[다변수 미분] ch1. 미분의 정의

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1공간에서 1공간으로의 미분

 

  미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다.

 

Definition.  $\varphi :A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $a\in \text{Int }A$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 $\varphi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을 $a$ 에서 $\varphi$ 의 미분(derivative)이라고 하고 $D\varphi (a)$ 라고 쓴다.$$\underset{x\to a}{lim}\frac{\varphi (x)-\varphi (a)}{x-a}$$

 

  이 정의에는 신중하게 확인해야 할 부분이 존재한다. 함수의 극한의 엄밀한 정의를 다시 떠올려보자. 함수 $f:A\to B$ 와 $A$ 의 극한점 $a$ 에 대해 다음과 같다.

$$\begin{array}{c}\underset{x\to a}{lim}f(x)=y_0\\ \Updownarrow \\ \mathrm{\forall }V\in {\mathcal{N}}_Y(y_0),\mathrm{\exists }U\in {\mathcal{N}}_X(a),f(U\setminus \{a\})\subset V\end{array}$$

  엄밀한 조건은 둘째 치고, 극한이 정의되는 형식을 자세히 보자. 먼저 함수가 제시되어야 하고, 극한은 그 함수의 정의역의 극한점에서 정의되어야 한다. 이로서 확인해야 하는 것이 드러나게 된다.

 

  "$x$ 에 대한 함수 $\frac{\varphi (x)-\varphi (a)}{x-a}$ 의 정의역을 $A^{\prime }$ 라고 하자. $a$ 는 $A^{\prime }$ 의 극한점인가?"

 

  이를 확인하기 위해서는 $\frac{\varphi (x)-\varphi (a)}{x-a}$ 의 정의역이 무엇인지를 알아야 하는데, 이 정의역조차 명시되지 않은 상태이다. 여기에는 극한의 활용에 대한 불문율이 숨겨져 있는데, 이러한 경우 극한의 대상이 되는 수식에서 정의될 수 있는 모든 대상의 집합을 정의역이라고 여겨야 한다. 가령 이번 예시의 경우에는 $x=a$ 인 경우에는 수식 $\frac{\varphi (x)-\varphi (a)}{x-a}$ 가 정의되지 않고, 그 외의 모든 $x\in A$ 에 대해서는 이 수식이 정의되므로 이 함수의 정의역은 $A\setminus \{a\}$ 라고 할 수 있겠다.

 

  이제 $a\in \text{Int }A$ 가 $A\setminus \{a\}$ 의 극한점임을 확인하는 것으로 모호성이 해소된다. $\text{Int }A$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 열려있으므로 어떤 $ϵ>0$ 이 존재하여 $C_{ϵ}^{\mathbb{R}}(a)\subset \text{Int }A$ 가 성립한다. 따라서 임의의 $\delta >0$ 에 대해 $C_{\delta }^{\mathbb{R}}(a)$ 안에 $A\setminus \{a\}$ 의 원소가 존재함을 알 수 있다. 따라서 $a$ 는 $A\setminus \{a\}$ 의 원소이므로 주어진 극한이 잘 정의된다.

 

  이러한 불문율을 잘 이용하면 다음과 같은 일반화가 가능함을 떠올릴 수 있다. 이는 미분의 두 가지 정의를 자연스럽게 동치로 이어준다.

 

Theorem 1.1.  $f:A\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ , $A$ 의 극한점 $a$ 를 생각하자.
  (1) $0\in {\mathbb{R}}^m$ 은 $A-a$ 의 극한점이다.
  (2) 극한 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)}$ 가 존재할 필요충분조건은 극한 ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}f(a+h)}$ 가 존재하는 것이며 이때 두 극한값은 같다.

 

※ 이때 집합 $A-a$ 는 $\{x-a:x\in A\}$ 를 의미한다. 이는 집합 $A$ 를 $a$ 가 원점이 되도록 이동시킨 집합이다.

