q'\times C_{\epsilon_{t_k}}^\mathbb{R}(t_k)$ 는 유한모임 $\mathcal{A}_{t_k}$ 에 의해 덮이므로, $Q$ 는 유한모임 $\mathcal{A}_{t_1}\cup\cdots\cup\mathcal{A}_{t_n}$ 에 의해 덮인다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  이제 하이네-보렐 정리의 나머지 방향을 증명하자.

 

Lemma 7.6.  $X\subset\mathbb{R}^n$ 이 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있고 유계이면 콤팩트하다.

 

  Proof.  $X$ 의 임의의 열린덮개 $\mathcal{A}$ 를 생각하자. $\mathbb{R}^n\setminus X$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으므로 $\mathcal{A}\cup\{\mathbb{R}^n\setminus X\}$ 는 $\mathbb{R}^n$ 의 열린덮개이다. 한편 $X$ 는 유계이므로 $X$ 를 포함하는 rectangle $Q\in\mathbb{R}^n$ 이 존재한다. 한편 $Q$ 는 콤팩트하므로 $\mathcal{A}\cup\{\mathbb{R}^n\setminus X\}$ 의 유한부분모임 $\mathcal{A}'$ 가 존재하여 $Q$ 를 덮는다. 이때 $\mathcal{A}'$ 는 $X$ 의 열린덮개이기도 하다. 한편 $\mathcal{A}'$ 는 $\mathbb{R}^n\setminus X$ 를 포함하거나 포함하지 않는데, 포함하는 경우 $\mathcal{A}'$ 에서 $\mathbb{R}^n\setminus X$ 를 제외하여도 여전히 $X$ 의 열린덮개이다. 따라서 $X$ 는 $\mathcal{A}$ 의 어떤 유한부분모임에 의해 덮이므로 $X$ 는 콤팩트하다.   $\square$

 

 

  이로써 하이네-보렐 정리의 증명이 끝났다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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