[FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

25. 리만 적분

 

  ※ 본 포스팅에 소개되는 내용은 사실 다르부 적분이다. 리만 적분 가능과 다르부 적분 가능이 동치라는 것을 명분삼아, 다르부 적분이 종종 리만 적분으로 소개된다.

 

  다음의 정의는 주어진 닫힌 구간을 작은 구간으로 쪼개는 것을 가리킨다.

 

정의)  닫힌 구간 $[a,b]$ 에 대해 다음을 만족하는 점 $x_0,x_1,\ldots,x_n$ 으로 이루어진 유한집합 $P$ 를 $[a,b]$ 의 분할(partition)이라고 한다.$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$$

 

  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 다음을 만족하면 $E\subset A$ 에서 유계(bounded)라고 한다.

$$(\exists M>0)\;(\forall x\in E)\quad |f(x)|\le M$$

  함수가 어떤 집합에서 유계라면 그 집합의 부분집합에서도 유계임은 자명하다. 집합 $\{f(x):x\in E\}$ 는 위로 유계이며 아래로 유계이다. 완비성 공리에 따르면 집합 $\{f(x):x\in E\}$ 는 상한과 하한을 갖는다. 다음과 같이 표기하자.

$$\underset{E}{\text{sup}}\;f:=\text{sup}\{f(x):x\in E\}$$

$$\underset{E}{\text{inf}}\;f:=\text{inf}\{f(x):x\in E\}$$

  다음의 정의를 확인하자.

 

정의)  $[a,b]\subset A$ 에서 유계인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $[a,b]$ 의 분할 $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ 에 대해 다음의 $L(f,P)$ , $U(f,P)$ 를 각각 $P$ 에 대한 $f$ 의 리만 하합(lower Riemann sum), 리만 상합(upper Riemann sum)이라고 한다.$$L(f,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})$$$$U(f,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})$$

  임의의 유계이고 공집합이 아닌 집합 $A\subset\mathbb{R}$ 에 대해 $\text{inf}\;A\le\text{sup}\;A$ 이므로 $L(f,P)\le U(f,P)$ 임이 자명하다. 이는 기하적으로도 쉽게 납득이 되는 성질이다.

 

  다음의 정의는 주어진 닫힌 구간을 '더욱' 잘게 쪼개는 것을 가리킨다.

 

정의)  닫힌 구간 $[a,b]$ 의 두 분할 $P,P^*$ 에 대해 $P\subset P^*$ 이면 $P^*$ 를 $P$ 의 세분(refinement)이라고 한다.

 

  다음의 정리들은 분할을 세분할 경우 하합은 커지고 상합은 작아지는 모습을 보여준다.

 

보조정리 25-1)  공집합이 아니고 유계인 두 집합 $A,B\subset\mathbb{R}$ 에 대해 $A\subset B$ 이면 다음이 성립한다.$$\text{inf}\;B\le \text{inf}\;A\qquad\text{sup}\;A\le\text{sup}\;B$$

 

proof)

  $\text{inf}\;B$ , $\text{sup}\;B$ 는 각각 $B$ 의 하계, 상계이므로 다음과 같다.

$$(\forall b\in B)\quad\text{inf}\;B\le b\le\text{sup}\;B$$

  임의의 $a\in A$ 에 대해 $a\in B$ 이므로 위의 식에 따라 $\text{inf}\;B$ , $\text{sup}\;B$ 는 각각 $A$ 의 하계, 상계이기도 하다. $\text{inf}\;A$ , $\text{sup}\;A$ 는 각각 $A$ 의 최대하계, 최소상계이므로 다음을 얻는다.

$$\text{inf}\;B\le \text{inf}\;A\qquad\text{sup}\;A\le\text{sup}\;B\tag*{$\square$}$$

 

정리 25-2)  $[a,b]\subset A$ 에서 유계인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $[a,b]$ 의 임의의 분할 $P$ , $P$ 의 임의의 세분 $P^*$ 에 대해 다음이 성립한다.$$L(f,P)\le L(f,P^*)\quad U(f,P^*)\le U(f,P)$$

proof)

  분할 $P$ 와 임의의 $z\in[a,b]$ 에 대해 $z\notin P$ 이며 $P^+=P\cup\{z\}$ 라고 하자. $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ 이라고 하면 어떤 $m\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대해 $z\in(x_{m-1},x_m)$ 가 성립한다. 정의에 따라 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;L(f,P^+)\\=&\;\sum_{k=1}^{m-1}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&+\textcolor{red}{\left(\underset{[x_{m-1},z]}{\text{inf}}\;f\right)(z-x_{m-1})+\left(\underset{[z,x_m]}{\text{inf}}\;f\right)(x_m-z)}\\&+\sum_{k=m+1}^{n}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\end{align}$$

$$\begin{align}&\;U(f,P^+)\\=&\;\sum_{k=1}^{m-1}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&+\textcolor{red}{\left(\underset{[x_{m-1},z]}{\text{sup}}\;f\right)(z-x_{m-1})+\left(\underset{[z,x_m]}{\text{sup}}\;f\right)(x_m-z)}\\&+\sum_{k=m+1}^{n}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\end{align}$$

