[다변수 미분] ch3. 연속미분가능

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연속미분가능

 

  이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다.

 

평균값 정리 (mean-value theorem)
  연속함수 $\varphi :[a,b]\to \mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in (a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\varphi (b)-\varphi (a)=D\varphi (c)(b-a)$$

 

  증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고)

 

Definition.  $f:A\in {\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^m}\to {\mathbb{R}}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다.

 

※ ${\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^m}$ 는 ${\mathbb{R}}^m$ 에서 열린집합의 모임이다.

 

  위 정의에 따르면 "미분가능함" 이 정의되는 함수의 정의역은 열린집합으로 제한된다. 이는 함수의 미분가능성이 정의역의 interior 의 점에서만 정의하기로 하였기 때문이다. 만약 정의역이 열린집합이 아니라면 미분가능성이 정의되지 않는 점이 존재하므로, 이를 피하기 위해 정의역 전체에서 미분가능한 함수는 정의역을 열린집합으로 제한한다.

 

  함수 $f:A\to Y$ 에 대해 $f$ 가 미분가능하여 $Df(a)$ 가 존재하는 점 $a\in A$ 의 집합을 $B$ 라고 하자. 이때 함수의 미분 $Df$ 를 정의역이 $B$ 인 일종의 함수로 생각할 수 있음은 아주 자연스럽다.

 

Definition.  $f:A\in {\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^m}\to {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 $A$ 의 모든 점에서 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 편미분이 존재하여 $A$ 에서 연속이면 $f$ 가 연속미분가능하다(countinuously differentiable)고 한다.

 

  지난 포스팅에서 모든 $D_j{f}_i(a)$ 가 존재하는 것 만으로는 미분가능함이 보장되지 않음을 확인하였다. 위 정의는 이에 더해 모든 함수 $D_j{f}_i$ 가 연속이라는 조건이 더해졌는데, 이것으로 좋은 결과를 얻을 수 있다.

 

Lemma 3.1.  $f:A\in {\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^m}\to \mathbb{R}$ 가 연속미분가능하면 미분가능하다.

 

  증명하기 전에 이 정리가 무엇을 의미하는지를 간단히 확인하자. 다음의 함수를 생각해보자.

$$f(x,y)=\text{sin}(xy)g(x,y)=x{y}^2+e^{xy}$$

  미적분학을 공부해본 사람이라면 위의 두 함수가 미분가능함을 본능적으로 알 것이다. 사실 이 두 함수가 미분가능한 함수는 모든 편미분이 연속이기 때문임을 이 정리는 말하고 있다.

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\text{cos}(xy)\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\text{cos}(xy)$$

$$\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y^2+y{e}^{xy}\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2xy+x{e}^{xy}$$

  이제 정리를 증명하자.

 

  Proof.  임의의 $a\in A$ 를 생각하자. 각 $D_{j}f$ 는 $a$ 에서 연속이므로 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{D}_{j}f(x)=D_{j}f(a)}$ 가 성립한다. 따라서 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 각 ${\delta }_1,\dots ,{\delta }_m>0$ 이 존재하여 임의의 $x\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{c}0<|x-a|<{\delta }_1\Rightarrow |D_{1}f(x)-D_{1}f(a)|<\frac{ϵ}{m}\\ ⋮\\ 0<|x-a|<{\delta }_m\Rightarrow |D_{m}f(x)-D_{m}f(a)|<\frac{ϵ}{m}\end{array}$$

  $\delta =\text{min}\{{\delta }_1,\dots ,{\delta }_m\}$ 이라고 하면 임의의 $x\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$0<|x-a|<\delta \Rightarrow \{\begin{array}{c}{\displaystyle |D_{1}f(x)-D_{1}f(a)|<\frac{ϵ}{m}}\\ ⋮\\ {\displaystyle |D_{m}f(x)-D_{m}f(a)|<\frac{ϵ}{m}}\end{array}$$

  $x=(x_1,\dots ,x_m)$ , $a=(a_1,\dots ,a_m)$ 이라고 할때 다음과 같이 $z_0,z_1,\dots ,z_m\in {\mathbb{R}}^m$ 을 정의하자.

