[다변수 미분] ch1. 미분의 정의

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1공간에서 1공간으로의 미분

 

  미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다.

 

Definition.  $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $a\in\text{Int }A$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 $\phi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을 $a$ 에서 $\phi$ 의 미분(derivative)이라고 하고 $D\phi(a)$ 라고 쓴다.$$\lim_{x\to a}\frac{\phi(x)-\phi(a)}{x-a}$$

 

  이 정의에는 신중하게 확인해야 할 부분이 존재한다. 함수의 극한의 엄밀한 정의를 다시 떠올려보자. 함수 $f:A\to B$ 와 $A$ 의 극한점 $a$ 에 대해 다음과 같다.

$$\begin{gather}\lim_{x\to a}f(x)=y_0\\\Updownarrow\\\forall V\in\mathcal{N}_Y(y_0),\;\;\exists U\in\mathcal{N}_X(a),\;\;f(U\setminus\{a\})\subset V\end{gather}$$

  엄밀한 조건은 둘째 치고, 극한이 정의되는 형식을 자세히 보자. 먼저 함수가 제시되어야 하고, 극한은 그 함수의 정의역의 극한점에서 정의되어야 한다. 이로서 확인해야 하는 것이 드러나게 된다.

 

  "$x$ 에 대한 함수 $\frac{\phi(x)-\phi(a)}{x-a}$ 의 정의역을 $A'$ 라고 하자. $a$ 는 $A'$ 의 극한점인가?"

 

  이를 확인하기 위해서는 $\frac{\phi(x)-\phi(a)}{x-a}$ 의 정의역이 무엇인지를 알아야 하는데, 이 정의역조차 명시되지 않은 상태이다. 여기에는 극한의 활용에 대한 불문율이 숨겨져 있는데, 이러한 경우 극한의 대상이 되는 수식에서 정의될 수 있는 모든 대상의 집합을 정의역이라고 여겨야 한다. 가령 이번 예시의 경우에는 $x=a$ 인 경우에는 수식 $\frac{\phi(x)-\phi(a)}{x-a}$ 가 정의되지 않고, 그 외의 모든 $x\in A$ 에 대해서는 이 수식이 정의되므로 이 함수의 정의역은 $A\setminus\{a\}$ 라고 할 수 있겠다.

 

  이제 $a\in\text{Int }A$ 가 $A\setminus\{a\}$ 의 극한점임을 확인하는 것으로 모호성이 해소된다. $\text{Int }A$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 열려있으므로 어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $C_\epsilon^\mathbb{R}(a)\subset\text{Int }A$ 가 성립한다. 따라서 임의의 $\delta>0$ 에 대해 $C_\delta^\mathbb{R}(a)$ 안에 $A\setminus\{a\}$ 의 원소가 존재함을 알 수 있다. 따라서 $a$ 는 $A\setminus\{a\}$ 의 원소이므로 주어진 극한이 잘 정의된다.

 

  이러한 불문율을 잘 이용하면 다음과 같은 일반화가 가능함을 떠올릴 수 있다. 이는 미분의 두 가지 정의를 자연스럽게 동치로 이어준다.

 

Theorem 1.1.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , $A$ 의 극한점 $a$ 를 생각하자.
  (1) $0\in\mathbb{R}^m$ 은 $A-a$ 의 극한점이다.
  (2) 극한 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재할 필요충분조건은 극한 $\displaystyle\lim_{h\to 0}f(a+h)$ 가 존재하는 것이며 이때 두 극한값은 같다.

 

※ 이때 집합 $A-a$ 는 $\{x-a:x\in A\}$ 를 의미한다. 이는 집합 $A$ 를 $a$ 가 원점이 되도록 이동시킨 집합이다.

 

  Proof.

  (1) $0$ 의 임의의 $\epsilon$-근방 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(0)$ 을 생각하자. $a$ 는 $A$ 의 극한점이므로 $A\cap C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(a)$ 에는 $a$ 가 아닌 원소 $a'$ 가 존재한다. 한편 다음이 성립한다.

$$\begin{align}C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(a)-a&=\{x-a:|x-a|<\epsilon\}\\&=\{x:|x|<\epsilon\}\\&=C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(0)\end{align}$$

  $a'\in A$ 이므로 $a'-a\in A-a$ 이고, $a'\in C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(a)$ 이므로 비슷하게 $a'-a\in C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(0)$ 를 얻는다. 즉 $a'-a\in(A-a)\cap C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(0)$ 이며 $a'-a\neq 0$ 이므로 $0$ 은 $A-a$ 의 극한점이다.