  $[x_{m-1},z],[z,x_m]\subset[x_{m-1},x_m]$ 이므로 보조정리 25-1에 따라 다음이 성립한다.

$$\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{inf}}\;f\le\underset{[x_{m-1},z]}{\text{inf}}\;f,\;\underset{[z,x_m]}{\text{inf}}\;f$$

$$\underset{[x_{m-1},z]}{\text{sup}}\;f,\;\underset{[z,x_m]}{\text{sup}}\;f\le\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{sup}}\;f$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\textcolor{blue}{\left(\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{inf}}\;f\right)(x_m-x_{m+1})}\\=&\;\left(\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{inf}}\;f\right)(z-x_{m+1})+\left(\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{inf}}\;f\right)(x_m-z)\\\le&\;\textcolor{red}{\left(\underset{[x_{m-1},z]}{\text{inf}}\;f\right)(z-x_{m-1})+\left(\underset{[z,x_m]}{\text{inf}}\;f\right)(x_m-z)}\end{align}$$

$$\begin{align}&\;\textcolor{blue}{\left(\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{sup}}\;f\right)(x_m-x_{m+1})}\\=&\;\left(\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{sup}}\;f\right)(z-x_{m+1})+\left(\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{sup}}\;f\right)(x_m-z)\\\ge&\;\textcolor{red}{\left(\underset{[x_{m-1},z]}{\text{sup}}\;f\right)(z-x_{m-1})+\left(\underset{[z,x_m]}{\text{sup}}\;f\right)(x_m-z)}\end{align}$$

  정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;L(f,P^+)\\=&\;\sum_{k=1}^{m-1}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&+\textcolor{red}{\left(\underset{[x_{m-1},z]}{\text{inf}}\;f\right)(z-x_{m-1})+\left(\underset{[z,x_m]}{\text{inf}}\;f\right)(x_m-z)}\\&+\sum_{k=m+1}^{n}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\\ge&\;\sum_{k=1}^{m-1}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&+\textcolor{blue}{\left(\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{inf}}\;f\right)(x_m-x_{m+1})}\\&+\sum_{k=m+1}^{n}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;\sum_{k=1}^{n}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;L(f,P)\end{align}$$

$$\begin{align}&\;U(f,P^+)\\=&\;\sum_{k=1}^{m-1}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&+\textcolor{red}{\left(\underset{[x_{m-1},z]}{\text{sup}}\;f\right)(z-x_{m-1})+\left(\underset{[z,x_m]}{\text{sup}}\;f\right)(x_m-z)}\\&+\sum_{k=m+1}^{n}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\\le&\;\sum_{k=1}^{m-1}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&+\textcolor{blue}{\left(\underset{[x_{m-1},x_m]}{\text{sup}}\;f\right)(x_m-x_{m+1})}\\&+\sum_{k=m+1}^{n}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;\sum_{k=1}^{n}\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;U(f,P)\end{align}$$

$$\therefore L(f,P)\le L(f,P^+)\quad U(f,P^+)\le U(f,P)$$

  만약 $P=P^*$ 이면 주어진 정리가 자명하게 성립한다. $P\subsetneq P^*$ 라고 하자. $P^*\setminus P$ 는 공집합이 아닌 유한집합이며 다음과 같다고 하자.

$$P^*\setminus P=\{z_1,z_2,\ldots,z_m\}$$

  $P^*=P\cup(P^*\setminus P)$ 이므로 위의 논의에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}L(f,P)&\le L(f,P\cup\{z_1\})\\&\le L(f,P\cup\{z_1,z_2\})\\&\qquad\vdots\\&\le L(f,P\cup\{z_1,z_2,\ldots,z_m\})\\&=L(f,P^*)\end{align}$$

$$\begin{align}U(f,P)&\ge U(f,P\cup\{z_1\})\\&\ge U(f,P\cup\{z_1,z_2\})\\&\qquad\vdots\\&\ge U(f,P\cup\{z_1,z_2,\ldots,z_m\})\\&=U(f,P^*)\end{align}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  위 결과로부터 다음의 자명하고 중요한 결론을 쉽게 유도할 수 있다.