$$z_0=a,z_i=(x_1,\dots ,x_i,a_{i+1},\dots ,a_m)$$

  $z_m=x$ 이므로 다음과 같다.

$$f(x)-f(a)=\sum _{j=1}^m(f(z_j)-f(z_{j-1}))$$

  $B=\left(\begin{array}{ccc}{D}_{1}f(a)& \cdots & D_{m}f(a)\end{array}\right)$ 라고 하면 다음이 성립한다.

$$\because B(x-a)=\sum _{j=1}^m{D}_{j}f(a)(x_j-a_j)$$

$$\begin{array}{rl}& |f(x)-f(a)-B(x-a)|\\ =& |\sum _{j=1}^m(f(z_j)-f(z_{j-1})+D_{j}f(a)(x_j-a_j))|\\ \le & \sum _{j=1}^m|f(z_j)-f(z_{j-1})+D_{j}f(a)(x_j-a_j)|\end{array}$$

  $x_i\ne a_i$ 라고 가정하자. 다음의 함수를 생각하자.

$$\varphi :[0,x_i-a_i]\to \mathbb{R},\varphi (t)=f(z_{i-1}+t{e}_i)$$

  임의의 $t_0\in (0,x_i-a_i)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& \underset{t\to 0}{lim}\frac{\varphi (t_0+t)-\varphi (t_0)}{t}\\ =& \underset{t\to 0}{lim}\frac{f(z_{i-1}+t_0{e}_i+t{e}_i)-f(z_{i-1}+t_0{e}_i)}{t}\\ =& D_{i}f(z_{i-1}+t_0{e}_i)\end{array}$$

  따라서 $D\varphi (t_0)=D_{i}f(z_{i-1}+t_0{e}_i)$ 이며 $\varphi$ 는 $(0,x_i-a_i)$ 의 각 점에서 미분가능하다. 평균값 정리에 따르면 어떤 $t_i\in (0,x_i-a_i)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\varphi (x_i-a_i)-\varphi (0)=D\varphi (t_i)(x_i-a_i)$$

  이때 $z_{i-1}+(x_i-a_i)e_i=z_i$ 이고 $D\varphi (t_i)=D_{i}f(z_{i-1}+t_i{e}_i)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(z_i)-f(z_{i-1})=D_{i}f(z_{i-1}+t_i{e}_i)(x_i-a_i)\end{array}$$

  만약 $x_i=a_i$ 인 경우에는 $t_i=0$ 이라고 하면 식 (1)이 성립한다. 정리하면 식 (1)은 어떤 $t_i\in [0,x_i-a_i]$ 에 대해 반드시 성립한다. $z_{i-1}+t_i{e}_i=c_i$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}|c_i-a|& =|z_{i-1}+t_i{e}_i-a|\\ & =|(x_1-a_1,\dots ,x_{i-1}-a_{i-1},t_i,0,\dots ,0)|\end{array}$$

  한편 $|t_i|\le |x_i-a_i|$ 이므로 $|c_i-a|\le |x-a|$ 가 성립한다. 즉 $|c_i-a|<\delta$ 이므로 $c_i\ne a$ 라면 다음 부등식이 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& |D_{i}f(c_i)-D_{i}f(a)|<\frac{ϵ}{m}\end{array}$$

  한편 $a_i=a$ 이면 $D_{i}f(c_i)=D_{i}f(a)$ 이므로 식 (2)는 항상 성립한다. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& |f(x)-f(a)-B(x-a)|\\ \le & \sum _{j=1}^m|f(z_i)-f(z_{i-1})-D_{j}f(a)(x_j-a_j)|\\ =& \sum _{j=1}^m|(D_{j}f(c_j)-D_{j}f(a))(x_j-a_j)|\\ \le & \sum _{j=1}^m|D_{j}f(c_j)-D_{j}f(a)||x_i-a_j|\\ <& \sum _{j=1}^m\frac{ϵ}{m}|x-a|\\ =& ϵ|x-a|\end{array}$$

  정리하면 임의의 $x\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}0<|x-a|<\delta & \Rightarrow \frac{|f(x)-f(a)-B(x-a)|}{|x-a|}<ϵ\\ & \iff \left|\frac{f(x)-f(a)-B(x-a)}{|x-a|}\right|<ϵ\end{array}$$

$$\therefore \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)-B(x-a)}{|x-a|}=0$$

  따라서 $f$ 는 미분가능하다.   $◻$

 

 

Theorem 3.2.  $f:A\in {\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^m}\to {\mathbb{R}}^n$ 가 연속미분가능하면 미분가능하다.