  (2) 함수 $g:A-a\to\mathbb{R}^n$ , $g(h)=f(a+h)$ 를 생각하자. 먼저 임의의 $U\subset A$ 에 대해 $f(U)=g(U-a)$ 임을 보이자. 임의의 $y\in f(U)$ 를 생각하자. 어떤 $x\in U$ 에 대해 $f(x)=y$ 가 성립한다. 한편 $x-a\in U-a$ 이고 $f(x)=g(x-a)$ 이므로 $y\in g(U-a)$ 이다. 반대로 임의의 $y\in g(U-a)$ 를 생각하자. 어떤 $x\in U-a$ 에 대해 $g(x)=y$ 가 성립한다. 한편 어떤 $z\in U$ 에 대해 $x=z-a$ 이며, $g(x)=f(z)$ 이므로 $y\in f(U)$ 이다. 따라서 $f(U)=g(U-a)$ 가 성립한다.

  이제 본 정리를 증명하자. 임의의 $\delta>0$ , $a\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\left(C_\delta^{\mathbb{R}^m}(a)\setminus\{a\}\right)-a&=\{x-a:|x-a|<\delta\land x\neq a\}\\&=\{x-a:|x-a|<\delta\land x-a\neq 0\}\\&=\{x:|x|<\delta\land x\neq 0\}\\&=C_\delta^{\mathbb{R}^m}(0)\setminus\{0\}\end{align}$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;\lim_{x\to a}f(x)=y_0\\\iff&\;\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;f\left(C_\delta^{\mathbb{R}^m}(a)\setminus\{a\}\right)\subset C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(y_0)\\\iff&\;\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;g\left(C_\delta^{\mathbb{R}^m}(0)\setminus\{0\}\right)\subset C_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(y_0)\\\iff&\;\lim_{h\to 0}g(h)=y_0\end{align}$$

  $\displaystyle\lim_{h\to 0}g(h)=y_0$ 은 $\displaystyle\lim_{h\to 0}f(a+h)=y_0$ 와 같은 표현이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

Corollary 1.2.  $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in\text{Int }A$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 아래의 극한이 존재하는 것이다. 이때 이 극한값은 $D\phi(a)$ 와 같다.$$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+t)-\phi(a)}{t}$$

 

※ 사실 이 따름정리의 증명은 $D\phi(a)$ 가 유일하다는 가정이 필요하다. 이에 대해서는 아래에서 증명할 것이다.

 

  한편 미분을 또다른 방식으로 정의할 수 있다. 이는 다변수 미분을 정의하는 방법에 대한 힌트를 준다.

 

Theorem 1.3.  $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in\text{Int }A$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 다음을 만족하는 $B\in\mathbb{R}$ 이 존재하는 것이다. 이때 $B$ 는 $D\phi(a)$ 와 같다.$$\lim_{x\to a}\frac{\phi(x)-\phi(a)-B(x-a)}{|x-a|}=0$$

 

  Proof.

  ($\Rightarrow$) $\phi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다고 하자. 이는 다음과 같다.

$$\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;\forall x\in A,$$

$$0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|\frac{\phi(x)-\phi(a)}{x-a}-D\phi(a)\right|<\epsilon$$

  한편 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\left|\frac{\phi(x)-\phi(a)}{x-a}-D\phi(a)\right|&=\left|\frac{\phi(x)-\phi(a)-D\phi(a)(x-a)}{x-a}\right|\\&=\left|\frac{\phi(x)-\phi(a)-D\phi(a)(x-a)}{|x-a|}\right|\end{align}$$

$$\therefore\lim_{x\to a}\frac{\phi(x)-\phi(a)-D\phi(a)(x-a)}{|x-a|}=0$$

  따라서 원하는 $B$ 는 $D\phi(a)$ 로서 존재한다.

  ($\Leftarrow$) 어떤 $B\in\mathbb{R}$ 가 존재하여 정리에 주어진 극한식이 성립한다고 하자. 이는 다음과 같다.

$$\forall\epsilon>0,\;\;\exists\delta>0,\;\;\forall x A,$$

$$0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left|\frac{\phi(x)-\phi(a)-B(x-a)}{|x-a|}\right|<\epsilon$$

  위와 비슷하게 다음이 성립한다.

$$\left|\frac{\phi(x)-\phi(a)-B(x-a)}{|x-a|}\right|=\left|\frac{\phi(x)-\phi(a)}{x-a}-B\right|$$

$$\therefore\lim_{x\to a}\frac{\phi(x)-\phi(a)}{x-a}=B$$

  따라서 $\phi$ 는 $a$ 에서 미분가능하며 $B=D\phi(a)$ 이다.   $\square$

 

 

  위 정리에서 분모의 절댓값 기호는 없어도 똑같이 성립한다. 지금은 오히려 없는 편이 더 자연스러워 보이지만, 나중에 이는 분수의 분모에 $\mathbb{R}^m$ 의 원소가 위치할 수 있도록 해준다. 