 

따름정리 25-3)  $[a,b]\subset A$ 에서 유계인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $[a,b]$ 의 임의의 두 분할 $P_1,P_2$ 에 대해 다음이 성립한다.$$L(f,P_1)\le U(f,P_2)$$

 

proof)

  $P^*=P_1\cup P_2$ 라고 하자. $P_1\subset P^*$ 이며 $P_2\subset P^*$ 이므로 $P^*$ 는 $P_1$ 과 $P_2$ 의 세분이다. $L(f,P^*)\le U(f,P^*)$ 라는 자명한 성질과 정리 25-2에 따라 다음이 성립한다.

$$L(f,P_1)\le L(f,P^*)\le U(f,P^*)\le U(f,P_2)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  따름정리 25-3이 시사하는 바는 다음과 같다. $[a.b]$ 의 모든 분할의 모음 $\mathcal{P}$ 에 대해 다음의 두 집합을 보자.

$$L=\{L(f,P):P\in\mathcal{P}\}$$

$$U=\{U(f,P):P\in\mathcal{P}\}$$

  임의의 분할 $P'\in\mathcal{P}$ 을 선택하자. 따름정리 25-3에 따라 다음이 성립한다.

$$(\forall P\in\mathcal{P})\quad L(f,P)\le U(f,P')$$

$$(\forall P\in\mathcal{P})\quad L(f,P')\le U(f,P)$$

  따라서 $L$ 은 $U(f,P')$ 를 상계로 가지며 $U$ 는 $L(f,P')$ 를 하계로 가진다. 다시말해 $L$ 은 위로 유계, $U$ 는 아래로 유계임을 알 수 있다. 완비성 공리에 따라 다음의 정의가 가능하다.

 

정의)  $[a,b]\subset A$ 에서 유계인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $[a.b]$ 의 분할의 모음 $\mathcal{P}$ 에 대해 다음의 $L(f)$ , $U(f)$ 를 각각 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 리만 하적분(lower Riemann integral), 리만 상적분(upper Riemann integral)이라고 한다.$$L(f)=\text{sup}\{L(f,P):P\in\mathcal{P}\}$$$$U(f)=\text{inf}\{U(f,P):P\in\mathcal{P}\}$$

 

  다음의 정리는 너무나 당연하다.

 

정리 25-4)  $[a,b]\subset A$ 에서 유계인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$L(f)\le U(f)$$

 

proof)

  다음의 두 집합 $L,U$ 를 정의하자.

$$L=\{L(f,P):P\in\mathcal{P}\}$$

$$U=\{U(f,P):P\in\mathcal{P}\}$$

  $L(f)=\text{sup}\;L$ , $U(f)=\text{inf}\;U$ 이다. $\text{sup}\;L\le\text{inf}\;U$ 를 증명하는 것은 $\text{inf}\;U$ 가 $L$ 의 상계임을 보이는 것으로 충분하다. 모순을 보이기 위해 다음을 가정하자.

$$(\exists P_1\in\mathcal{P})\quad \text{inf}\;U<L(f,P_1)\tag{1}$$

  $\text{inf}\;U$ 는 $U$ 의 최대하계이므로 $L(f,P_1)$ 는 $U$ 의 하계가 아니다. 따라서 다음이 성립한다.

$$(\exists P_2\in\mathcal{P})\quad U(f,P_2)<L(f,P_1)$$

  이는 따름정리 25-3에 모순된다. 따라서 식 (1)의 부정인 다음이 성립한다.

$$(\forall P\in\mathcal{P})\quad L(f,P)\le\text{inf}\;U$$

  따라서 $\text{inf}\;U$ 는 $L$ 의 상계이므로 $L$ 의 최소상계 $\text{sup}\;L$ 에 대해 $\text{sup}\;L\le\text{inf}\;U$ 가 성립한다.   $\square$

 

 

  위 정리의 부등식 $L(f)\le U(f)$ 에 대해 등식 $L(f)=U(f)$ 는 일반적으로 성립하지 않는다. 등식이 성립하는 특별한 경우에 대해 적분을 정의하자.

 

 

25.1. 리만 적분가능성

 

리만 적분가능성 (Riemann integrability)
  $[a,b]\subset A$ 에서 유계인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 리만 하적분 $L(f)$ , 리만 상적분 $U(f)$ 에 대해 $L(f)=U(f)$ 이면 $f$ 가 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능(Riemann integrable)하다고 한다. 이때 $L(f)$ 와 $U(f)$ 의 공통 값을 다음과 같이 쓴다.$$\int_a^bf\qquad\int_a^bf(x)dx\qquad\int_{[a,b]}f$$

 

  위의 표기에서 $a\le b$ 이어야 위의 세 표기가 지시하는 값이 동일함에 주의하자. 만약 $a\ge b$ 일 때 위와 같이 표기할 경우 그 값의 부호가 달라질 수 있다. 첫 번째와 두 번째 표기법은 응용의 측면에서 유리하며, 세 번째 표기법은 혼동의 여지가 적다는 점에서 유리하다.