 

  Proof.

  (1) $0$ 의 임의의 $ϵ$-근방 $C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(0)$ 을 생각하자. $a$ 는 $A$ 의 극한점이므로 $A\cap C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(a)$ 에는 $a$ 가 아닌 원소 $a^{\prime }$ 가 존재한다. 한편 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}{C}_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(a)-a& =\{x-a:|x-a|<ϵ\}\\ & =\{x:|x|<ϵ\}\\ & =C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(0)\end{array}$$

  $a^{\prime }\in A$ 이므로 $a^{\prime }-a\in A-a$ 이고, $a^{\prime }\in C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(a)$ 이므로 비슷하게 $a^{\prime }-a\in C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(0)$ 를 얻는다. 즉 $a^{\prime }-a\in (A-a)\cap C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(0)$ 이며 $a^{\prime }-a\ne 0$ 이므로 $0$ 은 $A-a$ 의 극한점이다.

  (2) 함수 $g:A-a\to {\mathbb{R}}^n$ , $g(h)=f(a+h)$ 를 생각하자. 먼저 임의의 $U\subset A$ 에 대해 $f(U)=g(U-a)$ 임을 보이자. 임의의 $y\in f(U)$ 를 생각하자. 어떤 $x\in U$ 에 대해 $f(x)=y$ 가 성립한다. 한편 $x-a\in U-a$ 이고 $f(x)=g(x-a)$ 이므로 $y\in g(U-a)$ 이다. 반대로 임의의 $y\in g(U-a)$ 를 생각하자. 어떤 $x\in U-a$ 에 대해 $g(x)=y$ 가 성립한다. 한편 어떤 $z\in U$ 에 대해 $x=z-a$ 이며, $g(x)=f(z)$ 이므로 $y\in f(U)$ 이다. 따라서 $f(U)=g(U-a)$ 가 성립한다.

  이제 본 정리를 증명하자. 임의의 $\delta >0$ , $a\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}(C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^m}(a)\setminus \{a\})-a& =\{x-a:|x-a|<\delta \wedge x\ne a\}\\ & =\{x-a:|x-a|<\delta \wedge x-a\ne 0\}\\ & =\{x:|x|<\delta \wedge x\ne 0\}\\ & =C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^m}(0)\setminus \{0\}\end{array}$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to a}{lim}f(x)=y_0\\ ⟺& \mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,f(C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^m}(a)\setminus \{a\})\subset C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(y_0)\\ ⟺& \mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,g(C_{\delta }^{{\mathbb{R}}^m}(0)\setminus \{0\})\subset C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^n}(y_0)\\ ⟺& \underset{h\to 0}{lim}g(h)=y_0\end{array}$$

  ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}g(h)=y_0}$ 은 ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}f(a+h)=y_0}$ 와 같은 표현이므로 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

Corollary 1.2.  $\varphi :A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 가 $a\in \text{Int }A$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 아래의 극한이 존재하는 것이다. 이때 이 극한값은 $D\varphi (a)$ 와 같다.$$\underset{t\to 0}{lim}\frac{\varphi (a+t)-\varphi (a)}{t}$$

 

※ 사실 이 따름정리의 증명은 $D\varphi (a)$ 가 유일하다는 가정이 필요하다. 이에 대해서는 아래에서 증명할 것이다.

 

  한편 미분을 또다른 방식으로 정의할 수 있다. 이는 다변수 미분을 정의하는 방법에 대한 힌트를 준다.

 

Theorem 1.3.  $\varphi :A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 가 $a\in \text{Int }A$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 다음을 만족하는 $B\in \mathbb{R}$ 이 존재하는 것이다. 이때 $B$ 는 $D\varphi (a)$ 와 같다.$$\underset{x\to a}{lim}\frac{\varphi (x)-\varphi (a)-B(x-a)}{|x-a|}=0$$

 

  Proof.