 

 

방향미분

 

  일반적인 실수공간에서 미분을 정의하기 전에, 마치 1공간에서 1공간으로의 함수에서 미분을 정의하는 것과 어느정도 유사한 방식으로 "미분 비슷한 것"을 정의해보자.

 

Definition.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , $a\in\text{Int }A$ , $u\in\mathbb{R}^m\setminus\{0\}$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 이를 $f$ 의 $a$ 에서 $u$ 에 대한 방향미분(directional derivative)이라고 하고 $D_uf(a)$ 라고 쓴다.$$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$$

 

  이 정의도 마찬가지로 $t$ 에 대한 함수 $\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$ 의 정의역을 $J_u$ 라고 할때, $0$ 이 $J_u$ 의 극한점인지 확인되지 않은채로 선언되었다. 이에 대해 한번 확인해보자. 먼저, $J_u$ 는 다음과 같은 집합임이 분명하다.

$$J_u=\{t\in\mathbb{R}:a+tu\in A\land t\neq 0\}$$

  한편 $a\in\text{Int }A$ 이므로 어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^m}(a)\subset A$ 가 성립한다. 실수의 조밀성에 따르면 $0<\epsilon'<\frac{\epsilon}{|u|}$ 를 만족하는 $\epsilon'\in\mathbb{R}$ 이 존재하며, 이때 $|\epsilon' u|<\epsilon$ 가 성립한다. 임의의 $t\in C_{\epsilon'}^\mathbb{R}(0)\setminus\{0\}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\epsilon>|\epsilon'u|>\epsilon|u|>|t||u|=|tu|=|(a+tu)-a|$$

  따라서 $a+tu\in C_\epsilon^{\mathbb{R}^m}$ 이며 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^m}(a)\subset A$ 이므로 $a+tu\in A$ 가 성립한다. 이때 $t\neq 0$ 이므로 $C_{\epsilon'}^\mathbb{R}(0)\setminus\{0\}\subset J_u$ 를 얻는다. 따라서 임의의 $\delta>0$ 에 대해 $C_\delta^\mathbb{R}(0)$ 안에는 $J_u$ 의 원소가 존재하므로 $0$ 은 $J_u$ 의 극한점이다.

 

  위의 논의에서 $u$ 를 임의로 선택하여도 $0$ 이 $J_u$ 의 극한점이었음을 기억하자. 다음의 정리는 방향미분과 미분의 관계를 이어주는 역할을 하게 된다.

 

Lemma 1.4.  $A\subset\mathbb{R}^m$ , $a\in\text{Int }A$ , $g:A\setminus\{a\}\to\mathbb{R}^n$ 를 생각하자. $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=b$ 이면 임의의 $u\in\mathbb{R}^m\setminus\{0\}$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{t\to 0}g(a+tu)=b$ 이다.

 

  Proof.  위의 논의에 따라 $t$ 에 대한 함수 $g(a+tu)$ 의 정의역을 $J_u$ 라고 하면 $0$ 은 $J_u$ 의 극한점이다. $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=b$ 이면 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $\delta'>0$ 이 존재하여 임의의 $x\in A\setminus\{a\}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$0<|x-a|<\delta\Rightarrow|g(x)-b|<\epsilon$$

  $\delta=\frac{\delta'}{|u|}$ 라고 하면 임의의 $t\in J_u$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}0<|t|<\delta&\iff0<|tu|<\delta'\\&\iff0<|(a+tu)-a|<\delta'\\&\implies|g(a+tu)-b|<\epsilon\end{align}$$

$$\therefore0<|t|<\delta\Rightarrow|g(a+tu)-b|<\epsilon$$

  따라서 $\displaystyle\lim_{t\to 0}g(a+tu)=b$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

m공간에서 n공간으로의 미분

 

  다음은 미분의 일반적인 정의이다.

 

Definition.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음을 만족하는 $B\in\mathbb{M}_{n\times m}$ 이 존재하면 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하다고 하며 $B$ 를 $a$ 에서 $f$ 의 미분이라고 하고 $Df(a)$ 라고 쓴다.$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-B(x-a)}{|x-a|}=0$$

 

  다음의 정의에 따르면 함수의 미분은 둘 이상 존재하지 않는다.

 

Theorem 1.5.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 가 $a\in\text{Int }A$ 에서 미분가능하면 $Df(a)$ 가 유일하게 존재한다.

 

  Proof.  $a$ 에서 $f$ 의 두 미분 $B_1,B_2\in\mathbb{M}_{n\times m}$ 를 생각하자. 정의에 따라 다음과 같다.