 

  Proof.  $f$ 가 연속미분가능하면 $f$ 의 각 성분함수도 연속미분가능하다. 도움정리 3.1.에 따라 $f$ 의 각 성분함수는 미분가능하며, 정리 2.2.에 따라 $f$ 는 미분가능하다.   $◻$

 

 

함수의 class

 

  연속미분가능성의 개념을 확장해보자.

 

Definition.  함수 $f$ 가 연속미분가능하면 $f$ 가 $C^1$ 급이라고 한다.

 

※ "$f$ 가 $C^1$ 급 이다" 의 원문은 "$f$ is of class $C^1$" 이다.

 

Definition.  $f:A\in {\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^m}\to {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 $A$ 의 모든 점에서 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 편미분이 존재하여 $A$ 에서 연속이면 $f$ 가 $C^r$ 급이라고 한다.

 

  예를들어 각각 임의의 변수로 두 번 편미분 가능하며, 그렇게 얻어낸 함수가 연속이면 $C^2$ 급인 것이다. 도움정리 3.1. 아래의 두 함수는 $C^1$ 급이며 동시에 $C^2$ 급이기도 하고, 더 나아가 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $C^n$ 급임을 직감으로 알 수 있다.

 

Definition.  함수 $f$ 가 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $C^n$ 급이면 $C^{\mathrm{\infty }}$ 급이라고 한다.

 

Theorem 3.3.  함수 $f$ 가 $C^r$ 급일 필요충분조건은 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 편미분이 $C^{r-1}$ 급인 것이다.

 

  Proof.  $f$ 가 $C^r$ 급이면 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 $r$ 계 편미분이 연속이다. 한편 $f$ 의 성분함수의 $r$ 계 편미분이 연속임은 $f$ 의 성분함수의 편미분의 $r-1$ 계 편미분이 연속이라는 것이다. 따라서 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 편미분은 $C^{r-1}$ 급임을 얻는다. 역으로 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 편미분이 $C^{r-1}$ 급이면 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 편미분의 $r-1$ 계 편미분이 연속이므로 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 $r$ 계 편미분이 연속이다. 따라서 $f$ 가 $C^r$ 급임을 얻는다.   $◻$

 

 

클레로 정리

 

  다음의 정리는 $C^2$ 급 함수의 편미분에 대해 교환법칙이 성립함을 의미한다.

 

클레로 정리 (Clairaut's theorem)
  $C^2$ 급함수 $f:A\in {\mathcal{T}}_{{\mathbb{R}}^m}\to \mathbb{R}$ 와 임의의 $i,j\in \{1,\dots ,m\}$ , 각 $a\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.$$D_j{D}_{i}f(a)=D_i{D}_{j}f(a)$$

 

 

  Proof.  $i=j$ 인 경우에 정리가 자명하게 성립한다. $i<j$ 인 경우에 대해 생각하자. 편의상 $i=1$ , $j=2$ 라고 하자. (다른 경우에도 증명은 동일하다) $a^{\prime }=(a_2,\dots ,a_m)$ 이라고 하면 정의에 따라 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& D_{2}f(x,a_2,a^{\prime })-D_{2}f(a_1,a_2,a^{\prime })\\ =& \underset{y\to a_2}{lim}\frac{f(x,y,a^{\prime })-f(x,a_2,a^{\prime })}{y-a_2}-\underset{y\to a_2}{lim}\frac{f(a_1,y,a^{\prime })-f(a_1,a_2,a^{\prime })}{y-a_2}\\ =& \underset{y\to a_2}{lim}(\frac{f(x,y,a^{\prime })-f(x,a_2,a^{\prime })}{y-a_2}-\frac{f(a_1,y,a^{\prime })-f(a_1,a_2,a^{\prime })}{y-a_2})\\ =& \underset{y\to a_2}{lim}\frac{f(x,y,a^{\prime })-f(x,a_2,a^{\prime })-f(a_1,y,a^{\prime })+f(a_1,a_2,a^{\prime })}{y-a_2}\end{array}$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& D_1{D}_{2}f(a_1,a_2,a^{\prime })\\ =& \underset{x\to a_1}{lim}\frac{1}{x-a_1}(D_{2}f(x,a_2,a^{\prime })-D_{2}f(a_1,a_2,a^{\prime }))\\ =& \underset{x\to a_1}{lim}\frac{1}{x-a_1}\underset{y\to a_2}{lim}\frac{f(x,y,a^{\prime })-f(x,a_2,a^{\prime })-f(a_1,y,a^{\prime })+f(a_1,a_2,a^{\prime })}{y-a_2}\\ =& \underset{x\to a_1}{lim}\underset{y\to a_2}{lim}\frac{f(x,y,a^{\prime })-f(x,a_2,a^{\prime })-f(a_1,y,a^{\prime })+f(a_1,a_2,a^{\prime })}{(x-a_1)(y-a_2)}\end{array}$$