  ($\Rightarrow$) $\varphi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다고 하자. 이는 다음과 같다.

$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in A,$$

$$0<|x-a|<\delta \Rightarrow |\frac{\varphi (x)-\varphi (a)}{x-a}-D\varphi (a)|<ϵ$$

  한편 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}|\frac{\varphi (x)-\varphi (a)}{x-a}-D\varphi (a)|& =\left|\frac{\varphi (x)-\varphi (a)-D\varphi (a)(x-a)}{x-a}\right|\\ & =\left|\frac{\varphi (x)-\varphi (a)-D\varphi (a)(x-a)}{|x-a|}\right|\end{array}$$

$$\therefore \underset{x\to a}{lim}\frac{\varphi (x)-\varphi (a)-D\varphi (a)(x-a)}{|x-a|}=0$$

  따라서 원하는 $B$ 는 $D\varphi (a)$ 로서 존재한다.

  ($\Leftarrow$) 어떤 $B\in \mathbb{R}$ 가 존재하여 정리에 주어진 극한식이 성립한다고 하자. 이는 다음과 같다.

$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }xA,$$

$$0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left|\frac{\varphi (x)-\varphi (a)-B(x-a)}{|x-a|}\right|<ϵ$$

  위와 비슷하게 다음이 성립한다.

$$\left|\frac{\varphi (x)-\varphi (a)-B(x-a)}{|x-a|}\right|=|\frac{\varphi (x)-\varphi (a)}{x-a}-B|$$

$$\therefore \underset{x\to a}{lim}\frac{\varphi (x)-\varphi (a)}{x-a}=B$$

  따라서 $\varphi$ 는 $a$ 에서 미분가능하며 $B=D\varphi (a)$ 이다.   $◻$

 

 

  위 정리에서 분모의 절댓값 기호는 없어도 똑같이 성립한다. 지금은 오히려 없는 편이 더 자연스러워 보이지만, 나중에 이는 분수의 분모에 ${\mathbb{R}}^m$ 의 원소가 위치할 수 있도록 해준다. 

 

 

방향미분

 

  일반적인 실수공간에서 미분을 정의하기 전에, 마치 1공간에서 1공간으로의 함수에서 미분을 정의하는 것과 어느정도 유사한 방식으로 "미분 비슷한 것"을 정의해보자.

 

Definition.  $f:A\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ , $a\in \text{Int }A$ , $u\in {\mathbb{R}}^m\setminus \{0\}$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 이를 $f$ 의 $a$ 에서 $u$ 에 대한 방향미분(directional derivative)이라고 하고 $D_{u}f(a)$ 라고 쓴다.$$\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$$

 

  이 정의도 마찬가지로 $t$ 에 대한 함수 $\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}$ 의 정의역을 $J_u$ 라고 할때, $0$ 이 $J_u$ 의 극한점인지 확인되지 않은채로 선언되었다. 이에 대해 한번 확인해보자. 먼저, $J_u$ 는 다음과 같은 집합임이 분명하다.

$$J_u=\{t\in \mathbb{R}:a+tu\in A\wedge t\ne 0\}$$

  한편 $a\in \text{Int }A$ 이므로 어떤 $ϵ>0$ 이 존재하여 $C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^m}(a)\subset A$ 가 성립한다. 실수의 조밀성에 따르면 $0<{ϵ}^{\prime }<\frac{ϵ}{|u|}$ 를 만족하는 ${ϵ}^{\prime }\in \mathbb{R}$ 이 존재하며, 이때 $|{ϵ}^{\prime }u|<ϵ$ 가 성립한다. 임의의 $t\in C_{{ϵ}^{\prime }}^{\mathbb{R}}(0)\setminus \{0\}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$ϵ>|{ϵ}^{\prime }u|>ϵ|u|>|t||u|=|tu|=|(a+tu)-a|$$

  따라서 $a+tu\in C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^m}$ 이며 $C_{ϵ}^{{\mathbb{R}}^m}(a)\subset A$ 이므로 $a+tu\in A$ 가 성립한다. 이때 $t\ne 0$ 이므로 $C_{{ϵ}^{\prime }}^{\mathbb{R}}(0)\setminus \{0\}\subset J_u$ 를 얻는다. 따라서 임의의 $\delta >0$ 에 대해 $C_{\delta }^{\mathbb{R}}(0)$ 안에는 $J_u$ 의 원소가 존재하므로 $0$ 은 $J_u$ 의 극한점이다.