 

  다음의 정리에 따르면 리만 적분가능성은 리만 상합과 리만 하합을 무한히 가깝게 할 수 있다는 것과 동치이다.

 

리만 적분 판정법 (Riemann integrability criterion)
  $[a,b]\subset A$ 에서 유계인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능할 필요충분조건은 $[a,b]$ 의 분할의 모음 $\mathcal{P}$ 에 대해 다음이 성립하는 것이다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists P\in\mathcal{P})$$$$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$$

 

proof)

  ($\Rightarrow$) : $f$ 가 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다고 하자. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $U(f)$ 는 리만 상합의 최대하계이며 $U(f)+\frac{\epsilon}{2}$ 는 리만 상합의 하계가 아니므로 다음을 만족하는 $P_1\in\mathcal{P}$ 가 존재한다.

$$U(f,P_1)<U(f)+\frac{\epsilon}{2}$$

  마찬가지로, $L(f)$ 는 리만 하합의 최소상계이며 $L(f)-\frac{\epsilon}{2}$ 는 리만 하합의 상계가 아니므로 다음을 만족하는 $P_2\in\mathcal{P}$ 가 존재한다.

$$L(f)-\frac{\epsilon}{2}<L(f,P_2)$$

  $P=P_1\cup P_2$ 라고 하자. $P$ 는 $P_1$ 과 $P_2$ 의 세분이므로 정리 25-2에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;U(f,P)-L(f,P)\\\le&\;U(f,P_1)-L(f,P_2)\\<&\;\left(U(f)+\frac{\epsilon}{2}\right)-\left(L(f)-\frac{\epsilon}{2}\right)\\=&\;U(f)-L(f)+\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\\=&\;U(f)-L(f)+\epsilon\end{align}$$

  $f$ 가 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하므로 $U(f)-L(f)=0$ 이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

  ($\Leftarrow$) : 다음이 성립한다고 가정하자.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists P\in\mathcal{P})$$

$$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$$

  $U(f)\le U(f,P)$ , $L(f)\ge L(f,P)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$U(f)-L(f)\le U(f,P)-L(f,P)<\epsilon\tag{1}$$

  모순을 보이기 위해 $L(f)<U(f)$ 라고 가정하자. $0<U(f)-L(f)$ 이므로 실수의 조밀성에 따라 다음을 만족하는 $\epsilon_0\in\mathbb{R}$ 이 존재한다.

$$0<\epsilon_0<U(f)-L(f)$$

  이는 식 (1)에 모순되므로 귀류법에 따라 $L(f)\ge U(f)$ 를 얻는다. 정리 25-4에 따르면 $L(f)\le U(f)$ 이므로 $L(f)=U(f)$ 이다. 따라서 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다.   $\square$

 

 

  리만 적분을 정의하며 어떤 함수가 리만 적분가능한지를 구체적으로 밝히지 않았지만, 다음의 정리에 따르면 상당히 많은 함수들이 이에 해당한다.

 

정리 25.1-1)  $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $[a,b]\subset A$ 에서 연속이면 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다.

 

proof)

  $f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이면 $[a,b]$ 는 콤팩트 집합이므로 콤팩트성의 보존에 따라 $f\big([a,b]\big)$ 는 콤팩트 집합이다. 하이네-보렐 정리에 따르면 $f\big([a,b]\big)$ 는 유계이므로 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 유계이다. 따라서 $[a,b]$ 의 분할에 대한 $f$ 의 리만 하합과 리만 상합이 잘 정의된다.

 

  $f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이면 $[a,b]$ 에서 균등연속이다. ($\because$ 정리 17-1) 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 다음이 성립한다.

$$(\exists\delta>0)\;(\forall z\in [a,b])\;(\forall c\in A)$$

$$|z-c|<\delta\implies|f(z)-f(c)|<\frac{\epsilon}{b-a}$$

  임의의 $k\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대해 $x_{k-1}-x_k<\delta$ 이도록 $[a,b]$ 의 분할 $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ 을 선택하자. 각 부분구간 $[x_{k-1},x_k]$ 에서 $f$ 가 연속이므로 최대-최소 정리에 따라 어떤 $z_k,c_k\in[x_{k-1},x_k]$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f=f(z_k)\qquad\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f=f(c_k)$$

  이때 $z_k\in[a,b]$ , $c_k\in A$ , $|z_k-c_k|<\delta$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f-\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f=f(z_k)-f(c_k)<\frac{\epsilon}{b-a}$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;U(f,P)-L(f,P)\\=&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f-\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\<&\;\sum_{k=1}^n\frac{\epsilon}{b-a}(x_k-x_{k-1})\\=&\;\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\\=&\;\frac{\epsilon}{b-a}(x_n-x_0)=\epsilon\end{align}$$

  리만 적분 판정법에 따라 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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