  $x\ne a_1$ , $y\ne a_2$ 인 $(x,y,a^{\prime })\in A$ 를 고정하자. $f$ 는 $C^2$ 급이므로 함수 $g(t)=f(t,y,a^{\prime })-f(t,a_2,a^{\prime })$ 는 미분가능하며, 특히 $(a_1,x)$ 에서 미분가능하다. 평균값 정리에 따라 어떤 $c_x\in (a_1,x)$ 가 존재하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& g(x)-g(a)\\ =& Dg(c_x)(x-a)\\ =& (D_{1}f(c_x,y,a^{\prime })-D_{1}f(c_x,a_2,a^{\prime }))(x-a_1)\end{array}$$

  ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{c}_x=a_1}$ 임을 보이자. 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 $\delta =ϵ$ 이라고 하자. $0<|x-a_1|<\delta$ 인 임의의 $x$ 에 대해 $c_x\in (a_1,x)$ 이므로 $|c_x-a_1|<|x-a_1|$ 가 성립한다. 즉 $|c_x-a_1|<ϵ$ 이므로 원하는 결과를 얻는다. 한편 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& g(x)-g(a)\\ =& f(x,y,a^{\prime })-f(x,a_2,a^{\prime })-f(a_1,y,a^{\prime })+f(a_1,a_2,a^{\prime })\end{array}$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& D_1{D}_{2}f(a_1,a_2,a^{\prime })\\ =& \underset{x\to a_1}{lim}\underset{y\to a_2}{lim}\frac{(D_{1}f(c_x,y,a^{\prime })-D_{1}f(c_x,a_2,a^{\prime }))(x-a_1)}{(x-a_1)(y-a_2)}\\ =& \underset{x\to a_1}{lim}\underset{y\to a_2}{lim}\frac{D_{1}f(c_x,y,a^{\prime })-D_{1}f(c_x,a_2,a^{\prime })}{y-a_2}\end{array}$$

  한편 정의에 따라 다음과 같다.

$$\underset{y\to a_2}{lim}\frac{D_{1}f(c_x,y,a^{\prime })-D_{1}f(c_x,a_2,a^{\prime })}{y-a_2}=D_2{D}_{1}f(c_x,a_2,a^{\prime })$$

  따라서 ${\displaystyle D_1{D}_{2}f(a_1,a_2,a^{\prime })=\underset{x\to a_1}{lim}{D}_2{D}_{1}f(c_x,a_2,a^{\prime })}$ 를 얻는다. 이때 $D_2{D}_{1}f$ 는 연속이므로 극한의 성질(링크의 정리 5.5.와 정리 5.3.)에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to a_1}{lim}{D}_2{D}_{1}f(c_x,a_2,\dots ,a_m)\\ =& D_2{D}_{1}f(\underset{x\to a_1}{lim}{c}_x,\underset{x\to a_1}{lim}{a}_2,\dots ,\underset{x\to a_1}{lim}{a}_m)\\ =& D_2{D}_{1}f(a_1,a_2,\dots ,a_m)\end{array}$$

$$\begin{array}{}◻& \therefore D_1{D}_{2}f(a)=D_2{D}_{1}f(a)\end{array}$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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