[다변수 미분] ch2. 편미분

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편미분

 

Definition.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 에 대해 $D_{e_j}f(a)$ 가 존재하면 이를 $a$ 에서 $f$ 의 j번째 편미분(j-th partial derivative)이라고 하고 $D_jf(a)$ 라고 쓴다.

 

  다시말해 $f$ 의 j번째 편미분은 아래의 극한이 존재할 때 그 극한값을 말한다.

$$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$$

  편미분은 사실 계산하기에 상당히 편리하다. $a=(a_1,\ldots,a_m)$ 이라고 할때 다음의 함수를 생각하자.

$$\phi(t)=f(a_1,\ldots,a_{j-1},t,a_{j+1},\ldots,a_m)$$

  이때 $f$ 의 $a$ 에서 j번째 편미분은 그저 $\phi$ 의 $a_j$ 에서의 미분과 동일하다. 따라서 함수의 편미분이란 나머지 변수를 상수로 둔 일변수함수의 미분처럼 계산하면 된다.

 

  편미분은 공역이 $\mathbb{R}$ 인 함수에 한하여 정의하자. 공역이 $\mathbb{R}^n$ 인 경우에도 편미분을 잘 정의할 수 있지만, 정의의 과다한 확장이 될 수 있다. 예를들어 $D_jf_i(a)$ 는 원래 i번째 성분함수의 j번째 편미분으로 정의되지만, 확장된 정의를 사용하면 j번째 편미분의 i번째 성분으로도 해석되어버린다.

 

  다음의 정리는 편미분과 미분의 상관관계를 말한다.

 

Theorem 2.1.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 가 $a$ 에서 미분가능하면 다음과 같다.$$Df(a)=\begin{pmatrix}D_1f(a)&\cdots&D_mf(a)\end{pmatrix}$$

 

  Proof.  정리 1.7.에 따라 각 $j=1,\ldots,m$ 에 대해 $D_jf(a)=Df(a)e_j$ 이다. 이때 $Df(a)e_j$ 는 $Df(a)$ 의 j번째 열과 같으므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

Theorem 2.2.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) $f$ 가 $a$ 에서 미분가능할 필요충분조건은 $f$ 의 각 성분함수가 $a$ 에서 미분가능한 것이다.
  (2) $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하면 $Df(a)\in\mathbb{M}_{n\times m}$ 은 j번째 행이 $Df_j(a)\in\mathbb{R}^m$ 인 행렬이다.

 

  Proof.  (1) 을 증명하는 과정에서 (2) 가 증명된다.

  ($\Rightarrow$) $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하다고 하자. 다음의 함수를 생각하자.

$$F(x)=\frac{f(x)-f(a)-Df(a)(x-a)}{|x-a|}$$

  이때 $Df(a)$ 의 j번째 행을 $B_j$ 라고 하면 $Df(a)(x-a)$ 의 j번째 성분은 $B_j(x-a)$ 이다. 따라서 $F$ 의 각 성분함수 $F_j$ 는 다음과 같다.

$$F_j(x)=\frac{f_j(x)-f_j(a)-B_j(x-a)}{|x-a|}$$

  한편 $f$ 는 미분가능하므로 $\displaystyle\lim_{x\to a}F(x)=0$ 이 성립한다. 극한의 성질(링크의 정리 5.3.)에 따르면 $\displaystyle\lim_{x\to a}F_j(x)=0$ 도 성립하므로 $f$ 의 각 성분함수 $f_j$ 는 미분가능하며 $B_j=Df_j(a)$ 를 얻는다. 이로써 $Df(a)$ 의 j번째 행이 $Df_j(a)$ 임을 얻는다.

  ($\Leftarrow$) $f$ 의 각 성분함수 $f_j$ 가 미분가능하다고 하자. 다음의 함수를 생각하자.

$$F_j(x)=\frac{f_j(x)-f_j(a)-Df_j(a)(x-a)}{|x-a|}$$

  이때 j번째 행이 $Df_j(a)$ 인 $n\times m$ 행렬 $B$ 에 대해 $B(x-a)$ 의 j번째 성분은 $Df_j(a)(x-a)$ 이므로, 아래의 함수 $F$ 는 j번째 성분함수로 $F_j$ 를 갖는다.

$$F(x)=\frac{f(x)-f(a)-B(x-a)}{|x-a|}$$

  한편 각 $f_j$ 는 미분가능하므로 $\displaystyle\lim_{x\to a}F_j(x)=0$ 가 성립한다. 극한의 성질에 따르면 $\displaystyle\lim_{x\to a}F(x)=0$ 도 성립하므로 $F$ 는 미분가능하며 $B=Df(a)$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

야코비 행렬

 