 

  위의 논의에서 $u$ 를 임의로 선택하여도 $0$ 이 $J_u$ 의 극한점이었음을 기억하자. 다음의 정리는 방향미분과 미분의 관계를 이어주는 역할을 하게 된다.

 

Lemma 1.4.  $A\subset {\mathbb{R}}^m$ , $a\in \text{Int }A$ , $g:A\setminus \{a\}\to {\mathbb{R}}^n$ 를 생각하자. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=b}$ 이면 임의의 $u\in {\mathbb{R}}^m\setminus \{0\}$ 에 대해 ${\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}g(a+tu)=b}$ 이다.

 

  Proof.  위의 논의에 따라 $t$ 에 대한 함수 $g(a+tu)$ 의 정의역을 $J_u$ 라고 하면 $0$ 은 $J_u$ 의 극한점이다. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=b}$ 이면 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 어떤 ${\delta }^{\prime }>0$ 이 존재하여 임의의 $x\in A\setminus \{a\}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$0<|x-a|<\delta \Rightarrow |g(x)-b|<ϵ$$

  $\delta =\frac{{\delta }^{\prime }}{|u|}$ 라고 하면 임의의 $t\in J_u$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}0<|t|<\delta & ⟺0<|tu|<{\delta }^{\prime }\\ & ⟺0<|(a+tu)-a|<{\delta }^{\prime }\\ & ⟹|g(a+tu)-b|<ϵ\end{array}$$

$$\therefore 0<|t|<\delta \Rightarrow |g(a+tu)-b|<ϵ$$

  따라서 ${\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}g(a+tu)=b}$ 를 얻는다.   $◻$

 

 

m공간에서 n공간으로의 미분

 

  다음은 미분의 일반적인 정의이다.

 

Definition.  $f:A\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 다음을 만족하는 $B\in {\mathbb{M}}_{n\times m}$ 이 존재하면 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하다고 하며 $B$ 를 $a$ 에서 $f$ 의 미분이라고 하고 $Df(a)$ 라고 쓴다.$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)-B(x-a)}{|x-a|}=0$$

 

  다음의 정의에 따르면 함수의 미분은 둘 이상 존재하지 않는다.

 

Theorem 1.5.  $f:A\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 가 $a\in \text{Int }A$ 에서 미분가능하면 $Df(a)$ 가 유일하게 존재한다.

 

  Proof.  $a$ 에서 $f$ 의 두 미분 $B_1,B_2\in {\mathbb{M}}_{n\times m}$ 를 생각하자. 정의에 따라 다음과 같다.

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)-B_1(x-a)}{|x-a|}=0$$$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)-B_2(x-a)}{|x-a|}=0$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to a}{lim}(\frac{f(x)-f(a)-B_1(x-a)}{|x-a|}-\frac{f(x)-f(a)-B_2(x-a)}{|x-a|})\\ =& \underset{x\to a}{lim}\frac{(B_1-B_2)(x-a)}{|x-a|}=0\end{array}$$

  극한의 성질(링크의 정리 5.4.)에 따라 다음이 성립한다.