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-B_1(x-a)}{|x-a|}=0$$$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-B_2(x-a)}{|x-a|}=0$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)-B_1(x-a)}{|x-a|}-\frac{f(x)-f(a)-B_2(x-a)}{|x-a|}\right)\\=&\;\lim_{x\to a}\frac{(B_1-B_2)(x-a)}{|x-a|}=0\end{align}$$

  극한의 성질(링크의 정리 5.4.)에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to a}\frac{|(B_1-B_2)(x-a)|}{|x-a|}=0$$

  보조정리 1.4.에 따라 임의의 $u\in\mathbb{R}^m$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}0&=\lim_{t\to 0}\frac{|(B_1-B_2)(tu)|}{|tu|}\\&=\lim_{t\to 0}\frac{|t(B_1-B_2)u|}{|tu|}\\&=\lim_{t\to 0}\frac{|t||(B_1-B_2)u|}{|t||u|}\\&=\lim_{t\to 0}\frac{|(B_1-B_2)u|}{|u|}\end{align}$$

  이때 $\frac{|(B_1-B_2)u|}{|u|}$ 는 상수함수이므로 연속이며, 따라서 다음이 성립한다.

$$\frac{|(B_1-B_2)u|}{|u|}=0$$

  따라서 $|(B_1-B_2)u|=0$ 이 성립하며, norm 의 성질(링크의 정리 1.1.)에 따라 $(B_1-B_2)u=0$ 을 얻는다. 한편 $u$ 를 $\mathbb{R}^m$ 에서 임의로 선택하였으므로, $\mathbb{R}^m$ 의 각 표준단위벡터 $e_1,\ldots,e_m$ 에 대해 $(B_1-B_2)e_i=0$ 가 성립한다. 이는 $B_1-B_2$ 의 각 열이 0임을 의미하므로 $B_1-B_2=0$ 을 얻는다. 정리하면 $B_1=B_2$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  정리 1.1.에 따라 다음이 성립함을 바로 알 수 있다.

 

Corollary 1.6.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 가 $a\in\text{Int }A$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 다음을 만족하는 $B\in\mathbb{M}_{n\times m}$ 이 존재하는 것이다. 이때 $B$ 는 $D\phi(a)$ 와 같다.$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-Bh}{|h|}=0$$

 

  다음의 정리는 방향미분과 미분의 중요한 관계식을 담고있다.

 

Theorem 1.7.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 가 $a\in\text{Int }A$ 에서 미분가능하면 $f$ 의 $a$ 에서 모든 $u$ 에 대한 방향미분이 존재한다. 이때 다음이 성립한다.$$D_uf(a)=Df(a)u$$

 

  Proof.  $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하면 임의의 $u\in\mathbb{R}^m$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}0&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}\\&=\lim_{t\to 0}\frac{f(a+tu)-f(a)-Df(a)(tu)}{|tu|}\end{align}$$

  양변에 $|u|$ 를 곱하면 다음을 얻는다.

$$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+tu)-f(a)-Df(a)(tu)}{|t|}=0$$

  위의 식에서 $t$ 가 양수인 것만 취하면 극한의 성질(링크의 정리 5.2.)에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}0&=\lim_{t\to 0}\frac{f(a+tu)-f(a)-Df(a)(tu)}{t}\\&=\lim_{t\to 0}\left(\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}-Df(a)u\right)\end{align}$$

$$\therefore\lim_{t\to 0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}=Df(a)u$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  이 정리의 결과는 "함수의 미분" 이라는 행렬이 구체적으로 어떻게 구성되어있는지 계산하는 방법을 알려준다.

 

  여기서 한가지 주의할 점이 있다. 함수가 미분가능하면 모든 방향미분이 존재하지만, 이 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 그렇지만 방향미분으로 미분의 존재성을 알아내는 방법이 없지는 않다. 이에 대해서 나중에 알아볼 것이다.

 

Theorem 1.8.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 가 $a\in\text{Int }A$ 에서 미분가능하면 $a$ 에서 연속이다.

 

  Proof.  항등함수는 연속이므로 $\displaystyle\lim_{x\to a}x=a$ 가 성립하며 $\displaystyle\lim_{x\to a}(x-a)=0$ 이므로 $\displaystyle\lim_{x\to a}|x-a|=0$ 을 얻는다. 한편 $f$ 는 $a$ 에서 미분가능하므로 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}=0$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align}0&=\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}\right)\left(\lim_{x\to a}|x-a|\right)\\&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}|x-a|\\&=\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)\big)\\&=\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)\end{align}$$

$$\therefore\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

  $a$ 는 $A$ 의 극한점이므로 극한의 성질(링크의 정리 5.5.)에 따라 $f$ 는 $a$ 에서 연속이다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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