  위의 두 정리로 함수의 미분이라는 행렬이 구체적으로 어떻게 생겼는지 알아낼 수 있다. 정리 2.2.에 따라 $Df(a)$ 의 i번째 행은 $Df_i(a)$ 이며, $Df_i(a)$ 의 j번째 열은 정리 2.1.에 따라 $D_jf_i(a)$ 이다. 정리하면 $D_jf_i(a)$ 은 $Df(a)$ 의 i행 j열의 성분이므로 다음을 얻는다.

$$Df(a)=\begin{pmatrix}D_1f_1(a)&D_2f_1(a)&\cdots&D_mf_1(a)\\D_1f_2(a)&D_2f_2(a)&\cdots&D_mf_2(a)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\D_1f_n(a)&D_2f_n(a)&\cdots&D_mf_n(a)\end{pmatrix}$$

 

  함수의 미분에 관련된 논의에서, 함수의 정의역이 $\mathbb{R}^m$ 인 경우 그 함수의 j번째 변수를 $x_j$ 라고 하는 것은 널리 사용되는 수학적 관습이다. 이러한 관습을 잘 활용하면 편미분을 다음과 같이 표기할 수 있다.

 

Definition.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 에 대해 $a$ 에서 $f$ 의 j번째 편미분 $D_jf(a)$ 는 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)$ 라고도 쓴다.

 

  이러한 표기법을 이용하여 함수의 미분을 표기하면 다음과 같다.

$$Df(a)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)&\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a)&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_m}(a)\\\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a)&\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a)&\cdots&\frac{\partial f_2}{\partial x_m}(a)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial f_n}{\partial x_1}(a)&\frac{\partial f_n}{\partial x_2}(a)&\cdots&\frac{\partial f_n}{\partial x_m}(a)\end{pmatrix}$$

 

  이를 이용하여 행렬을 하나 정의할텐데, 이 정의를 주의깊게 읽어보자.

 

Definition.  $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 i열 j행의 성분이 $\displaystyle\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$ 인 $n\times m$ 행렬을 $a$ 에서 $f$ 의 야코비 행렬(jacobian matrix)이라고 하고 $\displaystyle\frac{\partial(f_1,\ldots,f_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}$ 이라고 쓴다.

 

  야코비 행렬은 분명 함수의 미분과 동일한 행렬처럼 보이지만, 이 정의를 보면 의도적으로 야코비 행렬을 $Df(a)$ 로 정의하지 않았다. 이는 $a$ 에서 $f$ 의 미분이 존재하지 않아도 $f$ 의 모든 성분함수의 모든 편미분이 존재할 수도 있기 때문이다. 이를테면 다음의 함수를 생각해보자.

$$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\;\;f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^4+y^2}&\text{if }(x,y)\neq(0,0)\\0&\text{if }(x,y)=(0,0)\end{cases}$$

  이 함수가 $(0,0)$ 즉, $0\in\mathbb{R}^2$ 에서 모든 편미분을 가짐을 보이자. 다음이 성립한다.

$$\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{t^2\cdot0}{t^4+0}\frac{1}{t}=0=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$$

$$\lim_{t\to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{0\cdot t}{0+t^2}\frac{1}{t}=0=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$$

  따라서 $0$ 에서 $f$ 의 야코비 행렬 $\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)&\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\end{pmatrix}$ 은 $\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}$ 으로서 존재한다. 그러나 $f$ 는 $0$ 에서 미분가능하지 않다. 미분가능하면 연속이므로, 이를 보이는 것은 $f$ 가 $0$ 에서 불연속임을 보이는 것으로 충분하다. 만약 $f$ 가 $0\in\mathbb{R}^2$ 에서 연속이라면 연속의 성질(링크의 정리 4.4.)에 따라 $\mathbb{R}^2$ 에서 $(x,y)=(t,t^2)$ 인 점들의 집합 $A\subset\mathbb{R}^2$ 에 대해 $f|_A$ 도 $0$ 에서 연속이어야 한다. 그러나 $0$ 을 제외한 점에서 $f|_A$ 의 값은 모두 $\frac{1}{2}$ 이므로 $f|_A$ 는 $0$ 에서 불연속이다. 따라서 $f$ 도 $0$ 에서 불연속이므로 $f$ 는 $0$ 에서 미분불가능하다. 정리하면 $f$ 는 $0$ 에서 야코비 행렬은 존재하지만 미분은 존재하지 않는다.

 

  정리하면 모든 편미분이 존재하는 것만으로는 미분이 존재함을 알 수 없다. 그러나 모든 편미분이 존재함에 하나의 조건을 더하면 미분가능성을 얻어낼 수 있다. 이에 대해서 다음 포스팅에서 소개한다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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