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{|(B_1-B_2)(x-a)|}{|x-a|}=0$$

  보조정리 1.4.에 따라 임의의 $u\in {\mathbb{R}}^m$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}0& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{|(B_1-B_2)(tu)|}{|tu|}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{|t(B_1-B_2)u|}{|tu|}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{|t||(B_1-B_2)u|}{|t||u|}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{|(B_1-B_2)u|}{|u|}\end{array}$$

  이때 $\frac{|(B_1-B_2)u|}{|u|}$ 는 상수함수이므로 연속이며, 따라서 다음이 성립한다.

$$\frac{|(B_1-B_2)u|}{|u|}=0$$

  따라서 $|(B_1-B_2)u|=0$ 이 성립하며, norm 의 성질(링크의 정리 1.1.)에 따라 $(B_1-B_2)u=0$ 을 얻는다. 한편 $u$ 를 ${\mathbb{R}}^m$ 에서 임의로 선택하였으므로, ${\mathbb{R}}^m$ 의 각 표준단위벡터 $e_1,\dots ,e_m$ 에 대해 $(B_1-B_2)e_i=0$ 가 성립한다. 이는 $B_1-B_2$ 의 각 열이 0임을 의미하므로 $B_1-B_2=0$ 을 얻는다. 정리하면 $B_1=B_2$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  정리 1.1.에 따라 다음이 성립함을 바로 알 수 있다.

 

Corollary 1.6.  $f:A\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 가 $a\in \text{Int }A$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 다음을 만족하는 $B\in {\mathbb{M}}_{n\times m}$ 이 존재하는 것이다. 이때 $B$ 는 $D\varphi (a)$ 와 같다.$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)-Bh}{|h|}=0$$

 

  다음의 정리는 방향미분과 미분의 중요한 관계식을 담고있다.

 

Theorem 1.7.  $f:A\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 가 $a\in \text{Int }A$ 에서 미분가능하면 $f$ 의 $a$ 에서 모든 $u$ 에 대한 방향미분이 존재한다. 이때 다음이 성립한다.$$D_{u}f(a)=Df(a)u$$

 

  Proof.  $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하면 임의의 $u\in {\mathbb{R}}^m$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}0& =\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(a+tu)-f(a)-Df(a)(tu)}{|tu|}\end{array}$$

  양변에 $|u|$ 를 곱하면 다음을 얻는다.

$$\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(a+tu)-f(a)-Df(a)(tu)}{|t|}=0$$

  위의 식에서 $t$ 가 양수인 것만 취하면 극한의 성질(링크의 정리 5.2.)에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}0& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(a+tu)-f(a)-Df(a)(tu)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}(\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}-Df(a)u)\end{array}$$

$$\therefore \underset{t\to 0}{lim}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}=Df(a)u$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  이 정리의 결과는 "함수의 미분" 이라는 행렬이 구체적으로 어떻게 구성되어있는지 계산하는 방법을 알려준다.

 

  여기서 한가지 주의할 점이 있다. 함수가 미분가능하면 모든 방향미분이 존재하지만, 이 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 그렇지만 방향미분으로 미분의 존재성을 알아내는 방법이 없지는 않다. 이에 대해서 나중에 알아볼 것이다.

 

Theorem 1.8.  $f:A\subset {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 가 $a\in \text{Int }A$ 에서 미분가능하면 $a$ 에서 연속이다.

 

  Proof.  항등함수는 연속이므로 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}x=a}$ 가 성립하며 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}(x-a)=0}$ 이므로 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}|x-a|=0}$ 을 얻는다. 한편 $f$ 는 $a$ 에서 미분가능하므로 다음이 성립한다.

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}=0$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}0& =\left(\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}\right)(\underset{x\to a}{lim}|x-a|)\\ & =\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}|x-a|\\ & =\underset{x\to a}{lim}(f(x)-f(a)-Df(a)(x-a))\\ & =\underset{x\to a}{lim}(f(x)-f(a))\end{array}$$

$$\therefore \underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

  $a$ 는 $A$ 의 극한점이므로 극한의 성질(링크의 정리 5.5.)에 따라 $f$ 는 $a$ 에서 연속이다.   $◻$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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